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立体几何问题的向量解法

时间:2017-07-27


用向量处理平行与垂直问题

复习回顾
1、平行 、
推论

线//线 线

判定定理
性质定理

线//面 面

判定定理
定义

面//面 面

性质定理

2、直线与平面垂直



⑴ l ⊥ α ? l ⊥ α内的任意一条直线
判定定理

⑵ 线⊥线
定义

线⊥面

(一)用向量处理平行问题

a
α

a
e1 e2

n

a b

a

m

α
β
n

b

a//α ? a ⊥ n
a//α ? a, e1, e2共面
? a = xe1 + ye2

a//b? a//b a//b α//β ? m//n

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 B1 E A D C B C1

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 B1 A D C y B

z
C1

x

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 B1 A D B C y

z
C1

x

是正三棱柱, 例1、已知:ABC—A1B1C1是正三棱柱, 、已知: D是AC的中点 是 的中点 求证: 平面DBC1 求证:AB1//平面 平面
A1 C1 B1

c
A

bD a
B

C

例2、已知正方体 1中,E、F、G分别 、已知正方体AC 、 、 分别 的中点。求证: 是AB、AD、AA1的中点。求证:平面 、 、 EFG//平面 1B1C 平面D 平面
z D1 变式:求证:平面 变式:求证: A1BD//平面 1B1C 平面D 平面 A1 D G A F x E B B1 C y C1

小结
1.证明线面平行的方法: 证明线面平行的方法: 证明线面平行的方法 (1)线//线=?线//面 ) 线=?线//面 (2)共面向量定理 (3)法向量法 2.证明面面平行的方法: 证明面面平行的方法: 证明面面平行的方法 (1)法向量法 (2)判定定理及推论

(二)用向量处理垂直问题
是两条不重合的直线, 设a 、b是两条不重合的直线,它们的方向 是两条不重合的直线 向量分别为 a、 b 设α、β是两个不重合的平面,它们的法 是两个不重合的平面, 向量分别为 n m、

(1)a⊥ b ? a ⊥ b ? a ? b = 0

α (2) ⊥ β ? m ⊥ n ? m? n = 0

(3)a⊥ α ? a // m

例1、已知正方体 1中, F是CC1的中 、已知正方体AC 是 是下底面的中心。 点,O是下底面的中心。求证:A1O⊥平 是下底面的中心 求证: ⊥ 面DBF
z D1 A1 D A O B1 C1 F C y B

x

练习1、已知正方体 练习 、已知正方体AC1中,E、F分别是 、 分别是 AB、BC的中点。试在棱 1上找一点 的中点。 、 的中点 试在棱BB BM 的值为多少时 能使 M⊥平面 M,当 的值为多少时,能使 1 ⊥ 能使D 当
MB1

EFB1?并证明 并证明. 并证明
A1

z D1

C1 B1 M F B C y

D A E

x

例2、已知平行六面体 、已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1
的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD 是菱形, 的底面 是菱形 ∠ =∠BCD ∠ (1)求证 1C⊥BD 求证:C ⊥ 求证 (2)当 CD/C1C 的值为多 当 少时,能使 能使A ⊥ 少时 能使 1C⊥平面 C1BD.请证明 请证明. 请证明
B1 C1 D1 A1

c
b
C B A D

a

说明:不好建系时 可直接用基向量来解 说明 不好建系时,可直接用基向量来解 不好建系时 可直接用基向量来解.

练习2、已知三棱柱 练习 、已知三棱柱ABC—A1B1C1中, 中
|AB|=|AC|, ∠A1AB=∠A1AC. ∠ 求证:A ⊥ 求证 1A⊥BC
A1 C1 B1

c
A

a
b
B

C

练习3、已知空间四边形 练习 、已知空间四边形PABC中, 中 PA=PB,CA=CB.求证 求证: 求证
(1)PC⊥AB ⊥

P E H B G F C

(2)若PC=AB.E,F,G,H分 若 分 别为PA,PB,BC,CA的中 A 别为 的中 点,则GE⊥FH 则 ⊥

小结
1. 将逻辑推理(几何法)算法化 将逻辑推理(几何法) 代数法)是向量法的本质。 (代数法)是向量法的本质。 2.证明垂直问题的方法: 证明垂直问题的方法: 证明垂直问题的方法 转化为向量的数量积

练习2、已知正四棱柱 练习 、已知正四棱柱AC1中,E、F分别 、 分别 的中点。 是AB、BC的中点。底面边长为 2 2 , 、 的中点 侧棱长为4,EF与BD交于点 求证 与 交于点 求证: 交于点G.求证 侧棱长为
z

平面B 平面 1EF ⊥平面BDD1B1 平面

B1 A1 B A E G F D D1

C1

C y

x


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