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数学必修五数列练习题(含答案)

时间:2015-10-01


? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

1.等差数列 {an } 中,已知a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则前9项和S9 的值为( A.66 B.99 C.14

4 D.297 ) 2.已知数列 ?a n ? 是公比为 2 的等比数列,若 a4 ? 16 ,则 a1 = ( A.1B.2 C.3 D.4



3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 A.18 B. 24 C.60

a4
2

是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于(



D. 90

4.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a2 =1,则

a1

=(

)

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a4 ? 18 ? a5 , 则S8 =( A.18 B.36 C.54 D.72 ) 6.等比数列 ?an ? 中, a 4 ? 4 ,则 a2 ? a6 ? ( A.4 B.8 C.16 D.32



7.数列 ?an ? 中, a1 A.720 B.765

? ?60, an?1 ? an ? 3 ,则此数列前 30 项的绝对值的和为 ( )
C.600 D.630 )

8.已知等比数列前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 16 ,则 S 8 ? ( A. 160 B. 64 C. ? 64 D. ? 160

9.公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 ? a11 =16 ,则 a6 = ( (A) 1 (B) 2 (C) 4



(D) 8 )

10.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5 ? 1 ,则 a10 ? ( A. 5 B. ?1 C. 0 D. 1

11.已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ? a2 ? 1, a4 ? a5 ? ?8 , 则 公 比 q ? ( (A) ?2 (B) 2 (C) ?



1 1 (D) 2 2

12.观察下列数的特点,1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,?中,其中 x 是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 13.若 a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,则 a 33 = A. -3 14.已知数列{an}满足 A.20112B.2012×2011 15. 数列 B. 3 ( ) D. 6 的值是( )

C. -6 ,那么

C. 2009×2010 D.2010×2011

1 1 1 , , ,? 的一个通项公式是 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

A.

1 n(n ? 1)

B.

1 n(n ? 1)

C.

1 (n ? 1)(n ? 2)

D.以上都不对

16.数列 ?an ? 是等差数列, a4 ? ?4, a9 ? 4, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,则() A. S5 ? S6 B. S5 ? S6 C. S5 ? S7 D. S6 ? S7

17.各项都是正数的等比数列 {an } 中, 3a1 , 1 a3 , 2a2 成等差数列, 2 则

a2012 ? a2014 ? ( a2013 ? a2011
B. 3

) C. 6 D. 9

A. 1



A.

2 3

B.

2n ? 1 3n ? 1

C.

2n ? 1 3n ? 1


D.

2n ? 1 3n ? 4

19.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则公差为 20.在等差数列 {an } 中,S10=120,则 a1+a10 等于 ( A.12 B.24 C.36

D.48 )

21.数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5 ? 1 ,则 a10 ? ( A. 5 B. ?1 C. 0 D. 1

22.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________. 23.若数列{n(n+4) ? ? }中的最大项是第 k 项,则 k= 24.设 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,若

? 2?n ?3?

.

S2 n (n ? N* ) 是非零常数,则称该数列 ?a n ?为 Sn

“和等比数列”.若数列 {bn } 是首项为 3,公差为 d (d ? 0) 的等差数列, 且数列 {bn } 是“和等比数列”,则 d ? .

25.如果数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? 3n ,那么这个数列是 数列 26.若三个数 5 ? 2 6, m,5 ? 2 6 成等差数列,则 m=________. 27.已知等比数列 ?an ? 中, Sn 为前 n 项和且 a1 ? a3 ? 5 , S4 ? 15 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式。 (2)设 bn ?

5 log 2 an ,求 bn 的前 n 项和 Tn 的值。 2

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

18.等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n ? ( ? Tn 3n ? 1 bn

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

28.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ,数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ? n ? 1 ,2 ,3 ,?? . (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求数列 {bn } 的通项 bn ;

29.观察下列三角形数表,假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N ).

*

(1)依次写出第六行的所有 6 个数; (2)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出{an}的通项公式.

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

30.已知数列{ an }中, a1 =2, an?1 ? 2an ? 3 . (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)求证数列{ an +3}为等比数列;

31. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n, (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ( )

1 2

an

? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

32.设等差数列 {an } 满足 a2 ? 9 ,且 a1 , a5 是方程 x ? 16 x ? 60 ? 0 的两根。
2

(1)求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn 。

33.设 a1 ? 2, a2 ? 4, 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 . (1)求证:数列 {bn ? 2} 是等比数列(要指出首项与公比) ; (2)求数列 {an } 的通项公式.

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

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参考答案 1.B 【解析】由已知及等差数列的性质得, 3a4 ? 39,3a6 ? 27, 所以, a4 ? 13, a6 ? 9,S9 ?

9(a1 ? a 9 ) 9(a 4 ? a 6 ) ? ? 99, 选 B. 2 2

考点:等差数列及其性质,等差数列的求和公式. 2.B 【解析】 试题分析:由等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 得 a4 ? a1q 3 ,所以 a1 ? 考点:等比数列的通项公式 3.C 【解析】 试 题 分 析 : 设 公 差 为 d ? d ? 0? . 因 为 a 4 是

a4 16 ? ? 2。 q3 8

a3与a7

的 等 比 中 项 , 所 以 a42 ? a3 a7 . 则

8? 7 d ? 32 ,解由以上两式组成的方程组可 2 10 ? 9 10 ? 9 d ? 10 ? ? ?3? ? ? 2 ? 60 .故 C 正确. 得 a1 ? ?3, d ? 2 .所以 S10 ? 10a1 ? 2 2

? a1 ? 3 d ?

2

? ? a1 ? 2 d?? a ? ,又 S8 ? 8a1 ? 1 ?6 d

考点:1 等比数列的通项公式;2 等比中项;3 等比数列的前 n 项和. 4.B 【解析】 试题分析:设公比为 q ? q ? 0 ? . a3 ? a9 ? 2a5 ? a2 q ? a2 q ? 2 a2 q
2 7

?

3 2

?

,因为 a2 ? 1 ,所以

q ? q 7 ? 2 ? q 3 ? ,即 q8 ? 2q6 ,解得 q ? 2 ,所以 a1 ?
2

a2 2 .故 B 正确. ? q 2

考点:等比数列的通项公式. 5.D 【解析】 试题分析:a4 ? 18 ? a5 ? a4 ? a5 ? 18 ,因为 ?an ? 为等差数列,所以 a1 ? a8 ? a4 ? a5 ? 18 . 所以 S8 ?

8 ? a1 ? a8 ? ? 4 ?18 ? 72 .故 D 正确. 2

考点:1 等差数列的前 n 项和;2 等差数列的性质. 6.C 【解析】 试题分析:设公比为 q ,则 a2 ? a6 ? 考点:等比数列的通项公式。
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a4 ? ? a4 q 2 ? ? a4 2 ? 42 ? 16 。故 C 正确。 q2

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7.B 【解析】 试题分析:因为 an?1 ? an ? 3 ,所以 an?1 ? an ? 3 。所以数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ?60 公差为 3 的等差数列。则 an ? ?60 ? 3? n ?1? ? 3n ? 63 ,令 an ? 3n ? 63 ? 0 得 n ? 21 。所以数列 前 20 项 为 负 第 21 项 为 0 从 弟 22 项 起 为 正 。 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为

n ? n ? 1? 3n2 ? 123n Sn ? n ? ? ?60 ? ? ?3 ? 2 2





a1 ? ? S2

?

a2 ? ?

?

a1a2 ??

?

?

?

? a2 ?a 0

? ?

2

?

?

? 02 S?

3 ? 302 ? 123 ? 30 3 ? 202 ? 123 ? 20 ? 765 。故S B ? ?32 ? S 0? 2 2

2

正确。 考点:1 等差数列的定义;2 等差数列的通项公式、前 n 项和公式。 8.A 【解析】 试题分析:由等比数列的性质可知 S2 、 S4 ? S2 、 S6 ? S4 、 S8 ? S6 成等比数列,因此

? S4 ? S2 ?

2

?

S 2 ? S6 ? S 4 ? ? S6 ? S 4

? S ? S2 ? ? 4
S2

2

?16 ? 4 ? ?
4

2

? 36











S8 ? S 6

? S ? S4 ? ? 6
S4 ? S2

2

?

362 ? 108 , 12

因此 S8 ? ? S8 ? S6 ? ? ? S6 ? S4 ? ? ? S4 ? S2 ? ? S2 ? 108 ? 36 ? 12 ? 4 ? 160 ,故选 A. 考点:等比数列的性质 9. (B) 【解析】
2 试题分析:由等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 ? a11 =16 .所以 a7 =16, ?a7 ? 4 .又公比

为 2 即 a6 ? 2 ? 4,?a6 ? 2 .故选(B) 考点:1.等比数列的性质.2.等比数列的通项公式. 10.D 【解析】 试题分析:设 公 差 为 d ,由已知, ?

?(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 2d ) ? a1 ? 4d ? 1

,解得 ?

?a1 ? 1 , ?d ? 0

答案第 2 页,总 10 页

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所以, a10 ? 1 ,故选 D . 考点:等 差 数 列 、 等 比 数 列 . 11.A 【解析】 试题分析:由题意,因为 a4

? a5 ? (a1 ? a2 ) ? q3 ? q3 ? ?8 ,所以 q ? ?2 ,故选 A.

考点:1.等比数列的通项公式. 12.B 【解析】 试题分析: 观察下列数的特点,1, 1,2,3,5, 8,x,21,34,55,?,可知:1+1=2,1+2=3, 2+3=5,∴5+8=x.得到 x=13.故选:B. 考点:数列的概念及简单表示法. 13.B 【解析】解:因为 a1 ? 3, a2 ? 6, an?2 ? an?1 ? an ,按照递推关系可知数列的项为 3,6,3, -3,-6,-3, 3,?.可知形成了周期为 6 的循环,因此 a 33 =3,选 B 14.B 【解析】解:因为 a1 ? 0? an?1 ? an ? 2n 利用累加法的思想可以得到数列的通项公式,然后可以得到所求的值为选项 B. 15.B 【解析】解:因为数列

1 1 1 , , ,? 的每一项为分子为 1,分母是项数与项数加一 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

的积,因此通项公式即为 16.C

1 n(n ? 1)

【解析】因为 S7 ? S5 ? a7 ? a6 ? a4 ? a9 ? ?4 ? 4 ? 0 ,故 S5 ? S7 ,故选 C 17.B 【解析】 试题分析:由题意得 a3 ? 3a1 ? 2a2 ,即 a1q2 ? 3a1 ? 2a1q ,解得 q ? 3或q ? ?1 (舍去) ;

a2012 ? a2014 a2011 ? (q ? q3 ) 而 ? ? q ? 3. a2013 ? a2011 a2011 ? (q 2 ? 1)
考点:数列的性质、等差等比数列的简单综合. 18.C 【解析】

答案第 3 页,总 10 页

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2n ? 1 an 2an a1 ? a2 n ?1 (a1 ? a2 n ?1 ) ? 2 S 2(2n ? 1) 2n ? 1 试题分析: , ? ? ? ? 2 n ?1 ? ? bn 2bn b1 ? b2 n ?1 (b ? b ) ? 2n ? 1 T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 3n ? 1 1 2 n ?1 2
选 C. 考点:1.等差数列的性质;2.等差数列的前 n 项和公式. 19.3 【解析】 试题分析:因为 30-15=(a2-a1)+(a4-a3)+?+(a10-a9)=5d,所以 d=3,故答案为:3 . 考点:等差数列的前 n 项和. 20.B 【解析】 试题分析: S10

?

(a1 ? a10 ) ?10 ? 120 ? a1 ? a10 ? 24 2

S10 ?

(a1 ? a10 ) ?10 ? 120 ? a1 ? a10 ? 24 . 2

考点:等差数列前 n 项和. 21.D 【解析】 试题分析:设 公 差 为 d ,由已知, ?

?(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 2d ) ? a1 ? 4d ? 1

,解得 ?

?a1 ? 1 , ?d ? 0

所以, a10 ? 1 ,故选 D . 考点:等 差 数 列 、 等 比 数 列 . 22. 3n ? 2 【解析】 试题分析:这是一个等差数列,已知条件中有其公差 d ? an ? an?1 ? 3 ,首项为 a1 ? 1 ,通 项公式为 an ? 1 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ? 2 . 考点:等差数列的通项公式. 23.4 【解析】法一 设数列为{an},则 an+1-an=(n+1)(n+5) ? ? -n(n+4) ? ?

? 2 ? n+1 ?3?

? 2?n ?3?

=? ? [

? 2?n 2 2 2 (n +6n+5)-n -4n] 3 ?3?

=

2n 2 (10-n ), n ?1 3
答案第 4 页,总 10 页

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所以当 n≤3 时,an+1>an,即 a1<a2<a3<a4, 当 n≥4 时,an+1<an,因此,a4>a5>a6>?,故 a4 最大,所以 k=4. 法二 由题意得
k k ?1 ? ?2? ?2? k k ? 4 ? k ? 1 k ? 1 ? 4 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ?3? ? k k ?1 ?2? ?2? ? ? ? ? k ? 1?? k ? 1 ? 4 ? ? ? ?k ? k ? 4 ? ? ?3? ?3? ?

2 ? ?? k ? 1? ? 10, 化简得 ? 2 ? ?k ? 10.

又∵k∈N ,∴k=4. 24. 6 【 解 析 】 依 题 意 可 得 ,

*

bn ? 3 ? (n ? 1)d
d )? n



其 前

n 项 和

Tn ?

3?

3? n ( ?d 1 ) 2 d ?n ? n ( 3? 2 2

2

所以 T2n ? 2d ? n2 ? (6 ? d )n 因为数列 {bn } 是“和等比数列”

所以

T2 n 2d ? n 2 ? (6 ? d )n 4d ? n ? 12 ? 2d 12 ? 2d ? ? ? 4? 为非零常数 d d Tn d ? n ? 6 ? d d ? n ? 6 ? d 2 n ? (3 ? )n 2 2

所以 12 ? 2d ? 0 ,解得 d ? 6 25.等差 【 解 析 】 当

n ?1





a1 ? S1 ? ?1





n ?1





an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? 3n ? [2(n ?1)2 ? 3(n ?1)] ? 4n ? 5 。综上可得,an ? 4n ? 5 ,为等差
数列 26.5. 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 三 个 数 5 ? 2 6, m,5 ? 2 6 成 等 差 数 列 , 所 以

2m ? 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 ? m ? 5 .
考点:等差中项. 27. (1) an ? 2n?1 ;(2) Tn ? 【解析】 试题分析: (1)先讨论公比 q 是否为 1,由已知分析可知 q ? 1 .然后将 a1 ? a3 ? 5 , S4 ? 15

5 (n ? 1)n 4

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均转化为关于首项 a1 和公比 q 的方程,解方程组可得 a1 和 q .根据等比的通项公式求其通项. (2)根据对数的运算法则将 bn 化简为 bn ?

5 5 log 2 an ? ? n ? 1? .由等差数列的定义可证得 2 2

数列 ?bn ? 为等差数列,所以根据等差数列的前 n 项和公式求其前 n 项和. 试题解析:解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,∵ a1 ? a3 ? 5 , S4 ? 15 公比 q ? 1 ,否则与已知矛盾

∴ a1 ? a1q ? 5 , S4 ?
2

a1 ?1 ? q 4 ? 1? q

? 15

3分

解得: q ? 2 ,则 an ? 2n?1 (2)∵ bn ?

6分 9分

5 5 5 log 2 an ? ? n ? 1? , bn ? bn ?1 ? , b1 ? 0 , 2 2 2

? ?bn ? 是等差数列,

5 ((0 ? (n ? 1))?n 5 2 12 分 ? (n ? 1)n 。 bn 的前 n 项和 Tn ? 2 4 考点:1 等差数列的定义,通项公式, 前 n 项和公式;2 等比数列的前 n 项和公式.
28. (1) an ? ? 【解析】 试题分析: (1)利用数列的前 n 项和 Sn 与第 n 项 an 的关系 an = ? (2)由 bn?1 ? bn ? ? 2n ?1? ? bn?1 ? bn ? 2n ? 1 又 bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ?b4 ? b3 ? ? ?? ?bn ? bn?1 ? 可转化为等差数列前 n 项和问 题. (3)由(1) (2)可得 cn ? ?

?2 (n ? 1),
n ?1 ?2 (n ? 2).

(2) bn ? n2 ? 2n (3) Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n

? S1 ? Sn ? Sn?1

n ?1 n?2

求解.

??2 ( n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

( n ? 2).

所以, Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 根据和式的特点可考虑用错位相减法解决. 试题解析: (1)∵ S n ? 2 n , ∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) .
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2分

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∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) . 分 当 n ? 1 时, 21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 , ∴ an ? ? 分 (2)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

3

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

4

b3 ? b2 ? 3, b4 ? b3 ? 5, bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ,
以上各式相加得:

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 3? ?

? n ? 1??1 ? 2n ? 3? ?
2

? n ? 1?

2

? b1 ? ?1
?bn ? n2 ? 2n
(3)由题意得 cn ? ? 9分

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n , ∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2
n n n

= 2 ? 2 ? (n ? 2) ? 2 ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 , ∴

Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n
答案第 7 页,总 10 页



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12 分 考点:1、数列前 n 项和 Sn 与第 n 项 an 的关系;2、等差数列前 n 项和;3、错位相减法求数 列前 n 项和. 29. (1)6,16,25,25,16,6(2)an+1=an+n(n≥2,an=

1 2 1 n - n+1(n≥2) 2 2

【解析】(1)第六行的所有 6 个数分别是 6,16,25,25,16,6. (2)依题意 an+1=an+n(n≥2),a2=2,

an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+?+(an-an-1)=2+2+3+?+(n-1)=2+
所以 an= 30. (1) a2 ? 7, a3 ? 17, a4 ? 37 (2)略
n (3) S n ? 5(n ? 1) ? 2 ?

(n-2)(n+1) . 2

1 2 1 n - n+1(n≥2) 2 2

3n(n ? 1) ?5 2

【解析】本试题主要考查了数列的递推关系式的运用,求解数列的前几项,然后证明等比数 列,用定义法得到,最后运用错位相减法的思想求和。 (Ⅰ) a2 ? 7, a3 ? 17, a4 ? 37 ;------3 分 (Ⅱ)由 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) 知

a n?1 ? 3 ? 2 , -------6 分 an ? 3

所 以 数 列 {an ? 3} 是 以 5 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 。 所 以 an ? 3 ? 5 ? 2 n?1 , 故

an ? 5 ? 2 n?1 ? 3 ;-----------9 分
( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 bn ? 5n ? 2 n?1 ? 3n , 采 用 分 组 求 和 法 , 可 得

S n ? 5(n ? 1) ? 2n ?

3n(n ? 1) ? 5 -------14 分 2

31.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2,
2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n, 也适合 n ? 1 时,

∴ an ? 2n . (Ⅱ) bn ? ( )

????????6 分

1 2

an

1 ? n ? ( )n ? n , 4

答案第 8 页,总 10 页

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1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 2 1 n n(n ? 1) 4 ∴ Tn ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 4 ? 1 4 4 4 2 1? 4 1 1 n(n ? 1) ? (1 ? ( ) n ) ? ???????12 分 3 4 2
【解析】略

? 1 2 21 ? n ? n, n ? 11, ? ? 2 2 32.(1) an ? ?n ? 11(2) Tn ? ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n ? 12. ? ?2 2
【解析】 试题分析: (1)根据已知可得 a1 ? a5 ,利用等差中项可得 a1 ? a5 ? 2a3 ? 16 ,所以根据已知可求出公差, 进而求出首项,得通项公式. (2)求和时需要清楚 an 的正负,所以得分两种情况讨论. an 为正和负时分别求和. 试题解析: (1)因为 a1 , a5 是方程 x ? 16 x ? 60 ? 0 的两根,且它们是等差数列的两项,利用等差中项,
2

有 a1 ? a5 ? 2a3 ? 16 ,解得 a3 ? 8 ,所以 d ? a3 ? a2 ? ?1 ,所以 a1 ? 10 ,故根据等差数列 的通项公式可得: an ? ?n ? 11 . (2)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,所以 S n ?

n(10 ? (?n ? 11)) n 2 11n ?? ? , 2 2 2

由(1)可知,令 an ? 0 ,解得 n ? 11 ,所以该数列的前 11 项是非负数项,从 12 项起为负数项.

1 2 21 n ? n. 2 2 1 2 21 n ? 110 。 当 n ? 12 时, Tn ? ? Sn ? 2S11 ? n ? 2 2
当 n ? 11 时, Tn ? S n ? ? 综上所述,

? 1 2 21 ? n ? n, n ? 11, ? ? 2 2 Tn ? ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n ? 12. ? ?2 2
考点:等差数列通项公式,绝对值数列求和. 33. (1)数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列; (2) an ? 2n?1 ? 2n .

答案第 9 页,总 10 页

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【解析】 试题分析: (1) 要证明数列 ?bn ? 2? 是等比数列, 只须证明

bn?1 ? 2 为非零常数且 b1 ? 2 ? 0 , bn ? 2

结合已知条件,只须将 bn?1 ? 2bn ? 2 变形为 bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) 即可,最后结合所给的条件 算出首项即可解决本小问; ( 2 )先由( 1 )的结论写出数列 ?bn ? 的通项公式,从而得到

an ? an?1 ? 2n ? 2 ,应用累加法及等比数列的前 n 项和公式可求得数列 ?an ? 的通项公式.
试题解析:(1)由 bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ?

bn?1 ? 2 ?2 bn ? 2
5分

又 b1 ? 2 ? a2 ? a1 ? 4 ,? 数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列 (2)? bn ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? bn ? 2n?1 ? 2 7 分

?an ? an?1 ? 2n ? 2 ,令 n ? 1, 2,?,(n ? 1)
叠加得 an ? 2 ? (22 ? 23 ? ?? 2n ) ? 2(n ?1)

?an ? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ) ? 2n ? 2
? 2(2n ? 1) ? 2n ? 2 ? 2n ?1 ? 2n 2 ?1

11 分

13 分 .

考点:1.等比数列通项公式及其前 n 项和公式;2.由递推公式求数列的通项公式.

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