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求数列的通项公式列(教案+例题+习题)

时间:2013-04-29


三.数列的通项的求法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1. 等差数列 ?a n ? 是递增数列, n 项和为 S n , a 1 , a 3 , a 9 成等比数列,S 5 前 且
的通项公式. 练一练:已知数列 3
1 4 ,5 1 8 ,7 1 16 ,9 1 32
( ? S , ?nS? 1), ( n ?

2 ) 。 S
1 n n ?1

? a5

2

. 求数列 ?a n ?

, ? 试写出其一个通项公式:__________;

2.公式法:已知 S n (即 a 1 ?

a 2 ? ? ? a n ? f ( n ) )求 a n ,用作差法: a n ?

练一练:①已知 { a n } 的前 n 项和满足 lo g 2 ( S n ? 1) ? n ? 1 ,求 a n ; ②数列 { a n } 满足 a 1 ? 4 , S n ? S n ? 1 ?
5 3 a n ? 1 ,求 a n ;

3.作商法:已知 a 1 ?a 2 ?? ?a n

? f (1), ( n ? 1) ? ? f ( n ) 求 a n ,用作商法: a n ? ? f ( n ) 。 , (n ? 2) ? f ( n ? 1) ?

2 如数列 { a n } 中, a 1 ? 1 , 对所有的 n ? 2 都有 a 1 a 2 a 3 ? a n ? n ,则 a 3 ? a 5 ? ______



4.累加法:
若 a n ?1 ? a n ? f ( n ) 求 a n : a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a1 ) ? a 1 ( n ? 2 ) 。 如已知数列 { a n } 满足 a 1
? 1 , a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2)

,则 a n =________



5.累乘法:已知

a n ?1 an

? f ( n ) 求 a n ,用累乘法: a n ?

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

?? ?

a2 a1

? a1 ( n ? 2 ) 。

2 如已知数列 { a n } 中, a 1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n a n ,求 a n

6.已知递推关系求 a n ,用构造法(构造等差、等比数列) 。
n (1)形如 a n ? k a n ? 1 ? b 、 a n ? k a n ? 1 ? b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k

的等比数列后,再求 a n 。

① an

? k a n ?1 ? b

解法:把原递推公式转化为: a n ? 1

? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ?

q 1? p

,再利用换

元法转化为等比数列求解。 例 5. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n .

②an
得:

? k a n ?1 ? b

n

n ?1 解法: 该类型较类型 3 要复杂一些。 一般地, 要先在原递推公式两边同除以 q ,

a n ?1 q
n ?1

?

p q

?

an q
n

?

1 q

引 入 辅 助 数 列 ?b n ? ( 其 中 b n ?

an q
n

) 得 : b n ?1 ? ,

p q

bn ?

1 q

再应用

a n ? k a n ? 1 ? b 的方法解决.。

例 6. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ?

5 6

, a n ?1 ?

1 3

an ? (

1 2

)

n ?1

,求 a n 。

练一练①已知 a 1 ? 1, a n ? 3 a n ? 1 ? 2 ,求 a n ;

n ②已知 a 1 ? 1, a n ? 3 a n ? 1 ? 2 ,求 a n ;

(2)形如 a n ?

a n ?1 k a n ?1 ? b

的递推数列都可以用倒数法求通项。

例 7: a n ?

a n ?1 3 ? a n ?1 ? 1

, a1 ? 1

练一练:已知数列满足 a 1 =1, a n ? 1 ?

an ?

a n a n ? 1 ,求 a n ;

数列通项公式课后练习
1 已知数列 ?a n ? 中,满足 a 1 =6,a n ? 1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?a n ? 的通项公式。
?

2 已知数列 ?a n ? 中,a n >0,且 a 1 =3, a n ? 1 = a n +1

(n∈N )

?

3 已知数列 ?a n ? 中,a 1 =3,a n ? 1 =

1 2

a n +1(n∈N )求数列 ?a n ? 的通项公式
?

4 已知数列 ?a n ? 中,a 1 =1,a n ? 1 =3a n +2,求数列 ?a n ? 的通项公式

5 已知数列 ?a n ? 中,a n ≠0,a 1 =

1 2

,a n ? 1 =

an 1 ? 2an

(n∈N ) 求 a n

?

6 设数列 ?a n ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1 若数列 ?a n ? 1 ? a n ? 成等差数列,求 a n

7 设数列 ?a n ? 中,a 1 =2,a n ? 1 =2a n +1 求通项公式 a n

8 已知数列 ?a n ? 中,a 1 =1,2a n ? 1 = a n + a n ? 2

求 an

数列求和的方法
1、公式法: 2、倒序相加法: 例1、 已知函数 f ? x ? (1)证明: f ? x ? ?
? 2 2 ?
x x

2

f ?1 ? x ? ? 1 ;
2 2 2 2 2 2 2 2

针对训练 3、求值: S 3、错位相减法: 例 2、已知
an ? n ? 2

?

1
2

1 ? 10

?

2
2

2 ?9

?

3
2

3 ?8

??? ?

10
2

10 ? 1

n ?1

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2 3 n

针对训练 4、求和: S n ? x ? 2 x ? 3 x ? ? ? n x 4、裂项相消法:例 3、数列 ? a n ? 的通项公式为 a n
1 1? 2 1 2 ? 3 1 3 ? 2 1 n ? ?

?x
1

? 0, x ? 1?

n ( n ? 1)

,求它的前 n 项和 S n

训练 5、求数列

,

,

,? ,

n ?1

,?

的前 n 项和 S n .

5、分组求和法: 有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 4、求和: S n
? ?2 ? 3? 5
?1

? ? ?4 ? 3? 5 ? ? ?6 ? 3? 5 ? ? ? ? ?2n ? 3? 5 ?
?2 ?3 ?n 2 3 n

针对训练 6、求和: S n

? ? a ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? a ? 3 ? ? ? ? ? a ? n ?

基本练习
2 2 2 2 n 1.等比数列 { a n } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n =________________.

2.设 S n 3.
1 1? 4

? ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ( ? 1) ( 2 n ? 1)
n

,则 S n =_______________________. .

?

1 4?7

?? ?

1 (3 n ? 2 ) ? (3 n ? 1)

?

4.

1 2?4

?

1 3?5

?

1 4?6

? ... ?

1 ( n ? 1) ( n ? 3 )
2

=__________

5. 数列 1, (1 ? 6
1 2 , 3 2
2

2 ), (1 ? 2 ? 2 ), ? , (1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?1

), ?

的通项公式 a n

?

,前 n 项和 S n

?

,

5 2
3

,? ,

2n ? 1 2
n

, ? ; 的前 n 项和为_________

提高练习
1.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则 ( A. )
4016 2009
1 a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ?? ? 1 a 2008 ?

B.

2008 2009

C.

2007 1004

D.

2007 2008
n

2. 数列{an}、 n}都是公差为 1 的等差数列, {b 若其首项满足 a1+b1=5, 1>b1, a1, 1∈N*, a 且 b 则数列{ a b } 前 10 项的和等于 ( ) A.100 B.85 C.70 3.设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n,则 m 等于 A.
n(n
2

D.55 (
1 2

)

? 1)

B.

1 2

n(n+4)

C.

1 2

n(n+5)

D.

n(n+7)

3

4.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则 S17+S33+S50 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 5.设{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是 1,1,2,…,则{cn}的前 10 项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 2 2 2 2 2 2 6.100 -99 +98 -97 +…+2 -1 的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7.一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 . 2 2 2 3 2 8.若 1 +2 +…+(n-1) =an +bn +cn,则 a= ,b= ,c= . 9.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第 二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 求 c1+c2+c3+…+c2003 的值. 10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1. (1)求证数列{an+
2 3

c1 b1

?

c2 b2

?

c3 b3

?? ?

cn bn

? a n ? 1 成立.

(-1)n}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m>4,有
1 a4 ? 1 a5 ?? ? 1 am ? 7 8 .


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