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选修1-1,1.4全称量词与特称量词ppt


1.4

全称量词与存在量词

探究一
下列语句是否是命题?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?

(1)x>3

不是命题

(2)2x+1是整数

不是命题
是命题

(3)对所有的 x∈R, x&g

t;3 (4)对任意一个2x+1是整数

是命题

类似于(3)(4)中的短语“所有的”,“任意一个”, “任意的”,“一切的”,“每一个”,“任给”等,在逻辑 符号表示: ? 中通常叫做全称量词.

含有全称量词的命题,叫做全称命题
“对M中任意一个x, 有p(x)成立”用符号简记为“ x∈M, ? p(x)” 读作:“任意一个x属于M,使p(x)成立”

练习:判定下列命题是否为全称命题?

(1)对任意的n∈Z,

2n+1 是奇数

(2)所有的正方形都是矩形 (3) 自然数的平方是正数

注意: (1)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题 (2)一个全称命题,可以包含多个变数,例如:

?x ? R, y ? R,( x ? y )( x ? y ) ? 0

例1:判定全称命题的真假:

(1)所有的素数是奇数
(2) ? x∈R,

x2+1≥1

(3)对每个无理数x,x2也是无理数
判定全称命题的真假的方法: (2)判断为假,只需在集合M中找到一个元素x0,使得

(1)判断为真,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;

p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题。

探究二
下列语句是否是命题?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3

(2)x能被2和3整除
(3)存在一个x∈R, 使得2x+1=3 (4)至少有一个x∈Z,

x能被2和3整除

(1),(2)不是命题,但是(3),(4)是陈述句,并且能 判定真假,所以(3)(4)是命题

类似于(3)(4)中的短语“存在一个”,“至少 有一个”,“有些”,“有一个”,“对某个”, “有的”,“存在着”等,在逻辑中通常叫做存在量 词 符号表示: ? 含有存在量词的命题,叫做特称命题
“存在M中的一个x0, 使p(x0)成立”用符号简记为“ x0∈M, ? p(x0)”

读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”

练习:判定下列命题是否为特称命题?
(1)有的平行四边形是菱形 (2)有一个素数不是奇数 (1)(2)都是特称命题

例2:判定特称命题的真假:

(1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线 (3)有些数只有两个正因数 判定特称命题的真假的方法: (1)判定为真,只需在集合M中找到一个元素x0,使 p(x0) 成立即可,则特称命题是假命题 (2)判定为假,在集合M中,使p(x)成立的元素x一个 都不存在,则特称命题是假命题。

练习:P23:第2题

练 习:

( )下列全称命题中,真命题是:( 1 A. 所有的素数是奇数 B. ?x ? R, ( x ? 1) ? 0 1 C. ?x ? R, x ? ? 2 x
2



1 D. ?x ? (0, ), sin x ? ?2 2 sin x

?

(2)下列特称命题中,假 命题是:( A . ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 B. 至少有一个x ? Z,x能被2和3整除 C. 存在两个相交平面垂直 于同一直线 D. ?x ? { x是无理数}, x 是有理数
2



(3)用符号“?”“?”表示下列含有量词的命题:
①实数的平方大于等于0; ②存在一对实数,使2 x ? 3 y ? 3 ? 0成立.

含有一个量词的命题的否定

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形; (2)每一个素数都是奇数 ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形; (2)每一个素数都是奇数 ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

否定

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形; (2)每一个素数都是奇数 ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

否定
(1) 存在一个矩形不是平行 四边形;

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形; (2)每一个素数都是奇数 ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

否定
(1) 存在一个矩形不是平行 四边形; (2) 存在一个素数不是奇数 ;

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形; (2)每一个素数都是奇数 ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

否定
(1) 存在一个矩形不是平行 四边形; (2) 存在一个素数不是奇数 ;

(3) ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形; (2)每一个素数都是奇数 ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

否定
(1) 存在一个矩形不是平行 四边形; (2) 存在一个素数不是奇数 ;

(3) ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

这些命题和他们的否定 在形式上有什么变化?

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形;?x ? M , p( x ) (2)每一个素数都是奇数 ?x ? M , p( x ) ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x ? M , p( x )

否定
(1) 存在一个矩形不是平行 四边形; (2) 存在一个素数不是奇数 ;

(3) ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

这些命题和他们的否定 在形式上有什么变化?

写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行 四边形;?x ? M , p( x ) (2)每一个素数都是奇数 ?x ? M , p( x ) ; (3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x ? M , p( x )

否定
(1) 存在一个矩形不是平行 四边形; x ? M , ?p( x ) ? (2) 存在一个素数不是奇数 ?x ? M , ?p( x ) ;

(3) ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ?x ? M , ?p( x )
2

这些命题和他们的否定 在形式上有什么变化?

例1:写出下列全称命题的 否定 1)p : 所有能被3整除的整数都是奇数; 2)p : 每一个四边形的四个顶 点共圆; 3)p : 对任意x ? Z , x 的个位数字不等于 ; 3
2

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; 2)某些平行四边形是菱 形; 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; 2)某些平行四边形是菱 形; 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

否定

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; 2)某些平行四边形是菱 形; 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

否定
1)所有实数的绝对值都不是正数;

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; 2)某些平行四边形是菱 形; 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

否定
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; 2)某些平行四边形是菱 形; 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

否定
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;

3)?x ? R, x ? 1 ? 0
2

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; 2)某些平行四边形是菱 形; 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

否定
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;

3)?x ? R, x ? 1 ? 0
2

这些命题和他们的否定 在形式上有什么变化?

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; ?x ? M , p( x ) 2)某些平行四边形是菱 形; ?x ? M , p( x ) 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ?x ? M , p( x )

否定
1)所有实数的绝对值都不是正数;
2)每一个平行四边形都不是菱形;

3)?x ? R, x ? 1 ? 0
2

这些命题和他们的否定 在形式上有什么变化?

想一想: 写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是 正数; ?x ? M , p( x ) 2)某些平行四边形是菱 形; ?x ? M , p( x ) 3)?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ?x ? M , p( x )

否定
1)所有实数的绝对值都不是正数; ?x ? M , ?p( x )
2)每一个平行四边形都不是菱形; ?x ? M , ?p( x )

3)?x ? R, x ? 1 ? 0
2

?x ? M , ?p( x )

这些命题和他们的否定 在形式上有什么变化?

例1:写出下列全称命题的 否定 1)p : ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0; 2)p : 有的三角形是等边三角 形;
2

3)p : 又一个素数含有三个正 因子;

***含有一个量词的命题的否定***

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x )

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p :

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x )

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x ) 特称命题p : ?x ? M , p( x )

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x ) 特称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p :

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x ) 特称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x )

***含有一个量词的命题的否定***

全称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x ) 特称命题p : ?x ? M , p( x ) 它的否定?p : ?x ? M , ?p( x )
全称命题的否定是特称命题,

特称命题的否定是全称命题.

练习 : 写出下列命题的否定 并判断其真假 , 1 2 1)p : ?x ? R, x ? x ? ? 0, 4 2)q : 所有的正方形都是矩形 ; 3)r : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

4)s : 至少又一个实数 , 使x ? 1 ? 0 x
3

例2 : 写出下列命题的否定 并判断其真假 , 1)p : 任意两个等边三角形都 是相似的; 2)p : ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0;
2

课外练习: 已知命题p : ?a , b, c ? (0, ? ? ), 三个数 1 1 1 a ? , b ? , c ? 中至少有一个不小于 , 2 b c a 试写出?p, 并证明它们的真假 .


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