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函数的奇偶性 学案教案辅导教案


函数的奇偶性 1.偶函数的定义: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么称函数 y ? f ( x) 是偶函数. 注意: (1) “任意” 、 “都有”等关键词; (2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; 2.奇函数的定义: 如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域内的任意一个

x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么称函数 y ? f ( x) 是奇函数. 3.函数图像与单调性: 奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于 y 轴对称. 4.函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域是否关于“0”对称; (2)计算 f (? x) 的解析式,并考察其与 f ( x ) 的解析式的关系 ; (3)下结论 .

例 1:判断下列函数是否是奇函数或偶函数:

?1? f ( x) ?

1 1 ? x a ?1 2

?2? f ?x ? ? ?

? e x ?1
?x ?1 ? e

x?0 x?0

?3? f ?x? ?

1 ? x2 ? x ?1 1 ? x2 ? x ?1

二.根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值: 例 2:已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,求 f (0) 的值. 【解】∵ y ? f ( x) 是定义域为 R 的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) 对任意实数 x 都成立, 把 x ? 0 代入 f (? x) ? ? f ( x) 得 f (0) ? ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 .

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x) ,则 f(-2)=_____. 5 .已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时,

f ( x) ?

.

例 1、已知函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 均为 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)= -

2 . 3

(1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大、小值。 解:(1)令 x=y=0,f(0)=0,令 x=-y 可得:f(-x)= -f(x),在 R 上任取 x1<x2, 则 x2-x1>0,所以 f(x2) -f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0。又因为 x>0 时 f(x)<0, 所以 f(x2-x1)<0,即 f(x2)<f(x1).由定义可知 f(x)在 R 上是减函数. (2)因为 f(x)在 R 上是减函数,所以 f(x)在[-3,3]上也是减函数.所以 f(-3)最大,f(3)最小。 所以 f(-3)= -f(3)=2 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2。 例 2、函数 f ( x ) 是定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,且为增函数,若 f (1 ? a ) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数 a 的范围。
解:? f ( x ) 定义域是 ( ?1,1) ? ?

? ?1 ? 1 ? a ? 1
2 ? ?1 ? 1 ? a ? 1
2

即?

?0 ? a ? 2 ?? 2 ? a ? 0 或 0 ? a ? 2

?0 ? a ? 2

又? f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0

? f (1 ? a ) ? ? f (1 ? a 2 )

? f ( x ) 是奇函数 ? f (1 ? a ) ? ? f (1 ? a 2 ) ? f (a 2 ? 1) ? f ( x ) 在 ( ?1,1) 上是增函数? 1 ? a ? a 2 ? 1
解之得 即a ? a ? 2 ? 0
2

?2 ? a ? 1

?0 ? a ? 2 ?0 ? a ? 1

故 a 的取值范围是 0 ? a ? 1

例 3、设 f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 f(1-m)<f(m)成立,求 m 的取值 解:因为函数 f(x)在[-2,2]上是偶函数,则由 f(1-m)<f(m)可得 f(|1-m|)<f(|m|). 又 x≥0 时,f(x)是单调减函数,
?| 1 ? m |? 2, 1 ? 所以 ?| m |? 2, 。解之得:-1≤m< . 2 ?| 1 ? m |?| m | ?


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