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90题突破高中数学圆锥曲线


90 题突破高中数学圆锥曲线 1.如图,已知直线 L: x ? m y ? 1过椭圆C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交椭圆 a2 b2

C 于 A、B 两点,点 A、B 在直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D、E。 (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求

椭圆 C 的方程; (2) (理)连接 AE、BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定 点 N,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由。 (文)若 N (

a2 ?1 ,0) 为 x 轴上一点,求证: AN ? ? NE 2

2.如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点 A(1,0) ,M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上, 点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0 ,点 N 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G、H(点 G 在点 F、H 之间) ,且满 足 FG ? ? FH, 求? 的取值范围。 3.设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF 的直 a2 b2
y

线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线

AP ?

8 PQ 5
F

A P O Q x

l: x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.
4.设椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e= 2 2 a b

(1)椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2、A 是椭圆上的一点,且点 A 到此两焦点的距离之 和为 4,求椭圆的方程. (2)求 b 为何值时,过圆 x +y =t 上一点 M(2, 2 )处的切线交椭圆于 Q1、Q2 两点, 而且 OQ1⊥OQ2. 5.已知曲线 c 上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3 ,0)和 F2( 3 ,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 c 的方程; (2)设过(0,-2)的直线 l 与曲线 c 交于 C、D 两点,且 OC ? OD ? 0(O 为坐标原点) ,求直
2 2 2

线 l 的方程.

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 F、 b2 B、C 作⊙ P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙ P 能否相切?证明你的结论. 7.有如下结论:“圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0 y ? y0 y ? r 2 ”,类比
6.已知椭圆 x2 ? 也 有 结 论 : “ 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)上一点P( x0 , y 0 ) 处 的 切 线 方 程 为 a2 b2 x0 x y 0 y x2 ? y 2 ? 1 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线, ? ? 1 ” ,过椭圆 C : 2 2 4 a b

切点为 A、B. (1)求证:直线 AB 恒过一定点; (2)当点 M 在的纵坐标为 1 时,求△ ABM 的面积
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个 a 2 b2 公共点 A(3,1) ,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切.

8.已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

(Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围. 9.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离 为2 。 (1)求椭圆的方程; (2) 是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 , 使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

10.椭圆方程为

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,离心率 e ? 。 2 3 a b

(1)求椭圆的方程; ( 2 ) 直 线 l : y ? kx ? 2 (k ? 0) 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N 满 足

MP ? PN , AP ? MN ? 0 ,求 k 。
11.已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F, 左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B, 过 F,B,C b2

三点作

P ,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) .

(1) 若椭圆的离心率 e ? (2)若

3 ,求 P 的方程; 2

P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程.

12.已知直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C : 坐标原点.

x2 y2 O为 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 A, B , a2 b2

(Ⅰ)若 | OA |?| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆;

(Ⅱ)若 OA ? OB ,当 a ? b 且 a ? [

6 10 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2 2

x2 y2 ? 1 (a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,A 是椭圆 C 上的一点,且 13.设椭圆 C : 2 ? a 2
1 | OF1 | . AF2 ? F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF 1 的距离为 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P( ?1 , 0) ,较 y 轴于点 M,若

MQ ? 2QP ,求直线 l 的方程.
切线方程为 y ? y0 ? 2ax0 ( x ? x0 )(a 为常数). (I)求抛物线方程; (II)斜率为 k 1 的直线 PA 与抛物线的另一交点为 A,斜率为 k 2 的直线 PB 与抛物线的另 一交点为 B (A、 B 两点不同) , 且满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0, ? ? ?1),若BM ? ? MA, 求证线段 PM 的中点在 y 轴上; 14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的负半轴上,过其上一点 P( x0 , y0 )(x0 ? 0) 的

(III)在(II)的条件下,当 ? ? 1, k1 ? 0 时,若 P 的坐标为(1,-1) ,求∠ PAB 为钝角 时点 A 的纵坐标的取值范围. 15.已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,且满足|AB|=2,点 P 在线段 AB 上,且

AP ? t PB(t是不为零的常数 ). 设点 P 的轨迹方程为 c。
(1)求点 P 的轨迹方程 C; (2)若 t=2,点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点(M、N 不在坐标轴上) ,点 Q 坐标为 ( ,3), 求△QMN 的面积 S 的最大值。

3 2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点, a2 b2 x y x y ? ? 3 ? ? 已知 m ? ( 1 , 1 ) , n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 且椭圆的离心率 e ? , 短轴长为 2, O b a b a 2
16.设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由

17.如图, F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的一个焦点,A,B 是椭圆的 a2 b2
1 .点 C 在 x 轴上,BC⊥BF,B,C, 2

两个顶点,椭圆的离心率为

F 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1: x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆的方程: ( Ⅱ ) 过 点 A 的 直 线 l2 与 圆 M 交 于 PQ 两 点 , 且

MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程.
18.如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右 焦点,且 AF ? FB ? 1 OF ? 1 . (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. y 3 19.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且经过点 M (4,1) . 直线 M 2

l : y ? x ? m 交椭圆于 A, B 两不同的点.
(1)求椭圆的方程; (2)求m的取值范围; (3)若直线l不过点M , 求证 : 直线MA,MB与x轴围成一个等腰三角形.
l

O B A

x

20.设 F (1,0) ,点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 MN ? 2MP, PM ? PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), D( x3 , y3 ) 是曲线 C 上的点, 且 | AF |, | BF |, | DF | 成等差数 列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E (3,0) 时,求 B 点坐标. 21.已知点 B ? ?1,0? , C ?1,0? , P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m, 2) 在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ,且 AD ? AE , 判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. 22.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、C ?1, ? 三点.

? 3? ? 2?

(1)求椭圆 E 的方程: (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1, 0), H (1, 0) ,当 DFH 内 切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点,证明直线 AM 与直线

BN 的交点在直线 x ? 4 上.
23.过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 作一条倾斜角为 与抛物线相交于 A,B 两点。 (1)用 p 表示 A,B 之间的距离; (2)证明: ?AOB 的大小是与 p 无关的定值, 并求出这个值。 24.设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3,

? 的直线 4

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点 a 2 b2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4, 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM ,
PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 并证明你的结论。 25. 已知椭圆 C1 : 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆 2 a b 3 心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l2 垂直 l1 于点 P , 线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M , 求点 M 的轨迹 C2 的方程; (III)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的 取值范围. 26.如图所示,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F1 、 F2 为 a2 b2
/

其左、右焦点, A 为右顶点, l 为左准线,过 F1 的直线 l :

x ? my ? c 与椭圆相交于 P 、

M F1 N Q

l

P

y

Q 两点,且有: AP ? AQ ?

?

?

1 (a ? c) 2 ( c 为椭圆的半焦距) 2

O

A

x

(1)求椭圆 C 的离心率 e 的最小值;

l/

(2)若 e ? ( , ) ,求实数 m 的取值范围; (3)若 AP ? l ? M , AQ ? l ? N , 求证: M 、 N 两点的纵坐标之积为定值;

1 2 2 3

y2 ? 1?b ? ?0,1?? 的左焦点为 F ,左右顶点分别为 A、C ,上顶点为 B , b2 过 F , B, C 三点作圆 P ,其中圆心 P 的坐标为 ?m, n? (1)当 m ? n > 0 时,椭圆的离心率的取值范围 (2)直线 AB 能否和圆 P 相切?证明你的结论
27.已知椭圆 x ?
2

28.已知点 A(-1,0) ,B(1,-1)和抛物线. C : y 2 ? 4 x ,O 为坐标原点,过点 A 的动 直线 l 交抛物线 C 于 M、P,直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q,如图. (I)证明: OM ? OP 为定值; (II)若△POM 的面积为

5 ,求向量 OM 与 OP 的夹角; 2

(Ⅲ) 证明直线 PQ 恒过一个定点.

x2 y 2 ? ? 1 上 动 点 P 到 定 点 M ? m,0? , 其 中 29. 已 知 椭 圆 C : 4 2
0 ? m ? 2 的距离 PM 的最小值为 1.
(1)请确定 M 点的坐标 (2)试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 l 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条件
第 22 题

OA ? OB ? AB (O 为原点),若存在,求出 l 的方程,若不存在请说是理由。
30.已知椭圆 x ? 3 y ? 5 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆相交于 A,B 两点.
2 2

(Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 的值与 k 无关?若存在,求出 m 的 值;若不存在,请说明理由. 31.直线 AB 过抛物线 x ? 2 py? p ? 0? 的焦点 F,并与其相交于 A、B 两点。Q 是线段 AB
2

的中点,M 是抛物线的准线与 y 轴的交点.O 是坐标原点. (I)求 MA ? MB 的取值范围; (Ⅱ)过 A、 B 两点分剐作此撒物线的切线, 两切线相交于 N 点. 求证: MN ? OF ? 0, NQ ∥ OF ;

(Ⅲ ) 若 P 是不为 1 的正整数,当 MA ? MB ? 4P

2

,△ ABN 的面积的取值范围为

?5

5,20 5 时,求该抛物线的方程.
1 的椭圆 c 2 与抛物线 c1 在 x 轴上方的一个交点为 P . 2

?

32.如图,设抛物线 c1 :y 2 ? 4mx ( m ? 0 )的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 、 F2 为 焦点,离心率 e ?

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求椭圆的方程及其右准线的方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,直线 l 经过椭圆 c 2 的右焦点 F2 ,与抛物线 c1 交于 A1 、 A2 , 如果以线段 A1 A2 为直径作圆,试判断点 P 与圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得 ?PF1 F2 的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实 数 m ;若不存在,请说明理由. 33. 已 知 点 A(?1,0), B(1,0) 和 动 点 P 满 足 : ?APB ? 2? , 且 存 在 正 常 数 m , 使 得

PA ? PB COS 2? ? m 。
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程。 ( 2 ) 设 直 线 l : y ? x ?1 与 曲 线 C 相 交 于 两 点 E , F , 且 与 y 轴 的 交 点 为 D 。 若

DE ? (2 ? 3)DF, 求 m 的值。
34.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 l1 : x ? 2 与 x 轴相交于点 D ,右焦点 F 到上 a2 b2

顶点的距离为 2 ,点 C (m,0) 是线段 OF 上的一个动点. (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点,使得 (CA ? CB) ? BA, 并说明理由. 35.已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a2 b2

y R P

(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

3 ,求椭圆的标准方程; 2
S

O Q

x

(2)在(1)的条件下,设过定点 M ?0,2? 的直线 l 与椭圆 C 交于不同

的两点 A、B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; ( 3 )如图,过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 相交于 a2 b2

P, S , R, Q 四点, 设原点 O 到四边形 PQSR 一边的距离为 d , 试求 d ? 1 时 a , b 满足的条件.
36.已知 i ? (1,0), c ? (0, 2), 若过定点 A(0, 2) 、以 i ? ? c ( ? ? R )为法向量的直线 l1 与 过点 B 0, ? 2 以 c ? ? i 为法向量的直线 l2 相交于动点 P .

?

?

(1)求直线 l1 和 l2 的方程; (2)求直线 l1 和 l2 的斜率之积 k1k 2 的值,并证明必存在两个定点 E , F , 使得 PE ? PF 恒为 定值; (3)在 (2) 的条件下, 若 M , N 是 l : x ? 2 2 上的两个动点, 且 EM ? FN ? 0 , 试问当 MN 取最小值时,向量 EM ? FN 与 EF 是否平行,并说明理由。 37. 已 知 点 B(0, t ) , 点 C (0, t ? 4) ( 其 中 0 ? t ? 4 ) , 直 线 PB 、 PC 都 是 圆

M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 的切线.
(Ⅰ)若 ?PBC 面积等于 6,求过点 P 的抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的方程; (Ⅱ)若点 P 在 y 轴右边,求 ?PBC 面积的最小值. 38.我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭 圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。 (1) 设 F1、 F2 是椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, 点 F1、 F2 到直线 L : 2 x ? y ? 5 ? 0 25 9

的距离分别为 d1、d2,试求 d1·d2 的值,并判断直线 L 与椭圆 M 的位置关系。 (2)设 F1、F2 是椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a2 b2

L : mx ? ny ? p ? 0 (m、n 不同时为 0)的距离分别为 d1、d2,且直线 L 与椭圆 M 相切,
试求 d1·d2 的值。 (3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。 (4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证 明) 。 39.已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的动点,直
y

线 PF 交抛物线 C 于 A, B 两点, 若点 P 的纵坐标为 m (m ? 0) , 点D为 准线 l 与 x 轴的交点. (Ⅰ)求直线 PF 的方程; (Ⅱ)求 ?DAB 的面积 S 范围; (Ⅲ)设 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,求证 ? ? ? 为定值. 40. 已 知 椭 圆 C1 :
P A D O F x

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,直线 2 a b 3 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

l

B

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F 1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F 1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l2 垂直 l1 于点 P , 线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M , 求点 M 的轨迹 C2 的方程;

(III)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的 取值范围. 41.已知以向量 v ? (1, ) 为方向向量的直线 l 过点 (0, ) ,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上. (1)求抛物线 C 的方程; (2) 设 A 、B 是抛物线 C 上的两个动点, 过 A 作平行于 x 轴的直线 m , 直线 OB 与直线 m 交于点 N ,若 OA ? OB ? p 2 ? 0 ( O 为坐标原点, A 、 B 异于点 O ) ,试求点 N 的轨迹 方程。 42.如图,设抛物线 c1 :y 2 ? 4mx ( m ? 0 )的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点为 F2 ;以 F1 、 F2 为 焦点,离心率 e ?

1 2

5 4

1 的椭圆 c 2 与抛物线 c1 在 x 轴上方的一个交点为 P . 2

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求椭圆的方程及其右准线的方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,直线 l 经过椭圆 c 2 的右焦点 F2 , 与抛物线 c1 交于 A1 、 A2 ,如果以线段 A1 A2 为直径作圆, 试判断点 P 与圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得 ?PF1 F2 的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数 m ; 若不存在,请说明理由.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 C : x 2 ? 4 3 y 的焦点重合, a2 b 2 1 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,且离心率 e ? ? 且过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交 2 于 M、N 两点.
43. 设椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理 由. (Ⅲ)若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦, MN // AB,求证:

| AB | 2 为定值. | MN |

44.设 F 是抛物线 y 2 ? 4mx(m ? 0) 的焦点,过点 M(-1,0)且以 n ? ? ? ,1? 为方向向量的直 线顺次交抛物线于 A,B 两点。 (Ⅰ)当 ? ? 2 时,若 FA 与 FB 的夹角为 (Ⅱ)若点 A,B 满足 FA ?

2? ,求抛物线的方程; 3

1 ( FM ? FB ) ,证明 m?2 为定值,并求此时△ AFB 的面积 2

45.已知点 R(?3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满

足 2PM ? ?MQ ? 0, RP ? PM ? 0 . (Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点, 且 x1 >1, y1 >0, N (1,0) , 求实数 ? , 使 AB ? ? AN ,且 AB ? 46.已知椭圆 C1 :

16 . 3

x2 y 2 ? ?( 1 a ? b ? 0) 的右焦点为 F,上顶点为 A,P 为 C 1 上任一点,MN a 2 b2 是圆 C2: x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的一条直径,若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 ? 2 的直线 l 恰
好与圆 C2 相切。 (1)已知椭圆 C1 的离心率; (2)若 PM ? PN 的最大值为 49,求椭圆 C 1 的方程. 47. 已知直线 l 与曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 交于 A,B 两点, AB 的中点为 M ,若直线 AB 和 m n
n . m

OM ( O 为坐标原点)的斜率都存在,则 k AB ? kOM ? ?

这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”. (Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理” ; (Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题: ① 过点 P(1,1) 作直线 l 与椭圆 的方程; ② 过点 P (1,1) 作直线 l ? 与有心圆锥曲线 C? : kx ? y ? 1(k ? 0) 交于 E、 F 两点,是
2 2

x2 y 2 ? ? 1 交于 A,B 两点,求 AB 的中点 M 的轨迹 W 4 2

否存在这样的直线 l ? 使点 P 为线段 EF 的中点?若存在,求直线 l ? 的方程;若不存 在,说明理由. 48.椭圆的中心为原点 O , 焦点在 y 轴上, 离心率 e ?

6 , 过 P(0,1) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 3

B 两点,且 AP ? 2 PB ,求 ?AOB 面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.
49.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 2 ,椭圆上的点到焦点的最短 2

距离为 1-e, 直线 l 与 y 轴交于点 P (0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, 且 AP
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=? PB .

(1)求椭圆方程;
2

(2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

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50.已知点 A 是抛物线 y =2px(p>0)上一点,F 为抛物线的焦点,准线 l 与 x 轴交于点 K, 已知|AK|= 2 |AF|,三角形 AFK 的面积等于 8. 2 0 0 9 0

(1)求 p 的值; (2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 l1,l2,与抛物线相交得两条弦,两条弦 的中点分别为 G,H.求|GH|的最小值. 51.已知点 R(?3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满 足 2PM ? ?MQ ? 0, RP ? PM ? 0 . (Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 为轨迹 C 上两点,且 x1 >1, y1 >0, N (1,0) ,求实数 ? , 使 AB ? ? AN ,且 AB ?

16 . 3

52.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长 轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 L 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),L 交椭圆于 A、 B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3) 求证直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三 角形。 53.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到右焦点 a2 b2

F 的最小距离是 2 ? 1 , F 到上顶点的距离为 2 ,点 C (m,0) 是线段 OF 上的一个动点. (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, 使得 (CA ? CB) ? BA,并说明理由. 54. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的上、下焦点分别为 M 、N ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 12 16 | MN | ? | MP | ?MN ? NP ? 0 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 A(3, ?2) 作曲线 C2 的两条切线,切点分别为 H、I ,求直线 HI 的方程: (3)在直线 l : x ? y ? 0 上否存在点 Q ,过该点作曲线 C 的两条切线,切点分别为
B、C ,使得 | QB ? QC |?| QB ? QC | ,若存在,求出该点的坐标;若不存在,试说明理由。

2 55.已知抛物线 x ? 8 y 的焦点为 F , A、B 是抛物线上的两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0), 过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M

(1)证明线段 FM 被 x 轴平分 (3)求证 | FM | ?| FA | ? | FB |
2

(2)计算 FM ? AB 的值

56.已知 A1 , A2 , B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的顶点(如图),直线 l 与椭圆交于异于顶点 a 2 b2
y B P

的 P, Q 两点,且 l // A2 B .若椭圆的离心率



3 ,且 | A2 B |? 5 . 2

A 1
O

A2
Q
l

x

(1)求此椭圆的方程;

(2)设直线 A 1P 和直线 BQ 的倾斜角分别为 ? ,? .试判断 ? ? ? 是否为定值?若是, 求出此定值;若不是,说明理由. 57.已知椭圆 E 中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、C ?1, ? 三 点. 过椭圆的右焦点 F 任做一与坐标轴不平行的直线 l 与椭圆 E 交于 M 、N 两点,AM 与 BN 所在的直线交于点 Q. (1)求椭圆 E 的方程: (2)是否存在这样直线 m ,使得点 Q 恒在直线 m 上移动? 若存在,求出直线 m 方程,若不存在,请说明理由. A O N F M B Q

? 3? ? 2?

x2 y 2 58.已知方向向量为 v ? (1, 3) 的直线 l 过点 (0, ?2 3) 和椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
的右焦点,且椭圆的离心率为 (I)求椭圆 C 的方程; (II)若已知点 D (3, 0) ,点 M , N 是椭圆 C 上不重合的两点,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围. 59.已知 F1,F2 是椭圆 C:

6 . 3

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,点 P (? 2,1) 在椭圆上, a 2 b2

线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 PM ? F2 M ? 0 。 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)椭圆 C 上任一动点 M ( x0 , y0 ) 关于直线 y=2x 的对称点为 M1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取 值范围。

60.已知 A, B, C 均在椭圆 M :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 上,直线 AB 、 AC 分别过椭圆的左右焦 2 a
2

9 AF1 ? AF2 ? AF1 . 点 F 1 、 F 2 ,当 AC ? F 1F 2 ? 0 时,有
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 M 上的任一点,EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任一条直径, 求 PE ? PF
2

的最大值. 61.已知离心率为

4 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短 5

轴为虚轴,且焦距为 2 34 。 (I)求椭圆及双曲线的方程; (Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为 A、 B ,在第二象限内取双曲线上一点 P ,连结 BP 交椭 圆于点 M ,连结 PA 并延长交椭圆于点 N ,若 BM ? MP 。求四边形 ANBM 的面积。 62.已知椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0, 3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B. 4

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 N,且 A 是 MN 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ) 设 P 为椭圆上一点, 且 OA ? OB ? ? OP (O 为坐标原点). 求当 | AB |? 3 时, 实 数 ? 的取值范围. 63.已知椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0, 1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B. 4
1 2

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值. 64.已知 F1 , F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,直线 l 1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴, 3 2

动直线 l 2 垂直于直线 l 1 ,垂足为 D ,线段 DF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M。 (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; → → (Ⅱ)过点 F1 作直线交曲线 C 于两个不同的点 P 和 Q,设F1P = ? F1Q ,若 ? ∈[2,3], → → 求F2P ? F2Q 的取值范围。

3 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点 2 是 M , 点 M 在 x 轴 上 的 射 影 恰 好 是 椭 圆 C 的 右 焦 点 F2 , 另 一 个 焦 点 是 F 1 ,且
65.已知椭圆 C 中心在原点,焦点在坐标轴上,直线 y ?

9 。 4 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 过点 (?1, 0) ,且与椭圆 C 交于 P, Q 两点,求 ?F2 PQ 的内切圆面积的最大值 MF1 ? MF2 ?
66.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)的长轴为短轴的 3倍, 直线y ? x 与椭圆交于 A、B 两点, a2 b2
3 . 2

C 为椭圆的右项点, OA ? OC ? (I)求椭圆的方程;

(II)若椭圆上两点 E、F 使 OE ? OF ? ?OA, ? ? (0,2),求?OEF 面积的最大值 67.已知椭圆 E:
y2 x2 ? ? 1 (a>b>0),以 F1 (-c,0) 为圆心, 以 a-c 为半径作圆 F1, 过点 B2 (0,b) a2 b2

作圆 F1 的两条切线,设切点为 M、N. (1)若过两个切点 M、N 的直线恰好经过点 B1(0,-b)时,求此椭圆的离心率; (2)若直线 MN 的斜率为-1,且原点到直线 MN 的距离为 4( 2 -1),求此时的椭圆方程;
3 (3)是否存在椭圆 E,使得直线 MN 的斜率 k 在区间(- 2 ,? )内取值?若存在,求出 2 3

椭圆 E 的离心率 e 的取值范围;若不存在,请说明理由. 68.已知 A,B 是抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上的两个动点, O 为坐标原点, 非零向量满足 OA ? OB ? OA ? OB . (Ⅰ)求证:直线 AB 经过一定点;

2 5 时,求 p 的值 5 2 69.如图,已知直线 l: y ? kx ? 2 与抛物线 C: x ? ?2 py( p ? 0) 交于 A,B 两点, O 为坐
(Ⅱ)当 AB 的中点到直线 y ? 2 x ? 0 的距离的最小值为 标原点, OA ? OB ? (?4, ?12) 。 (Ⅰ)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积最大值. 70.已知椭圆Γ 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点 B 恰好是 抛物线 y= 点. (Ⅰ)求椭圆Γ 的方程; (Ⅱ) 椭圆Γ 的右焦点 F 是否可以为 ?BMN 的垂心?若可以,求出直线 l 的方程;若不可 以,请说明理由.

1 2 x 的焦点,离心率等于 2 .直线 l 与椭圆Γ 交于 M , N 两 4 2

71.记平面内动点 M 到两条相交于原点 O 的直线 l1 , l2 的距离分别为 d1 , d2 , 研究满足下列条 件下动点 M 的轨迹方程 C . (1)已知直线 l1 , l2 的方程为: y ? ?

2 x, 2

2 (a)若 d12 ? d 2 ? 6 ,指出方程 C 所表示曲线的形状;

(b)若 d1 ? d2 ? 4 ,求方程 C 所表示的曲线所围成区域的面积; (c)若 d1d 2 ? 12 ,研究方程 C 所表示曲线的性质,写出 3 个结论.
2 (2) 若 d12 ? d2 试用 a,b 表示常数 d 及直线 l1 , l2 的方程, 使得动点 M 的轨迹方程 C ? 2d 2 ,

恰为椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) . a2 b2

2 2 72. 已 知 椭 圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) a b

的离心率为

2 , 并且直线y ? x ? b 是 抛 物 线 2

1 (I)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 S (0,? ) 的动直线 L 交椭圆 C 于 A、 y 2 ? 4 x 的一条切线。 3
B 两点, 试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 T, 使得以 AB 为直径的圆恒过点 T?若存在, 求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由。 73.已知点 P (4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的一个公共点为 A(3,1) ,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切。 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 D 为直线 PF1 与圆 C 的切点,在椭圆 E 上是否存在点 Q ,使△PDQ 是以 PD 为底的 等腰三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由。 74.已知椭圆 C1 :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 , F1 , F2 分别为其左右 2 2 a b 焦点.一动圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程;
(Ⅱ) 在曲线 C 上有四个不同的点 M , N , P, Q , 满足 MF2 与 NF2 共线,PF2 与 QF2 共 线,且 PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.

1 x2 y 2 75.如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 长轴长为 4,高心率为 . 过点 (0, ?2) 的直线 l 交 2 a b 椭圆于 A, B 两点、交 x 轴于 P 点,点 A 关于 x 轴的对称点为 C , 直线 BC 交 x 轴于 Q 点。
(I)求椭圆方程; | (Ⅱ )探究: | O P |? | O Q 是否为常数?

76.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , 椭圆 C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分 a 2 b2
3 ,过点 A 且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于 2

别为左焦点 F 1 和右焦点 F2 ,直线 PQ 的斜率为 点 B , ?AF1B 的外接圆为圆 M . (1)求椭圆的离心率; (2)直线 3x ? 4 y ?

1 2 1 a ? 0 与圆 M 相交于 E , F 两点,且 ME ? MF ? ? a 2 ,求椭圆方程; 4 2

(3)设点 N (0,3) 在椭圆 C 内部,若椭圆 C 上的点到点 N 的最远距离不大于 6 2 ,求椭圆 C 的短轴长的取值范围.

y ? kx ? 2 77.已知直线 l : ( k 为常数) 过椭圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

y B

l

( a ? b ? 0 )的上顶点 B 和左焦点 F ,直线 l 被圆

x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 d .
F O x

(1)若 d ? 2 3 ,求 k 的值;

4 5 ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 5 ?y ? 0 ? 78.已知可行域 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 的外接圆 C 与 x 轴交于点 Al 、 A2 ,椭圆 Cl 以线段 ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0
(2)若 d ? A1A2 为长轴,离心率 e ?

2 2

(I)求圆 C 及椭圆 Cl 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C1 的右焦点为 F , 点 P 为圆 C 上异于 A 1、 A2 的动点, 过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x =2 2 于点 Q ,判断直线 PQ 与圆 C 的位置关系,并给出证明.

a b x2 y2 x2 y2 和椭圆 : E ? ? 1 ? 2 ? 1 满足 1 ? 1 ? m 2 2 2 2 a2 b2 a1 b1 a 2 b2 这两个椭圆相似, m 称为其相似比。 x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆方程。 (1)求经过点 (2, 6 ) ,且与椭圆 4 2 (2)设过原点的一条射线 l 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 1 两点 (其中点 A 在线段 OB 上) , 求 OA ? 的最大值和最小值. OB
79.若椭圆 E1 :

(m ? 0) ,则称

80.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最短 2

距离为 1 ? e, 直线l 与 y 轴交于 P 点(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP ? ? PB. (1)求椭圆方程; (2)若 OA ? ?OB ? 4OP, 求m 的取值范围. 81.设 x, y ? R , i , j 为直角坐标系中的单位向量,a ? xi ? ( y ? 2) j ,b ? xi ? ( y ? 2) j ,

| a | ? | b |? 8 。
(1)求动点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (2)过点 (0,3) 作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,若 OP ? OA ? OB ,是否存在直线 l 使 得 OAPB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 82.如图,中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率 e ?

3 , A、B 分别是椭圆的长轴、 2

短轴的端点,原点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

6 5 。 5

(Ⅱ)已知 E (3,0) ,设点 M、N 是椭圆上的两个动点, 满足 EM ? EN ,求 EM ? NM 的取值范围. 83. 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 A ( 0 , -1 ) 。若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3.
(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围. 2 84.已知直线 L 过抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 A,B 两点,Q 是线段 AB 的 中点,M 是抛物线的准线与 y 轴的交点,0 是坐标原点 (1) 若直线 L 与 x 轴平行,且直线与抛物线所围区域的面积为 6,求 p 的值. (2) 过 A,B 两点分别作该抛物线的切线, 两切线相交于 N 点, 求证: NQ // OF , MN ? OF (3) 若 p 是不为 1 的正整数, 当 MA? MB ? 4 p2 ,△ABN 的面积的取值范围为 5 5,20 5 时,求:该抛物线的方程.

?

?

85.已知曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y ,F 为焦点。 (1)过曲线上 C 一点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 )的切线 l 与 y 轴交于 A,试探究|AF|与|PF|之间 的关系; (2)若在(1)的条件下 P 点的横坐标 x0 ? 2 ,点 N 在 y 轴上,且|PN|等于点 P 到直线

2 y ? 1 ? 0 的距离,圆 M 能覆盖三角形 APN,当圆 M 的面积最小时,求圆 M 的方程。
86. 设椭圆 M :

x2 y2 a2 ? ? 1 ( a ? 2 2 ) 的右焦点为 , 直线 与 x 轴交于点 F l : x ? 1 8 a2 a2 ? 8

A,

O 为坐标原点) 若 OF . 1 ? 2 AF 1 ? 0 (其中
(1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径,求
2

PE ? PF 的最大值.
87.已知 F 1 、 F2 分别为椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 y a 2 b2 5 C2 : x2 ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |? . 3 · M (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程. F1
2 2 2

(Ⅱ)已知点 P(1,3) 和圆 O : x ? y ? b ,过点 P 的动 直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 上取一点

O F· 2

x

Q ,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ?QB ,( ? ? 0 且 ? ? ?1 ). 求证:点 Q 总在某定直线上.
2

88.设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) 是抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 上相异两点,且 OP ? OQ ? 0 ,直 线 QP 与 x 轴相交于 E . (1)若 Q、P 到 x 轴的距离的积为 4 ,求该抛物线方程及 ?OPQ 的面积 的最小值. (2) 在 x 轴上是否存在一点 F , 使直线 PF 与抛物线的另一交点为 R(与 点 Q 不重合) ,而直线 RQ 与 x 轴相交于 T ,且有 TR ? 3TQ ,若存在, 求出 F 点的坐标(用 p 表示) ,若不存在,说明理由. y A

第 20 题图

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的一个动点, 2 a b 弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2,当 AC 垂直于 x 轴时, 恰好有 AF1:AF2=3:1.
89.如图,A 为椭圆

2

2

F1 B

F2 C

x

(Ⅰ) 求椭圆的离心率; (Ⅱ ) 设 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C . ①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时, 求 ?1 ? ?2 的值; ②当 A 点为该椭圆上的一个动点时,试判断是

?1 ? ?2 否为定值?若是,请证明;若不是,请说明理由.

x2 y 90.已知 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 =l(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的一点, a b


2

?F1PF2 ? 900 ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列.又一椭圆的中心在原点,短轴的
5 6 。 3

一个端点到其右焦点的距离为 3 ,双曲线与该椭圆离心率之积为 (I)求椭圆的方程;

(Ⅱ )设直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值. 答案及解析 1.解: (1)易知 b ? 3 ?b 2 ? 3, 又F (1,0)

3 ,求△ AOB 面积 2

?c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4

? 椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
2

(2)? F (1,0), k ? (a ,0) 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 为矩形,由 对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且 N (

a2 ?1 ,0) 2

猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (
2

a2 ?1 ,0) 2
2

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a , y2 ), D(a , y1 ) ,当 m 变化时首先 AE 过定点 N

? x ? my ? 1 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0....8分 ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2b 2 (a 2 ? m 2b 2 ? 1) ? 0 ( a ? 1) ? y1 ? y2 又K AN ? 2 , K EN ? a ?1 1 ? a2 ? my1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 而K AN ? K EN ? 2 2 2 ?0 1 ? a a ?1 ( ? my1 ) 2 2 a2 ?1 (这是 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m ? 2 a ? m 2b 2 a 2 ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
∴KAN=KEN ∴A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线

a2 ?1 ,0) ∴AE 与 BD 相交于定点 N ( 2
(文)解: (1)易知 b ? 3 ?b 2 ? 3, 又F (1,0)

?c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4

? 椭圆C的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
2

(2)(文)? F (1,0), k ? (a ,0)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a2 , y2 )

? x ? my ? 1 即(a 2 ? b 2 m2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2b 2 (a 2 ? m2b 2 ? 1) ? 0 ( a ? 1)

又K AN ?

而K AN

? y1 ? y2 , K EN ? a ?1 1 ? a2 ? my1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 ? K EN ? ?0 1 ? a2 a2 ?1 ( ? my1 ) 2 2
2

(这是

a2 ?1 ( y1 ? y2 ) ? my1 y2 2 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m ? 2 a ? m 2b 2 a 2 ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
∴A、N、E 三点共线? AN ? ? NE ∴NP 为 AM 的垂直平分线, ∴|NA|=|NM|

∴KAN=KEN

2.解: (1)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. 又? | CN | ? | NM |? 2 2 ,

? | CN | ? | AN |? 2 2 ? 2.

∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距2c ? 2. ? a ?

2, c ? 1, b 2 ? 1.

∴曲线 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

x2 2 (2) 当直线 GH 斜率存在时, 设直线 GH 方程为 y ? kx ? 2, 代入椭圆方程 ? y ? 1, 2
1 3 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0. 由 ? ? 0得k 2 ? . 2 2 ? 4k 3 设 G( x1 , y1 ), H ( x2 , y 2 ),则x1 ? x2 ? , x1 x1 ? 1 1 ? k2 ? k2 2 2
得(

又? FH ? ? FH,

? ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y 2 ? 2)
?( x1 ? x 2 2 xx 2 ) ? x2 ? 1 2 1? ? ?

2 ? x1 ? ?x2 , ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 x2 ? ?x2

(

? 4k 2 3 ) ? , 1 1 2 2 ?k ?k 2 2 ? (1 ? ? ) 2
?k2 ? 3 , 2

整理得

16 (1 ? ? ) 2 ? 1 ? 3( 2 ? 1) 2k
1

?4 ?

16 16 ? . 3 3 ?3 2 2k
1 ? ? ? ? 1. 3

?4 ? ? ?

?

?2?

16 1 .解得 ? ? ? 3. 3 3

又? 0 ? ? ? 1,

又当直线 GH 斜率不存在,方程为 x ? 0, FG ?

1 1 FH , ? ? . 3 3

1 1 ? ? ? ? 1, 即所求 ? 的取值范围是 [ ,1) 3 3

3. 解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)

(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?

b2 c

设 P( x1 , y1 ),由AP ?

8b 2 5 8 , y1 ? b PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ) ( b) 2 13c ? 13 ?1 因为点 P 在椭圆上,所以 a2 b2 (
整理得 2b =3ac,即 2(a -c )=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=
2 2 2

1 2

⑵ 由 ⑴ 知 2b 2 ? 3ac,得 Q ( a ,0 )

b2 3 ? a; c 2



1 c 1 1 , ? ,得c ? a , 于 是 F ( - a , 0 ) 2 a 2 2

3 2

1 | a ?5| 1 1 △AQF 的外接圆圆心为 ( a, 0) , 半径 r= |FQ|=a 所以 2 解得 a=2, ∴c=1, ?a, 2 2 2
b= 3 ,

所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 ? ?1 4 2

4.(1)椭圆的方程为

(2)解: 过圆 x2 ? y 2 ? t 2 上的一点 M(2, 2 )处的切线方程为 2x+ 2 y-6=0. 令 Q1 ( x1,y1 ) , Q2 ( x2,y2 ) , 则 ? ?2 x ? 2 y ? 6 ? 0
? 2 2 2 ? ? x ? 2 y ? 2b

化为 5x -24x+36-2b =0, 由⊿>0 得: b ? 3

2

2

10 5

x1 ? x2 ?

24 36 ? 2b 2 18 ? 4b 2 , x1 x2 ? , y1 y 2 ? 2 x1 x2 ? 6( x1 ? x2 ) ? 18 ? 5 5 5
b2 ? 9 ,

由 OQ1 ? OQ2 知, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 即 b=3∈( 3 10 ,+∞) ,故 b=3 5

5. 解: ( 1 )根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中 a ? 2 , c ? 3 ,则

b ? a2 ? c2 ? 1.
所以动点 M 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,

∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ∵ y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .? ①

? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?
x1 ? x2 ?

2 2 得 1 ? 4k x ? 16kx ? 12 ? 0 .则 x1 ? x2 ?

?

?

16k , 1 ? 4k 2

12 12 16k ,代入①,得 ?1 ? k 2 ? ? ? 2k ? ?4?0. 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

即 k2 ? 4 , 解得,k ? 2 或 k ? ?2 . 所以, 直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 . 6. 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0) , (0,b) , (1,0) ,则 FC、BC 的中垂 线分别为
1? c ? x? , ? 1? c b 1 1 ? 2 , y ? ? ( x ? ) .联立方程组,解出 ? x? 2 2 b 2 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

m?n ?

1 ? c b2 ? c (b-c)>0,∴ b>c. ? ? 0 ,即 b ? bc ? b 2 ? c ? 0 ,即(1+b) 2 2b
2 1 .又 e ? 0 ,∴ 0 ? e ? . 2 2

从而 b2 ? c 2 即有 a2 ? 2c2 ,∴ e2 ?

(Ⅱ)直线 AB 与⊙P 不能相切.由 k AB ? b , k PB

b2 ? c 2 2b = b ? c . ? 1? c b (c ? 1) 0? 2 b?

b2 ? c 如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b · =-1. b (c ? 1)

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,所以直线 AB 与⊙P 不能相切.

xx 4 3 , t )(t ? R), A( x1, y1 ), B( x2 , y 2 ),则MA的方程为 1 ? y1 y ? 1 3 4 3 3 ∵点 M 在 MA 上∴ 同理可得 x1 ? ty1 ? 1 ① x2 ? ty 2 ? 1 ② 3 3 3 由①②知 AB 的方程为 x ? ty ? 1,即x ? 3 (1 ? ty) 3 易知右焦点 F( 3,0 )满足③式,故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F( 3,0 )
7.【解】 (1)设 M (

x2 ? y 2 ? 1, 化简得7 y ? 6 y ? 1 ? 0 (2)把 AB 的方程 x ? 3 (1 ? y )代入 4 4 3 | | 2 3 36 ? 28 16 3 ? ? ∴ | AB |? 1 ? 3 ? 又 M 到 AB 的距离 d ? 3 7 7 1? 3
∴△ABM 的面积 S ?

1 16 3 ? | AB | ?d ? 2 21

8. 【解】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=1. 圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5.
F1 O C Q A F2 y P

x

解得 k ? 当 k=

11 1 , 或k ? . 2 2

11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 2

36 ,不合题意,舍去. 11
当 k=

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) . 2
x2 y 2 ? ? 1. 18 2

2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为: (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x( ?, 3 y ? ) 1 ∵

, AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0, 36].x ? 3 y 的取值范围是[-6, 6]. ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].

x2 y2 9.【解】 (1)依题意,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 a b

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2

2 2 ,由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 。
2 2 2 又 ∵ b ? 2 ,∴ a ? c ? b ? 12 ,即椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 4

(2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 2) ? 12 y2 ?1 ? ? ?12 4

即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0
2 2

(*)

由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) 2 ? 144 k 2 ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3 k , ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3 ,即 tan? ? ? , 3 3
5? ? ,∴ 存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ? ,或 6 6

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6

,或 ? ?

5? ?? 。 6

10. 【 解 】( 1 ) 设 c ?

a ?b
2

2

?b ? 2 ? ,依题意得 ? c ?e ? ? a ?

a2 ? b2 6 ? a 3



?b ? 2 ? 2 2 2 ?6a ? 9a ? 9b

x2 y2 ? ? 1。 ∴ a ? 3b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2

(2) ? MP ? PN , AP ? MN ? 0

∴ AP ? MN ,且点 P 线段 MN 的中点,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 2) ? 12 即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0 (*) y2 ? ? 1 ? ?12 4
2 2 由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) ? 144k ? 0 ,显然方程(*)有两个不相等的实数

根。 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) ,

则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

∴ y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) , ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? 1 ? 3k ? 6k 6k 1 ? 3k 2
? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 3 ? k ? ?1, ∴ 2 ? 2 ? 6k 2 ? 6 , 由 MN ? AP , 得 解得:k ? ? , 6k 3
11.【解】 (1)当 e ?

3 3 时,∵ a ? 1 ,∴ c ? , 2 2
3 1 1 1 3 ? , b ? ,点 B(0, ) , F (? , 0) , C (1, 0) 4 4 2 2 2
y B(0,b)

∴ b ? a ? c ? 1?
2 2 2

设 由

P 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? r 2

P 过点 F,B,C 得 1 2 2 2 ∴ m ? ( ? n) ? r -----------------① 2

x A(-1 ,0) F(-c,0) o C(1,0)

(m ?

3 2 ) ? n 2 ? r 2 -----------------② 2

(1 ? m)2 ? n2 ? r 2 -------------------③
5 2? 3 1? 2 3 2 ,n ? ,r ? 4 4 4

由①②③联立解得

m?

∴所求的 (2)∵

P 的方程为 ( x ?

2? 3 2 1? 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 4 4 4

P 过点 F,B,C 三点,∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, 1? c 1 b FC 的垂直平分线方程为 x ? --------④ ∵BC 的中点为 ( , ) , kBC ? ?b 2 2 2 b 1 1 ∴BC 的垂直平分线方程为 y ? ? ( x ? ) -----⑤ 2 b 2
由④⑤得 x ?

1? c b2 ? c 1? c b2 ? c ,n ? ,y? ,即 m ? 2 2b 2 2b

∵P (m, n) 在直线 x ? y ? 0 上,∴ ∵1 ? b ? 0 ∴b ? c

1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 2 2b
2

2 2 由 b ? 1? c 得 b ?

1 2

∴椭圆的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 12.【解】 (Ⅰ)证明:设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? | OA |?| OB | ∴ x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
∴ x1 ? x2 ? y2 ? y1
2 2 2

2

2

2

2

即: x1 ? y1 ? x2 ? y2

2

2

2

2

2

2

2

2

? A, B 在 C 上
2



x1 y x y ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 2 a b a b
2 2

∴两式相减得: x1 ? x 2 ? ∴曲线 C 是一个圆

a2 2 2 ( y 2 ? y1 ) 2 b



a2 ? 1 即: a 2 ? b 2 b2

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,? a ? b ? 0 ∴曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 ? OA ? OB ∴

y1 y 2 ? ? ?1 即: y1 y2 ? ? x1 x2 x1 x 2

2 2 2 2 2 2 将 y ? x ? 1 代入 b x ? a y ? a b ? 0 整理得:

(b 2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ? ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x ? x ? , 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2


? A, B 在 l 上

y1 ? y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1
∴ 2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 ∴ a ? b ? 2a b ? 0
2 2 2 2

又? y1 y 2 ? ? x1 x2 ∴2 ?

a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ( ? ) ?1 ? 0 a2 ? b2 a2 ? b2
2 2 2 2 2

∴ a ? a ? c ? 2a (a ? c ) ? 0
2

∴ 2a ? 2a ? c ? 2a c ? 0
4 2 2 2 2

∴c ?
2

2a 2 (a 2 ? 1) 2a 2 ? 1

∴e ?
2

c 2 2(a 2 ? 1) 1 ? ? 1? 2 2 2 a 2a ? 1 2a ? 1

? a ?[

6 10 , ] 2 2



2a 2 ? 1 ? [2,4]

∴ 1?

1 3 ?[ , ] 2a ? 1 2 4
2

1

e ?[

2 3 , ] 2 2

13.【解】 (1)由题设知 F1 ( ? a 2 ? 2 , 0) , F2 ( a 2 ? 2 , 0) 由于 AF2 ? F1F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F1F2 ,所以点 A 的坐标为 ( a ? 2 , ?
2

2 ), a

故 AF 1 所在直线方程为 y ? ? (

1 ? ), a a ?2 a
2

x

所以坐标原点 O 到直线 AF 1 的距离为

a2 ? 2 (a ? 2 ) , a2 ?1 a 2 ? 2 ,解得 a ? 2 (a ? 2 ) ,

又 | OF1 |?

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 ? a2 ?1 3

x2 y2 ? ?1 . 所求椭圆的方程为 4 2
(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0 , k ) , 设 Q( x1 , y1 ) , 由 于 MQ ? 2QP , ∴ ( x1 , y1 ? k ) ? 2( ?1 ? x1 , ? y1 ) , 解 得

2 k x1 ? ? , y1 ? 3 3

2 k (? )2 ( )2 3 ? 3 ?1 , 又 Q 在椭圆 C 上, 得 解得 k ? ?4 , 故直线 l 的方程为 y ? 4( x ? 1) 4 2
或 y ? ?4( x ? 1) , 即 4 x ? y ? 4 ? 0 或 4 x ? y ? 4 ? 0 . 14. 【解】 (I)由题意可设抛物线的方程为 x ? ?2 py( p ? 0) ,
2

p( x0 , y0 )(x0 ? 0) 的 切 线 方 程 为 x ? y? |x ? x0 ? ? 0 ? 2ax0 , p 1 ? p ? ? . ∴抛物线的方程为 y ? ax2 (a ? 0). 2a (II)直线 PA 的方程为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) ,
∵ 过 点
2 ?y ? a x , ? ( x? 0 x ). 0 ? k 1 ?y ? y

y ? y0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) ,

? ax2 ? k1x ? k1x0 ? y0 ? 0,
同理,可得 xB ?

? xA ? x0 ?

k1 k , xA ? 1 ? x0 . a a

k2 ?k1 k2 ? ? k1 ?0 , ?k2 ? ?? k1 , Bx ? ? ? x . ? x0 . 0 a a 又 BM ? ? MA (? ? 0, ? ? ?1), ?x ? x ? xM ? xB ? ? ( xA ? xM ), xM ? A B ? ? x0 . ∴线段 PM 的中点在 y 轴上. 1? ? (III)由 ? ? 1, P(1, ?1), 可知a ? ?1. ? A(?k1 ?1, ?(k1 ? 1)2 ), B(k1 ?1, ?(k1 ?1)2 ). ? AP ? (2 ? k1, k12 ? 2k1 ), AB ? (2k1,4k1 ). ∵∠PAB 为钝角,且 P, A, B 不共线, 即 (2 ? k1 ) ? 2k1 ? (k12 ? 2k1 ) ? 4k1 ? 0. ? AP ? AB ? 0.
? k1 (2k12 ? 5k1 ? 2) ? 0. k1 ? 0, ? 2k12 ? 5k1 ? 2 ? 0. ? k1 ? ?2, 或 ? 1 ? k1 ? 0. 2 又∵点 A 的纵坐标 yA ? ?(k1 ? 1)2 , 当 ? 1 ? k1 ? 0 时, ?1 ? y A ? ? 1 . 2 4

∴当 k1 ? ?2 时, y A ? ?1 ;

∴∠PAB 为钝角时点 A 的坐标的取值范围为 (??, ?1) 15.【解】 (1)设 A(a,0), B(0, b), P( x, y)

(?1, ? 1 ). 4

? AP ? t PB, 即( x ? a, y ) ? t (? x, b ? y ) ???? 2分 ?a ? (1 ? t ) x ? x ? a ? ?tx ? ?? 则? 1 ? t ,由题意知t ? 0, ?y ? y ? t (b ? y ) ?b ? t ? 1? t2 2 ?| AB |? 2 ? a 2 ? b 2 ? 4即(1 ? t ) 2 x 2 ? ( )y ? 4 t x2 y2 ? 点P轨迹方程C为 : ? ? 1???? 4分 4 4t 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2
(2)t=2 时, C为

9x 2 9 2 ? y ?1 4 16

设M ( x1 , y1 ),则N ? (? x1 ,? y1 ),则MN ? 2 x12 ? y12 . 设直线MN的方程为y ? y1 x, ( x1 ? 0) x1

点Q到MN距离为 3 | y1 ? 3x1 | h? 2 ???? 7分 x12 ? y12 ? S ?QMN 3 | y1 ? 3x1 | 1 3 ? ? 2 x12 ? y12 ? 2 ?| y1 ? 3x1 | ????8分 2 2 x12 ? y12 9 2 y1 ? 9 x1 y1 4

2 2 ? S? QMN ? 9 x1 ?

9 x12 9 y12 9 又 ? ? 1? 9 x12 ? y12 ? 4 4 16 4 2 ? S ?QMN ? 4 ? 9 x1 y1 9 x12 9 y12 3x 3 y 9x y ? ? ?2 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 4 16 2 4 4 ? ?9 x 2 y1 ? 4????11分 而1 ? 3x 3y 1 当且仅当 1 ? 1 ,即x1 ? ? y1时, 等号成立 2 4 2 ? S ?QMN 的最大值为2 2 ????12分
16. 解: (Ⅰ ) 2b ? 2.b ? 1, e ?

c a 2 ? b2 3 ? ? ? a ? 2,c ? 3 椭圆 的方程 为 a a 2

y2 ? x2 ? 1 4
(Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0.................4分 ?y 2 ? ? x ?1 ?4 x1 ? x2 ? ?2 3k ?1 , x1 x 2 ? 2 . 2 k ?4 k ?4 .................5分

由已知 m ? n ? 0 得:

x1 x2 y1 y2 1 ? 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) 2 b a 4 ? (1 ? k2 3k 3 ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 4 4 .................6分

k2 ? 4 1 3k ?2 3k 3 ? (? 2 )? ? ? ? 0, 解得k ? ? 2 4 k ?4 4 k2 ? 4 4
(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 m ? n ? 0 得

x12 ?

y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 4
4 x12 2 ? 1 ? x1 ? , y1 ? 2 4 2

2 又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x1 ?

s?

1 1 x1 y1 ? y2 ? x1 2 y1 ? 1 2 2

所以三角形的面积为定值 (2).当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4
b2 ? 4 x1 x 2 ? 2 k ?4

x1 x 2 ?

y1 y 2 (kx ? b)(kx2 ? b) ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0代入整理得: 2b2 ? k 2 ? 4 4 4

S?

1 b 1 | b | 4k 2 ? 4b2 ? 16 AB ? | b | ( x 1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 1? k 2 2 k2 ? 4
4b 2 ? 1 所以三角形的面积为定值. 2|b|
3 , C(3c, 0) 3
且圆 M 的方程为(x-c)2+y2=4c2,

?

17. 【解】(1)F(-c, 0), B(0, 3a ), ∵kBF= 3 , kBC=圆 M 与直线 l1:x+ 3 u+3=0 相切,



1? c ? 3 ? 0 ? 3 1? 3

? 2c ,解得 c=1,∴所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2) 点 A 的坐标为(-2,0),圆 M 的方程为(x-1)2+y2=4, 过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交,设直线 l2 的方程为 y=k(x+2), ∵ MP ? MQ ? ?2 ,又 MP ? MQ ? 2 ,∴cos<MP,MQ>=

MP ? MQ MP ? MQ

??

1 2

∴∠PMQ=120°,圆心 M 到直线 l2 的距离 d=

k ? 2k 1 2 ? 1 ,∴k= ? r ? 1 ,所以 2 4 k 2 ?1

所求直线的方程为 x×2 2 y +2=0.

x2 y 2 18.【解】 (1)如图建系,设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 1 a b
又∵ AF ? FB ? 1 即 ∴a
2

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a2 ? c2
x2 ? y2 ? 1 2

?2

故椭圆方程为

( 2 ) 假 设 存 在 直 线 l 交 椭 圆 于 P, Q 两 点 , 且 F 恰 为 ?PQM 的 垂 心 , 则 设

P( x ) M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , 1, y 1 ) ,Q (x 2 ,y 2 ,∵
于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x?m 得 2 2 ?x ? 2 y ? 2


3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1)


yi ? xi ? m(i ? 1,2)



x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即

2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0
2m2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 3 3
解得 m ? ?

由韦达定理得

4 4 或 m ? 1 (舍) 经检验 m ? ? 符合条件 3 3

19. 【解】
x2 y2 3 ? 2 ? 1,因为e ? , 所以a 2 ? 4b 2 , 2 a b 2 16 1 又椭圆过点M (4,1), 所以 2 ? 2 ? 1, 解得b 2 ? 5, a 2 ? 20, a b 2 2 x y 故椭圆方程为 ? ? 1. 20 5 (1)设椭圆方程为

(2)将y ? x ? m代入

x2 y2 ? ? 1并整理得5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0. 20 5 ? ? (8m) 2 ? 20(4m2 ? 20) ? 0, 得 ? 5 ? m ? 5.

(3)设直线MA, MB斜率分别为k1和k2 , 只要证k1 ? k2 ? 0. 设A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? ? 8m 4m 2 ? 20 , x1 x2 ? . 5 5 y ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) k1 ? k2 ? 1 ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) 2(4m 2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0, 5 5 因此MA, MB与x轴所围的三角形为等腰三角形. ?
20.【解】 (1)设 N (x, y) ,则由 MN ? 2MP 得 P 为 MN 中点,所以 M ( ? x,0), P (0, ) 又 PM ? PF 得 PM ? PF ? 0 , PM ? (? x,? ), PF ? (1,? 所以 y 2 ? 4 x ( x ? 0 ) (2) 由(1) 知 F (1,0) 为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点 P0 ( x0 , y0 ) 到 F 的 距 离 等 于 其 到 准 线 的 距 离 , 即 | P0 F |? x 0 ?

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4)

y 2

y ), 2

y 2

p , 所 以 2

| AF |? x1 ?

p p p , | BF |? x 2 ? , | DF |? x3 ? , 2 2 2

根据 | AF |, | BF |, | DF | 成等差数列,得 x1 ? x3 ? 2 x2 , 直线 AD 的斜率为

y3 ? y1 y ? y1 4 ? 23 ? , 2 x3 ? x1 y1 ? y3 y3 y1 ? 4 4
y1 ? y3 ( x ? 3) , 4

所以 AD 中垂线方程为 y ? ?

又 AD 中点 ( 所以点 B(1,?2) .

x1 ? x3 y1 ? y3 x ?x , ) 在直线上,代入上式得 1 3 ? 1 ,即 x2 ? 1 , 2 2 2

21.【解】 (1)设 P( x, y)代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? x, 化简得y 2 ? 4 x.

(5 分) (6 分)

(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4x得m ? 1,?点A的坐标为 (1,2). 2 2 设直线DE的方程为x ? my ? t代入y ? 4x, 得y ? 4mt ? 4t ? 0,

设D( x1, y1 ), E( x2 , y2 )则y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4t,? ? (? 4m)2 ? 16t ? ( 0 *) (9 分)

? AD? AE ? ( x1 ?1)(x2 ?1) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? y1 ? y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 y2 y2 y2 y2 ? 1 ? 2 ? ( 1 ? 2 ) ? y1 ? y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 5 4 4 4 4 2 ( y ? y ) ( y ? y2 ) 2 ? 2 y1 ? y2 ? 1 2 ? 1 ? y1 ? y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 5 16 4 (?4t ) 2 (4m) 2 ? 2(?4t ) ? ? ? (?4t ) ? 2(4m) ? 5 ? 0化简得t 2 ? 6t ? 5 ? 4m 2 ? 8m (11 分) 16 4 2 2 2 即t ? 6t ? 9 ? 4m ? 8m ? 4即(t ? 3) ? 4(m ? 1)2 ?t ? 3 ? ?2(m ? 1) (13 分) ?t ? 2m ? 5或t ? ?2m ? 1, 代入(*)式检验均满足 ??0 ?直线DE的方程为x ? m( y ? 2) ? 5或x ? m( y ? 2) ? 1 (15 分) ?直线DE过定点(5,?2). (定点( 1 , 2)不满足题意)
22.【解】 (1)设椭圆方程为 mx2 ? my 2 ? 1(m ? 0, n ? 0), 将 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得

3 2

? 4m ? 1, 1 1 x2 y 2 ? E m ? , n ? ? ?1 解得 . ∴椭圆 的方程 ? 9 4 3 4 3 m ? n ?1 ? ? 4
(2) | FH |? 2 ,设 DFH 边上的高为 S
DFH

1 ? ? 2? h ? h 2
DFH

当点 D 在椭圆的上顶点时, h 最大为 3 ,所以 S 设

的最大值为 3 .

DFH 的 内 切 圆 的 半 径 为 R , 因 为 D F H 的 周 长 为 定 值 6 . 所 以

1 R?6 ? S D F H , 2
所以 R 的最大值为

3 3 .所以内切圆圆心的坐标为 (0, ) 3 3
x2 y 2 ? ? 1 并整理. 4 3

(3)法一:将直线 l : y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 E 的方程 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4(k ? 3) ? 0 .
2 2 2 2

设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由根系数的关系,得 x1 ? x2 ?

1 4(k 2 ? 3) , x x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

直线 AM 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2) ,它与直线 x ? 4 的交点坐标为 x1 ? 2

p(4,

6 y1 2 y2 ), 同理可求得直线 BN 与直线 x ? 4 的交点坐标为 Q(4, ). x1 ? 2 x2 ? 2

下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等:

y1 ? k ( x1 ?1), y2 ? k ( x2 ?1) ,
? 6 y1 2 y2 6k ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

? 8(k 2 ? 3) 40k 2 ? 2k ? ? ? 8? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? ?0 ? ? ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
因此结论成立. 综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x ? 4 上. 法二:直线 AM 的方程为: y ? (16 分)

y1 k ( x1 ? 1) ( x ? 2),即y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x1 ? 2 y2 k ( x2 ? 1) ( x ? 2) ,即 y ? ( x ? 2) x2 ? 2 x2 ? 2

由直线 AM 的方程为: y ?

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y ,得

x?

2( x1 x2 ? 3x1 ? x2 ) 2[2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 x2 ] ? x1 ? 3x2 ? 4 ( x1 ? x2 ) ? 2 x2 ? 4
? 4k 2 ? 6 ? 4? ? ? x2 ? 2 ? 3 ? 4k ? ?4 2 4k ? 6 ? ? x2 3 ? 4k 2

? 8(k 2 ? 3) 24k 2 ? 2? ? ? 4 x2 ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k ?? ? ? 2 8k ? 4 ? 2 x2 3 ? 4k 2

∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. 23.解: (1)焦点 F ?1,0? ,过抛物线的焦点且倾斜角为

? p 的直线方程是 y ? x ? 4 2

? y 2 ? 2 px p2 p2 2 由? ? x ? x ? 3 p , x x ? ? AB ? x A ? xB ? p ? 4 p ? x ? 3 px ? ? 0 A B A B ? p 4 4 ?y ? x ? 2 ?

( 或 AB ?

2p sin
2

?
4

? 4p )

(2) cos?AOB ?

AO ? BO ? AB 2 AO BO

2

2

2

?

x A ? y A ? x B ? y B ? ?x A ? x B ? ? ? y A ? y B ?
2 2 2 2 2

2

2 xA ? yA

?

2

2

??x

2 B

? yB

2

?

?

?x

x A xB ? y A y B
2 A

? yA

2

??x

2 B

? yB

2

?

?

2 p ?x A ? x B ? ? p 3 41 2 4 ?? 2 41 x A x B x A x B ? 2 p? x A ? x B ? ? 4 p

2x A xB ?

?

?

∴ ?AOB 的大小是与 p 无关的定值, ?AOB ? ? ? arccos3 41 41

3 ( )2 3 ( 3) 2 ) 在椭圆上, 2 ? 22 ? 1 24.[解]: (1)由于点 ( 3, 2 a =4, 2 a b x2 y 2 ? ? 1 焦点坐标分别为(-1,0) , 椭圆 C 的方程为 (1,0) 4 3
(2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y ) 把 K 的坐标代入椭圆

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? ?1 3 2 4
(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y)

M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 , ? ?1 a2 b2 a 2 b2

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 x ? x0

k PM

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = ? = x ? x0 x ? x0 x ? x0 2 a2
? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关,
∵ 直 线

故: k PM

3 c2 a 2 ? b2 1 2 25. 解 : ( Ⅰ ) ∵ e ? ,? e ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b2 2 3 a c 3

l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b 2 相切,∴
x2 y2 ? ?1 3 2

2 2

? b,? b ? 2 , b 2 ? 2

∴a ? 3
2

∵椭

圆 C1 的方程是

(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距 离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为

y 2 ? 4x
y12 y2 y2 y 2 ? y12 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) ∴ QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 , y 2 ? y1 ) 4 4 4 4 2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∵ QR ? RS ? 0 ∴ 16 16 ∵ ∴ ∴ y1 ? y2 , y1 ? 0 , 化 简 得 y 2 ? ?( y1 ? ) y1 256 2 y2 ? y12 ? 2 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y1 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y1
(Ⅲ) Q (0, 0) , 设 R( ∵ | QS |?

(

2 y2 1 2 2 2 ) 2 ? y2 ? ( y2 ? 8) 2 ? 64,又? y 2 ? 64 4 4

2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8时, | QS |min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5,??)

26.解(1)设直线 l 与椭圆相交于 P(my1 ? c, y1 ) , Q(my2 ? c, y 2 ) ,因为 A ( a,0) ;
/

故 AP ? (m y1 ? c ? a, y1 ) , AQ ? (m y2 ? c ? a, y 2 ) ,由 AP ? AQ ?

?

?

?

?

1 (a ? c) 2 得: 2

(m 2 ? 1) y1 y 2 ? (a ? c)( y1 ? y 2 ) ? (a ? c) 2 ?
将 x ? my ? c 代入

1 (a ? c) 2 2

①;

x2 y2 ? 2 ? 1 得: (a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2b 2 cmy ? b 4 ? 0 ; 2 a b

? 2b 2 cm y ? y2 ? 2 ? 2 2 a 2 ? 2(a ? c) 2 ? 1 a ? b m 2 由题意得: ? 代入①中,并化简得: m ? b2 b4 ?y y ? ? 1 2 ? a 2 ? b2m2 ?
因此, a ? 2(a ? c) ? 0 , ?
2 2

2 c 2 ;即椭圆的离心率的最小值为 1 ? ; ? 1? 2 a 2

(2)由 m ?
2

a 2 ? 2(a ? c) 2 a 2 ? 2(a ? c) 2 ? 1 ? 4e ? 2e 2 2 m ? ? 得: ; b2 a2 ? c2 1 ? e2
16 7 ? (4e ? 3) ? 6 4e ? 3
M

? 2?

16(4e ? 3) ? 2? 7 ? 6(4e ? 3) ? (4e ? 3) 2

;由于 m 是 e 的单调增函数, 因为 e ? ( , ) ,故 m ? ( , ) ,
2

2

l

P F1

y

1 2 2 3

2 7 3 5

O

N

A

x

Q

l/

所以 m 的取值范围:

(?

35 6 6 35 ,? )?( , ) 5 3 3 5

y1 a2 (3) AP 的方程为 y ? ( x ? a) ;因为 x ? ? ; c m y1 ? c ? a
故 yM ?

y1 y2 a2 a2 (? ? a) ,同理: y N ? (? ? a) ; m y1 ? c ? a c m y2 ? c ? a c y1 y 2 a2 ? a) 2 2 c m y1 y 2 ? (a ? c)m( y1 ? y 2 ) ? (a ? c) 2

所以 y M y N ? (?

??

b4 (为定值) c2

1? c b 1? 1? , y ? ? ?x ? ?, 2 2 b? 2? ?1? c b2 ? c ? 1? c b2 ? c 2 ? , ? 于是圆心坐标为 ? = > 0 ,即 b ? bc ? b ? c > 0 即 m ? n ? 2 ? 2 b 2 2 b ? ? 2 2 ?1 ? b??b ? c?> 0 所以 b > c , 于是 b 2 > c 即 a 2 > 2c ,所以 e 2 < 1 即 0 < e < 2 2 2 (2)假设相切, 则 k AB ? k PB ? ?1 ,
27.解(1)由题意 FC, BC 的中垂线方程分别为 x ?

b2 ? c b? 2 2 2b ? b ? c , k ? b ? b,? k k ? b ? c ? ?1 kPB ? AB PB AB 1? c b(c ? 1) a c ?1 0? 2 ?1 ? c2 ? c ? 1 ? c,即c2 ? 2c, c ? 0,? c ? 2 这与 0 < c <1 矛盾. 故直线 AB 不能与圆 P 相切.
28.解: (I)设点 M (



y12 y2 , y1 ), P( 2 , y 2 ),? P 、M、A 三点共线, 4 4
y1 y ?1 4
2 1

? k AM ? k DM ,即

?

y1 ? y 2 , 2 y12 y 2 ? 4 4



y1 1 ? ,? y1 y 2 ? 4 y ? 4 y1 ? y 2
2 1

2 y12 y 2 ? OM ? OP ? ? ? y1 y 2 ? 5. 4 4

(II)设∠POM=α ,则 | OM | ? | OP | ? cos? ? 5.

? S ?ROM ?

5 ,?| OM | ? | OP | ? sin ? ? 5. 由此可得 tanα =1. 2

又 ? ? (0,? ),?? ? 45?, 故向量 OM与OP 的夹角为 45?. (Ⅲ)设点 Q (
2 y3 , y 3 ),? M 、B、Q 三点共线,? k BQ ? kQM , 4

y1 ? y3 y3 ? 1 1 ,即 2 ? , 2 2 y y1 y3 y3 ? 4 y1 ? y3 ?1 ? 4 4 4 2 ? ( y3 ? 1)( y1 ? y3 ) ? y3 ? 4, 即y1 y3 ? y1 ? y3 ? 4 ? 0. 即 y3
2 3

?

11分


? y1 y 2 ? 4,即y1 ?

4 4 4 ,? ? y3 ? ? y3 ? 4 ? 0, y2 y2 y2

4( y2 ? y3 ) ? y2 y3 ? 4 ? 0.(*)
? k PQ y ? y3 4 ? 22 ? , 2 y 2 ? y3 y 2 y3 ? 4 4
2 y2 4 ? 直线PQ的方程是y ? y 2 ? (x ? ) y 2 ? y3 4

2 即 ( y ? y2 )( y2 ? y3 ) ? 4x ? y2 ,即y( y2 ? y3 ) ? y2 y3 ? 4x.

由(*)式, ? y2 y3 ? 4( y2 ? y3 ) ? 4, 代入上式,得 ( y ? 4)( y2 ? y3 ) ? 4( x ? 1). 由此可知直线 PQ 过定点 E(1,-4). 29. 解 析 : 设

p ? x, y ?





x2 y 2 ? ?1 4 2



? x2 ? y ? 2 ?1 ? ? 4? ?
2



PM

2

? x2 ? ? x2 ? 1 2 2 ? ? x ? m ? ? 2 ?1 ? ? ?2 ?1 ? ? ? ? x ? 2m ? ? 2 ? m2 由 于 0 ? m ? 2 4? ? 4? 2 ?
2

且 ?2 ? x ? 2 故 当 0 ? 2m ? 2 时 , PM

2 的最小值为 2 ? m ? 1 此时 m ? 1 ,当

2 ? 2m ? 4时,x ? 2 取得最小值为 2 ? 4m ? m2 ? 2 ? 1 解得 m ? 1,3 不合题意舍去。
综上所知当 m ? 1 是满足题意此时 M 的坐标为(1,0) 。 (2)由题意知条件 OA ? OB ? AB 等价于 OA ? OB ? 0 ,当 l 的斜率不存在时, l 与 C 的 交点为 ? 1, ?

? ? ?
2

6? ? ,此时 OA ? OB ? 0 ,设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,代入椭圆方程整理得 2 ? ?
? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 , 由于点 M 在椭圆内部故 ? ? 0 恒成立, 由 OA ? OB ? 0

?1 ? 2k ? x

2



x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即
4k 2 1 ? 2k 2
2k ?2 ?


?1 ? k ? x x
2

1 2

? k 2 ?1 ? x2 ? ? k 2 ? 0 , 据 韦 达 定 理 得

x1 ? x2 ?

x1 x2 ?
4 ? k 2?

2k 2 ? 4 1 ? 2k 2











?1 ? k ??
2

2 ?? 4k 2 得 k 2 ? ? 2k 2 ?0 ?k? 41 不合题意。综上知这样的直线

不存在。 30.解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 x 2 ? 3 y 2 ? 5 , 消去 y 整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0.

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), 则 ? 6k 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 . 3k ? 1 ?
由线段 AB 中点的横坐标是 ?

(1) (2)

1 x ? x2 3k 2 1 3 ?? 2 ? ? ,解得 k ? ? ,得 1 ,适合 (1) . 2 2 3k ? 1 2 3

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? (6m ? 1)k ? 5 3 3 ? m2 MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
2

1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m ? 14 ? 0,m ? ? 综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? , 0 ? ,使 MA ? MB 为常数.

7 4 , 此时 MA ? MB ? . 3 9

? 7 ? ? 3 ?

31. 解 :( Ⅰ )

由 条 件 得

p? ? p? ? M ? 0. ? ?.F ? 0. ? , 设 直 线 AB 的 方 程 为 2? ? 2? ?

y ? kx ?

p , A?x1 , y1 ?, B?x 2 , y 2 ? 2
2 2

p ? ? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? ?y ? kx ? 则 x ? 2 py1 ? x ? 2 py2 ? Q? ? 2 得x 2 ? 2 pkx ? p 2 ? 0 ? 由? 2 ? ? 2 ? 2 ? x ? 2 py
2 1

∴由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk ? x1 ? x2 ? ? p 2 从而有 y1 y 2 ?
2 x12 x2 p2 ? 4 4 p2

y1 ? y 2 ? k ?x1 ? x2 ? ? p ? 2 pk 2 ? p

p ?? p? ? MA ? MB ? x1 x2 ? ? y ? ?? y 2 ? ? ? p 2 k 2 ? 0 2 ?? 2? ?



MA ? MB 的取值范围是?0. ? ??
( Ⅱ ) 抛 物 线 方 程 可 化 为

y?

1 2 1 x .求导得y? ? x 2p p

? k NA ? y ? ?

x1 , p

k NB ? y ? ?

x2 p

x12 x1 x1 x12 ∴切线 NA 的方程为: y ? ? ?x ? x1 ? 即y ? x ? 2p p p 2p
切 线 NB 的 方 程 为 :

y?

x2 x2 x? 2 p 2p

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 x2 x? 1 p 2p x2 x x? p p 2
2 2

x ? x2 ? x? 1 ? 2 ? 解得 ? ? y ? x1 ? x 2 ? 2p ?

? x1 ? x 2 x1 x 2 ? ? N? ? 2 , 2p ? ? ? ?

从而可知 N 点、Q 点的横坐标相同但纵坐标不同。? NQ ∥ OF 又 由 ( Ⅰ ) 知

x1 ? x2 ? 2 pk

x1 ? x2 ? ? p 2

p? ? ? N ? pk. ? ? 2? ?



? p? M ? 0. ? ? 2?

? MN ? ? pk.0?

又 OF ? ? 0.

? ?

p? ?, 2?

? MN ? OF ? 0

(Ⅲ)由 MA ? MB ? 4 p 2 ,

又根据???知MA ? MB ? p 2 k 2

? 4 p 2 ? p 2 k 2 .而 p ? 0 ? k 2 ? 4, k ? ?2. 由于

? x1 ? x2 ? NF ? ?? pk. p ?, AB ? ?x2 ? x1 , y 2 ? y1 ? ? ?x2 ? x1 ?? ?1, 2 p ? ? ? ?x2 ? x1 ??1.k ?2 ? ?

? NF ? AB ? ?? pk, p? ? ?x2 ? x1 ??1, k ? ? ?x2 ? x1 ??? pk ? pk? ? 0 从而 NF ? AB
又 NF ?

p 2 k 2 ? p 2 ? 5 p, AB ? y1 ? y 2 ? p ? 2 pk 2 ? 2 p ? 10 p
1 1 NF ? AB ? 5 p ? 10 p ? 5 5 p 2 而 S?ABN 的取值范围是 5 5, ,20 5 2 2
而 p>0,∴1≤p≤2 又 p 是不为 1 的正整数

? S ?ABN ?

?

?

?5 5 ? 5 5 p 2 ? 20 5,1 ? p 2 ? 4
∴p=2 故抛物线的方程: x 2 ? 4 y

32.【解】∵ c1 :y 2 ? 4mx 的右焦点 F2 ? m,0?

∴椭圆的半焦距 c ? m ,又 e ? 椭圆方程为

1 , 2

∴椭圆的长半轴的长 a ? 2 m ,短半轴的长 b ? 3m . (Ⅰ)当 m ? 1 时,故椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4m 2 3m 2

x2 y2 ? ? 1, 4 3

右准线方程为: x ? 4 . (Ⅱ)依题意设直线 l 的方程为: x ? ky ? 1 , k ? R

? y2 ? 4x ?2 2 6? ? 联立 ? x 2 y 2 得点 P 的坐标为 P ? , . ?3 3 ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ?4 将 x ? ky ? 1 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4ky ? 4 ? 0 .
设 A1 ? x1 , y1 ? 、 A2 ? x2 , y2 ? ,由韦达定理得 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? ?4 . 又 PA1 ? ? x1 ? , y1 ?

? 2 6? 2 2 6? , PA2 ? ? x2 ? , y2 ? . ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? ? ? 2 4 2 6 24 PA1 ? PA2 ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 3 9 3 9 2 3
2

? ? ?

? 6? 24 ? k ? ? ? 25 2 2 ? 24k ? 24 6k ? 11 ? ?? ?? 9 9 ∵ k ? R ,于是 PA1 ? PA2 的值可能小于零,等于零,大于零。 即点 P 可在圆内,圆上或圆外.

? y 2 ? 4mx ?2 2 6 ? ? (Ⅲ)假设存在满足条件的实数 m , 由 ? x 2 解得: P ? m, . m? y2 ?3 ? 3 ? ? 1 ? 2 ? ? 3m2 ? 4m 7 2 5 6 ∴ PF2 ? m ? m ? m , PF1 ? 4m ? PF2 ? m ,又 F1F2 ? 2m ? m . 3 3 3 3 5 6 7 即 ?PF1 F2 的边长分别是 m 、 m 、 m . ∴ m ? 3 时,能使 ?PF1 F2 的边长是连续的自 3 3 3 然数。 33.解: (1)在△PAB 中,|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos2θ ∴4=(|PA|+|PB|)2-2|PA|·|PB|(1+cos2θ)=(|PA|+|PB|)2-4m,∴ (|PA|+|PB|=2 1 ? m ) ,即点 P 的轨迹为椭圆,点 P 的轨迹 C 的方程为 2 2 x ? y ?1 . 1? m m ?y ? x ?1 ? 2 (2)由 ? 2 ? (2m+1)x2+2(m+1)x+1-m2=0 x ? y ?1 ? ?m ?1 m

设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) ,D(0,1) 2 ?2(m ? 1) 则 x1+x2= ????① x1·x2= 1 ? m ????② 2m ? 1 2m ? 1 又 DE ? (2 ? 3)DF ,∴(x1,y1-1)=(2+ 3 ) (x2,y2-1) ∴x1=(2+ 3 )x2????③ 将③代入①②得 ?(3 ? 3)x ? ?2(m ? 1) 2 ? 2m ? 1 ? m= 1 或 m=- 1 ? 2 2 3 ?(2 ? 3)x2 2 ? 1 ? m 2m ? 1 ?
?a2 ?2 34.解:(1)由题意可知 ? ? c ? b2 ? c2 ? ?

∵m>0 ∴m= 1 . 2

,又 a
2

2

? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? c ? 1 ,

? 椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 ;
2
(2)由(1)得 F (1,0) ,所以 0 ? m ? 1 .假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为

2

y ? k ( x ? 1) ,代入 x ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,
2

2

? 2k k2 2k 2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 42 ①? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? 2 , , x1 x2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 4k 2 ? 2k ? CA ? CB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y 2 ) ? ( 2 ? 2m, 2 ) , 2k ? 1 2k ? 1

? (CA ? CB) ? AB, 而 AB 的方向向量为 (1, k ) ,
; ?

1 4k 2 ? 2k m 2 0 ? m ? 当 时, k ? ? , ? ? 2 m ? ? k ? 0 ? ( 1 ? 2 m ) k ? m 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1 ? 2m

即存在这样的直线 l ; 35.解: (1)



1 ? m ? 1 时, k 不存在,即不存在这样的直线 l . 2
y R P

x2 ? y2 ? 1 4 ( 2 ) 显 然 直 线 x=0 不 满 足 题 设 条 件 , 可 设 直 线 l :

y ? kx ? 2, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ).
? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 . ? ? y ? kx ? 2
S

O Q

x

? ? ? (16k ) 2 ? 4 ?12(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,? k ? (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) (1)
? 16 k 12 , x1 x 2 ? 又 x1 ? x 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
由 0 ? ?AOB ? 90 ? OA ? OB ? 0.

2

2

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

所以

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
? ?2 ? k ? 2 (2)由(1) (2)得 k ? (?2,?

3 3 ) ? ( ,2) 。 2 2

(3)由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形,原点 O 到各边的距离相等。

x y 1 1 ? ? 1 ,由 d=1 得 2 ? 2 ? 1 , a b a b 1 1 P( x1 , kx1 ) , 当 P 不在 y 轴上时, 设直线 PS 的斜率为 k, 则直线 RQ 的斜率为 ? , Q( x2 , ? x2 ) k k
当 P 在 y 轴上,Q 在 x 轴上时,直线 PQ 的方程为

? y ? kx 1 1 k2 ? 1 1 1 由 ? x2 y 2 ,得 2 ? 2 ? 2 (1),同理 2 ? 2 ? 2 2 (2) x a b x a k b 1 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

1 | OP | ? | OQ | ,即 | PQ |2 ?| OP |2 ? | OQ |2 2 x x 所以 ( x1 ? x2 )2 ? (kx1 ? 2 )2 ? [ x12 ? (kx1 )2 ] ? [ x22 ? ( 2 )2 ] , k k
在 Rt△OPQ 中,由 d ? | PQ |? 化简得

1 2

1 1 k2 k2 1 1 1 2 1 2 k ( ? ) ? ? 2 ? 1 ? k 2 ,即 2 ? 2 ? 1 。 ? ? 1 ? k , 2 2 2 2 2 2 a k b a b x2 x1 a b

综上,d=1 时 a,b 满足条件

1 1 ? ?1 a 2 b2

36.【解】 (1)直线 l1 的法向量 n1 ? (1 , ? 2? ) , l1 的方程: x ? 2? ( y ? 2 ) ? 0 , 即为 x ? 2? y ? 2? ? 0 ;?(2 分) 直线 l 2 的法向量 n1 ? ( ? , 2 ) , l 2 的方程: ? x ? 2 ( y ? 2 ) ? 0 ,

即为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 。 (4 分) 1 ? 1 ?(? )?? 。 (2) k1k2 ? 2 2? 2 设点 P 的坐标为 ( x , y ) ,由 k1k2 ?

(6 分)

y? 2 y? 2 1 x2 y 2 ? ? ? ,得 ? ?1。 (8 分) x x 2 4 2

F ,使得 | PE | ? | PF | 恒为定值 4。 由椭圆的定义的知存在两个定点 E 、 F 为椭圆的两个焦点。 此时两个定点 E 、 (10 分)
(3)设 M ( 2 2 , y1 ) , N ( 2 2 , y2 ) ,则 EM ? ( 3 2 , y1) , FN ? ( 2 , y2 ) , 由 EM ? FN ? 0 ,得 y1 y2 ? ?6 ? 0 。 (12 分)
2 2 | MN | 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? ?2 y1 y2 ? 2 y1 y2 ? ?4 y1 y2 ? 24 ;

当且仅当 ?

? ? ? y1 ? 6 ?y ? ? 6 或? 1 时, | MN | 取最小值 6 。 (14 分) ? ? y2 ? 6 ? y2 ? ? 6 ?

(16 分) EM ? FN ? ( 4 2 , y1 ? y2 ) ? ( 4 2 , 0 ) ? 2EF ,故 EM ? FN 与 EF 平行。 37. 解 : (1) 设

P( x p , y p )









xp ? 0



? S ?PBC ?

1 ? 4 ? x p ? 6,? x p ? 3,? P(3,? 6 p ) , 2

设直线 PB 与圆 M 切于点 A,? M (1,0)

1 ? (4 ? 4 ? 2 PA) ? 1 ? 6,? PA ? 2,? PM ? 5 , 2 1 1 ? PM ? 4 ? 6 p ? 5 ,? p ? , ? y 2 ? x 6 3
又? S ?PBC ? (2) ? 点 B(0,t) ,点 C (0, t ? 4) , 进一步可得两条切线方程为: PB : y ?

1? t 2 ? t 2 ? 8t ? 15 x ? t , PC : y ? x ?t ?4, 2t 2t ? 8

?

1? t 2 ? t 2 ? 8t ? 15 2t 2 ? 8t xp ? t ? x p ? t ? 4 ,? x p ? 2 , 2t 2t ? 8 t ? 4t ? 1

8 8 ,? x p ? 0,? x p ? , 3 3 1 16 16 ? S ?PBC ? ? 4 ? x p ? ,又? t ? 2 时, S ?PBC ? , 2 3 3 16 ? ?PBC 面积的最小值为 3 ? 0 ? t ? 4,? x p ? 0或x p ?
38.解: (1) d1 ? d 2 ?

| ?4 2 ? 5 | | 4 2 ? 5 | ? ?9; 3 3

? x2 y2 ?1 ? ? 消去y可得59x 2 ? 50 10x ? 100 ? 0 ; 联立方程 ? 25 9 ? 2x ? y ? 5 ? 0 ?

? ? (50 10) 2 ? 4 ? 59?1 0 0 ? 0, 所 以 直 线 L 与椭圆 M 相交。
? x2 y2 ?1 ? ? (2)联立方程组 ? a 2 b 2 , ?m x ? ny ? p ? 0 ?
消去

y可得(a 2 m 2 ? b 2 n 2 ) x 2 ? 2a 2 m px? a 2 ( p 2 ? b 2 n 2 ) ? 0, (*) ???? 6分 ? ? (2a 2 m p) 2 ? 4(a 2 m 2 ? b 2 n 2 )a 2 ( p 2 ? b 2 n 2 ) ? 4a 2 b 2 n 2 (a 2 m 2 ? b 2 n 2 ? p 2 ) ? 0 即p 2 ? a 2 m 2 ? b 2 n n . ????8分 因为椭圆焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0), 其中c 2 ? a 2 ? b 2 ; | ?m c ? p | | m c ? p | | p 2 ? m 2 c 2 | ? ? m2 ? n2 m2 ? n2 m2 ? n2 | a 2m2 ? b2n2 ? m2c 2 | ? ? b 2 . ????10分 2 2 m ?n d1 ? d 2 ?
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a2 b2

(3)设 F1、F2 是椭圆 M :

L : mx ? ny ? p ? 0(m, n不同时为 0) 的距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧。
那么直线 L 与椭圆相交的充要条件为: d1 ? d 2 ? b ;直线 L 与椭圆 M 相切的充要条件
2

为: d1 ? d 2 ? b ;直线 L 与椭圆 M 相离的充要条件为: d1 ? d 2 ? b
2 2

2

证明:由(2)得,直线 L 与椭圆 M 相交 ? (*) 中? ? 0 ? p ? a m ? b n
2 2 2

2

p 2 ? m2c 2 a 2m2 ? b2n 2 ? m2c 2 ? d1 ? d 2 ? ? ? ? ? b2 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 m ?n m ?n m ?n m ?n 同理可证 : 直线L与椭圆M相离 ? d1 ? d 2 ? b 2 直线L与椭圆M相切 ? d1 ? d 2 ? b 2 . ????16分
命题得证。 (4)可以类比到双曲线:设 F1、F2 是双曲线 M :

? m c? p

m c? p

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 F1、F2 到 a2 b2

直线 L : mx ? ny ? p ? 0(m, n不同时为 0) 距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧。 那么直线 L 与双曲线相交的充要条件为: d1 ? d 2 ? b ;直线 L 与双曲线 M 相切的充要
2

条件为: d1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与双曲线 M 相离的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 39.解: (Ⅰ) 由题知点 P, F 的坐标分别为 (?1, m) ,(1, 0) , 于是直线 PF

m m 的斜率为 ? , 所以直线 PF 的方程为 y ? ? ( x ? 1) ,即为 2 2
mx ? 2 y ? m ? 0 .

y

P A D O F x

? y ? 4 x, ? (Ⅱ)设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,由 ? m ? y ? ? ( x ? 1), ? 2
2

l

B

得 m2 x2 ? (2m2 ? 16) x ? m2 ? 0 , 所以 x1 ? x2 ?

2m2 ? 16 4m2 ? 16 | AB | ? x ? x ? 2 ? , .于是 . x x ? 1 1 2 1 2 m2 m2
2| m| m2 ? 4
,所以

点 D 到直线 mx ? 2 y ? m ? 0 的距离 d ?

S?

1 1 4(m2 ? 4) 2 | m | 4 | AB | d ? ? 4 1? 2 . 2 2 2 m m m2 ? 4

因为 m ? R 且 m ? 0 ,于是 S ? 4 ,所以 ?DAB 的面积 S 范围是 (4, ??) . (Ⅲ)由(Ⅱ)及 AF ? ? FB , AP ? ? PB ,得

(1 ? x1, ? y1 ) ? ?( x2 ?1, y2 ) , (?1 ? x1, m ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 ? m) ,
于是 ? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 ,? ? ( x2 ? ?1 ).所以 x2 ? 1 x2 ? 1

??? ?

1 ? x1 ?1 ? x1 2 ? 2 x1 x2 ? ? ?0. x2 ? 1 x2 ? 1 ( x2 ? 1)( x2 ? 1)

所以 ? ? ? 为定值 0 . 40.解: (Ⅰ)∵ e ?

3 c2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b2 2 3 a c 3 2 2 2 2 ? b,? b ? 2 , b 2 ? 2 ∵ 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相 切 , ∴ 2 2 a ?3 x2 y2 ? ?1 ∵椭圆 C1 的方程是 3 2



(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距 离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为

y ? 4x
2

y12 y2 y2 y 2 ? y12 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) ∴ QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 , y 2 ? y1 ) 4 4 4 4 2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∵ y1 ? y2 , y1 ? 0 ,化简得 ∵ QR ? RS ? 0 ∴ 16 256 16 2 2 ∴ y 2 ? ?( y1 ? ) ∴ y 2 ? y1 ? 2 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y1 y1 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y1
(Ⅲ) Q (0, 0) , 设 R(
2 y2 1 2 2 2 ∵ | QS |? ( ) 2 ? y 2 ? ( y2 ? 8) 2 ? 64,又? y 2 ? 64 4 4

2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8时, | QS |min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5,??)

41.解: (1) 由题意可得直线 l :y ? ② 由①、②得 x ? ? ∴?

1 5 x? 2 4



过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ?2 x

1 ∵抛物线的顶点(即原点)关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上。 2
∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x

p 1 ? ? ? 2, p ? 2 2 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , N ( x, y) ,由 OA ? OB ? p 2 ? 0 ,得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 4 ? 0 又 y1 ? 4x1 , y 2 ? 4x2 ,解得 y1 y 2 ? ?8 ③
2 2

直线 ON : y ?

y2 4 x ,即 y ? x ④ x2 y2

由③、④及 y ? y1 ,得点 N 的轨迹方程为 x ? ?2( y ? 0) 42.解∵ c1 :y 2 ? 4mx 的右焦点 F2 ? m,0? ∴椭圆的半焦距 c ? m ,又 e ?

∴椭圆的长半轴的长 a ? 2 m ,短半轴的长 b ? 3m . (Ⅰ)当 m ? 1 时,故椭圆方程为

1 , 2 x2 y2 ? ? 1. 椭圆方程为 2 4m 3m 2

x2 y2 ? ? 1 , 右准线方程为: x ? 4 . 4 3 ? y2 ? 4x ? (Ⅱ)依题意设直线 l 的方程为: x ? ky ? 1 , k ? R 联立 ? x 2 y 2 得点 P 的坐标为 ?1 ? ? 3 ?4 ?2 2 6? . P? ? 3, 3 ? ? ? ?

将 x ? ky ? 1 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4ky ? 4 ? 0 . 设 A1 ? x1 , y1 ? 、 A2 ? x2 , y2 ? ,由韦达定理得 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? ?4 . 又 PA1 ? ? x1 ? , y1 ?

? 2 6? 2 2 6? , PA2 ? ? x2 ? , y2 ? ? ?. ? 3 ? 3 3 ? ? ? ? 2 4 2 6 24 PA1 ? PA2 ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 3 9 3 9 2 3
2

? ? ?

? 6? 24 ? k ? ? ? 25 2 2 ? 24k ? 24 6k ? 11 ? ?? ?? 9 9 ∵ k ? R ,于是 PA1 ? PA2 的值可能小于零,等于零,大于零。即点 P 可在圆内,圆上或 圆外. ?8′ ? y 2 ? 4mx ?2 2 6 ? ? (Ⅲ)假设存在满足条件的实数 m ,由 ? x 2 解得: P ? m, . m? y2 ?3 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ? 4m 3m 7 2 5 6 ∴ PF2 ? m ? m ? m , PF1 ? 4m ? PF2 ? m ,又 F1F2 ? 2m ? m . 3 3 3 3 5 6 7 即 ?PF1 F2 的边长分别是 m 、 m 、 m .∴ m ? 3 时,能使 ?PF1 F2 的边长是连续的自然数 3 3 3
43.解:椭圆的顶点为 (0, 3 ) ,即 b ? 为

3 ,e ?

c 1 ? ,所以 a ? 2 ,? 椭圆的标准方程 a 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意。 ②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] 2 4k 2 ? 12 8k 2 ? 5k 2 ? 12 2 4k ? 12 ?k ( ? ? 1) ? ? ?2 = 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2 ( x ? 1) 或 y ? ? 2 ( x ? 1) 7 分 (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 )
2 由(2)可得: |MN|= 1 ? k | x1 ? x 2 |?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) = (1 ? k )[( ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

? x2 y2 12 ?1 ? ? 2 由? 4 消去 y,并整理得: x ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?
|AB|= 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4

3(1 ? k 2 ) , 3 ? 4k 2

48(1 ? k 2 ) | AB | 2 4k 2 ? 4 ? 3?2 ∴ | MN | 12(k ? 1) 3 ? 4k 2

为定值

44. 解 : ( 1 ) 当 ? ? 2 时 , 直 线 AB 的 方 程 为 y ?

x 2 ? ?2 ? 16m?x ? 1 ? 0 ,由 ? ? ?2 ? 16m? ? 4 ? 0
2

1 ?x ? 1? , 代 入 抛 物 线 方 程 得 : 2 1 且 m ? 0, 得 m ? 4

设 A x1, y1 , B x2, y2 ,则 x1 ? x2 ? 16m ? 2, x1 x2 ? 1
2 故 y1 y2 ? 16 m x1 x2 ? 4m , F ?m,0 ? ,

?

? ?

?

FA ? ?x1 ? m, y1 ?, FB ? ?x2 ? m, y2 ?,

FA? FB ? ?15m2 ? 6m ? 1 , 又 FA FB ? ?x1 ? m??x2 ? m? ? 17m2 ? 2m ? 1
cos FA, FB ? ? 15m 2 ? 6m ? 1 2? 1 ? cos ?? , 2 17m ? 2m ? 1 3 2

1 ,? m ? 1 故抛物线方程为 y 2 ? 4 x 4 1 (2)直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1? ,代入抛物线方程得 13m 2 ? 10 m ? 3 ? 0, m ?

?

x 2 ? 2 ? 4m?2 x ? 1 ? 0, ? ? 2 ? 4m?2 ? 4 ? 0,? m ? 0, ?2 ? 0,? m?2 ? 1
1 1 FM ? FB ,? A 是线段 MB 的中点,故 MB ? 2MA, 2 2 1 2 2 即 ?x2 ? 1, y2 ? ? ?x1 ? 1, y1 ? , y1 ? 4mx ? 4mx2 代入得 x1 ? , x2 ? 2, 于是 , 1 , y2 2 5 9 9 4m?2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ,? m?2 ? ? 1 ? m?2 ? , (定值) 。 2 8 8 1 则 S ?AFB ? S ?MBF ? S ?MAF ? ? m ? 1? 2m 2 y x 45.解: (Ⅰ)设点 M ( x, y ) ,由 2PM ? 3MQ ? 0 得 P (0,? ), Q ( ,0) .由 RP ? PM ? 0 , 2 3 y 3y ) ? 0 ,即 y 2 ? 4 x .又点 Q 在 x 轴的正半轴上,∴ x ? 0 . 得 (3,? ) ? ( x, 2 2

?

?

?

?

2

x1 ? x2 ? 4m?2 ? 2 , ? FA ?

? ?

2 故点 M 的轨迹 C 的方程是 y ? 4 x ( x ? 0) .

(Ⅱ)由题意可知 N 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,且 A 、 B 为过焦点 N 的直线与抛物
2

线 C 的两个交点,所以直线 AB 的斜率不为 0 .

当直线 AB 斜率不存在时,得 A(1,2), B(1,?2), AB ? 4 ?

16 ,不合题意; 3

当直线 AB 斜率存在且不为 0 时,设 l AB : y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x 得

k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ,
则 AB ? x1 ? x 2 ? 2 ?

2(k 2 ? 2) 4 16 2 ?2 ? 4? 2 ? ,解得 k ? 3 . 2 3 k k
1 , 由 AB ? ? AN , 3

2 代入原方程得 3x ? 10x ? 3 ? 0 , 由于 x1 ? 1 , 所以 x1 ? 3, x 2 ?

得? ?

x2 ? x1 4 4 ? ,∴ ? ? . 3 1 ? x1 3
3c ? 3c ? 2c 2 2 =1,既 a ? 2c , 2 2 b ?c

46.解: (1)由题意可知直线 l 的方程为 bx ? cy ? (3 ? 2 )c ? 0 ,因为直线与圆

c2 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 相切,所以 d ?
e? 2 ; 2
x2 y2 ? ? 1(c ? 0) 2c 2 c 2

从而

(2)设 p( x, y ), 则

又 PM ? PN ? ( PC 2 ? C 2 M ) ? ( PC 2 ? C 2 N ) ? PC 2 ? C 2 N ?

2

2

x 2 ? (3 ? y) 2 ? 1 ? ?( y ? 3) 2 ? 2c ? 17(?c ? y ? c))
?当 c ? 3时, (PM ? PN) max ? 17 ? 2c 2 ? 49, 解得c ? 4, 此时椭圆方程为 ? 当 0 ? c ? 3时, (PM ? PN) max ? ?(?C ? 3) 2 ? 17 ? 22 ? 49,

x2 y2 ? ?1 32 16

解 得 c ? 5 2 ?3 但

c ? 5 2 ? 3 ? 3, 故舍去。
综上所述,椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 32 16 x2 y 2 ? ? 1. m n

圆、 椭圆、 双曲线都有对称中心, 统称为有心圆锥曲线, 它们统一的标准方程为

圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的 “垂径定理” 的逆定理:圆的平分 弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线: ③ 47.解: (Ⅰ)证明 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 )

( x1 ? x2 )

? x12 y12 ? ?1 ? ?m n ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? n ?m
相 减 得

( x1 ?

x2 ) ? ( x1 ? m

x? 2) n

(? y1

y2 ) ?0

( y1



y2 )





x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0


2 x0 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? ?0 ? m n( x1 ? x2 )
(Ⅱ)①设 M ( x, y ), 则k AB ? 即

y0 y1 ? y2 n ?? x0 x1 ? x2 m



k AB ? kOM ? ?

n m

y ?1 y 1 , kOM ? 由垂径定理, k AB ? kOM ? ? x ?1 x 2 y ?1 y 1 ?? 化简得 x2 ? 2 y 2 ? x ? 2 y ? 0 x ?1 x 2

当 AB 与 x或y 轴平行时, M 的坐标也满足方程. 故所求 AB 的中点 M 的轨迹 W 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? x ? 2 y ? 0 ; ② 假设过点 P(1,1) 作直线 l ? 与有心圆锥曲线 C? : kx2 ? y 2 ? 1 交于 E、 F 两点,且 P 为 EF 的中点,则 kEF ? kOP ? ?k 直 线 l? : y ? ? k ( 由于 kOP ? 1,

?

kEF ? ?k

, 代 入 曲 线 C? 的 方 程 得 x ? 1 ) ?, 1 即 y ? ?k x ? k 1?

kx2 ? (?kx ? k ? 1)2 ? 1


k (k ? 1) x2 ? 2k (k ? 1) x ? k (k ? 2) ? 0
2 2 2

由 ? ? 4k (k ? 1) ? 4k (k ? 1)(k ? 2) ? 0 得 k ? ?1 . 故当 k ? ?1 时,存在这样的直线,其直线方程为 y ? ?kx ? k ? 1; 当 k ? ?1, 且k ? 0 时,这样的直线不存在.

48.解:设椭圆的方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0), 直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 , a2 b2
6 2 1 ?c2 ? a2 ,b2 ? a2 , 3 3 3

A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ? e ?

则椭圆方程可化为

y2 x2 ? 2 ? 1 即 3x 2 ? y 2 ? 3b 2 , 2 3b b

联立 ?

?3 x 2 ? y 2 ? 3b 2 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? 3b 2 ? 0 (*) ? y ? kx ? 1
2k 2k , 而由已知 AP ? 2 PB 有 x1 ? ?2 x2 ,代入得 x 2 ? 2 3? k 3? k2

有 x1 ? x 2 ? ? 所以 S ?AOB ?

1 3 3| k | 3| k | 3 , ? | OP | ? | x1 ? x2 |? | x2 |? ? ? 2 2 2 2 3? k 2 3|k|

当且仅当 k ? ? 3 时取等号

?k ? 3 ?k ? ? 3 2k 5 3 ? ? 2 ,? 由 x2 ? 得 x2 ? ? ,将 ? 代入(*)式得 b ? 2 3 3? k 3 x ? 3 ?x ? ? 3 ? 3 ? 3 ?
所以 ?AOB 面积的最大值为

3 y2 x2 ? ?1 ,取得最大值时椭圆的方程为 5 5 2 3

y2 x2 2 c 2 49 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2
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∴a=1,b=c=

2 x2 ,故 C 的方程为:y2+ =1 2 1 2

(2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ( OB - OP ) , (1+λ) OP = OA +λ OB , ∴λ+1=4,λ=3 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
?y=kx+m ? ? 2 2 ?2x +y =1 ?

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m 2- 1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2
?x1+x2=-2x2 ? ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ? ?x1x2=-3x2

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2-2m2 1 1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1 容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立

1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 2 2 50.解: (Ⅰ)设 A? x0 , y0 ? , 因为抛物线的焦点 F ? 则 AM ? x0 ?

p ? p ? ?p ? ,0 ? , 准线l的方程为:x ? 2 ? , K ? ? ,0 ? , 作AM ? l于M , 2 ? 2 ? ?2 ? 0

0 9 0 又 AK ? 2 AF 得 AK ? 2 AM ,即? 3AKM 为等腰直角三角形 , 2 p p p? ? ? KM ? AM ? x0 ? ,? y0 ? x0 ? ,即A ? x7 0 , x0 ? ? ,而点 A 在抛物线上,

p ? AF , 2

2

2

?

2?

p? p ? ?p ? ?? x0 ? ? ? 2 px0 ,? x0 ? ,于是A ? , p ? . . 2? 2 ? ?2 ?
又 S?AFK ?

2

1 1 p2 KF ? y0 ? ? p ? p ? ? 8,? p ? 4. 故所求抛物线的方程为 y 2 ? 8x .6 分 2 2 2

(2)由 y 2 ? 8x ,得 F (2,0) ,显然直线 l1 , l 2 的斜率都存在且都不为 0. 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则 l 2 的方程为 y ? ? 由 ?

1 ( x ? 2) . k

? y 2 ? 8 x, ? y ? k ( x ? 2),
2

得 G (2 ?

4 4 , ) ,同理可得 H (2 ? 4k 2 , ?4k ) . 2 k k

则 GH 时取等号)

?(

4 4 1 1 1 ? 4k ) 2 ? ( ? 4k ) 2 = 16( k 4 ? 4 ? k 2 ? 2 ) ? 64 .(当且仅当 k 2 ? 2 2 k k k k k
所以 | GH | 的最小值是 8.

51.解: (Ⅰ)设点 M ( x, y ) ,由 2PM ? 3MQ ? 0 得 P (0,? 由 RP ? PM ? 0 ,得 (3,?

y x ), Q ( ,0) . 2 3

y 3y ) ? ( x, ) ? 0 ,即 y 2 ? 4 x . 2 2

2 又点 Q 在 x 轴的正半轴上,∴ x ? 0 .故点 M 的轨迹 C 的方程是 y ? 4 x ( x ? 0) .

(Ⅱ)由题意可知 N 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,且 A 、 B 为过焦点 N 的直线与抛物
2

线 C 的两个交点,所以直线 AB 的斜率不为 0 . 当直线 AB 斜率不存在时,得 A(1,2), B(1,?2), AB ? 4 ?

16 ,不合题意; 3
2

当直线 AB 斜率存在且不为 0 时,设 l AB : y ? k ( x ? 1) ,代入 y ? 4 x 得

k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ,

则 AB ? x1 ? x 2 ? 2 ?

2(k 2 ? 2) 4 16 2 ?2 ? 4? 2 ? ,解得 k ? 3 . 2 3 k k
1 , 由 AB ? ? AN , 3

2 代入原方程得 3x ? 10x ? 3 ? 0 , 由于 x1 ? 1 , 所以 x1 ? 3, x 2 ?

得? ?

x2 ? x1 4 4 ? ,∴ ? ? . 3 1 ? x1 3

?a ? 2b 2 ? x2 y2 ? ?a ? 8 52.解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? 4 .∴ 解得? 2 1 a b ? ? 1 ? b ? 2 ? ? ?a2 b2 ,
椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 8 2
又 KOM=

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,

1 , 2

1 ? y ? x?m ? 1 ? 2 ? l的方程为: y ? x ? m ,联立方程有 ? 2 2 2 ? x ? y ? 1, ? 2 ?8
? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 ,
∵直线 l 与椭圆交于 A.B 两个不同点,

?? ? (2m)2 ? 4(2m2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0
(3)设直线 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4 ,
2

则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0可得
2 2

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

?

2m2 ? 4 ? 2m2 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 ? k1 ? k2 ? 0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

故直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 53.解析:(1)由题意可知

a ? c ? 2 ?1且

c2 ? b2 ? 2 ,解得 a ? 2, b ? c ? 1 ,

? 椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1; 2

(2)由(1)得 F (1,0) ,所以 0 ? m ? 1 .假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) ,代入 x ? y 2 ? 1 ,得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

2

2

? 2k 4k 2 2k 2 ? 2 ①? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? 2 , , x x ? 1 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 4k 2 ? 2k ? CA ? CB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y 2 ) ? ( 2 ? 2m, 2 ) , 2k ? 1 2k ? 1
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? (CA ? CB) ? AB, 而 AB 的方向向量为 (1, k ) ,
; ?

4k 2 ? 2k ? 2m ? 2 ? k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m 2 2k ? 1 2k ? 1

?当 0 ? m ?
这样的直线 l

1 m 1 时, k ? ? ,即存在这样的直线 l ;当 ? m ? 1 时, k 不存在,即不存在 2 2 1 ? 2m
x2 y 2 ? ? 1 的上、下焦点,所以 M (0, 2),N (0, ? 2), 设 12 16

54 解: ( 1 )因为 M 、N 为椭圆

P( x, y) 。
所以 因为

M N ? ( 0 ,? 4 )M , P?

x ( y ,?

2) N, P ?

x( ? y ,

2)

| MN | ? | MP | ?MN ? NP ? 0
2

2 2 2 所以 4 ? x ? ( y ? 2) ? 4( y ? 2) ? 0 ,整理可得 x ? 8 y

所以所求动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 8 y (2) (法一)设过点 A(3, ?2) 所作曲线的切线的斜率为 k ,则切线方程为 y ? kx ? 3k ? 2 由?

? x2 ? 8 y ? y ? kx ? 3k ? 2

可得: x ? 8kx ? 24k ? 16 ? 0
2

1 ? ? 64k 2 ? 96k ? 64 ? 32(2k 2 ? 3k ? 2) ? 0 ,所以 k ? ? 或 k ? 2 2 1 1 过点 A(3, ?2) 所作曲线的切线方程为 y ? ? x ? 和 y ? 2 x ? 8 2 2 2 ?x ? 8y ? x2 ? 8 y 1 ? 由? 和 可分别解得: H (?2, ) 和 I (8,8) 1 1 ? 2 ? y ? 2x ? 8 ?y ? ? x ? 2 x ? 所以直线 HI 的方程的方程为: 3x ? 4 y ? 8 ? 0

(法二)设过点 A(3, ?2) 所作曲线的两切线的切点为 H ( x1 , y1 ), I ( x2 , y2 ) ,

x x2 则 f '( x ) ? , 4 8 2 x x x x 则两条切线的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ? 1 x ? 1 ? 1 x ? 2 y1 4 4 4 4 即 : x1 x ? 4 y ? 4 y1 ? 0
则 x12 ? 8 y1 , x22 ? 8 y2 记 y ? f ( x) ?

x2 x x2 x ( x ? x2 ) ? 2 x ? 2 ? 2 x ? 2 y2 4 4 4 4 即: x2 x ? 4 y ? 4 y2 ? 0 因为两条切线均经过点 A(3, ?2) ,所以 3x1 ? 4 y1 ? 8 ? 0 且 3x2 ? 4 y2 ? 8 ? 0 所以 直线 HI 的方程的方程为: 3x ? 4 y ? 8 ? 0 (3)若 Q 存在,不妨设其坐标为 (m, m) ,过 Q 点所作曲线 C 的切线斜率为 k , 则切线方程为 y ? m ? k ( x ? m) ,即 y ? kx ? m ? km
和 y ? y2 ?

? x2 ? 8 y 2 由? 可得: x ? 8kx ? 8km ? 8m ? 0 ? y ? kx ? m ? km 2 因为直线和抛物线相切,所以 ? ? 64k ? 32km ? 32m ? 0 32m m ? 设两条切线的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1k2 ? 64 2 因为 | QB ? QC |?| QB ? QC | 所以 QB ? QC ? 0 32m m ? ? ?1 所以 m ? ?2 所以 两条切线垂直 所以 k1k2 ? 64 2 所以 在直线 l : x ? y ? 0 上是存在点 Q(?2, ?2) 满足题意。
2 ? x12 ? ? ? x2 x x2 A x , , B x , , 55. 解: (1)设 ? 1 得 y'? ? ? 2 ? 由y? 8 ? ? 8 ? 4 8 ? x2 x x2 x 直线 AM 的方程为: y ? 1 ? 1 ( x ? x1 ) ;直线 BM 的方程为: y ? 2 ? 2 ( x ? x2 ) 8 4 8 4 x ? x2 xx ?x ?x xx ? 解方程组得 x ? 1 , y ? 1 2 即M ? 1 2 , 1 2 ? 2 8 8 ? ? 2 F (0, 2), 由已知, A, B, F 三点共线,设直线 AB 的方程为: y ? kx ? 2 2 与抛物线方程 x2 ? 8 y 联立消 y 可得: x ? 8kx ? 16 ? 0 ? x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?16 所以 M 点的纵坐标为-2,所以线段 FM 中点的纵坐标 O 即线段 FM 被 x 轴平分。


2 2 2 1

2



? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) x ?x ? FM ? (4k , ?4), AB ? ? x2 ? x1 , ? ? FM ? AB ? 4k ( x2 ? x1 ) ? 2 8 ? ? x ?x ? ? ? ( x2 ? x1 ) ? 4k ? 1 2 ? =0 2 ? ? (3)
2 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x12 ? x2 AM ? ? , ?2 ? ? BM ? ? , ?2 ? ? 8? 8? ? 2 ? 2 x2 x2 ( x ? x )2 ? x 2 ?? x2 ? x x AM ? BM ? ? 1 2 ? ? 2 ? 1 ?? 2 ? 2 ? ? 1 2 ? 4 ? 1 2 ? ?8 ? 4 ? 4 ? 0 2 64 4 8 ?? 8? ?

? AM ? BM , 而 MF ? AB

所以在直角 ?MAB 中,

由影射定理即得 | FM |2 ?| FA | ? | FB |

?c 3 x2 ? ? ? y2 ? 1 . 56. 解: (1)由已知可得 ? a ,所以 椭圆方程为 a ? 2 , b ? 1 . 2 4 ?a 2 ? b 2 ? 5 ?
(2) ? ? ? 是定值 ? .理由如下: 由(1) ,A2(2,0) ,B(0,1) ,且 l //A2B,所以直线 l 的斜率 k ? k A2 B ? ? .

1 2

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?4 设直线 l 的方程为 y ? ? x ? m, P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , 联立 ? , 2 ?y ? ? 1 x ? m ? 2 ?
x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 2 ? 0 ? ? ? 4m 2 ? 4(2m 2 ? 2) ? 8 ? 4m 2 ? 0.
即? 2 ? m ?

? x1 ? x 2 ? 2m . 2 ,且 ? 2 ? x1 x 2 ? 2m ? 2

P, Q两点不是椭圆的顶点?? ?
? tan ? ? k A1P ?

?
2

,? ?

?
2
因 为

y1 y ?1 . 又 , tan ? ? kBQ ? 2 x1 ? 2 x2

1 1 y1 ? ? x1 ? m, y 2 ? ? x 2 ? m , 2 2

tan? ? tan ? ?

y1 y ? 1 x2 y1 ? ( x1 ? 2)( y2 ? 1) ? ? 2 ( x1 ? 2) x2 x1 ? 2 x2

1 1 1 x2 (? x1 ? m) ? x1 (? x2 ? m) ? 2(? x2 ? m) ? x1 ? 2 2 2 2 ? ( x1 ? 2) x2


(m ? 1)( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 2m ? 2 (m ? 1)2m ? (2m2 ? 2) ? 2m ? 2 ? ?0 ( x1 ? 2) x2 ( x1 ? 2) x2
tan ? ? tan ? ? 0. 1 ? tan ? tan ?

tan(? ? ? ) ?

又 ? , ? ? (0, ? ) ?? ? ? ? (0,2? ) ?? ? ? ? ? 是定值. 57.解析: (1)设椭圆方程为 mx ? my ? 1(m ? 0, n ? 0),
2 2

将 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得

3 2

? 4m ? 1, 1 1 x2 y 2 ? E m ? , n ? ? ?1 解得 . ∴椭圆 的方程 ? 9 4 3 4 3 m ? n ?1 ? ? 4
(也可设标准方程,知 a ? 2 类似计分) (2) 可知:将直线 l : y ? k ( x ? 1)

x2 y 2 ? ? 1 并整理.得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 代入椭圆 E 的方程 4 3
设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 由根系数的关系,得 x1 ? x2 ?

1 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

直线 AM 的方程为: y ?

y1 k ( x1 ? 1) ( x ? 2),即y ? ( x ? 2) x1 ? 2 x1 ? 2 y2 k ( x2 ? 1) ( x ? 2) ,即 y ? ( x ? 2) x2 ? 2 x2 ? 2

由直线 AM 的方程为: y ?

由直线 AM 与直线 BN 的方程消去 y ,得

x?

2( x1 x2 ? 3x1 ? x2 ) 2[2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 x2 ] ? x1 ? 3x2 ? 4 ( x1 ? x2 ) ? 2 x2 ? 4

? 8(k 2 ? 3) 24k 2 ? ? 4k 2 ? 6 ? 2? ? ? 4 x2 ? 4 ? ? ? x2 ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k ? ? ? 3 ? 4k ? ?4 ? ? 2 8k 4k 2 ? 6 ? 4 ? 2 x2 ? ? x2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
∴直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x ? 4 上. 故这样的直线存在 58. ( 1 )∵直线 l 的方向向量为 v ? (1, 3)∴直线 l 的斜率为 k ?

3 ,又∵直线 l 过点

(0,? 2 3)
∴直线 l 的方程为 y ? 2 3 ? 3x ∵ a ? b ,∴椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点 ∴椭圆的焦点为 (2, 0) ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 2 2 2 ? ∴ a ? 6 ,∴ b ? a ? c ? 2 a 3

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 6 2

? x2 y 2 ?1 ? ? (2)设直线 MN 的方程为 x ? ay ? 3, 由 ? 6 , 得 (m2 ? 3) y 2 ? 6my ? 3 ? 0 2 ? x ? my ? 3 ?
设 M , N 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 则 (2)

y1 ? y2 ? ? 3 , 2

6m , m2 ? 3

(1) y1 y2 ?

3 m ?3
2

? ? 36m2 ?12(m2 ? 3) ? 24m2 ? 36 >0∴ m2 ?

∵ DM ? ( x1 ? 3, y1 ), DN ? ( x2 ? 3, y2 ), DM ? ? DN ,显然 ? ? 0 ,且 ? ? 1 ∴ ? x1 ? 3, y1 ? ? ? ( x2 ? 3, y2 ) ∴ y1 ? ? y2 代入(1) (2),得 ? ?

1

?

?

12m2 36 ? 2 ? 10 ? 2 2 m ?3 m ?3

2 ∵ m ?

? ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 3 1 2 ? ? ? ? 10 ,得 ,即 ? 2 2 ? ?? ? 10? ? 1 ? 0

解得 5 ? 2 6 ? ? ? 5 ? 2 6 且 ? ? 1 . 59.解: (1)由已知,点 P (? 2,1) 在椭圆上∴有 又

2 1 ? ?1 a 2 b2



PM ? F2 M ? 0 ,M 在 y 轴上,∴M 为 P、F2 的中点,∴ ? 2 ? c ? 0, c ? 2 .
2 2

∴由 a ? b ? 2 ,
2


2 2

解①②,解得 b ? 2 ( b ? ?1 舍去) ,∴ a ? 4

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 2

(2)∵点 M ( x0 , y0 ) 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 M1 ( x1 , y1 ) ,

? y0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x0 ? x1 ∴? ? y0 ? y1 ? 2 ? x0 ? x1 . ? ? 2 2
∵点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 C:

4 y ? 3 x0 ? x1 ? 0 ? ? 5 解得 ? ? y ? 3 y0 ? 4 x0 1 ? 5 ?

∴ 3x1 ? 4 y1 ? ?5x0 .

x2 y 2 ? ? 1 上,∴ ?2 ? x0 ? 2, ∴ ?10 ? ?5x0 ? 10 。 4 2

即 3x1 ? 4 y1 的取值范围为[-10,10] 。 60.解:(Ⅰ)因为 AC ? F 1F 2 ? 0 ,所以有 AC ? F 1F 2

所以 ?AF 1 cos ?F 1 AF2 ? AF2 1F 2 为直角三角形;? AF 则有 9 AF 1 ? AF 2 ? 9 AF 1 AF 2 cos ?F 1 AF 2 ? 9 AF 2 又 AF1 ? AF2 ? 2a ,? AF1 ?
2 2 2

? AF1 ? AF1 所以, AF1 ? 3 AF2

2

2

3a a , AF2 ? 2 2
2

在 ?AF 1F 2 中有 AF 1 ? AF2 ? F 1F 2

? 3a ? ?a? 2 2 即? ? ? ? ? ? 4(a ? 1) ,解得 a ? 2 2 2 ? ? ? ?

2

2

所求椭圆 M 方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ) PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

? ?? ? ? ?? NF ? NP ?? ?NF ? NP ? ? ?? NP ? ? NF
2

2

? NP ? 1

2

从而将求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值

2

x 2 P 是椭圆 M 上的任一点,设 P?x0 , y0 ? ,则有 0 ? y 0 ? 1 即 x0 2 ? 2 ? 2 y0 2 2
又 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?? y 0 ? 2? ? 10
2 2 2 2

2

而 y0 ? ?? 1,1?,所以当 y0 ? 1 时, NP 取最大值 9
2

故 PE ? PF 的最大值为 8 则根据题意,双曲线的方程为

61.解: (I)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? a 2 ? b2 4 ? , ? x y 且满足 a 5 ? ? 1 ? a 2 b2 ? 2 2 ?a 2 ? b ? 2 34,
2 2

解方程组得 ?

? a 2 ? 25 ? 2 ? ?b ? 9

? 椭圆的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线的方程 ? ?1 25 9 25 9

| 10, (Ⅱ)由(I)得 A(?5, 0), B (5, 0),| AB ? 设 M ( xo , yo ), 则由 BM ? MP 得 M 为 BP 的
中点,所以 P 点坐标为 (2 xo ? 5, 2 yo ) ,
2 2 ? xo yo ? ? 1, ? ? 25 9 将 M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,得 ? 2 2 ? (2 xo ? 5) ? 4 y0 ? 1 ? 25 9 ?

消去 yo ,得 2 xo ? 5xo ? 25 ? 0
2

解之得 xo ? ?

5 或 xo ? 5 (舍) 2

所以 yo ?

3 3 5 3 3 ,由此可得 M (? , ), 2 2 2

所以 P(?10,3 3).

当 P 为 (?10,3 3) 时,直线 PA 的方程是 y ?

3 3 ( x ? 5) ?10 ? 5
所以 x ? ?

即: y ? ?

x2 y 2 3 3 ,代入 ? ? 1 ,得 2 x2 ? 15x ? 25 ? 0 ( x ? 5) 25 9 5

5 或-5(舍) 2

所以 xN ? ?

5 , xN ? xM , MN ? x 轴。 所以 S AMBN ? 2S?AMB ? 2 ?10 ? 3 3 ? 1 ? 15 3 2 2 2

62.(Ⅰ)解:设 A(x1, y1),因为 A 为 MN 的中点,且 M 的纵坐标为 3,N 的纵坐标为 0, 所以 y1 ?
2 1

3 ,又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上 2

y12 7 ? 1,即 x12 ? 9 ? 1 ,解得 x1 ? ? 所以 x ? , 4 16 4
则点 A 的坐标为 (

7 3 7 3 , ), , ) 或 (? 4 2 4 2

所以直线 l 的方程为 6 7 x ? 7 y ? 21 ? 0 或 6 7 x ? 7 y ? 21 ? 0 . (Ⅱ)解:设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 3 或 x ? 0 ,A(x1, y1),B(x2, y2), P( x3 , y3 ) , 当 AB 的方程为 x ? 0 时, | AB |? 4 ? 3 ,与题意不符. 当 AB 的方程为 y ? kx ? 3 时:

? y ? kx ? 3 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 的解, y2 2 x ? ?1 ? ? 4
2 2 消去 y 得 (4 ? k ) x ? 6kx ? 5 ? 0 ,所以 ? ? (6k )2 ? 20(4 ? k 2 ) ? 0, 即 k ? 5 ,
2



x1 ? x2 ?

?6k 5 24 , x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? (kx1 ? 3) ? (kx2 ? 3) ? 2 2 4?k 4?k 4 ? k2

2 2 因为 | AB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 3 ,

所以 1 ? k 2 ? (
2

16 ?6k 2 20 ) ? ? 3 ,解得 ? ? k 2 ? 8 , 2 2 13 4?k 4?k

所以 5 ? k ? 8 . 因为 OA ? OB ? ?OP ,即 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ? ( x3 , y3 ) , 所以当 ? ? 0 时,由 OA ? OB ? 0 ,得 x1 ? x2 ?

?6k 24 ? 0, y1 ? y2 ? ?0, 2 4?k 4 ? k2

上述方程无解,所以此时符合条件的直线 l 不存在; 当 ? ? 0 时, x3 ?

x1 ? x2

?

?

y ? y2 ?6k 24 , y3 ? 1 ? 2 ? (4 ? k ) ? ? (4 ? k 2 )
1 24 ?6k 36 , ]2 ? 1 , 化简得 ? 2 ? ]2 ? [ 2 2 4 ? k2 4 ? (4 ? k ) ? (4 ? k )
. 综上,实数 ? 的取值范围

因为点 P( x3 , y3 ) 在椭圆上,所以 [
2 2

因为 5 ? k ? 8 ,所以 3 ? ? ? 4 ,则 ? ? (?2, ? 3) ( 3,2) 为 (?2, ? 3)

( 3, 2) .
y1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? ?1, 2

63. (Ⅰ)解:设 A(x1, y1), 因为 P 为 AM 的中点,且 P 的纵坐标为 0,M 的纵坐标为 1,所以 又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上,所以 x1 ?
2

1 y12 3 ? 1,即 x12 ? ? 1 ,解得 x1 ? ? , 则点 A 4 4 2

的坐标为 (

3 3 , ?1) , 所 以 直 线 l 的 方 程 为 4 3x ? 3 y ? 3 ? 0 , 或 , ?1) 或 (? 2 2

4 3 x? 3 y? 3 ? .0
(Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),则 NA ? ( x1 , y1 ? ), NB ? ( x2 , y2 ? ), 所以 NA ? NB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ?1) ,则 | NA ? NB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 1)
2 2

1 2

1 2

当直线 AB 的斜率不存在时,其方程为 x ? 0 , A(0, 2), B(0, ?2) ,此时 | NA ? NB |? 1 ; 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? 1 ,

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 2 y 2 的解,消去 y 得 (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 ?1 ?x ? ? 4
所以 ? ? (2k ) ? 12(4 ? k ) ? 0, x1 ? x2 ?
2 2

?2k , 4 ? k2

则 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? 所以 | NA ? NB |2 ? (

8 , 4 ? k2

?2k 2 8 ?12k 2 2 ) ? ( ? 1) ? ?1 ? 1, 4 ? k2 4 ? k2 (4 ? k 2 )2

当 k ? 0 时,等号成立, 即此时 | NA ? NB | 取得最大值 1. 综上,当直线 AB 的方程为 x ? 0 或 y ? 1 时, | NA ? NB | 有最大值 1. 64.解:(Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 D(?1, y ) ,由中垂线的性质知 MD ? MF2

?| x ? 1 |= ( x ? 1) 2 ? y 2

化简得 C 的方程为 y 2 ? 4x

(另:由 MD ? MF2 知曲线 C 是以 x 轴为对称轴,以 F2 为焦点,以 l 1 为准线的抛物线 所以

p ? 1, 2

则动点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4x )

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,由F1P = ? F1Q







? x1 ? 1 ? ? ( x 2 ? 1) ? ? y1 ? ? y 2




又由 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 在曲线 C 上知 ?

2 ? ? y1 ? 4 x1 2 ? ? y 2 ? 4 x2



① ②

? x1 ? ? ? 解得 ? 1 x2 ? ? ? ?

所以 有

x1 x2 ? 1

, y1 y 2 ? 4

F2P ? F2Q = ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y 2 = x1 x2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? y1 y 2 = 6 ? (? ? 设u ?? ?





1

?

)

1

?

有 u ' ? (? ?

1

?

)' ? 1 ?

1

?

2

?0 ? u?? ?

1

?

在区间 [2,3] 上是增函数,



→ → 8 1 7 8 7 5 1 10 ? ? ? ? ,进而有 ? 6 ? (? ? ) ? ,所以F2P ? F2Q 的取值范围是 [ , ] 3 ? 2 3 2 2 ? 3

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 M 在直线 y ? x 上,且点 M 在 x 轴 2 2 a b 3 上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2 (c,0) , 则点 M 为 (c , c ) 。 2 2 2 2 ? MF1 ? MF2 ? 2a ,而 MF1F2 为 Rt ? ,则有 MF1 ? MF2 ? F2 F2
65.解: (1)设椭圆方程为

a ? 2c 则有? MF 1 ? MF 2 ? 4c ,所以
所以 c ? 1, a ? 2, b ? 3

又因为 MF1 ? MF2 ? (?2c, ?

3 3 9 c) ? (0, ? c) ? 2 2 4

x2 y 2 ? ?1 所以椭圆方程为: 4 3

(2)由(1)知 F1 (?1,0) ,过点 F1 (?1,0) 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点,则

1 ,当 ?F2 PQ 的面 ?F2 PQ 的周长为 4a ? 8 ,则 S?F2PQ ? ? 4a ? r ( r 为三角形内切圆半径) 2
积最大时,其内切圆面积最大。 设直线 l 方程为: x ? ky ? 1 , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则

6k ? ? x ? ky ? 1 y1 ? y2 ? 2 ? ? 2 ? 3k ? 4 ? (4 ? 3k 2 ) y 2 ? 6ky ? 9 ? 0 ? ? ?x y2 ?1 ? ? ?y ? y ? ? 9 3 ?4 ? 1 2 3k 2 ? 4 ?

1 12 k 2 ? 1 ? F1F2 ? y1 ? y2 ? 2 3k 2 ? 4 1 12 令 k 2 ? 1 ? t ,则 t ? 1 ,所以 S?F2 PQ ? ,而 3t ? 在 [1, ??) 上单调递增, 1 t 3t ? t 12 所以 S?F2 PQ ? ? 3 ,当 t ? 1 时取等号,即当 k ? 0 时, ?F2 PQ 的面积最大值为 3,结 1 3t ? t 1 3 合 S?F2 PQ ? ? 4a ? r ? 3 ,得 r 的最小值为 2 4
所以 S?F2 PQ ? 66.解: (I)根据题意, a ? 3b, C(a,0), 设 A (t , t ),则t ? 0,

t2 t2 ? ? 1. a2 b2

a 2b 2 3 3 解得 t ? 2 ? b 2 ,即t ? b, 2 4 2 a ?b
2

? OA ? (

3 3 3 3 3 b, ), OC ? (a,0), OA ? OC ? ab ? 3b 2 ? , 2 2 2 2 2

?b ? 1, a ? 3,
? 椭圆方程为 x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), EF中点为M ( x0 , y0 ),

?OE ? OF ? ?OA,

? ?2 x0 ? x1 ? x2 ? ? ?? ?2 y ? y ? y ? 0 1 2 ? ?
由①-②得

3 ?, 2 3 ?, 2

? x12 ? y12 ? 1, ? ① ?3 ? E , F在椭圆上, 则? 2 ? x2 ? y 2 ? 1, ② 2 ? ?3

2 x12 ? x 2 2 ? y12 ? y 2 ? 0, 3

? k EF ?

y1 ? y 2 1 x ? x2 1 ?? ? 1 ? , x1 ? x2 3 y1 ? y 2 3

x2 3 1 3 ? ? ? (x ? ? ), 即 x ? ?3 y ? 3? , 代入 ? y 2 ? 1 ? 直线 EF 的方程为 y ? 3 4 3 4
并整理得, 4 y 2 ? 2 3?y ? ?2 ? 1 ? 0,

? y1 ? y 2 ?

3 ?2 ? 1 ? , y1 y 2 ? , 2 4

?| EF |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 10 | y1 ? y 2 |

? 10 ?


3?2 ? 4(?2 ? 1) 4 ? ?2 ? 10 ? , 2 2 3? 10
1 3? 4 ? ?2 | EF | h ? 2 4

? 原点O(0,0)到直线EF的距离为h ?

, ? S ?OEF ?

?

3 2 3 ?2 ? 4 ? ?2 3 ? ( 4 ? ?2 ) ? ? ? , 4 4 2 2 2时等号成立 , 所以?OEF面积的最大值为 3 . 2

当? ?

67.解: (1)圆 F1 的方程是(x+c)2+y2=(a-c)2,因为 B2M、B2N 与该圆切于 M、N 点,所 以 B2、 M、 F1、 N 四点共圆, 且 B2F1 为直径, 则过此四点的圆的方程是(x+
2 2 c 2 b ) +(y- )2= c ? b , 2 2 4

从而两个圆的公共弦 MN 的方程为 cx+by+c2=(a-c)2, 又点 B1 在 MN 上 , ∴a2+b2-2ac=0, ∵ b2=a2-c2, ∴2a2-2ac-c2=0,即 e2+2e-2=0,∴e= 3 -1.(负值已舍去) (2)由(1)知,MN 的方程为 cx+by+c2=(a-c)2,由已知- c =-1. b ∴b=c,而原点到 MN 的距离为 d=
| c 2 ? (a ? c) 2 | c2 ? b2 ? | 2ac ? a 2 | =|2c-a|= 2 a, a

∴a=4,b2=c2=8,所求椭圆方程是

y2 x2 ? ? 1; 16 8

3 c (3)假设这样的椭圆存在,由(2)则有- 2 <- <, b 2 3



c2 a2 ? c2 1 3 c 1 c2 1 1 2 < < ,∴ < 2 < ,∴ < 2 2 < .故得 2< <3, 2 2 3 b 3 a ?c b 2 3 c2 a2 1 1 3 3 <4,求得 <e< ,即当离心率取值范围是( , )时,直线 MN 的斜率可 2 2 3 3 c2

∴3<

3 以在区间 ( 2 ,)内取值. 2 3

68.解

OA ? OB ? OA ? OB

? OA ? OB

2 2 设 A,B 两点的坐标为( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 )则 x1 ? 2 py1 , x2 ? 2 py2

(Ⅰ)经过 A、B 两点的直线方程为 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ).
2 2 x12 x2 x2 x12 由 y1 ? 得: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( , y2 ? ? )( x ? x1 ). 2p 2p 2p 2p

x1 ? x2 ? y ? y1 ?

x2 ? x1 ( x ? x1 ) 2p

令 x ? 0 得:y ? y1 ?

x2 ? x1 (? x1 ) 2p

?y ??

x1 x2 2p

OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
个为零向量)

从而 x1 x2 ?

x12 x2 2 ?0 4 p2

x1 x2 ? 0(否则,OA, OB 有一

? x1 x2 ? ?4P2 代入(1)得 y ? 2 p

? AB 始终经过 ? 0, 2P ? 这个定点

(Ⅱ)设 AB 中点的坐标为( x , y ) ,则 x1 ? x2 ? 2x ; y1 ? y2 ? 2 y
2 ? x12 ? x2 ? 2 py1 ? 2 py2 ? 2 p( y1 ? y2 ) 2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1 x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 8 p2



?4x2 ? 8 p2 ? 4 py
y ? 2x 5
1 2 x ? 2 p ? 2x p 5

即 y?

1 2 x ? 2p p

AB 的中点到直线 y ? 2 x ? 0 的距离 d 为:

d?

d?

?

1 ( x ? p) 2 ? p p 5

1 ( x ? p) 2 ? p p ? 5

因为 d 的最小值为

2 5 p 2 5 ,? ? ,? p ? 2 5 5 5
2

69.解: (Ⅰ)由 ?

? y ? kx ? 2, ? x ? ?2 py

得, x ? 2 pkx ? 4 p ? 0,
2

设 A x1, y1 , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?2 pk , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?2 pk ? 4,
2
2 因为 OA ? OB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ?2 pk , ?2 pk ? 4 = ? ?4, ?12? ,

?

?

?

?

所以 ?

??2 pk ? ?4, ??2 pk ? 4 ? ?12.
2

解得 ?

? p ? 1, ? k ? 2.

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2, 抛物线 C 的方程为 x2 ? ?2 y. (Ⅱ)方法 1:设 P( x0 , y0 ), 依题意,抛物线过 P 的切线与 l 平行时,△APB 面积最大,

1 y' ? ? x ,所以 ? x0 ? 2 ? x0 ? ?2, y0 ? ? x0 2 ? ?2, 所以 P(?2, ?2). 2
此时 P 到直线 l 的距离 d ?

2 ? (?2) ? (?2) ? 2 22 ? (?1) 2

?

4 4 5 ? , 5 5

由?

? y ? 2 x ? 2, ? x ? ?2 y ,
2

得, x2 ? 4x ? 4 ? 0,

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10

4 10 ?
∴△ABP 的面积最大值为

2

4 5 5 ?8 2

(Ⅱ)方法 2:由 ?

? y ? 2 x ? 2, ? x ? ?2 y ,
2

得, x2 ? 4x ? 4 ? 0,

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10 ??9 分
设 P(t , ? t ) , (?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2)
2

1 2

因为 AB 为定值,当 P 到直线 l 的距离 d 最大时,△ABP 的面积最大,

d?

1 2t ? t 2 ? 2 2 22 ? (?1)2

?

(t ? 2)2 ? 4 5

,
4 5 ,此时 P(?2, ?2). 5

因为 ?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2 ,所以当 t ? ?2 时, d

max=

4 10 ?
∴△ABP 的面积最大值为

2

4 5 5 ?8 2

70.解: (1)设 C 方程为

x2 y2 a2 ? b2 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则 b = 1. ? .即a 2 ? 2. 2 2 2 a b 2 a

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ) 假设存在直线 l ,使得点 F 是 ?BMN 的垂心.易知直线 BF 的斜率为 ? 1 , 从而直线 l 的 斜 率 为 1. 设 直 线 的 方 程 为 y ? x ? m , 代 如 椭 圆 的 方 程 , 并 整 理 可 得

则 x1 ? x 2 ? ? 3x ? 4bx ? 2(b ? 1) ? 0 .设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
2 2

4 2m 2 ? 2 m ,x1 x 2 ? . 3 3

于是 NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1)

? x1 ? y 2 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? m ? x1 x 2 ? ( x1 ? m)(x 2 ? m) ? ?2 x1 x 2 ? (1 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m ? m 2 ? ?2 ?
解之得 m ? 1 或 m ? ?4 / 3 . 当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意.当 m ? ? 交,符合题意. 所以,当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ? 71.【解】 (1) (a) x2 ? 2 y 2 ? 9 (b)

2m 2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 ? 0 3 3
4 时,经检验知 l 和椭圆相 3

4 时, 点 F 是 ?BMN 的垂心 3

2 2 x? y ? x? y ?2 6 2 2

方程 C 所表示的曲线所围成区域为正方形面积为

2 4 2.
(c) x2 ? 2 y 2 ? 36 , 范围: x ? 6, y ? 3 2 ;对称性:关于 x, y 和原点对称;渐近线为:

y??

2 x 2

( 2 ) 设 直 线 l1 , l2 的 方 程 为 : y ? ?

bx ( a?b?0 ) , 则 由 d12 ? d22 ? 2d 2 得 , a

x2 y2 1 1 ? ? d2( 2 ? 2 ) a2 b2 a b
令d ?

ab a 2 ? b2

,即得椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) . a2 b2

y ? x?b 72.解: (I)由 ? 消去y得 : x 2 ? (2b ? 4) x ? b 2 ? 0 ? 2 y ? 4 x ?
2 2 因直线 y ? x ? b与抛物线 y 2 ? 4x 相切? ? ? (2b ? 4) ? 4b ? 0 ? b ? 1

e?

x2 c 2 2 a 2 ? b2 1 ? y 2 ? 1. ? , a ? b2 ? c 2 ,? ? , ? a ? 2 ,故所求椭圆方程为 2 2 a 2 a 2
(II) 当 L 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆
2

的方程: x ? ( y ? ) ? ( )
2

1 3

4 3

2

1 4 ? 2 x ? ( y ? )2 ? ( )2 ?x ? 0 当 L 与 x 轴平行时, 以 AB 为直径的圆的方程: x 2 ? y 2 ? 1 ,由 ? 3 3 解得? ? ?y ? 1 ?x 2 ? y 2 ? 1 ?

即两圆相切于点(0,1) 因此,所求的点 T 如果存在,只能是(0,1).事实上,点 T(0,1)就是所求的点,证明 如下。 当直线 L 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(0,1) 若直线 L 不垂直于 x 轴,可设直线 L: y ? kx ?

1 3

1 ? y ? kx ? ? 3 由? 消去y得 : (18k 2 ? 9) x 2 ? 12kx ? 16 ? 0 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ?2 ?
12k ? ? x1 ? x 2 ? 18k 2 ? 9 ? 记点 A( x1 , y1 ) 、 B( x , y ),则 ? 2 2 ? x x ? ? 16 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?

又因为TA ? ( x1, y1 ?1), TB ? ( x 2 , y2 ?1),

4 4 所以TA ? TB ? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) 3 3 4 16 ? 16 4 12 k 16 ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? ? (1 ? k 2 ) ? ? k? ? ?0 2 2 3 9 18k ? 9 3 18k ? 9 9
∴TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1),故在坐标平面上存在一个定点 T(0,1) 满足条件. 73.

?2a ? 4 ?a ? 2 ? 74.解:(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得 ? ? b2 ? a2 ? c2 ? 3 , c 1?? c ? 1 e ? ? ? ? a 2 ? x2 y2 ? ?1. 则所求椭圆方程 C1 : 4 3

(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为 (1,0) ,准线方程 为 x ? ?1 ,则动圆圆心轨迹方程为 C : y 2 ? 4 x . (Ⅱ)由题设知直线 MN , PQ 的斜率均存在且不为零 设直线 MN 的斜率为 k (k ? 0) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则直线 MN 的方程为:

y ? k ( x ? 1)

联立 C : y 2 ? 4 x 消去 y 可得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 由抛物线定义可知:

2k 2 ? 4 4 | MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? ?2 ? 4? 2 2 k k 2 同理可得 | PQ |? 4 ? 4k 1 1 4 1 2 2 又 S PMQN ? | MN | ? | PQ |? (4 ? 2 )( 4 ? 4k ) ? 8(2 ? k ? 2 ) ? 32 2 2 k k (当且仅当 k ? ?1 时取到等号)
所以四边形 PMQN 面积的最小值为 32 .

? 2a ? 4 ?c 1 ? 75.解: (I)由题意得 ? ? ?a 2 2 2 2 ? ?a ? b ? c
x2 y 2 ? ?1 4 3 2 (Ⅱ)直线 l 方程为 y ? kx ? 2 ,则 P 的坐标为 ( , 0) k 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 C ( x1 , ? y1 ) , y ? y1 x ? x1 直线 BC 方程为 ? , 令 y ? 0 ,得 Q 的横坐标为 y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? x y 2kx1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ① x? 1 2 2 1 ? y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 4
解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1 所以椭圆方程为

16k ? ? x2 y 2 x1 ? x2 ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 4k 2 2 2 又? 4 得 得 , (3 ? 4 k ) x ? 16 kx ? 4 ? 0. 3 ? 4 ? ? y ? kx ? 2 x1 x2 ? ? ? 3 ? 4k 2 ?
8k ? 2 ?16k ?24k ? ? 2k , 2 2 16k ? 4(3 ? 4k ) ?12 2 ? | OP | ? | OQ | 为常数 4 得 | OP | ? | OQ |?| x p ? xQ |? ? 2k ? 4 , k
代入①得 x ?

? b2 76.解: (1)由条件可知 P? ? c , ? ? a ?

? ? b2 ? , Q ? c, ? ? a ? ?

? ? ? ?

因为 k PQ ?

1 3 ,所以得: e ? 2 2

(2)由(1)可知, a ? 2c, b ? 3c ,所以, A 0, 3c , F1 ?? c,0?, B?3c,0? ,从而 M ?c,0?

?

?

半径为 a,因为 ME ? MF ? ?

1 2 a a ,所以 ?EMF ? 120? ,可得:M 到直线距离为 2 2

从而,求出 c ? 2 ,所以椭圆方程为: (3)因为点 N 在椭圆内部,所以 b>3

x2 y 2 ? ? 1; 16 12

设椭圆上任意一点为 K ?x, y ? ,则 KN 2 ? x 2 ? ? y ? 3?2 ? 6 2

? ?

2

由条件可以整理得: y 2 ? 18 y ? 4b 2 ? 189 ? 0 对任意 y ? ?? b, b??b ? 3? 恒成立, 所以有: ?

?? 9 ? ?b ? ? ?? 9 ? ?b 或者 ? 2 2 2 2 ? ? ??? b? ? 18?? b? ? 4b ? 189 ? 0 ??? 9? ? 18?? 9? ? 4b ? 189 ? 0

解之得: 2 b ? (6,12 2 ? 6] 77.解: (1)取弦的中点为 M,连结 OM 由平面几何知识,OM=1 ∵直线过 F、 B , ∴k ? 0则k ?

OM ?

2 k ?1
2

?1

k ? 3, 得: k ?? 3
2

3

(2)设弦的中点为 M,连结 OM

则 OM

2

?
2

4 1? k 2
1 4

d 2 ? 4(4 ?

4 4 5 2 )?( ) 2 1? k 5

解得 k ?

2 (? ) 2 c 1 4 k e2 ? 2 ? ? ? 2 2 5 a 1? k 4 ? ( )2 k
2

∴0 ? e ?

2 5 5

78. 解: (1)由题意可知,可行域是以 A 1 (?2,0), A2 (2,0) 及点 M (1, 3) 为顶点的三角形, ∵ A1M ? A2 M ,∴ ?A1 A2 M 为直角三角形, ∴外接圆 C 以原点 O 为圆心,线段 A1A2 为直径,故其方程为 x ? y ? 4 .
2 2

∵2a=4,∴a=2.又 e ?

2 ,∴ c ? 2 ,可得 b ? 2 . 2

∴所求椭圆 C1 的方程是

x2 y 2 ? ?1. 4 2
2 2

(2)直线 PQ 与圆 C 相切.设 P( x0 , y0 )( x0 ? ?2) ,则 y0 ? 4 ? x0 . 当 x0 ? 2 时, P( 2 ,? 2 ), Q(2 2 ,0), kOP ? k PQ ? ?1 ,∴ OP ? PQ ; 当 x0 ? 2 时, k FP ?

y0 x0 ? 2

,? k OQ ? ?

x0 ? 2 y0

∴直线 OQ 的方程为 y ? ?

2 2 x0 ? 4 x0 ? 2 x .因此,点 Q 的坐标为 (2 2 ,? ). y0 y0

?
∵ k PQ ?

2 2 x0 ? 4 ? y0 y0 2 2 ? x0

?

2 2 x0 ? 4 ? y 0

2

y 0 ( x0 ? 2 2 )

?

x0 (2 2 ? x0 ) y 0 ( x0 ? 2 2 )

??

x0 y0

∴当 x0 ? 0 时, kPQ ? 0 , OP ? PQ ; 当 x0 ? 0 时候, kOP ?

y0 ,∴ kOP ? k PQ ? ?1, OP ? PQ . x0

综上,当 x0 ? ?2 时, OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 C 相切.

x2 y2 79. 解: (1)设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,则有 a b ? 2 2 ? ? ?a 2 ? 16 ? a b 解得 ? 2 ? ?b ?8 ? 4 ? 6 ?1 2 2 ? b ?a x2 y2 ? ?1 ∴所要求的椭圆方程为 16 8 1 1 5 2 (2)①当射线与 y 轴重合时, OA ? = 2? ? OB 4 2 2
②当射线不与坐标轴重合时,由椭圆的对称性,我们仅考察 A、B 在第一象限的情形。 设其方程为 y ? kx ( k ? 0, x ? 0 ) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )

4 ? 2 x1 ? ? y ? kx ? ? ? 1 ? 2k 2 由 ? x2 解得 ? y2 4k 2 ? ?1 2 ? ? y1 ? 2 ?4 ? 1 ? 2k 2 ? 16 ? 2 x1 ? ? y ? kx ? ? ? 1 ? 2k 2 由 ? x2 解得 ? y2 16k 2 ? ?1 2 ? ? y ? ? 16 8 1 ? 1 ? 2k 2 ?
2 k 2 ?1 1 ? 2k 2 1 ? OA ? ? OB 1 ? 2k 2 4 k 2 ? 1
令t ?

OA ?

2 k 2 ?1 1 ? 2k 2

OB ?

4 k 2 ?1 1 ? 2k 2

知 2 ?t ?2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1 1 OA ? ? t? , 记 f (t ) ? t ? , 则 f (t ) 在 ( 2 ,2] 上 是 增 函 数 , ∴ 2t 2t OB

2 k 2 ?1

则由 t ?

2 k 2 ?1

?

4k 2 ? 4 2 ? 2? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

f ( 2 ) ? f (t ) ? f (2) ,



9 5 1 9 1 1 的最大值为 , OA ? 的最小值 2 ? OA ? ? 由①②知, OA ? 4 4 OB 4 OB OB



5 2 。 4

y2 x2 2 2 2 80. 解 :( 1 ) 设 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0),设c ? 0, c ? a ? b , 由 条 件 知 a b

a ? c ? 1?

2 c 2 , ? , 2 a 2

∴ a ? 1, b ? c ?

2 , 2

故 C 的方程为: y ?
2

x2 ?1 1 2


( 2 ) 由 AP ? ? PB 得, OP ? OA ? ?(OB ? OP), (1 ? ?)OP ? OA ? ?OB,

? ? 1 ? 4, ? ? 3
设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? kx ? m, 得(k 2 ? 2) x 2 ? 2km x ? (m 2 ? 2) ? 0 ? 2 2 ?2 x ? y ? 1
? ? (2km) 2 ? 4(k 2 ? 2)(m 2 ? 1) ? 4(k 2 ? 2m 2 ? 1) ? 0 (*)
? 2km m2 ?1 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 k ?2 k ?2
∴? ∵ AP ? 3PB ∴ ? x1 ? 3x2

? x1 ? x 2 ? ?2 x 2 ? x1 x 2 ? ?3x
2 2

消去 x2 , 得3( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 0,

∴ 3(

? 2km 2 2 m2 ?1 ) ? 4 ? 0 整理得 4k 2 m 2 ? 2m 2 ? k 2 ? 2 ? 0 k2 ? 2 k2 ? 2

1 1 2 ? 2m 2 2 2 m ? 时, 上式不成立: m ? 时, k ? ,因 ? ? 3 ,∴ k ? 0 4 4 4m 2 ? 1
2

∴k ?
2

2 ? 2m 2 ? 0, 4m 2 ? 1
2 2

∴ ?1 ? m ? ?

1 1 或 ? m ?1 2 2
即所求 m 的取值范围为

容 易 验 证 k ? 2m ? 2成立, 所 以 ( * ) 成 立

1 1 ( ?1,? ) ? ( ,1) 2 2

81.解: (1)∵ a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j , | a | ? | b |? 8 ∴动点 M ( x, y ) 到定点 F1 (0, ?2) 、 F2 (0, 2) 的距离之和为 8

∴曲线 C 的轨迹方裎为

x2 y 2 ? ?1 12 16

(2)直线 l 过 N (0,3) ,若 l 是 y 轴,则 A、B 是椭圆的顶点。∵ OP ? OA ? OB ? 0 ∴ P 与 O 重合,与 OAPB 为矩形矛盾。∴直线 l 的斜率存在. 设 l : y ? kx ? 3 , A( x 1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? kx ? 3 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (4 ? 3k ) x ? 18kx ? 21 ? 0 ? ? 1 ? ?12 16
∵ ? ? 4 ? 81k 2 ? 8 ? 21(4 ? 3k 2 ) ? 0 恒成立.∴由韦达定理得

x1 ? x2 ?

?18k ?21 , x1 ? x2 ? 2 3k ? 4 3k 2 ? 4

∵ OP ? OA ? OB 即 OA ? OB ? 0

∴ OAPB 是平行四边形. 若存在 l ,使它为矩形,则 OA ? OB ∴ x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 , ∴ (1 ? k ) ? (?
2

21 18 ) ? 3k (? )?9 ? 0 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

k2 ?

5 5 ,k ? ? , 15 4

所求直线 l 的方程为 y ? ?

5 x?3 4

82.解:(Ⅰ)设椭圆的长半轴长为 a ,短半轴长 b ,半焦距为 c ,由离心率 e ?

c 3 ,得 ? a 2

c?
2

3 a 2
2 2

∵b ? a ? c ?

1 2 a 4

∴ a ? 2b



∵直线 AB 的方程为 ②

ab 6 5 x y 6 5 ? ? ? 1 ,原点 O 到直线 AB 的距离为 ,∴ 5 a b 5 a2 ? b2

①代人②,解得 b ? 9, a ? 36
2 2

∴椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 36 9

(Ⅱ) ∵ EM ? EN 设 M ( x, y ) ,则

∴→ EM ·→ EN = 0

→·(EM →-→ ∴→ EM ·→ NM =EM EN )=→ EM → EM ? ( x ? 3, y)

2

x2 y2 x2 ? ? 1 ,即 y ? 9 ? 4 36 9
2

∴→ EM ·→ NM =→ EM ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 6 x ? 9) ? (9 ?
2

x2 3 ) ? ( x ? 4) 2 ? 6 4 4
] ∴→ EM ·→ NM 的取 值 范 围 是[6,81

∵? 6 ≤ x≤6

∴6 ≤

3 ( x ? 4) 2 ? 6 ≤ 81 4

83.解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 2 ? y 2 ? 1 ,则右焦点 F ( a ? 1, 0) 2 a
故所求椭圆的方程为

a2 ?1 ? 2 2
由题设

2

?3

2 解得 a ? 3

x2 ? y 2 ? 1. 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2) 设 P 为弦 MN 的中点, 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx? 3(m ? 1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?3
由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m 2 ? 3k 2 ? 1 ①

? xp ?

yp ?1 m ? 3k 2 ? 1 m xM ? x N 3mk ,从而 ?? y p ? kx p ? m ? 2 ,? k Ap ? ?? 2 3k ? 1 2 3k ? 1 xp 3mk

又 AM ? AN ,
2 即 2m ? 3k ? 1

? AP ? MN ,则 ?


m ? 3k 2 ? 1 1 ?? , 3mk k
2

把②代入①得 2m ? m

解得 0 ? m ? 2

又由②得 k ?
2

1 2m ? 1 ? 0 解得 m ? . 2 3

故所求 m 的取范围是 ( , 2)

1 2

(4) 84.(1)解:由条件得 M(0,或p 所以直线与抛物线所围区域面积 S= 又 S=6,所以 p=3 (2)证:设直线 AB 的方程为 y=kx+

p p p 2 ) ,F(0, )把 y= 代入 x ? 2 py 中得 x=-p 2 2 2

p 1 3 p 2 2 p x2 ( ?? p 2 ? 2 p )dx = ( 2 x ? 6 p x ) ? p = 3 p
p

p ,A(x1,y1),B(x2,y2) 2

由?

p ? ? y ? kx ? 2 2 2 2 得 x ? 2 pkx ? p ? 0 , x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ? p , 2 ? ? x ? 2 py

抛物线方程可化为 y ?

1 2 1 x x x , y / ? x ,所以 K NA ? 1 , K NB ? 2 ,所以 2p p p p

切线 NA 的方程为: y ?

x1 x2 x x2 x ? 1 ,切线 NB 的方程为: y ? 2 x ? 2 , p 2p p 2p

两方程联立得 N(

x1 ? x2 x1 ? x2 , ) ,从而可知 N 点,Q 点的横坐标相同,但纵坐标不同, 2 2p
p p ),而 M(0,- ) , 2 2

所以 NQ // OF ,又 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 ? x2 ? ? p 2 ,所以 N(pk, ?

p ? MN ? ( pk,0) ,又 OF ? (0, ) ,? MN ? OF ? 0 ,? MN ? OF 2
(3)解:因为 MA ? MB = x1 ? x2 ? ( y1 ?

p p )( y2 ? ) = (1 ? k 2 ) x1 ? x2 ? kp( x1 ? x2 ) ? p 2 2 2

= p 2 k 2 ,又 MA? MB ? 4 p2 ,? p 2 k 2 ? 4 p 2 ,所以 k=2 或-2 由于 NF ? (? pk, p) , AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) = ( x2 ? x1 )(1, k )

? NF ? AB ? ( x2 ? x1 )(? pk ? pk) ? 0 ,从而 NF ? AB ,又 NF ? p 2 k 2 ? p 2 = 5 p
AB ? y2 ? y1 ? p ? 10 p ,? S ?ABN ?
1 1 NF ? AB = 5 p ?10 p = 5 5 p 2 2 2

而 S ?ABN 的取值范围是 5 5,20 5 ,?5 5 ? 5 5 p 2 ? 20 5 , 1 ? p 2 ? 4 ,而 p>0 所以 1≤p≤2,又 p 是不为 1 的正整数,所以 p=2 故抛物线的方程为 x =4y 85.
2

?

?

86.解: (1)由题设知: A(

a2
2

a ?8 ? a2 ? 2 2 ? ? a ? 8 ? 2 ? a ? 8 由 OF 得 : ? 2 AF ? 0 1 1 ? 2 ? ? a ?8 ?
解得 a ? 2 6 ,? 椭圆 M 的方程为 M :

,0), F1 ( a 2 ? 8,0)

x2 y2 ? ?1 24 8

(2) PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

? ?? ? ? ?? NF ? NP ?? ?NF ? NP ? ? ?? NP ? ? NF
2

2

? NP ? 1

2

从而将求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值

2

P 是椭圆 M 上的任一点,设 P?x0 , y0 ? ,则有
即 x0 ? 24 ? 8 y0
2 2
2 2

x0 y ? 0 ?1 24 8
2 2

2

2

又 N ?0,2? ,? NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 30

y0 ? ? 2 2,2 2

?

?

? 当 y0 ? ?1 时, NP 取最大值 30

2

? PE ? PF 的最大值

为 29 87.解: (Ⅰ)方法一、由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) , 因 M 在抛物线 C2 上,故 x02 ? 4 y0 ?①

5 5 2 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ??②, 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? . 3 3 3 3 M 椭圆 C1 的两个焦点 F1 (0,1) , F2 (0, ?1) ,点 椭圆上,
又 | MF1 |? 由 椭 圆 定 义 得

2a ?| MF1 | ? | MF2 |? (?

2 6 2 2 6 2 ? 0)2 ? ( ?1)2 ? (? ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? 4 3 3 3 3 2 y x2 2 2 2 ? ? 1. ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 , ∴椭圆 C1 的方程为 4 3 2 方 法 二 、 由 C2 : x ? 4 y 知 F1 (0,1) , 设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) , 因 M 在抛 物 线 C2 上 , 故
又 | MF1 |?

x02 ? 4 y0 ?①
5 5 2 2 6 ,则 y0 ? 1 ? ??②, 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? . 3 3 3 3 2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 3 3 ? ?1 即 ? 2 ? 1 ? ③, 又 c ? 1 , 则 而点 M 椭圆上,故有 2 2 2 a b 9a 3b 2 2 b ? a ? 1?④ y 2 x2 2 2 ? ? 1. 由③④可解得 a ? 4 , b ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为 4 3 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , Q( x, y) ,
由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ?1, y2 ? 3) ,即 ? 由 AQ ? ?QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,即 ? ⑤ ? ⑦得: x12 ? ? 2 x22 ? (1 ? ? 2 ) x

? x1 ? ? x2 ? 1 ? ? ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? )

? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y

⑥ ? ⑧得: y12 ? ? 2 y22 ? 3 y(1 ? ? 2 )

两式相加得 ( x12 ? y12 ) ? ? 2 ( x22 ? y22 ) ? (1 ? ? 2 )( x ? 3 y)
2 2 又点 A, B 在圆 x ? y ? 3 上,且 ? ? ?1 ,所以 x12 ? y12 ? 3 , x22 ? y22 ? 3

即 x ? 3 y ? 3 , ∴点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上. 88.解: (1)∵ =2px2,故得 y12 y22 2 2 2 2p · 2p +y1y2=0, y1y2=-4p ? |y1y2|=4p 又|y1y2|=4,故得 4p =4,p=1. → → OP · OQ =0,则 x1x2+y1y2=0,又 P、Q 在抛物线上,故 y12=2px1,y22

? y 2 ? 4x

设 E(a,0) (a ? 0) ,直线 PQ 方程为 x=my+a
?x=my+a ? 2 ?y =2px

联 立 方 程 组

消 去

x



y2 - 2pmy - 2pa = 0

? y1 y2 ? ?2 pa ? ?4 p 2
? S ?OPQ ?

?a ? 2 p ? 2

1 1 | OE | ?(| y1 | ? | y 2 |) ? ? 2 ? 2 | y1 y 2 | ? 4 ? 面积最小值为 4. 2 2
?x=my+a 联立方程组 ? 2 ?y =2px

(2)设 E(a,0) ,直线 PQ 方程为 x=my+a 消去 x 得 y2-2pmy-2pa=0 ∴

y1y2=-2pa ②

① y3 b 由①、②可得 y =a 2 ③

设 F(b,0),R(x3,y3),同理可知,y1y3=-2pb

→ → 若 TR =3 TQ ,设 T(c,0),则有(x3-c,y3-0)=3(x2-c,y2-0) y3 ∴ y3=3y2 即 y =3 ④ 将④代入③,得 b=3a. 2 → → 又由(Ⅰ)知, OP · OQ =0 ? -2pa=-4 p2 ? y1y2=-4p2,代入①,可得 故 b=6p.

a=2p.

→ → 故知,在 x 轴上,是否存在异于 E 的一点 F(6p,0),使得 TR =3 TQ . 89.解(Ⅰ)设 | AF2 |? m ,则 | AF2 |? 3m .由题设及椭圆定义得

?(3m)2 ? m2 ? (2c)2 2 ? ,消去 m 得 a2 ? 2c2 ,所以离心率 e ? . ? 2 ? ?3m ? m ? 2a
(Ⅱ)解法一: 由(1)知, b2 ? c2 ? a2 ,所以椭圆方程可化为 x2 ? 2 y 2 ? 2c2 . ①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时, ?1 ? ?2 ,直线 AF1 的方程为 y ? x ? c . 由?

1 2

? ?y ? x ? c 得 2 2 2 ? ?x ? 2 y ? a

4 3x2 ? 4cx ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ? c , 3
4 3

1 3 2 c , | AF 又 F1 (?c,0) ,所以 | F1B |? 1 |? 2c ,所以 ?1 ? 3 , ?1 ? ?2 ? 6 . 3
∴ 点 B 的坐标为 (? c, ? a) . ②当 A 点为该椭圆上的一个动点时, ?1 ? ?2 为定值 6. 证明 设 A( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则 x02 ? 2 y02 ? a2 . 若 A 为椭圆的长轴端点,则 ?1 ? 所以 ?1 ? ?2 ?

a?c a ?c a?c a?c , , ?2 ? , 或 ?1 ? , ?2 ? a ?c a?c a?c a ?c

2(a 2 ? c 2 ) ?6. a2 ? c2

若 A 为 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 意 一 点 , 则 由 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C 得 ,

?1 ? ?

y0 y 1 1 , ?2 ? ? 0 ,所以 ?1 ? ?2 ? ? y0 ( ? ) . y1 y2 y1 y2

x0 ? c ? x0 ? c ?x ? c ? y y y ,所以由 ? 又直线 AF1 的方程为 x ? c ? 得 0 y0 ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2c
[2 y02 ? ( x0 ? c)2 ] y 2 ? 2cy0 ( x0 ? c) y ? c2 y02 ? 0 .
∴ (3c ? 2x0 ) y 2 ? 2 y0 ( x0 ? c) y ? cy02 ? 0 . 由韦达定理得

x02 ? 2 y02 ? 2c2 ,

y0 y1 ? ?

cy0 cy0 cy0 2 ,所以 y1 ? ? . 同理 y2 ? . 3c ? 2 x0 ?3c ? 2 x0 3c ? 2 x0

∴ ?1 ? ?2 ? ? y0 (

3c ? 2 x0 ?3c ? 2 x0 1 1 ? ) ? ? y0 (? ? )?6. y1 y2 cy0 cy0

综上证得,当 A 点为该椭圆上的一个动点时, ?1 ? ?2 为定值 6. 解法二:设 A( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则 AF 1 ? (?c ? x0 , ? y0 ), FB 1 ? ( x1 ? c, y1 ) ∵ AF 1 ? ?1 FB 1 ,∴ x1 ? ?

c ? x0

?1

? c, y1 ? ?

?1

y0



又 x02 ? 2 y02 ? 2c2 ①, x12 ? 2 y12 ? 2c2 ②,将 x1 、 y1 代入②得:

(

c ? x0

?1

? c)2 ? 2(

?1

y0

) 2 ? 2c 2 即 (c ? x0 ? c?1 )2 ? 2 y02 ? 2?1c2 ③;

③ ? ①得: 2 x0 ? c?1 ? 3c ; 同理:由 AF2 ? ?2 FB2 得 2 x0 ? ?c?1 ? 3c ,∴ c?1 ? 3c ? ?c?1 ? 3c ,∴ ?1 ? ?2 ? 6 . 90.解:设 | PF 1 |? m, | PF 2 |? n ,不妨 P 在第一象限,则由已知得

?m ? n ? 2 a , ? 2 2 2 2 2 ?m ? n ? (2c) , ? 5a ? 6ac ? c ? 0, ?n ? 2c ? 2m. ?

? e 2 ? 6e ? 5 ? 0,

解得 e ? 5或e ? 1 (舍去) 。设椭圆离心率为 e?, 则5e? ?

5 6 6 . ? e? ? . 3 3

可设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1, 半焦距为c ?. a ? 2 b? 2

? c? 6 , ? ? ?a ? ? 3 , ? a 3 ? ? ? 2 ? ?b ? ? c ? 2 ? 3, 解之得?b ? ? 1, ?b ? 2 ? c ? 2 ? a ? 2 . ? ?c ? ? 2 . ? ? ?
(Ⅱ)①当 AB ? x轴时, | AB |? 3.

? 椭的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由已知

|m| 1? k 2

?

3 3 , 得 m 2 ? (k 2 ? 1), 把y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 4 2

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3m 2 ? 3 ? 0, ? x1 ? x2 ?
2 2 2
2

? 6km 3(m 2 ? 1) , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? | AB | ? (1 ? k )(x2 ? x1 ) ? (1 ? k )[ 2 ? ] (3k ? 1) 2 3k 2 ? 1 ? 12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2
12k 2 ? 3? 9k 2 ? 6k 2 ? 1
12 12 ? 4. (k ? 0) ? 3 ? 1 2?3? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

? 3?

当且仅当 9k ?
2

1 3 ,即k ? ? 时等号成立,此时 | AB |? 2. 2 3 k

③当 k ? 0时, | AB |? 3. 综上所述: | AB | max ? 2 , 此时 ?AOB 面积取最大值 S ?

1 3 3 | AB | max ? ? . 2 2 2


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