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人教A版高中数学必修四第二章2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示及平面向量的坐标运算

时间:2012-05-21


复习:共线向量基本定理:

? ? ? 向量 b 与向量 a(a ? 0) 共线
当且仅当有唯一一个实数 ? 使得

b ? ?a

定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题: ? AB ? ? BC(BC ? 0) ? A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的

问题:
AB ? ? CD ? AB // CD ? ? ? ? 直线AB // 直线CD ? AB与CD不在同一直线上 ?

已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB ? a, AD ? b ,用 a, b

表示 AM, AN .
a

B

M N

C

解: AM ? AB ? BM A D b 1 ? AB ? BC 2 AN ? AD ? DN 1 1 1 ? AB ? AD ? AD ? DC ? AD ? AB 2 2 2 1 1 ?b? a ?a? b 2 2

设 e1 ,e2是同一平面内的两个不共线的向量,
a 是这一平面内的任一向量, 问:与 e1 ,e2 之间有怎样的关系? a
M

? ? e1

? a

C

?? ? e2

A N
B

O

OM ? ?1 e1 ON ? ?2 e2

a ? OM ? ON ? ?1 e1 ? ?2 e2

想一想
确定一对不共线向量e , 后,是否平面内 e
1 2

任意一个向量都可以用 e ? ? e 来表示呢? ?

? ? ? ? ?? ⑴ 当a与e1或e2共线时 .

1

1

2

2

e1

? ? ? ?? ? a ? 0e1 ? ?2 e2

? e2 a

e1

? a
e2

? ? ? ?? ? a ? ?1 e1 ? 0e2

? ⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时, 怎样构造平行四边形 ?
A
C

M

e1

? e1 A a
N

O
? a
M

e2
B
C

N

? ?? ?? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 (?1 ? 0, ?2 ? 0)

O e 2

B

? ?? ?? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 (?1 ? 0, ?2 ? 0)

再改变成如下情况,怎样构造平行四边形? (3)

N

A

C

? a

e1
O e2 B

? ?? ?? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 (?1 ? 0, ?2 ? 0)

M

一、平面向量基本定理:
如果 e1、 是同一平面内的两个不共线 e2

向量,那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 ?1、?2此时称a向量 ,使
用基底e1,e2 线性表示。

?? ?? ? 其中e1,2 叫做表示这一平面内 e 所有向量的 一组基底 .

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

说明: ?? ?? ? 1、把不共线的非零向量 e1 , e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.

2、基底不唯一,关键是不共线.
? 3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 ?? ?? ? e1 , e2 的条件下进行分解.

4、基底给定时,分解形式唯一.

练习:下列说法是否正确?
1.在平面内只有一对基底. ×
2.在平面内有无数对基底. 3.零向量不可作为基底. 4.平面内不共线的任意一 对向量,都可作为基底.

√ √ √

例1.如图梯形ABCD中,AB // CD,AB ? 2CD, ???? ? ??? ? ? M 、N 是DC,BA中点, ? a, ? b , AD AB ? ? ???? ??? ???? ? ? 试以a , b 为基底表示DC , BC , MN
D
a

M

C

A

N b

B

二、向量的夹角: ? ? 两个非零向量 a, b

?

B
?

? ? a和 b
? O b B

?AOB ? ? 叫做向量
的夹角. 注意:同起点

b
?

O

a A
B ? b ? ? a O A

夹角的范围:(0? ? ? ? 180? ) ? ? a a
A
?

? ?0

? B b

O
?

A

? ? 180

? ? 90

?

例2:如图,等边三角形中,求
(1)AB与AC的夹角; (2)AB与BC的夹角。
'

C

C

注意:同起点

120
A

0

60

?

B

一个重要结论
OB 例3. 如图, OA、 不共线, 且 AP ? t AB ( t ? R ), 用 OA, OB 表示 OP .

OP ? (1 ? t )OA ? t OB
已知 结论: O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上, 则 OP ? mOA ? nOB, 且 m ? n ? 1.

P B

O

A

三、平面向量的坐标表示
思考?

在平面里直角坐标系中,每 一个点都可用一对有序实数(它 的坐标)表示。对直角坐标平面 内的每一个向量,如何表示呢?

2.2.3平面向量的正交分解及坐标表示.

物理背景: 向量的 正交分解

三、平面向量的坐标表示
i,j为单位向量

y

yj j
O

基底 a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
(直角)坐标,记作
i xi
x

? ? ? 正交单位 xi +y j a?

? a ? ( x, y)

其中,x叫做 a 在x轴上的坐标, y叫做 a 在y轴上的坐标, (x,y)叫做向量的坐标表示.

三、平面向量的坐标表示
y

? a
A

y
? j

? ? ? a ? xi +y j
??? ? ? ? OA ? xi +y j
x

O ?

i

x

当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标

就是向量终点的坐标.

? 向量 a

一一对应

坐标(x,y)

两个向量相等,利用坐标如何表示?

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

? ? ? 例: 如图,用基底 i ,j 分别表示向量a、 ? ? ? b 、c 、d , 并求出它们的坐标 . y 解: ? AA ? AA ? 2i ? 3 j a A2 B 1 2 ? b ? a ? (2,3)
a

?b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3)
c ? ?2i ? 3 j ? (?2,?3)
j O c i

A

A1
x

d ? 2i ? 3 j ? (2,?3)

d

2.3.3平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算

1.已知a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y2 ) ,求a+b,a-b,λ a
解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j
即 同理可得 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差

2.3.3平面向量的坐标运算
2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).求 AB 解:AB ? OB ? OA ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
A( x1 , y1 )
y

B( x2 , y2 )
x

O

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点的坐标减去始点的坐标. ?a ? (?x , ?y ) 若a ? ( x, y)则 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的 向量的相应坐标.

2.3.3 平面向量的坐标运算
例2.已知a=(2,1),b=(-3,4), 求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
解:

a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19)

2.3.3 平面向量的坐标运算
例3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的 坐标分别为(-2,1)、( -1,3)、(3,4),求 顶点D的坐标. 解:设顶点D的坐标为(x,y)
?   ? ( ?1 ? ? 2),? 1)(1, AB ( 3 ? 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得

1? ?  3 ? x ?    ? ?2 ? 4 ? y

?x ? 2 ?? ?y ? 2 ?  顶点D的坐标为( , 2 2)

(1,2) ? ( 3 ? x,4 ? y )

小结
1.平面向量基本定理: a ? ?1 e1 ? ?2 e2 2.向量的夹角: (0 ? ? ? 180 )
? ?

? ? ? 3.平面向量的坐标表示: a ? xi +y j ??? ? ??? ? ??? ?
三点共线.
5.平面向量的坐标运算

4.一个重要结论: 若OP ? mOA ? nOB,

且 m ? n ? 1.则A, B, P


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