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《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第5章 数列-3

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第五章
数 列

第三节

等比数列及其前n项和

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

1.等比数列的定义 1 ____项起,每一项与它前一项的比等 如果一个数列从第 □ 2 ____________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫 于 □ 3 ______,通常用字母□ 4 ______表示. 做等比数列的□

2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= ______________. 3.等比中项 6 __________,则G叫做a与b的等比中项. 若□ 5 □

4.等比数列的常用性质 7 ____________(n,m∈N*). (1)通项公式的推广:an=am· □ (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 8 ______________________. □ (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), 1 an 2 {a },{an},{an· bn}{b }仍是等比数列. n n

5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn. ? 9 ?□ Sn=? ? 10 ?□ ,?q=1? 11 =□ .

6.等比数列前n项和的性质 若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n- 12 ____________. Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为□

答案:

2 个注意点——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)由 an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要验 证 a1≠0. (2)在应用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 和 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情况而导致错误.

4 种方法——等比数列的判定方法 an+1 an (1)定义法:若 =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 an an-1 n≥2),则{an}是等比数列;
* (2)等比中项法:在数列{an}中,an≠0 且 a2 = a · a ( n ∈ N ), + + n 1 n n 2

则数列{an}是等比数列; (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则{an}是等比数列;

(3)前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn-k(k 为常 数且 k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列. 注意:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.

1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于( A.4 B.8 C.16

) D.32

解析:a2· a6=a2 4=16. 答案:C

2.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1 ,a +1,a +4,则 an=( )
?2? ? ?n B.4· ?3? ?2? - ? ?n 1 D.4· ?3?

?3? ? ?n A.4· ?2? ?3? - ? ?n 1 C.4· ?2?

解析:(a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,
?3? - 3 ? ?n 1. a1=4,q= ,故 an=4· 2 ?2?

答案:C

3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 C.128 B.81 D.243

)

a2+a3 解析:q= =2, a1+a2 故 a1+a1q=3?a1=1,a7=1×27 1=64.


答案:A

1 4.在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=4,则公比 q=________; a1+a2+…+an=________.
1 n ? 1 - 2 ? 1 2 解析: a4=a1q3, 得 4=2q3, 解得 q=2, a1+a2+…+an= 1-2 1 =2n-1-2.
答案:2 2
n-1

1 -2

5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= ________.
解析:∵S3+3S2=0,∴a1+a2+a3+3(a1+a2)=0, ∴a1(4+4q+q2)=0. ∵a1≠0,∴q=-2.

答案:-2

课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

考点一

等比数列基本量的计算

【例 1】 (1)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1, a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

(2)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等 于( ) A.7 C.-5 B.5 D.-7

(3)已知数列{an}为等比数列, Sn 是它的前 n 项和, 若 a2· a3=2a1, 5 且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5 等于( 4 A.35 C.31 B.33 D.29 )

(4)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S2=3a2 +2,S4=3a4+2,则 q=__________.

解析:(1)设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1 =9,此时 S3=27,而 a2+10a1=99,不满足题意,因此 q≠1. a1?1-q3? ∵q≠1 时,S3= =a1· q+10a1, 1-q 1-q3 ∴ =q+10,整理得 q2=9. 1-q 1 ∵a5=a1· q =9,即 81a1=9,∴a1= . 9
4

?a q3+a q6=2, ? 1 1 ? (2)根据题意得 4 5 ? a q × a q 1 =-8, ? 1 ?a q3+a q6=2, ? 1 1 ? 即 3 6 ? a q × a q 1 =-8 ? 1
3 ? ?a1q =4, ? 6 ? a q =-2. 1 ?

?a q3=-2, ? 1 ?? 6 ? ?a1q =4



? ?a1=1, ?? 3 ? ?q =-2

?a1=-8, ? 或? 3 1 q =- . ? 2 ?

所以当 a1=1, q3=-2 时, a1+a10=a1(1+q9)=1+(-2)3=-7;

? ? 1? ? 1 3 当 a1=-8,q =-2时,a1+a10=-8?1+?-2? ?=-7,所以选 ? ? ??
3

D. (3)设公比为 q(q≠0),则由 a2· a3=2a1 知 a1q3=2,得 a4=2. 5 1 又∵a4+2a7=2,∴a7=4. 1 ∴a1=16,q=2. a1?1-q5? 故 S5= = 1-q
? ? 1?5? 16?1-?2? ? ? ? ? ?

1 1-2

=31.

(4)当 q=1 时,由 S2=3a2+2 得 a2=-2,由 S4=3a4+2 得 a4 ?a1+a1q=3a1q+2, ? =2,两者矛盾,舍去,则 q≠1,联立方程 ?a1?1-q4? 3 = 3 a q +2, 1 ? 1-q ? ?a1=-1, ? 3 可解得? 3 故应填 . 2 q=2, ? ?
答案:(1)C (2)D 3 (3)C (4)2

?名师点拨

等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略

(1)化基本量求通项.求等比数列的两个基本元素 a1 和 q,通项 便可求出,或利用知三求二,用方程求解. (2) 化基本量求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求 解. (3)化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质,建立方程组 求解. (4)化基本量求和.直接将基本量代入前 n 项和公式求解或利用 等比数列的性质求解.

2 通关特训 1 (1)设首项为 1,公比为3的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn,则( ) B.Sn=3an-2 D.Sn=3-2an

A.Sn=2an-1 C.Sn=4-3an

2 (2)已知等比数列{an}为递增数列,且 a5 =a10,2(an+an+2)=5an
+1

,则数列{an}的通项公式 an=__________.

2 a1?1-q ? a1-anq 1-3an 解析:(1)Sn= = = =3-2an,故选 D 项. 2 1-q 1-q 1-3
n 2 (2)设公比为 q,由 a5 =a10 得(a1q4)2=a1· q9,即 a1=q.

1 又由 2(an+an+2)=5an+1, 得 2q -5q+2=0, 解得 q=2(q=2舍),
2

∴an=a1· qn 1=2n.


答案:(1)D (2)2n

考点二

等比数列的判定与证明

【例 2】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

解析:(1)∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, an+1-1 1 ∴ = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2 1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 1 1 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=- ,公比 q= . 2 2

又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以-2为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)可知
? 1? ?1?n-1 ?1?n ? ? cn=?-2?· =-?2? , 2 ? ?? ? ? ?

?1? ∴an=cn+1=1-? ?n. ?2?

∴当 n≥2 时,
? ? 1? - ? ?1? n bn=an-an-1=1-? ? -?1-?2?n 1? ? ? ? ? ?2? ?1?n-1 ?1?n =?2? -?2? ? ? ? ?

?1? =?2?n. ? ? ?1?n 1 又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=? ? . 2 ?2?

?名师点拨 等比数列的判定方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法 只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只 要证明存在连续三项不成等比数列即可.

通关特训 2 [2013· 陕西]设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

解析:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1,①


qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, ?na1,q=1, ? a1?1-q ? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ? 1-q ,q≠1. ?
n

(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*,(ak+1+ 1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k +1+2ak +1+1=ak ak +2+ak +ak +2+1,
2k k k -1 a2 · a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 1q +2a1q =a1q

∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,与已知矛盾, ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.

考点三

等比数列的性质

【例 3】 (1)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数, 且 a3a11 =16,则 log2a10 等于( A.4 C.6 ) B.5 D.7

(2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2, S3n=14,则 S4n 等于( A.80 C.26 ) B.30 D.16

解析:(1)∵a3· a11=16,∴a2 7=16. 又∵等比数列{an}的各项都是正数,∴a7=4. 又∵a10=a7q3=4×23=25,∴log2a10=5. (2)设 S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知: 2(14-a)=(a-2)2,解得 a=6 或 a=-4(舍去), 同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以 b=S4n=30.
答案:(1)B (2)B

?名师点拨 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类: (1) 通项公式的变形; (2) 等比中项的变形;(3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分 析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

通关特训 3 (1)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根 1 m 组成以 为首项的等比数列,则 =( 2 n 3 A. 2 2 C. 3 3 2 B.2或3 D.以上都不对 )

(2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3,S12-S8=12, 则 S8=__________.

解析:(1)设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四 1 个根,不妨设 a<c<d<b,则 a· b=c· d=2,a= ,故 b=4,根据等比 2 9 数列的性质,得到 c=1,d=2,则 m=a+b=2,n=c+d=3,或 m 9 m 3 m 2 =c+d=3,n=a+b= ,则 = 或 = . 2 n 2 n 3

(2)由 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列,得(S8-S4)2=S4(S12-S8), 解得 S8=9 或 S8=-3,又由等比数列的前 n 项和公式知 S8 与 S4 同 号,故 S8=9.
答案:(1)B (2)9

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