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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习专题训练:1-2-2解三角形问题

时间:2015-04-22


第2讲
一、选择题

解三角形问题

1.(2014· 西安模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b asin Asin B+bcos2 A= 2a,则a= A. 2 C. 3 解析 B.2 2 D.2 3 因为 asin Asin B+bcos2 A= 2a,所以由正弦定理,得 sin Asin

Asin B+ ( ).

b 2 sin B(1-sin A)= 2sin A,即 sin B= 2sin A,所以a= 2. 答案 A

2.(2014· 益阳模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 asin A+ bsin B-csin C= 3asin B,则角 C 等于 π A.6 π C.3 解析 π B.4 5π D. 6 由正弦定理,得 a2+b2-c2= 3ab, ( ).

a2+b2-c2 3 π 所以 cos C= 2ab = 2 ,又 0<C<π,所以 C=6. 答案 A

3.(2014· 吉林省实验中学一模)在△ABC 中,sin(A+B)· sin(A-B)=sin2C,则此三 角形的形状是 A.等腰三角形 C.等边三角形 解析 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 ( ).

因为 sin(A+B)sin(A-B)=sin2 C,所以 sin (A-B)=sin C,又因为 A,B,

C 为△ABC 的内角,所以 A-B=C,所以 A=90° ,所以△ABC 为直角三角形. 答案 B

π 4.(2014· 福州模拟)在△ABC 中,BC=1,B=3,△ABC 的面积 S= 3,则 sin C
-1-

= 13 A. 13 4 C.5 解析 3 B.5 2 39 D. 13

(

).

π 1 因为在△ABC 中,BC=1,B=3,△ABC 的面积 S= 3,所以 S△ABC=2

1 3 BC×BAsin B= 3,即2×1×BA× 2 = 3,解得 BA=4.又由余弦定理,得 AC2 =BC2+BA2-2BC· BAcos B,即得 AC= 13,由正弦定理,得 2 39 得 sin C= 13 . 答案 D BA AC = ,解 sin C sin B

5.(2014· 重庆卷)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C- 1 A-B)+2,面积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下 列不等式一定成立的是 A.bc(b+c)>8 C.6≤abc≤12 解析 B.ab(a+b)>16 2 D.12≤abc≤24 ( ).

1 由 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+2,

得 2sin A· cos A+sin(C-B)· cos A+cos (C-B)· 1 sin A=sin(C-B)· cos A-cos (C-B)· sin A+2, 1 即 2sin A[cos A+cos C· cos B+sin C· sin B]=2, 1 即 2sin A[-cos (B+C)+cos B· cos C+sin C· sin B]=2,化简, 1 得 sin A· sin B· sin C=8, 8S3 1 由面积公式,得 = ,所以(abc)2=64S3∈[64,512],即 abc∈[8,16 2 ], ?abc?2 8 从而可以排除选项 C 和 D;对于选项 A:bc(b+c)>bca≥8,即 bc(b+c)>8,故 A 正确;对于选项 B:ab(a+b)>abc≥8,即 ab(a+b)>8,故 B 错误,故选

-2-

A. 答案 A

二、填空题 6.(2014· 福建卷)在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于 ________. 解析 由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A,

∴12=AB2+16-2×AB×4×cos 60° ,解得 AB=2, 1 1 ∴S△ABC=2· AB· AC· sin A=2×2×4×sin 60° =2 3. 答案 2 3

7.(2014· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c 1 =4a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________. 解析 3 ∵2sin B=3sin C,由正弦定理得 2b=3c,∴b=2c,

1 又 b-c=4a,∴a=4(b-c),∴a=2c. 9 2 2 c +c -4c2 b2+c2-a2 4 1 ∴cos A= =-4. 2bc = 3 2 2· 2c 答案 1 -4

8.(2014· 江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值 是________. 解析 ∵sin A+ 2sin B=2sin C. a+ 2b 2 ,

由正弦定理可得 a+ 2b=2c,即 c=

?a+ 2b?2 ? a2+b2-? a +b -c ? 2 ? cos C= 2ab = 2ab
2 2 2

3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab 6- 2 = ≥ = 8ab 8ab 4 , a 2 当且仅当 3a2=2b2 即b= 时等号成立. 3
-3-

∴cos C 的最小值为 答案 三、解答题 6- 2 4

6- 2 4 .

π 9.(2014· 北京卷)如图,在△ABC 中,∠B=3,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD 1 =2,cos∠ADC=7.

(1)求 sin ∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 解 1 (1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC=7,

4 3 所以 sin ∠ADC= 7 . 所以 sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin ∠B 4 3 1 1 3 3 3 = 7 ×2-7× 2 = 14 . (2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8× 14 AB· sin ∠BAD BD= = =3. sin ∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B 1 =82+52-2×8×5×2=49.所以 AC=7.
-4-

2π 10.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,B= 3 ,b= 3, 求 a+c 的范围. 解 法一 2π π 由 B= 3 ,得 A+C=3.

π π ?π ? ? ? 所以 sin A+sin C=sin A+sin?3-A?=sin A+?sin 3cos A-cos 3sin A?= ? ? ? ? 1 3 2sin A+ 2 cos A= π? π π π 2π ? sin?A+3?.又 0<A< ,所以 <A+ < . 3 3 3 3 ? ? π? 3 ? 3 ? ? 所以 2 <sin?A+3?≤1.所以 sin A+sin C∈? ,1?. ? ? 2 ? ? a c b 由正弦定理,得sin A=sin C=sin B= 3 2π=2, sin 3

所以 a+c=2sin A+2sin C=2(sin A+sin C). 所以 a+c∈( 3,2]. 法二 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos
2

2π =(a+c)2-2ac+ac=(a+c)2- 3

2 ?a+c?2 3?a+c? ?= ac≥(a+c) -? 4 ,当且仅当 a=c 时,取等号. ? 2 ?

所以(a+c)2≤4,故 a+c≤2. 又 a+c>b= 3,所以 3<a+c≤2,即 a+c∈( 3,2]. 11.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在 甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行 到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测 12 3 量,cos A=13,cos C=5.

-5-

(1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在 什么范围内? 解 12 3 (1)在△ABC 中,因为 cos A=13,cos C=5,

5 4 所以 sin A=13,sin C=5. 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 =13×5+13×5=65. AB AC 由正弦定理sin C=sin B,得 AC 1 260 4 AB=sin B· sin C= 63 ×5=1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m, 乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×13 =200(37t2-70t+50), 1 040 因 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8, 35 故当 t=37(min)时,甲、乙两游客距离最短. BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理sin A=sin B,得 BC=sin B· sin A= 63 ×13=500(m). 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min, 由题意得-3≤ v - 50 ≤3, 解得 43 ≤v≤ 14 ,
-6-

所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制 1 250 625 ? ? 在? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围内. ? ?

-7-


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