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2014年高考理科数学试题分类汇编

时间:2015-05-29


2014 年高考数学试题汇编 三角函数
三.解答题 2. (2014 湖北)(本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: 关系: )随时间 (单位:h)的变化近似满足函数

(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差; (Ⅱ)若要求实验室温度不高于 (Ⅰ)因为 f (t ) ? 10 ? 2( ,则在哪段时间实验室需要降温?

? ?

3 ? 1 ? cos t ? sin t ) = 10 ? 2 sin( t ? ) , 12 3 2 12 2 12
12 t?

由 0≤t<24,所以 ? ? ? t ? ? ? 7? , ? 1 ? sin( ?
3 12 3 3
12 3

?
3

) ?1.

当 t=2 时, sin( ? t ? ? ) ? 1 ;当 t=14 时, sin( ? t ? ? ) ? ?1 .
12 3

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12℃,最低温度为 8℃,最大温差为 4℃. (Ⅱ)依题意,当 f(t)>11 时,实验室需要降温. 由(Ⅰ)得 f (t ) ? 10 ? 2 sin( ? 又 0≤t<24,因此 7?
6 ?

12
?
12

t?

?
3
?
3

) ,故有 10 ? 2 sin(
11? 6

?
12

t?

?
3

) >11,即 sin(

?
12

t?

?
3

) <? 1 .
2

t?

?

,即 10<t<18.在 10 时至 18 时实验室需

要降温. 3. (2014 江苏) (本小题满分 14 分) 已知 ? ? ( ? , ? ) , sin? ?
2
5 5

.

(1)求 sin(?

4

? ? ) 的值;
? 2? ) 的值.

(2)求 cos(5?
6

7、(2014 广东)(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? ), x ? R ,且 f ( 5 ? ) ? 3 ,
4
12 2

(1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ? 3 , ? ? (0, ? ) ,求 f ( 3 ? ? ? ) .
2

2

4

解 : (1) f (

5? 5? ? 2? 3 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? , ? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

8、(2014 四川) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(3x ? ? )
4

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若 ? 是第二象限角, f (? ) ? 4 cos(? ? ? ) cos 2? ,
3 5 4

求 cos ? ? sin ? 的值。 【解析】 (Ⅰ)

π π π π 2kπ π 2kπ π ? f ( x) = sin(3 x + ) ∴单调递增区间是 2kπ - ≤3x + ≤2kπ + ,解得 - ≤x ≤ + . 4 2 4 2 3 4 3 12 2kπ π 2kπ π 所以,单调递增区间是 [ - , + ], k ∈ Z 3 4 3 12







π α 4 π ? f ( x) = sin(3x + ), α在第二象限∴ cosα - sin α < 0 ? f ( ) = cos(α + ) cos 2α 4 3 5 4 π 2 4 2 即sin(α + ) = (sin α + cosαo= ? (cosα - sin α)(cos2 α - sin 2 α) 4 2 5 2 ∴ 5(sin α + cosα) = 4(cosα - sin α)2 (sin α + cosα) 当 sin α + cosα = 0时, sin α = -cosα = 所以,cosα - sin α = - 2,或 5 2 2 5 ,cosα - sin α = - 2;当sin α + cosα ≠ 0时, cosα - sin α = 2 2

11.(2014 浙江) (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 a ? b, c ? 3 , cos2 A - cos2 B ? 3sin A cos A - 3sin B cos B. (I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
5

(I)由题意得, 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2B ?
2 2

3 3 sin 2 A ? sin 2 B ,即 2 2

? ? 3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a 6 6 2 2 2 2

? b 得, A ? B ,又

A ? B ? ? 0, ? ? ,得 2 A ?

?
6

? 2B ?

?
6

??

,即 A ? B ? 2? ,所以 C ? ? ;
3
3

(II)由 c ? 3 ,sin A ? 4 ,
5

a c 得a ? sin A sin C

8 ? ,由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? 3 , 5 5

故 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 ? 3 3 ,所以 ?ABC 的面积为
10
1 8 3 ? 18 . S ? ac sin B ? 2 25

12. (2014 北京)(本小题 13 分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ? ? , AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, cos ?ADC ? 1 (1)求
3
7

sin ?BAD (2)求 BD, AC 的长

解: (I)在 ?ADC 中,因为 COS ?ADC ? 1 ,所以 sin ?ADC ? 4
7

7

3 。所以

sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B = 4 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 3
7 2 7 2 14



(Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理得

3 3 8? AB ? sin ?BAD 14 ? 3 , BD ? ? sin ?ADB 4 3 7

在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 82 ? 52 ? 2 ? 8 ? 5 ? 1 ? 49
2

所以 AC ? 7 13. (2014 辽宁) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , cos B ? 1 ,
3

b ? 3 ,求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值.

【解析】
1 ac a 2 + c2 - b2 ? cos B = , b = 3 , BA ? BC = ca cos B = = 2 ,且 cos B = ∴ ac = 6, a + c = 5 (1) 3 3 2ac ? a > c ∴ 解得a = 3, c = 2.所以,a = 3, c = 2
1 2 2 a 2 + b2 - c2 7 4 2 ? cos B = ∴sin B = ? a = 3, b = 3, c = 2, cosC = = , sin C = 3 3 2 ab 9 9 (2) 23 23 ∴cos(B - C ) = cos B cosC + sin B sin C = .所以, cos(B - C ) = 27 27

14. (2014 陕西)(本小题满分 12 分)
?ABC 的内角 A, b, c. B, C 所对的边分别为 a,

b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin? A ? C ? ; (I)若 a, b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a,

【解析】 (1)

? a, b, c成等差, ∴ 2b ? a ? c,即2sinB ? sinA ? sinC. ? sinB ? sin(A ? C),∴.sinA ? sinC ? 2sin(A ? C)
? a, b, c成等比, ∴ b 2 = ac.又cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac - b 2 2ac - ac 1 ≥ = = 2ac 2ac 2ac 2

(2)

1 仅当a = c = b时,cosB取最小值 , 这时三角形为正三角形 . 2

16(2014 安徽)(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.
? ? 的值. (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)求 sin? ?A? ?
? 4?

(Ⅰ)因为 A ? 2 B ,所以 sin A ? sin 2 B ? 2 sin B cos B .
2 2 2 由正、余弦定理得 a ? 2b ? a ? c ? b .因为 b ? 3 , c ? 1 ,所以 a 2 ? 12 ,

2ac

a ? 2 3.
(Ⅱ)由余弦定理得 cos A ? b 2 ? c 2 ? a 2
2bc ? 9 ? 1 ? 12 1 ?? . 6 3

由于 0 ? A ? ? ,所以 sin A ?
4 4

1 ? cos2 A ? 1 ?

1 2 2 ? 9 3



故 sin( A ? ? ) ? sin A cos ? ? cos A sin ? ? 2 2 ? 2 ? (? 1 ) ? 2 ? 4 ? 2
4 3 2 3 2 6

一.选择题 1. (2014 大纲)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则 ( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a
6



D. c ? a ? b 【答案】C. ) 【解析】

2. (2014 陕西)函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的最小正周期是(
A.

? 2

B.?
2π 2π = = π,∴选B |ω | 2

C .2?

D.4? 【答案】 B

?T =

3、(2014 四川)为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上 所有的点( ) B、向右平行移动

1 个单位长度 2 C、向左平行移动 1个单位长度
A、向左平行移动
2

1 个单位长度 2 D、向右平行移动 2 个单位长度【答案】A
2

【解析】? sin( 2 x + 1) = sin 2( x + 1 ) ∴ 把y = sin( 2 x)左移动 1 得到 y = sin( 2 x + 1).选A 4. (2014 辽宁)将函数 y ? 3sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 ? 个单位长度,所得图象对
3

2

应的函数(



A.在区间 [ ?

7? , ] 上单调递减 12 12

B.在区间 [ ?

7? , ] 上单调递增 12 12
6 3

C.在区间 [? ? , ? ] 上单调递减
6 3

D.在区间 [? ? , ? ] 上单调递增【答案】B

【解析】

π π π π π π π 把y = 3 sin(2 x + ) = 3 sin 2( x + )的周期T = π,一个增区间为 [- - , - ];右移 后, 3 6 4 6 4 6 2 π π π π π π π 7π 增区间为 [ - - , + - ] = [ , ].选B. 2 4 6 2 4 6 12 12

? x . 若 存 在 f ? x? 的 极 值 点 x 满 足 5. (2014 新 课 标 II) 设 函 数 f ? x ? ? 3 s i n 0 m
2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 2

m 的取值范围是(



A. ? ??, ?6? ? ? 6, ?? B. ? ??, ?4? ? ? 4, ?? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? D. ? ??, ?1? ? ? 4, ?? 【答案】 C
? f ( x) = 3 sin πx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4

6 (2014 浙江)为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图像,可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图 像( )

A.向右平移

? 个单位 D 12

? ? ? 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 4 4 12

8(2014 新课标 I)设 ? ? (0, ? ) , ? ? (0, ? ) ,且 tan ? ? 1 ? sin ? ,则
2

2

cos ?

A . 3? ? ? ? ?

2

B . 2? ? ? ? ?
cos ?

2

C . 3? ? ? ? ?

2

D . 2? ? ? ? ? 【答案】 :B
2

【解析】 :∵ tan ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ?
cos ?

? ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ∴ ? ? ? ? ? ? ,即 2? ? ? ? ,选 2 2 2 2 2 2 ?2 ?

B 9. (2014 新课标 II)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( 2 A. 5 B. )

5

C.

2

D. 1

【答案】B

1 1 1 2 ac sin B = ? 2 ? 1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4 ? S ΔABC =

? ? 1. (2014 大纲)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( , ) 是减函数,则 a 的取 6 2
值范围是 . 【答案】 ? ??,2? .

2. (2014 江苏) 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横 坐标为
?
3

的交点,则 ? 的值是

.

3. (2014 上海)设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解
x1 , x2 , x3 ,则 x ? x2 ? x3 ?
1

。 【答案】

7π 3

π sin x + 3 cos x = 2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π] 3 【解析】 ? 2 sin x = a, 当x ∈[0,2π]时有3根,则x1 = 0, x2 = π, x2 = 2π,x1 + x2 = x2 = 3π π π 7π 当2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π]时,x1 = 0,x2 = ,x3 = 2πx2 ∴ x1 + x2 = x2 = 3 3 3

5. (2014 北京) 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [ ? , ? ] 上具
6 2

?? ? 2? ? ?? ? 有单调性,且 f ? ? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x ) 的最小正周期为________.
?2? ? 3 ? ?6?

π 7(2014 上海)函数 y ? 1 ? 2 cos2 (2x)的最小正周期是_______ . 【答案】 2

【解析】? y = 1 - 2 cos

2

(2 x) = - cos 4 x ∴ 周期 T =

2π π = 4 2

8. (2014 新课标 II)函数 f ? x? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin? cos? x ?? ? 的最大值为_______. 【答案】 1

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.

9. (2014 江苏 ) 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sinB ? 2 sinC , 则 cos C 的最小值 是 .

10、 (2014 福建) 在 ?ABC 中, 2 3 A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 ?ABC 等于_________. 13. (2014 新课标 I)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为 . 【答案】 :

3
【解析】 : 由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 即 (a ? b n i s ( ) n i sA) ? ( Bn i ) s? c b ? C 由及正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ∴ b2 ? c2 ? a2 ? bc ,故 cos A ? b
2
2



? c2 ? a2 1 , ? 2bc 2

∴ ?A ? 600 ,∴ b2 ? c2 ? 4 ? bc 4 ? b2 ? c2 ? bc ? bc ,∴ S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,

14 (2014 天津)在 D ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = 1 a ,
4
2sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______.

解: cos A =

1 4

因为 2sin B =

3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b = 3c , a = 2c .所以 2

b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4


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