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第九届中国东南地区数学奥林匹克


2 0 1 2年第 1 1 期 

第九届中 国东南地 区数学奥林 匹克 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献标 识 码 :A   文章编号 : 1 0 0 5- 6 4 1 6 ( 2 0 1 2) 1 l 一0 0 2 5- 0 5  

第 一 天 
1 . 求 一个 三元整 数组 ( f

  ) ( 1 < Z < m< n ) ,  
m   n  

√ /   n 一 2   0 1   1   一   / n 一 2   0 广  1 2  
, 

、   压互堕 一   互匦  
2   0l 1   2   01 3   。  

使 得∑ k 、 ∑k 、 ∑ k 依次 成等比 数列 .  
( 陶平生 供 题 )   2 . 如图 1 , △A B C的 内切 圆o, 在边 A B、  
、 

( 刘桂梅 供题 )   7 . 如图 2 , 在△ A B C中 , D 为边 A C上 一  点, 且  A B D=/ C, 点 E在边 A B上 , 且B E   = D E, M 为边 C D中 点 , A Hj - D E 于点 尼 已 

B C、 C A上 的切 点 分别 为 D、 E、 , , 直 线  别与 A , 、  、 D , 交 于点  、 Ⅳ、   证明:  
DM ? KE =DN ? KF.  

分 

知A 日= 2一 , / g , A B=1 . 求  A M E的度数.  
A  

—C 三   一c  
D  } 鍪 l   1  

( 张鹏程 供题 )   3 . 对 于合 数 n , 记f ( n ) 为 其最 小 的 三个  正约数 之 和 , g ( n ) 为其 最 大 的两 个正 约 数 之  和. 求 所有 的正合 数 乃 , 使 得 g( n ) 等 于  n )   的某个 正整 数次 幂.   ( 何 忆捷 供题 )   4 . 已知 实数 a 、 b 、 c 、 d满 足 : 对任 意实 数  均有 
ac o s   +b c o s   2 x+C C O S   3 x+dc o s   4x≤ 1 .  

( 熊 斌 供题)   8 . 设 m是正整数 , n=2  一1 , 数轴上 几   个 点所 成 的集合 为 P   ={ 1 , 2 , …, 凡 } .   只 蚱蜢在 这 些 点 上 跳跃 , 每 步从 一 个  点跳 到 与 之 相邻 的点. 求 m 的最 大 值 , 使 得  对任 意 x , y∈   , 从点 跳 2   0 1 2步到点 Y的  跳法 种数 为偶数 ( 允许 中途 经过点 、 Y ) .   ( 张思汇 供题 )  


参 考 答 案 
第 一 天 

求 0十b—c+d的 最 大 值 及 此 时 实 数  a 、 b 、 c 、 d的值.   ( 李胜 宏 供 题 )  

1 . 对 f ∈ N + , 记 s   = 奎k =  
七=l   f   m  n  

. 由  

第 二 天 
5 . 如果 非 负 整 数 m 及 其 各 位 数 码 之 和  均为 6的倍 数 , 则称 m为“ 六合数” . 求 小 于  2   0 1 2 的非 负整数 中六 合数 的个 数.   ( 陶平 生 6 . 求正 整数 n的最小 值 , 使 得  供题)  

∑后 = S l , ∑k = 5   一  , ∑ k =  一 5  
依 次成等 比数列 , 则  s   ( s   一 s   ) = ( I s  一 s   )  

① 

S f ( s   + s   一 s f ) = 5 :   S f   I s 二  
2 1 ( Z +1 ) I   m  ( m +1 )   .  

中 等 数 学 

令 m+1= Z ( f +1 ) , 取Z = 3 . 则 
m =l 1 .  

D 丽 M=  

D M? 碰 : D Ⅳ ?  
.  

故S f = S 3 = 6 , S  = S l I = 6 6 .  

代 入式①得 S   = 6 6 6 , 即 
丛 
Z  

: 6 6 6  

n :3 6
. 

因此 , ( Z , m, n )=( 3 , 1 1 , 3 6 ) 是一 组满 足  条件 的解.  

3 . 解 法 1 若 n是 奇 数 , 则 1 7 , 的一 切 约  数都 是奇数. 故 由题 意知 f ( n ) 为 奇数 , g ( n )   为偶数 . 这样 , g ( 1 7 , ) 不 可 能等 于 f ( 1 1 , ) 的某 个  正整 数次幂 .   因此 , 只需考 虑 n是 偶 数 的情 形 , 此时 ,  

【 注】 满足条件的数组( z , m, 凡 ) 不是唯一  的, 例如, ( 8 , 1 1 , 1 3 ) , ( 5 , 9 , 1 4 ) , ( 2 , l 2 , 6 2 ) ,  
( 3 , 2 4 , 1 7 1 ) 等等 ( 可 以证 明 , 这 种数 组 有 无  穷多个 ) .   2 . 易知 , , 、 D、  、   四点共 圆.  
又  A / D =9 0 。一/ / A D。   ME D:   F D A =9 0 。一 / / A D.  

1 和2是 最小的两个正约数, n 和詈是n 最 
大 的两个正 约数.   设 d是 n除 1 、 2以外 的最小 正约数 .   若存在 J i } ∈ N+ 使得 g ( n )= ,   ( I I , ) , 则 
3 n  


( 1 + 2+ d )  =( 3 + d )   -d   ( o r o d   3 ) .  

由于  是 3的倍数 , 故3   I d   , 即3   I   d .  
由 d的最小性 知 d= 3 .  

则  A / D=   ME D .  

于是 , , 、 D、 E、   四点共 圆.   从而 , , 、 D、  、 E、   五点共 圆.   故  I MB=   I E B= 9 0 。 , 即A M上 B M.   同理 , , 、 D  、 Ⅳ、 F五点共 圆, 且B N上 A N .   如图 3 , 设直线 A N与 B M 交 于点 G . 则,   为△ G A B的垂 心.  

因此, ÷凡 = 6  

= 4 × 6  .  

又3 I n , 故 I >2 .   综上 , / 7 , 的所有 可能值 为  = 4   x 6   ( f ∈ N+ ) .  

解法 2 设 合数 n满足 
g ( n )= _ 厂   ( n ) (   ∈ N+ ) ,   并设 t / , 的最 小 质 因子 为 P . 则/ 7 , 的第 二 大 正 

约 数为  .  

若  的 第三 小 正约 数 为P   , 则 号∈Z .  
P  
A 
3  

此时,   n ) =1 + p+ p   一1 ( o r o d   p ) ,  

又  _ l _ A B, 则G 、 , 、 D三点共 线.   由G 、 Ⅳ、 D、 B四点共 圆知 
/ A D N=   AG B .  

+ 詈 I p ( 1 + p )   ( m o d p ) ,  
即 1   ( 凡 )= g ( n ) -0 ( m o d   p ) , 矛盾.   因此 , n的第 三小正 约数不是 P   .   从而 , 必为某 一质数 q ( q> p ) .  
易知 ,   ∈z .  
pq  

同理 ,   B D M=   A G B .   所 以, D K平 分  M D N .  

从而 从 而, ,   丽  面 :   ’ .  

① 

贝 0  n )=1 + p+ 9  1 + p ( o r o d   q ) ,  

又由 , 、 D、 E、  , , 、 D、 Ⅳ、 F分 别 四点 共  圆知 
KM ? l ( E:   ? KD :KF? KN 
KM   KF  

) = 凡 + 詈 - g ( 1 + p )   ( m   d?  
故( 1 + p )   ( / 1 , ):g ( n ) =0 - ( m o d   q )   又 q为质数 , 于是 , q l ( 1 + p ) .   从而, P<g ≤1 + p , 只有 P: 2 , q =3 .  

KN  KE 。  

② 

由式① 、 ②知 

此时, 6   = /   ( n ) = g ( n ) = ÷n .  

2 0 1 2年第 1 1 期 

2 7  
r  

解得 , l = 4× 6  ’ .  

+1,  

n=0, 1, … , 9;  

以下 同解 法 1 .   4 . 记  )= 口 c o s   +b o o s   2 x+  
C e O S   3 x+d c o s   4x .  

显然 , P   ={ 1 9一 凡 ,n = l 0 , 1 1 , …, 1 8 ;  

【 0 .  

n ≥l 9 .  

先考 虑一切 小于 2   0 0 0的六合 数a b c k .  

由  0 )= Ⅱ+ b+ C+ d ,   )= 一 Ⅱ+b— C +d ,  

若k = 0 , 则当 口 = 0时, b + c = 0 , 6 , 1 2 , 1 8 ;  
当 口=1时 , b+ C =5 , 1 1 , 1 7 .  

詈 ) = 詈 一  一 c 一 萼 ,  
贝 0   a+b —C + d  
=  

延 厂 ( O ) = ( p o + p 6 + p 1 2 + p l 8 ) +   + p l l + p l 7 )  
=1 6+1 6 =3 2.  

0 ) +  丌 ) +  詈 ) ≤ 3 .  

若k = 2 , 则当 a = 0时, b + C = 4 , 1 0 , 1 6 ;   当 口= 1时 , b + c= 3 , 9 , 1 5 .   故  2 ) =( P 4 + p l 0 + p l 6 )+( P 3 + P 9 + p 1 5 )  
:1 7 +1 8 :3 5.  

当 且 仅 当   0 ) = , ( 7 c ) =   5 丌 - ) = 1 , 即  
a=1, b+d =1 , c= 一1  

时取等 号.  

此时 , 令t :C O S  ( 一1 ≤t ≤1 ) . 则  - 厂 (  ) 一1  
=C O 8   +b e o s   2 x—C O 8   3 x+d e o s   4x 一 1  

若k = 4 , 贝 0 当Ⅱ = 0 时, b + c = 2 , 8 , 1 4 ;   当 Ⅱ=1 时, b 十c =1 , 7 , 1 3 .   故  4 ) =( P   + p 。 + p  ) +( P   + p , + p 。 , )  


1 7 +1 6=3 3 .  

当后 = 6, 8时 , 与 k= 0 , 2的情形 类似 , 有 
6 )=  0 )= 3 2 ,   8 ) =  2 ) = 3 5 .   因此 , 小于 2   0 0 0的六合 数有 

=t +( 1一 d ) ( 2 t  一1 )一( 4 £   一3 t )+  


d ( S t   一8 t   +1   —1   2 ( t 一 1 ) ( t + 1 ) ( 2 t 一 1 ) [ 2 d t 一 ( 1 一 d ) ]  

≤0  

对任意实数 t ∈[ 一 1 , 1 ] 成立.  
于是 , d> 0 , 且  =   , 即 d:   1
.  

Ao )   2 )   4 )   6 ) 顿8 ) = 1 6 7 ( 个) .   注 意到 , 2   0 0 0至 2   0 1 1中恰 有一 个 六合  数2   0 0 4 . 从而, 所 求六 合数 的个 数为 
1 6 7 +1= 1 6 8 .  

所以, 0+b —c + d的最 大值 为 3 , 且此 时 

解 法 2 对 非 负整 数 乃 , 令 S ( n ) 为 其各  位 数字 之和.  
先将 小 于 2   0 0 0的非 负 整数 中所 有 6的  倍数( 共3 3 4个 ) 配成 如下 1 6 7对 :  
( 0 , 1   9 9 8 ) , ( 6 , 1   9 9 2 ) , ( 1 2 , 1   9 8 6 ) ,   ( 9 9 6 , 1   0 0 2 ) .  


(  , c , d ) = ( 1 专, . 1 ’  
第 二 天 
5 . 解法 1 易知 , 一 个 非 负 整 数 为 六 合  数 当且仅 当其 末位 数字 是偶数 且各 位数 字之  和是 6的倍数 .   为 方便起 见 , 将  M={ 0 , 1 , …, 2   0 1 1 }   中每个 数都 写 成 四位 数 a b c d 的形 式 ( 当 不 足  四位数 时, 在 最 高 数 位 前 补 上 若 干 个 数 字  … 0’ , 使 之恰 含有 四个 数 字 ) , 并用f (  ) 表示  中末位数 字为 k的六 合数 的个 数, 其 中,   k∈ { 0 , 2, 4, 6 , 8 } .   对 n∈ N, 将 满 足  + Y=凡 , 且  Y∈ { 0 , 1 , …, 9}   的(  , Y ) 的组数 记 为 P   .  




对 上述 每对数 (  , Y ) , 设 
=口1 a 2 03 口 4, Y   bl b 2 b 3 b 4  

( 约定当  或 Y 不足四位数时, 在最高数位前补  上若 干个数字“ 0 ” , 使之恰含有 四个数字 ) . 则  l   o o o ( 0 1 十 b 1 )+l O 0 ( 0 2 +b 2 )+  
1 0 ( a , +b , )+( n   +b   )  
=   +Y = 1   99 8 .  

因为 、 Y 为偶数 , 所以, a   、 b   ≤8 .  
因此 , 0 4 +b 4 ≤1 6<1 8 , 只台 邑口 4 +b 4 = 8 .  

又由a 3 + 6 3 ≤l 8< 1 9 , 知 只能 口 3 +b 3 = 9 .   类似 地 , 0 2 +b 2 = 9 .  
最后 必有 口 1 +b 1 =1 .   故S (  )+J s ( Y )  

2 8  


中 等 数 学 

( a 1 + b 1 ) +( a 2 + b 2 ) +( a 3 + b 3 ) + ( a 4 + b 4 )  


作A N上 B D于点 N, E G ∥B D与 A C交 
于点 G . 联结 O B、 O E、 O G 、 O D、 O M.   因为 O E   j _ B D, O M上 C D, 所以,  
/ G EO =9 0 。=   G MO .  

1+ 9 +9 +8 =2 7 .  

从而, S (  ) 、 S ( Y ) 中有 且 仅有 一 个 6的  倍数( 这 是 因为 、 ) , 均 被 3整 除 , 所 以, S (  )   与S ( Y ) 均 被 3整 除 ) . 故 、 Y有且 仅 有 一 个  是六合 数.   所以, 小于 2   0 0 0的六 合数共 有 1 6 7个.   又2   0 0 0至 2   0 1 1中 恰 有 一 个 六 合 数  2   0 0 4, 则 所求 六合数 的个数 为 1 6 7+1=1 6 8 .   6 . 由已知得必有 n >2 t   0 1 3 . 此时 ,  

则 E、 G、 M、 0 四点共 圆.  

故t a n   A ME=t a n/ G O E  1 5 G
由/ O B E=   B N A= 9 0 。 ,  
A B N=   C =/ EO B.  

?  

, \ /2   0 1 2  、   2   0 l 1  
甘 n >4   0 2 3.   n -2   01 3≥ 2   O1 1   一  


二  

!  

二   !  

则△ O B E∽△ B N A .   易知 , A、 日、 J 7 、 r 、 D 四点共 圆.  
因此 ,   E D G=/ A N H .  

铮 2   0 l 1 ( n~ 2   0 l 1 )   < 2   0 1 2 ( 凡一 2   0 1 2 )  

又  A H N=1 8 0 。 一   A D N=   E G D. 故 
△ EG D∽ △ A HN.  

① 
n -2   01 1 2   01 3 一  

所以,   =   =  

=  

.  

2   0 1 3 ( n一2   0 1 3 ) >2 I   O 1 1 ( / / , 一 2   O 1 1 )  
甘 n≥ 4   0 2 4 . (  

于是 ,   =   = 2一   .   从而,   A ME=1 5   O .   解 法 2 设  A B D=   C= O r ,  D B C=   由已知得  B D E=  ,   A E D= 2 a,  
/A DE = / A DB 一/ B DE  


由式① 、 ②知 当 n ≥4   0 2 4时 ,  


/ n - 2   0 1 1 一 x / n - 2   0 1 2 < -   0 J    
二丽   丽  

(  + 卢 )一  = 卢,  

≤ √  


一 √  

A B =AE + EB =AE + EH + HD.  

当2   0 1 3 ≤n ≤4   0 2 3时 ,  

故  A B= A E+     E H+   : =   — —   —   ■ 一 十 +   c o t 。   J B: =   c o t ‘   O / +   c o t / / 5 3 . ①  l  
81 n Z  。  

/ n - 2   0 1 1 一 一 N / n - 2   0 1 2 ≥ 0 u    
/ 凡 一2   0 1 3   n一2   O 1 1  

> √  
4   0 2 4.  

一 √  

‘  

综上, 满 足条件 的正 整数 n的最 小 值 为 

如图 5 , 作E K上 A C, E L   j _B D, 垂 足 分  别为 K、  , 则 L为 B D的 中点.  

7 . 解法 1 如图 4 , △B C D的外接圆o0  
与直线 A B切于 点 .  

C  

网5  
C  

结 合正 弦定理得 
E L   DEs i n/ E D L  
一   一   一  

E l ( 一D E s i n   E D K —s i n卢 一 C D —MD ‘  

则c 。 t  :   :  
网4  

=  

一  

=c o t   A ME—c o t 卢 .  

② 

2 0 1 2年 第 1 1 期 

2 9  

由式① 、 ② 及题设 条 件知 
c 0 t   AM E : A   B

A 仃  2 _ : 2 +  .   √3  
:  


是点 2   . 证 明对任 意 i , 路径 种数都 是偶数 .   设 路径 为 


口 1,…

, a i I,


2   , 0   + l , … , 口  l , Y .  


从而 ,   A ME=1 5   O .   8 . 当 m≥1 1时 , 几= 2  一1> 2   0 1 3 .   因 为从点 1跳 2   0 1 2步 到达 点 2   0 1 3的  跳法 只有 一种 , 矛盾 , 所以 , m≤1 0 .   下 面证 明 : m=1 0满 足题 意.   对 m 用 数 学 归 纳 法 证 明 一 个 更 强 的  命题 :   对任 意 后 ≥凡=2  一1及 任 意 、 y∈   ,   从 点  跳  步 到点 Y的跳法 种数 为偶数 .   当 m =1 时, 跳法 种数 必 为 0 , 结论成 立.   设 m: z 时 结论成 立 .   对J j } ≥n= 2 ¨  一1 , 将从 点  跳 | i } 步 到 点  y的路 径 分 成 三 类 , 只要 证 明每 种 情 形 下 的  路 径种 数均 为偶 数 即可.   ( 1 ) 路径 从不 经过 点 2   .   此时 , 点  和 y位 于 点 2  的 同侧 , 由归  纳 假设 知 , 路 径 有偶数 种.   ( 2 ) 路径 经过 点 2   恰 一 次.   设第 i ( i ∈{ 0 , 1 , …, . j } } ) 步跳 到点 2   , 其  中, i = 0表示点  就是 点 2   , i :  表 示点 Y就 

将 其分 为 两 条 子 路 : 从 点  到 口   ,   共  i 一1步 ; 从点 0 … 到Y , 共  一i 一1步 (   对  i : 0或 I i } , 只有 一条 子路 , 共J j } 一1步 ) .   因为 后 ≥n:2   一1 , 若 i 一1<2   一1 , 且 
| j } 一i 一1 < 2   一1 , 所以,  
i 一1 ≤2   一2。 且  一  一1 ≤2   一2 .  

相加得 . j } ≤2 ¨  一 2, 矛 盾.   所以, i 一1 ≥2   一1 或. 1 } 一i 一1 ≥2   一1必  有 一个成 立.   由归 纳假设 , 必有 一条 子 路 的 路 径种 数  为偶 数.   由乘 法 原理 , 知第 i 步跳 到 点 2  的路 径  种 数为偶 数.   ( 3 ) 路径经 过点 2   不少 于两次.   此时, 将 第一次 与第 二 次到 点 2   之 间 的  路 径沿 点 2   作对 称 , 则 对 此类 中的路 径 进行  了两两 配对 , 必为偶 数种 路径.   由数学 归纳法 , 命题 得证.   综上 , m 的最大 值为 l 0 .   ( 陶平生 提供 )   又O A   =O B   =O C   , 则 

( 上接 第 1 6页)  
A  

DD =OE =0  F.  

.  

、 、 、 ‘ /  

、.  
\  _ ;  
 

由A O= B O,   B O D=   A O E, 知 
△  D D   △A O E .  

于是 ,   l =   2 .  

结 合  1 =   3 ,   2=   4 , 得 
1=  


2=  

3=  

4.  


, ,

2 / 

同理 ,   1 =   2 =   3=   4=   5 =   6 ,   即 0也是△  C的内心  所 以, △A B C是正 三角形.  
参考文献 :   ‘  

图2  

由/ x A B C∽ / XD E F, 得 
△ A   B   C   ∽I X   D E F .  

[ 1 ] 2 0 0 9 -2 0 1 0匈牙 利数 学 奥林 匹克 [ J ] . 中等 数学 ,  
2 0 1 1 ( 增刊2 ) .  

注意 到, A   D、 B   E、 C   F 交 于 点 0, 故 

[ 2 ]   万喜人. 三道几何竞赛题 的简证 [ J ] . 中等数学 , 2 0 1 2  
( 4 ) .  

△A   B   C   与△ D E F关 于点 0位 似. 从而 ,  
oD  OA   oE  0B  oF   0C ‘  

[ 3 ]   第二届陈省身杯全 国高中数学奥林 匹克 [ J ] . 中等 数 
学, 2 0 1 1 ( 9 ) .  


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2008第五届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

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第11 届中国东南地区数学奥林匹克 邀请函时地间:2014 年 7 月 25 日至 30 日点:浙江省富阳中学 主办单位:中国东南地区数学奥林匹克组织委员会 承办单位:浙江...