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直线与方程复习课


直线与方程复习(第一讲)

? 大邑中学高二年级数学组

熊康

考点要求
? 1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、 截距等;考查过两点的斜率公式. ? 2.求不同条件下的直线方程(点斜式、截距式及 一般式等). ? 3.本讲是解析几何的基础,复习时要掌握直线方 程的几种形式及相互转化的关系,会根据

已知条 件求直线方程. ? 4.注意熟练地画出图形,抓住图形的特征量,利 用该特征量解决问题往往能达到事半功倍.

基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1) 直线的倾斜角①定义:当直线 l 与 x 轴 相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴 正向 与 直线 l 向上的 方向之间所成的角α叫做直 线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合 时,规定它的倾斜角为 0°.
≤α<180° . ②倾斜角的范围为 0°

(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α的 正切值 叫做这 条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k= tan ? ,倾斜角是 90°的直线斜率不存在 . 函数 k ? tan?(? ?[0,? )) 的图像为: k
? 2 O ? ?

②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线 的斜率公式为
y2-y1 k= x2-x1

.

2.直线方程的常用形式 名称 点斜式 斜截式 方程
y-y1=k(x-x1)

适用范围
不含垂直于x轴 的直线 不含垂直于X轴 的直线

y=kx+b

截距式

x y + =1 a b

不含垂直于坐 标轴和过原点 的直线

Ax+By+C=0

一般式

(A2+B2≠0)

平面直角坐标 系内的直线都 适用

3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴, 方程为 x ? x1; (2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴, 方程为 y ? y1 ; (3)若 x1=x2=0, 且 y1≠y2 时, 直线即为 y 轴, 方程为 x=0 ; (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 y=0 .

4.线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x,y),则

x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? y1 ? y2 ?y ? 此公式为线段 P1P2 的中点 2 , ?
坐标公式.

5.求直线方程的一般方法:
(1)直接法:选择适当形式的直线方程,直 接求出方程中的系数。 (2)待定系数法:选择适当的直线方程设出 目标方程,构造关于系数的方程 ( 组 ) 求系 数。

基础自测 1.过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为________ . 1
解析 m-4 ∵kMN= =1,∴m=1. -2-m

2.若点 A(4,3), B(5,a), C(6,5)三点共线, 则 a 的值为______ 4 .
解析 5-3 a-3 ∵kAC= =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4

由于 A、B、C 三点共线,所以 a-3=1, 即 a=4.

3.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的 直线的方程为 x+y+1=0或4x+3y=0 .
4 解析 ①若直线过原点,则 k=-3, 4 ∴y=-3x,即 4x+3y=0. ②若直线不过原点. x y 设a+a=1,即 x+y=a. ∴a=3+(-4)=-1,∴x+y+1=0.

4.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为 3 - ,则直线 l 的方程为( A ) 4 A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0

3 解析 由 y-5=-4(x+2),得:3x+4y-14 =0,故选 A.

5.已知点 M 是直线 l : 3 x ? y ? 3 ? 0 与 x 轴的 交点,将直线 l 绕点 M 旋转 30? 后,所得的 直线方程为 x ?

0 3 ? 0 或x ? 3 y ? 3 ?。

题型分类深度剖析 题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 已知直线 l 过点 P(-1,2), 且与以 A(-2, - 3),B(3, 0)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.

解 方法一 如图所示,直线 PA 的斜率 2 ? (?3) kPA= ? 1 ? (?2) =5,

直线 PB 的斜率
0?2 1 kPB= 3 ? (?1) =- .

2

当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时,它的斜率变化范围是[5,+∞); 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时, 它的斜率 1 -∞,- 2. 的变化范围是 1 -∞,- 2 ∪[5, ∴直线 l 的斜率的取值范围是 +∞).

方法二 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程 为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0. ∵A、 B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, ∴(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)≤0, 1 即(k-5)(4k+2)≥0,∴k≥5 或 k≤-2. 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ? 1? ?-∞,- ?∪[5,+∞). 2? ?

变式训练 1 已知两点 A(3,2), B(1,0) ,过点 P(?3,4)
的直线 l 与线段 取值范围。

AB 有公共点,求直线 l 的斜率的

. 【答案】

1 [ ?1,? ] 2
本题型小结
包括垂直取两边,没有垂直取中间

题型二 例2

求直线的方程

求适合下列条件的直线方程:

(1)经过点 P(3,2), 且与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行; (2)过点 A( -1 ,-3),倾斜角是 直线 y=2x 的

1 倾斜角的 2 ;
思维启迪:选择适当的直线方程形式,把所 需要的条件求出即可.

变式训练 2 在△ABC 中,已知 A(5,-2)、 B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边 的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 MN 的方程.

解 BC

? ? 5 + x y - 2 0 0 ? (1)设 C(x0, y0), 则 AC 中点 M? ? ?, , 2 ? ? 2 ? ? 7 + x y + 3 0 0 ? 中点 N? ? ?. , 2 ? ? 2

5+x0 ∵M 在 y 轴上,∴ =0,x0=-5. 2 y0+3 ∵N 在 x 轴上,∴ =0,y0=-3,即 2 C(-5,-3). ? 5? ? (2)∵M?0,-2? ?,N(1,0). ? ? x y ∴直线 MN 的方程为 + =1. 1 5 - 2 即 5x-2y-5=0.

1.选择适当的方法,选择适当的形式 2.涉及斜率注意存在与否,涉及截距 注意是否为零

本题型小结:

题型三

直线方程的综合应用

例 3 已知直线 l 经过点 P(-5, -4),且与两坐 标轴围成的三角形面积为 5 ,求直线 l 的方 程.

注意

斜率不是距离

由题意知直线不过原点, 且与两坐标轴都相交, x y 可设直线 l 的方程为a+b=1, ∵直线 l 过点 P(-5,-4), - 5 -4 ∴ a + b =1,即 4a+5b=-ab. 1 又由已知有2|a|· |b|=5,即|ab|=10, 5 ? ? ? 4 a + 5 b =- ab , a=-2, ? ? 解 方 程 组 得 ? 或 ? ?|ab|=10 ? ?b=4
? ?a=5, ? ? ?b=-2.



y x y 故所求直线 l 的方程为 5+4=1 或5+ =1. -2 -2 即 8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0.

x

变式训练 3 直线 l 经过点 P(3,2),且与 x、y 轴 的正半轴交于 A、 B 两点, 且△AOB 的面积 最小(O 为坐标原点),求直线 l 的方程.



x y 方法一 设直线方程为 + =1 (a>0, a b 6 ,得 ab

b>0), 3 2 点 P(3,2) 代 入 得 + = 1≥2 a b ab≥24, 1 3 2 从而 S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 时等号 2 a b b 2 成立,这时 k=- =- ,从而所求直线方 a 3 程为 2x+3y-12=0.

x y 方法二 设直线方程为 + =1 (a>0,b>0), a b 3 2 2a 点 P(3,2) 代入得 + = 1 ,解得 b = a b a-3 2 1 a 9 (a>3),则 S△AOB= ab= =(a-3)+ 2 a-3 a-3 9 +6≥12, 当且仅当 a-3= 即 a=6 时等 a-3 x 号成立, 这时 b=4, 从而所求直线方程为 + 6 y =1,即 2x+3y-12=0. 4

失误与防范
1 .求直线方程时要注意判断直线斜率是否存 在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条 直线都存在斜率. 2 .根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的 范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3. 利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向 向量为(-B,A)不可记错,但同时注意方向 向量是不唯一的.

小结:
方法与技巧

1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率 y2-y1 公式: k= , 该公式与两点顺序无关, 已知两点坐标(x1≠x2) x2-x1 时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. 当 x1=x2, y1≠y2 时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° . 2.求斜率可用 k= tan α (α ≠90°),其中 α 为倾斜角,由此可 见倾斜角与斜率相互联系不可分割, 牢记: “斜率变化分两段, 90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方 程中的系数,这种方法叫待定系数法.

作业:学案上课后巩固作业

谢 谢!

规范解答 解 1 (1)当 k=0 时, 此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程为 y= .[2 2

分] (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 C D 上的点为 G (a,1),[4 分] 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 1 有 kA G ·k=-1, k=-1?a=-k. [6 分] a 故 G 点坐标为 G (-k,1), 从而折痕所在的直线与 A G 的交点坐标(线段 A G
? ? ? k 1? 的中点)为 M ?- , ?. ? 2 2? ? 1 ? k? ? 折痕所在的直线方程为 y- =k?x+ ?, 2 ? 2? 2 k 1 即 y=kx+ + . 2 2 2 k 1 1 ∴k=0 时,y= ;k≠0 时,y=kx+ + . 2 2 2

[8 分]

[10 分] [12 分]

思想与方法 13.求直线方程时,要根据斜率存在与否进行 分类讨论
试题:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上, A 点与坐标原点重合.将 矩形折叠,使 A 点落在线 DC 上.若折痕所在 直线的斜率为 k, 试写出折痕所在直线的方程.

审题视角

(1)题目已告诉直线斜率为 k, 即斜

率存在.(2)从题意上看,斜率 k 可以为 0,也 可以不为 0,所以要分类讨论.

批阅笔记

(1)求直线方程时, 要考虑对斜率

是否存在、截距相等时是否为零以及相关位 置关系进行分类讨论. (2)本题是对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨 论.易错点是忽略 k=0 的情况.


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