nbhkdz.com冰点文库

立体几何问题的向量解法

时间:2012-04-28


用向量处理平行与垂直问题

复习回顾
1、平行 、
推论

线//线 线

判定定理
性质定理

线//面 面

判定定理
定义

面//面 面

性质定理

2、直线与平面垂直



⑴ l ⊥ α ? l ⊥ α内的任意一条直线
判定定理

⑵ 线⊥线
定义

线⊥面

(一)用向量处理平行问题

a
α

a
e1 e2

n

a b

a

m

α
β
n

b

a//α ? a ⊥ n
a//α ? a, e1, e2共面
? a = xe1 + ye2

a//b? a//b a//b α//β ? m//n

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 B1 E A D C B C1

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 B1 A D C y B

z
C1

x

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 B1 A D B C y

z
C1

x

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 C1 B1

c
A

bD a
B

C

例2、已知正方体 1中,E、F、G分别 、已知正方体AC 、 、 分别 的中点。求证: 是AB、AD、AA1的中点。求证:平面 、 、 EFG//平面 1B1C 平面D 平面
z D1 变式:求证:平面 变式:求证: A1BD//平面 1B1C 平面D 平面 A1 D G A F x E B B1 C y C1

小结
1.证明线面平行的方法: 证明线面平行的方法: 证明线面平行的方法 (1)线//线=?线//面 ) 线=?线//面 (2)共面向量定理 (3)法向量法 2.证明面面平行的方法: 证明面面平行的方法: 证明面面平行的方法 (1)法向量法 (2)判定定理及推论

(二)用向量处理垂直问题
是两条不重合的直线, 设a 、b是两条不重合的直线,它们的方向 是两条不重合的直线 向量分别为 a、 b 设α、β是两个不重合的平面,它们的法 是两个不重合的平面, 向量分别为 n m、

(1)a⊥ b ? a ⊥ b ? a ? b = 0

α (2) ⊥ β ? m ⊥ n ? m? n = 0

(3)a⊥ α ? a // m

例1、已知正方体 1中, F是CC1的中 、已知正方体AC 是 是下底面的中心。 点,O是下底面的中心。求证:A1O⊥平 是下底面的中心 求证: ⊥ 面DBF
z D1 A1 D A O B1 C1 F C y B

x

练习1、已知正方体 练习 、已知正方体AC1中,E、F分别是 、 分别是 AB、BC的中点。试在棱 1上找一点 的中点。 、 的中点 试在棱BB BM 的值为多少时 能使 M⊥平面 M,当 的值为多少时,能使 1 ⊥ 能使D 当
MB1

EFB1?并证明 并证明. 并证明
A1

z D1

C1 B1 M F B C y

D A E

x

例2、已知平行六面体 、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1
的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD 是菱形, 的底面 是菱形 ∠ =∠BCD ∠ (1)求证 1C⊥BD 求证:C ⊥ 求证 (2)当 CD/C1C 的值为多 当 少时,能使 能使A ⊥ 少时 能使 1C⊥平面 C1BD.请证明 请证明. 请证明
B1 C1 D1 A1

c
b
C B A D

a

说明:不好建系时 可直接用基向量来解 说明 不好建系时,可直接用基向量来解 不好建系时 可直接用基向量来解.

练习2、已知三棱柱 练习 、已知三棱柱ABC—A1B1C1中, 中
|AB|=|AC|, ∠A1AB=∠A1AC. ∠ 求证:A ⊥ 求证 1A⊥BC
A1 C1 B1

c
A

a
b
B

C

练习3、已知空间四边形 练习 、已知空间四边形PABC中, 中 PA=PB,CA=CB.求证 求证: 求证
(1)PC⊥AB ⊥

P E H B G F C

(2)若PC=AB.E,F,G,H分 若 分 别为PA,PB,BC,CA的中 A 别为 的中 点,则GE⊥FH 则 ⊥

小结
1. 将逻辑推理(几何法)算法化 将逻辑推理(几何法) 代数法)是向量法的本质。 (代数法)是向量法的本质。 2.证明垂直问题的方法: 证明垂直问题的方法: 证明垂直问题的方法 转化为向量的数量积

练习2、已知正四棱柱 练习 、已知正四棱柱AC1中,E、F分别 、 分别 的中点。 是AB、BC的中点。底面边长为 2 2 , 、 的中点 侧棱长为4,EF与BD交于点 求证 与 交于点 求证: 交于点G.求证 侧棱长为
z

平面B 平面 1EF ⊥平面BDD1B1 平面

B1 A1 B A E G F D D1

C1

C y

x


2013年高考立体几何之向量解法

高考立体几何向量解法一、线面关系与空间向量之间的转换若直线l,l 1,l 2的...AB A D B C A1 B1 C1 2.直线与平面垂直、平行的问题 证明直线与平面的...

立体几何中几类典型问题的向量解法

西安龙文教育一对一授课案教师:王波 课题 学生: 日期: 星期: 时段:立体几何中几类典型问题的向量解法 学习目标与分析 学习重点 学习方法 学习内容与过程 1.了解...

用向量方法解立体几何题

向量方法求空间角和距离前言:在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的 “三步曲” 解法: “作图、 证明、解三角形”,作辅助线多、技巧...

立体几何中几类典型问题的向量解法1

刘江华(题型归纳总结) 立体几何中几类典型问题的向量解法 立体几何中几类典型问题的向量解法 几类典型问题空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平...

立体几何中几类典型问题的向量解法

立体几何中几类典型问题的向量解法立体几何中几类典型问题的向量解法隐藏>> 立体几何中几类典型问题的向量解法 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线...

09年高考数学立体几何中几类典型问题的向量解法

立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的...

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识 直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1).平面 α,β 的法向量 u=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4) (1)线...

立体几何中的向量方法

如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 立体几何的向量方法 隐藏>> 立体几何的向量方法测试题及答案 1....

考点35 立体几何中的向量方法

【思路点拨】向量法是解决立体几何问题的重要方法,这两小题均可用向量法解决,当然这类问题用传统 的几何方法仍能得以解决。本题主要考查点、线、面位置关系,...

...试题考纲解读专题专题12 立体几何中的向量方法[来

2015年高考数学热点难点试题考纲解读专题专题12 立体几何的向量方法[来_高考_...【规律方法】证明平行、垂直关系时,若用传统的几何法,难以找出问题与条件的关系...