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常见递推数列通项公式的求法


渑池二高 2013-2014 学年上学期高二数学导学案

第二章复习课三共 4 个课时

数列复习课(3)———常见递推数列通项公式的求法
主备人:刘莉苹 组长:李英 时间:2013-9-16 教学目标: 1.通过求出数列前几项,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据特殊的递推公式求出数 列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数

列变形转化为等差数列、等比数列的方法,体验解决数列问题的基本方法 及理解运用的过程. 教学重点:处理递推关系的基本方法. 教学难点:通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成 引入新课: 由递推公式求数列的通项公式的类型: a (1) n ?1 ? an ? f (n) a (2) n ?1 ? an ? f (n) an?1 ? pan ? q( p ? 0, p ? 1) (3) (4) a n ?1 ? pan ? f ?n ? 型数列(p 为常数) (5) an? 2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 (6)递推公式为 S n 与 a n 的关系式 S n ? f (an ) 即 an 与 sn 的关系 an ? ? (7) an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)
r

? s1 (n ? 1) ? sn ? s n ?1 (n ? 2)

(8) a n ?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

(9)周期型 思考:各类型通项公式的求法?

合作探究 类型 1

问题解决

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1. 在数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2n ? 1, 求an .

1

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变式: 1. 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , an ?1 ? an ? ,求 a n . 2 2
n

?1? 2.若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的通项公式. ?2?
3.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? an ? 2 ,求 a n 2 n ?n

类型 2

a n ?1 ? f (n)a n

解法:把原递推公式转化为 例 2:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2 n , a n ?1 ? a n ,求 a n 。 3 n ?1

变式: 1. 已知 a1 ? 3 , an ?1 ? 2.已知 a1 ? 3 , a n?1

3 an ,求 a n 。 2 3n ? 1 ? an (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2
2

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2

3.在数列 {an } 中, an >0, a1 ? 2, nan ? (n ? 1)an ?1 ? an ?1an ,求 an .
2

类型 3

an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 化为等比数列求解。 例 3.已知数列 ?a n ?中, a1 ? ?1 , an ?1 ? ?2an ? 3 ,求 a n

q ,再利用换元法转 1? p

.

变式:在数列 ? an ? 中,若 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________

类型 4

a n ?1 ? pan ? f ?n ? 型数列(p 为常数)

若 f (n) 为 n 的一次函数,则 an 加上关于 n 的一次函数构成一个等比数列; 若 f (n) 为 n 的二次 函数, 则 an 加上关于 n 的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.
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若 f (n) 为 n 的指数幂形式,此类数列可变形为

?a ? a n ?1 a f ?n ? ? n ? n ?1 ,则 ? nn ? 可用累加法求出, n ?1 n p p p ?p ?

由此求得 a n . 例4 (1)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1,当n ? 2时, an ?

1 an?1 ? 2n ? 1, 求an . 2

(2)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 2

n ?1

,求 an .

变式: 1.已知数列 ?a n ?中, a1 ?

5 1 1 n?1 , an?1 ? an ? ( ) ,求 a n 。 6 3 2 2 2.已知数列 {an } , S n 表示其前 n 项和,若满足 Sn ? an ? n ? 3n ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

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类型 5 递推公式为 an? 2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法(待定系数法):先把原递推公式转化为 an ? 2 ? sa n?1 ? t (an ?1 ? sa n ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q
*

例 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ). (I)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式;

变式: 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ?

2 1 an?1 ? an ,求 a n 。 3 3

类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

(n ? 2) 或与 S n ? f ( S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 a n 进行求解。
例 6.已知数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n .

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变式: 1.

?an ? 的前 n 项和 s n ? 2n2 ? 1 ,求通项 an .
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

2.(2006,陕西,理,20 )已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an}的通项 an
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类型 7

r an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 例 7.已知数列{ a n }中, a1 ? 1, a n?1 ?

1 2 的通项公式. ? an (a ? 0) ,求数列 ?an ? a

类型 8

a n?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。
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例 8.已知数列{an}满足: a n ?

a n?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

变式:数列 {an } 中, an ?1 ?

3n ?1 ? an , a1 ? 3 ,求 {an } 的通项。 3n ?1 ? an

类型 9

周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例 9.若数列 ?a n ?满足 a n ?1

1 ? ?2 a n , ( 0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

变式。已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =
3 2





A.0

B. ? 3

C. 3

D.

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?

拓展训练 巩固提高 1.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 (n ? N ). 求数列 ? an ? 的通项公式.

1 1 * , an?1 ? an ? n (n ? N ), 求数列 ?an ? 的通项公式. 3 2 1 1 * 3.已知数列 ? an ? 中, a1 ? , an ?1 ? an ? 2 , (n ? N ), 求数列 ? an ? 的通项公式. 2 n ?n * 4.已知数列 ? an ? 中 a1 ? 3, an?1 ? 3an (n ? N ). 求数列 ? an ? 的通项公式.
2.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 5.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2 an (n ? N ), 求数列 ? an ? 的通项公式.
n

*

3 , an?1 ? 3an ? 3(n ? N * ), 求数列 ?an ? 的通项公式. 2 n * 7. 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? 3an ? 3 (n ? N ), 求数列 ? an ? 的通项公式.
6.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 8.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 , (n ? N ), 求数列 ? an ? 的通项公式.
*

9. 数列 ?a n ?中, a1 ? 2, a 2 ? 3, 且 2a n ? a n ?1 ? a n ?1 ?n ? N ? , n ? 2? ,求 a n 10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

2an ,求 an . an ? 2

2n ?1 ? an , a1 ? 2 ,求 {an } 的通项。 11.数列 {an } 中, an ?1 ? n ?1 2 ? an
12.已知下列两数列 ? an ? 的前 n 项和 sn 的公式,求 ? an ? 的通项公式。 (1) sn ? n ? 1
2

(2) sn ? 2n ? 3n
2

8


最全的递推数列求通项公式方法

0) ) 解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: ...(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn...常见递推数列求通项公式... 6页 免费 求递推数列...

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