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2016高考数学大一轮复习 8.3空间的平行关系学案 理 苏教版


学案 40

空间的平行关系

导学目标: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面、面 面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平 行关系的简单命题.

自主梳理 1.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线 a 和平面 α 的位置关系有三种:___

_____、__________、__________. (2)两个平面的位置关系有两种:________和________. 2.直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 如果平面外一条直线和这个________________平行,那么这条直线与这个平面平行. (2)性质定理: 一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就和交 线平行. 3.平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理: 如果一个平面内有________________都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (2)性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线________. 自我检测 1.下列各命题中: ①平行于同一直线的两个平面平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交; ④垂直于同一直线的两个平面平行. 不正确的命题个数是________. 2.经过平面外的两点作该平面的平行平面,可以作______个. 3.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线的位置关系 是________. 4.(2010·济南模拟)已知 α 、β 是不同的两个平面,直线 a? α ,直线 b? β ,命题 p:a 与 b 没有公共点;命题 q:α ∥β ,则 p 是 q 的________条件. 5.(2010·南京二模)在四面体 ABCD 中,M、N 分别是△ACD、△BCD 的重心,则四面体 的四个面中与 MN 平行的是________________.

探究点一 线面平行的判定 例 1 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,P、Q 分别是 对角线 AE、BD 上的点,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 CBE.

1

变式迁移 1 在四棱锥 P—ABCD 中,四边形 ABCD 是平行四边形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:MN∥平面 PAD.

探究点二 面面平行的判定 例 2 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点,求证:平面 MNP∥平面 A1BD.

变式迁移 2 已知 P 为△ABC 所在平面外一点,G1、G2、G3 分别是△PAB、△PCB、△PAC 的重心. (1)求证:平面 G1G2G3∥平面 ABC; (2)求 S△G1G2G3∶S△ABC.

探究点三 平行中的探索性问题 1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,CD∥AB,AD⊥AB,AD=DC= AB,BC⊥PC. 2 (1)求证:PA⊥BC; (2)试在线段 PB 上找一点 M,使 CM∥平面 PAD,并说明理由. 例3

变式迁移 3 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

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1.直线与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质 定理. 2.平面与平面平行的主要判定方法:(1)定义法;(2)判定定理;(3)利用结论:a⊥α , a⊥β ? α ∥β . 判定 判定 3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化:线∥线???? 性质 线∥面???? 性质 面 ∥性质判定面

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.下列命题中真命题的个数为________. ①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α ; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,直线 b? α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b? α ,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线. 2.给出下列命题,其中正确的命题是________(填序号). ①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行; ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面; ③直线 m⊥平面 α ,直线 n⊥m,则 n∥α ; ④a、b 是异面直线,则存在唯一的平面 α ,使它与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等. 3.设 l1、l2 是两条直线,α 、β 是两个平面,A 为一点,有下列四个命题,其中正确 命题的个数是________. ①若 l1? α ,l2∩α =A,则 l1 与 l2 必为异面直线; ②若 l1∥α ,l2∥l1,则 l2∥α ; ③若 l1? α ,l2? β ,l1∥β ,l2∥α ,则 α ∥β ; ④若 α ⊥β ,l1? α ,则 l1⊥β .

4. 在四面体 ABCD 中, 截面 PQMN 是正方形, 则下列命题中, 正确的为________(填序号). ①AC⊥BD;②AC∥截面 PQMN;③AC=BD;④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°. 5.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中 点,能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

3

6.(2010·大连模拟)过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的有______条. 7. 如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 3 上,则 PQ=________.

a

8.已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α 、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α 、β 分别交于 A、 C, 过点 P 的直线 n 与 α 、 β 分别交于 B、 D 且 PA=6, AC=9, PD=8, 则 BD 的长为________. 二、解答题(共 42 分) 9.(12 分) 如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证:MN∥平面 AA1C1C.

10.(14 分)(2010·湖南改编) 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中 点.在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

4

11.(16 分) (2010·济宁一模)如图,四边形 ABCD 为矩形,DA⊥平面 ABE,AE=EB=BC =2,BF⊥平面 ACE,且点 F 在 CE 上. (1)求证:AE⊥BE; (2)求三棱锥 D—AEC 的体积; (3)设点 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

学案 40

空间的平行关系 答案

自主梳理 1.(1)平行 相交 在平面内 (2)平行 相交 2.(1)平面内的一条直线 3.(1)两条 相交直线 (2)平行 自我检测 1.1 2.0 或 1 3.平行 4.必要不充分 5.面 ABC 和面 ABD 课堂活动区 例 1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行,要充分利 用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化. 证明 方法一

如图所示,作 PM∥AB 交 BE 于 M,作 QN∥AB 交 BC 于 N,连结 MN. ∵矩形 ABCD 和矩形 ABEF 全等且有公共边 AB,∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB, 又∵PM∥AB∥QN,

PM EP QN BQ PM QN = , = ,∴ = . AB EA DC BD AB DC ∴PM 綊 QN,∴四边形 PQNM 为平行四边形, ∴PQ∥MN 又 MN? 平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.
∴ 方法二

5

如图所示,连结 AQ,并延长交 BC 于 K,连结 EK, ∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ, ∴

AP DQ = .① PE BQ

DQ AQ ② BQ QK AP AQ 由①②得 = ,∴PQ∥EK. PE QK 又 PQ?平面 BCE,EK? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.
又∵AD∥BK,∴ = . 方法三

如图所示,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM∥BE,交 AB 于点 M,连结 QM. ∵PM∥BE,PM?平面 BCE, ∴PM∥平面 BCE,

AP AM = .① PE MB 又∵AP=DQ,∴PE=BQ, AP DQ ∴ = . ② PE BQ AM DQ 由①②得 = ,∴MQ∥AD, MB QB ∴MQ∥BC,又∵MQ?平面 BCE, BC? 平面 BCE,∴MQ∥平面 BCE. 又∵PM∩MQ=M,∴平面 PMQ∥平面 BCE, 又 PQ? 平面 PMQ,∴PQ∥平面 BCE.
且 变式迁移 1 证明 方法一

取 CD 中点 E,连结 NE、ME、MN. ∵M、N 分别是 AB、PC 的中点, ∴NE∥PD,ME∥AD. 又∵NE,ME?平面 PAD,PD,AD? 平面 PAD, ∴NE∥平面 PAD,ME∥平面 PAD. 又 NE∩ME=E,∴平面 MNE∥平面 PAD. 又 MN? 平面 MNE, ∴MN∥平面 PAD. 方法二 取 PD 中点 F,连结 AF、NF、NM. ∵M、N 分别为 AB、PC 的中点, 1 1 ∴NF 綊 CD,AM 綊 CD,∴AM 綊 NF. 2 2

6

∴四边形 AMNF 为平行四边形,∴MN∥AF. 又 AF? 平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. 例 2 解题导引 面面平行的常用判断方法有: (1)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么 这两个平面平行; (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; 关键是利用“线线平行”、 “线面平行”、 “面面平行”的相互转化. 证明 方法一

如图所示,连结 B1D1、B1C. ∵P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点, ∴PN∥B1D1. 又∵B1D1∥BD, ∴PN∥BD. 又 PN?面 A1BD, ∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD.又 PN∩MN=N, ∴平面 MNP∥平面 A1BD. 方法二

如图所示,连结 AC1、AC. ∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体, ∴AC⊥BD. 又 CC1⊥面 ABCD, BD? 面 ABCD, ∴CC1⊥BD,∴BD⊥面 ACC1, 又∵AC1? 面 ACC1, ∴AC1⊥BD. 同理可证 AC1⊥A1B,∴AC1⊥平面 A1BD. 同理可证 AC1⊥平面 PMN, ∴平面 PMN∥平面 A1BD. 变式迁移 2

(1)证明 如图所示,连结 PG1、PG2、PG3 并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、F, 连结 DE、EF、FD, 则有 PG1∶PD=2∶3, PG2∶PE=2∶3,∴G1G2∥DE.
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又 G1G2 不在平面 ABC 内,DE 在平面 ABC 内, ∴G1G2∥平面 ABC. 同理 G2G3∥平面 ABC. 又因为 G1G2∩G2G3=G2, ∴平面 G1G2G3∥平面 ABC. PG1 PG2 2 2 (2)解 由(1)知 = = ,∴G1G2= DE. PD PE 3 3 1 1 又 DE= AC,∴G1G2= AC. 2 3 1 1 同理 G2G3= AB,G1G3= BC. 3 3 ∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为 1∶3, ∴S△G1G2G3∶S△ABC=1∶9. 例 3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现,解答此类问题时先以特殊位 置尝试探究,找到符合要求的点后再给出严格证明.

(1)证明 连结 AC,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E. 在四边形 ABCD 中,AD⊥AB,CD∥AB,AD=DC, ∴四边形 ADCE 为正方形. ∴∠ACD=∠ACE=45°. 1 ∵AE=CD= AB,∴BE=AE=CE.∴∠BCE=45°. 2 ∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=45°+45°=90°. ∴AC⊥BC. 又∵BC⊥PC,AC? 平面 PAC,PC? 平面 PAC,AC∩PC=C, ∴BC⊥平面 PAC.∵PA? 平面 PAC,∴PA⊥BC. (2)解 当 M 为 PB 的中点时,CM∥平面 PAD.

方法一 取 AP 的中点 F,连结 CM,FM,DF. 1 则 FM 綊 AB. 2 1 ∵CD∥AB,CD= AB, 2 ∴FM 綊 CD. ∴四边形 CDFM 为平行四边形.∴CM∥DF. ∵DF? 平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD. 方法二

在四边形 ABCD 中,设 BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 Q,
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连结 PQ,CM. ∵CD∥AB, QC CD 1 ∴ = = . QB AB 2 ∴C 为 BQ 的中点. ∵M 为 BP 的中点,∴CM∥QP. ∵PQ? 平面 PAD,CM?平面 PAD, ∴CM∥平面 PAD. 方法三

取 AB 的中点 E, 连结 EM,CE,CM. 1 在四边形 ABCD 中,CD∥AB,CD= AB,E 为 AB 的中点, 2 ∴AE∥DC,且 AE=DC. ∴四边形 AECD 为平行四边形.∴CE∥DA. ∵DA? 平面 PAD,CE?平面 PAD, ∴CE∥平面 PAD. 同理,根据 E,M 分别为 BA,BP 的中点,得 EM∥平面 PAD. ∵CE? 平面 CEM,EM? 平面 CEM,CE∩EM=E, ∴平面 CEM∥平面 PAD. ∵CM? 平面 CEM,∴CM∥平面 PAD. 变式迁移 3 解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又 PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO,∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 课后练习区 1.1 2.②④ 3.0 4.①②④ 5.①③ 解析 ①∵面 AB∥面 MNP,∴AB∥面 MNP, ②过 N 作 AB 的平行线交于底面正方形的中心 O, NO?面 MNP,∴AB 与面 MNP 不平行. ③易知 AB∥MP, ∴AB∥面 MNP; ④过点 P 作 PC∥AB,∵PC?面 MNP, ∴AB 与面 MNP 不平行. 6.

6 解析 如图,EF∥E1F1∥AB, EE1∥FF1∥BB1,F1E∥A1D, E1F∥B1D,
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∴EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F 都平行于平面 ABB1A1,共 6 条. 2 2 7. a 3 解析

如图所示,连结 AC, 易知 MN∥平面 ABCD, 又∵PQ 为平面 ABCD 与平面 MNQP 的交线, ∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC, 又∵AP= , 3 ∴

a

DP DQ PQ 2 2 2 2 = = = ,∴PQ= AC= a. AD CD AC 3 3 3

24 8.24 或 5 解析 分两种情况:图(1)中,由 α ∥β 得 AB∥CD,求得 BD=24,图(2)中,同理得 24 AB∥CD,求得 BD= . 5

9.证明 设 A1C1 的中点为 F,连结 NF,FC, ∵N 为 A1B1 的中点, 1 ∴NF∥B1C1,且 NF= B1C1, 2

又由棱柱性质知 B1C1 綊 BC,(4 分) 又 M 是 BC 的中点, ∴NF 綊 MC, ∴四边形 NFCM 为平行四边形. ∴MN∥CF,(8 分) 又 CF? 平面 AA1C1C, MN?平面 AA1C1C, ∴MN∥平面 AA1C1C.(12 分) 10.解 在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE.证明如下: 如图所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连结 B1F,EG,BG,CD1,FG.因为 A1D1∥B1C1 ∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四
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边形,因此 D1C∥A1B.又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点,所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B.这 说明 A1,B,G,E 四点共面,所以 BG? 平面 A1BE.(7 分) 因为四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 都是正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点,所以 FG∥C1C ∥B1B,且 FG=C1C=B1B,因此四边形 B1BGF 是平行四边形,所以 B1F∥BG.而 B1F?平面 A1BE, BG? 平面 A1BE,故 B1F∥平面 A1BE.(14 分) 11.(1)证明 由 AD⊥平面 ABE 及 AD∥BC, 得 BC⊥平面 ABE,BC⊥AE,(2 分) 而 BF⊥平面 ACE,所以 BF⊥AE,(4 分) 又 BC∩BF=B,所以 AE⊥平面 BCE, 又 BE? 平面 BCE,故 AE⊥BE.(6 分) (2)解 在△ABE 中,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H, 则 EH⊥平面 ACD.

1 由已知及(1)得 EH= AB= 2,S△ADC=2 2. 2 1 4 故 VD—AEC=VE—ADC= ×2 2× 2= .(10 分) 3 3 (3)解 在△ABE 中,过点 M 作 MG∥AE 交 BE 于点 G,在△BEC 中过点 G 作 GN∥BC 交 EC 于点 N, CN BG MB 1 1 连结 MN,则由 = = = ,得 CN= CE. CE BE AB 3 3 由 MG∥AE,AE? 平面 ADE, MG?平面 ADE,则 MG∥平面 ADE.(12 分) 再由 GN∥BC,BC∥AD,AD? 平面 ADE,GN?平面 ADE, 得 GN∥平面 ADE,所以平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN? 平面 MGN,则 MN∥平面 ADE.(15 分) 故当点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点时, MN∥平面 ADE.(16 分)

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