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福建省厦门市第六中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


厦门六中 2015—2016 学年度上学期高一期中考试 数学试卷
考试时间:120 分钟 考试日期:2015.11.10 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 A 则下列关系中正确的是 ?x | 2 ? x ? 4, A. ? ? A

B. ?? ? ? A C. ? ? A D. ??? ? A ( D. y ? 2
log 2 x

满分:150

?

?





2.下列函数中,与函数 y ? x 为相同函数的是 A. y ?



x2 x

B. y ?

x2

C. y ? ln e

x

3.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是定义域为 [ a ? 1,2a ] 的偶函数,则 a ? b 的值 A.0 B.

1 3

C. 1

D. ? 1





4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? x B. y ? ?x
3





C. y ?

1 x

D. y ? ( )

1 2

x

5.三个数 a ? 0.62 , b ? log2 0.6, c ? 20.6 之间的大小关系是





c? b A. a? .
x

b?c B. a?

a?c C. b?

c?a D. b?
( )

6.设函数 y ? 3 与 y ? 2 ? x 的图象交点为 ? x0 , y0 ? ,则 x0 所在的区间是 A. (0,

1 C. ?1, 2 ? D. ? 2, 3? 2 ? ?? a ? 2 ? x ? 1, x≤1, f x 7.已知函数 f ? x ? ? ? 若 ? ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取 log x , x ? 1. ? ? a
B. ( , 1) 值范围为 A.? 2,3? B. ?1, 2 ? C.? 2,3? ( )

1 ) 2

? 2, ?? ? D.
1

8.已知 f(x)=a ,g(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(3) ? g(3)<0,那么 f(x)与 g(x)在同一坐标系 内的图象可能为 ( )
x

9.设函数 f ( x) ? loga | x |, (a ? 0且a ? 1)在(? ?, 上单调递增, 则 f (a ? 1)与f (2) 的大 0) 小关系为 A. ( )

f (a ? 1) ? f (2) B. f (a ? 1) ? f (2) C. f (a ? 1) ? f (2) D.不确定
2

?loga x , x ? 0 10.设 a 为大于 1 的常数,函数 f (x ) ? ? , 若关于 x 的方程 f ? x ,x ? 0 ? a ? 恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是

(x ) ? bf (x ) ? 0
( )

A.0<b≤1

B.0<b<1

C.0≤b≤1

D.b>1.

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。 )
m 11. 已知幂函数 f ( x)=x 的图象过点 (2, 2 ) ,则 f ( ) =_____

1 4

12.函数 y ? log 1 ( x ? 3) 的定义域是 ___
2

____.

13.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,若 f ( x ) 在区间 ?0, ?? ? 是增函数,且 f (2) ? 0 ,则不 等式 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 14. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 f ( x) ? 3 ? m ( m 为 常 数 ) , 则
x

f (? log3 5) 的值为_________.
2 15. 已知函数 y ? f ( x) 与 y ? ( ) 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x ? 2 x ? 3) 的单调
x

1 2

递增区间为 _________ 16. 给出下列结论:
2

① y ? x2 ? 1, x ?[?1, 2] , y 的值域是 [2, 5] ;②幂函数图象一定不过第四象限; ③函数 f ( x) ? loga (2 x ? 1) ? 1 的图象过定点(1,0 ); ④若 log a

1 1 ( , 1) ? 1 ,则 a 的取值范围是 ; 2 2

⑤若 2? x ? 2 y ? ln x ? ln(? y ) ( x ? 0 , y ? 0 ),则 x ? y ? 0 . 其中正确的序号是 .

三、解答题: (本大题共 6 小题, 共 76 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 计算下列各式的值: (1) 27
? 2 3

? (?8.5) 0 ? (?3) 4 ;
2

4

(2)(lg2) +lg5·lg20+ lg100; (3)已知 5
a

? 3, 5b ? 4 .

求 a、b,并用 a , b 表示 log 25 12 。

18.(本小题满分 12 分) 已知集合 A={ x | 3 ? x < 6 } ,B={ y | y = ( )x , ?2 ? x ? ?1 } . (1)分别求 A ? B, ?R ( B ? A) . (2)已知 C={ x | 2a ?1 ? x ? a ? 1 } ,若 C ? B,求实数 a 的取值范围. 19.(本小题满分 13 分)

1 2

?? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? 已知函数 f ( x) ? ?0 ( x ? 0) 为奇函数; ? x 2 ? mx ( x ? 0) ?
(1)求 f ? -1? 以及 m 的值; (2)在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象,并写出单调区间; (3)就 k 的取值范围,讨论函数 g ? x ? ? f ( x)-2k+1 的零点个数。

20. (本小题满分 13 分) 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在 30 人或 30 人以下,每人需交费
3

用为 900 元; 若旅行团人数多于 30 人, 则给予优惠: 每多 1 人, 人均费用减少 10 元, 到达到规定人数 75 人为止.旅行社需支付各种费用共计 15000 元. (1)写出每人需交费用 y 关于人数 x 的函数; (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?



a x ?1 (a ? 0, a ? 1) ax ?1

(1)判断函数的奇偶性,并证明; (2)求该函数的值域; (3)判断 f ( x) 在 R 上的单调性,并证明. 22(本小题满分 13 分) . 设函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a ?1 , x ? ?0, 2? , a 为常数
2

(1)用 g (a ) 表示 f ? x ? 的最小值,求 g (a ) 的解析式 (2)在(1)中,是否存在最小的整数 m ,使得 g (a) ? m ? 0 对于任意 a ? R 均成立,若 存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

厦门六中 2015—2016 学年上学期高一期中考试
4

数 学 答题卷 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考试日期:2015.11.10

一、选择题:共 50 分.把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11._____ _____ 12._______ 14.____ ___ 15. _________ 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 76 分) 17. (本小题满分 12 分)解: 13._____ 16._____ _____ _____

18. (本小题满分 12 分)解:

19. (本小题满分 13 分)解:

5

20.(本小题满分 13 分)解:

21.(本小题满分 13 分)解:
6

7

22.(本小题满分 13 分)解:

密 封 线 内 请 勿 答 题

厦门六中2015学年第一学期高一年级期中考数学答案 一、选择题:

8

题号 答案

1 D

2 C

3 B

4 B

5 C

6 A

7 C

8 C

9 B

10 A

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 13. 15.

1 2

12. 14. -4

? 3, 4?

? ??, ?4? ? (0, ??)
(??, ?1)
16.

(2)(4)(5)

三、解答题:本大题共6小题.共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本题满分 12 分) (1)原式= (3 )
2

3

?

2 3

1 28 ? 1 ? 4 = 3?2 ? 1 ? 4 = ? 3 = . . . . . 4 分 9 9

(2)原式= lg 2 ? lg5(1 ? lg 2) ? 2 = lg2 2 ? lg5lg 2 ? lg5 ? 2 = lg 2(lg 2 ? lg 5) ? lg 5 ? 2 = lg 2 ? lg 5 ? 2 =3 (3) a ? log5 3, b ? log5 4 . . . . . . . 8分

log 25 12 ?

log5 12 log5 3 ? log5 4 a ? b ? ? log5 25 2 2

. . . . . . . 12 分

18. (本题满分 12 分)(1) A ? x 3 ? x ? 6 ∵A∩B={x|3≤x<4},

?

? B ? ?x 2 ? x ? 4 ?

A? B ? x 2 ? x ? 6

?

…2 分 . . . . . .4 分

?
…6 分 …8 分

∴?R( A ? B )={x|x<2 或 x≥6}, (2) C ? ? ,则 2a ? 1 ? a ? 1 ∴ a ? 2

9

?a ? 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 3 3 ? ? C ? ? ∵C? B,∴ ? 2a ? 1 ? 2 ? ?a ? 2 ? 2 ? a ? 2 . ? a ?1 ? 4 ? …11 分 ? ? ?a ? 3 3 a? ∴实数 a 的取值范围为: ………………… 12 分 2
19.(1) f(1)=1,f(-1)= -f(1)=-1,…………………1 分 当x<0 时,-x>0,f(x)=-(x) +2(-x)=-x -2x,又 f(x)为 奇函数,f(x)=-f(-x)=x +2x, 所以 m=2. …………………2 分 (2)y = f ( x ) 的 图 .…………………………4 分 单调递增区间 ? ?1,1? , 单调递减区间… 象 如 右 所 示
2 2 2

? ??, ?1? , ?1, ??? …………………7 分

(3)图象知:若函数 g ? x ? ? f ( x)-2k+1有一个零点,则 2k ? 1 ? 1 或 2k ? 1 ? ?1 即 k ? 1 或 k ? 0 ………………9 分 若函数 g ? x ? ? f ( x)-2k+1有二个零点,则 2k-1 ? 1 或 2k ? 1 ? ?1 即 k ? 0 或 k ? 1 ………………11 分 若函数 g ? x ? ? f ( x)-2k+1有三个零点,则 -1 ? 2k-1 ? 1 即 0 ? k ? 1 ………………13 分 20(本题满分 13 分)解答: 0 ? x ? 30 当 时 …………………2 分 , ,

y ? 900


30 ? x ? 75

时 …………………5 分

y ?9

0 ?

x0

?1

0?

即y??

900,0 ? x ? 30, x ? N ? ?1200 ? 10 x,30 ? x ? 75, x ? N

…………………6 分

(2)设旅行社所获利润为 S 元,则
10

当 0 ? x ? 30 时, S ? 900 x ? 15000 ;
2 当 30 ? x ? 75 , S ? x ?1200 ?10x ? ?15000 ? ?10x ?1200 x ?15000 ;

即S ??

0 ? x ? 30, x ? N ? 900 x ? 15000, 2 ??10 x ? 1200 x ? 15000, 30 ? x ? 75, x ? N.

…………………9 分

因为当 0 ? x ? 30 时, S ? 900 x ? 15000 为增函数,所以 x ? 30 时, Smax ? 12000 …10 分
2 当 30 ? x ? 75 时, S ? ?10 x ? 1200 x ? 15000 ? ?10 ? x ? 60 ? ? 21000 ,…11 分 2

即 x ? 60 时, Smax ? 21000 ? 12000 .…12 分 所以当旅行社人数为 60 时,旅行社可获得最大利润.…13 分 21(本题满分 13 分) 解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 R,
x

…………………1 分

?1? ? ?1 1 ? a x ?x a ?1 ? a x ?1 a? ? f (? x) ? ? x ? ? ?? x ? ? f ( x) …………………3 分 a ? 1 ? 1 ?x 1? ax a ?1 ? ? ?1 ?a?

? f ( x) 为奇函数………………4 分
(2)? f ( x) ?
x

a x ?1 2 ? 1? x ………………5 分 x a ?1 a ?1

设 t ? a ,则 t ? 0, ……………6 分

y ? 1?

2 ……………7 分 t ?1

? 该函数的值域为(-1,1)……………8 分
(3)设 x1 ? x2 ,且 f ( x) ? 1 ? 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ? =

2 ……………9 分 a ?1
x

2 2 2 2 ) ? (1 ? x2 ) = x2 ? x1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1
x1

2(a x1 ? a x2 ) ……………11 分 (a x1 ? 1)(a x2 ? 1)
11

若 a ? 1, ? x1 ? x2, ?0 ? a 1 ? a 2 ,? a 1 ? a
x x
x

x2

? 0, a x1 ? 1 ? 0, a x2 ? 1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x) 在 R 上是增函数……………12 分
若 0 ? a ? 1, ? x1 ? x2, ?0 ? a 2 ? a 1 ,? a 1 ? a
x x
x x2

? 0, a x1 ? 1 ? 0, a x2 ? 1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x) 在 R 上是减函数……………13 分
综上所述: a ? 1, f ( x) 在 R 上是增函数,

0 ? a ? 1, f ( x) 在 R 上是减函数

22(本题满分 13 分) 解: (1)对称轴 ① 当 时, 在 上是增函数,当 时有最小值 …………2 分 ②当 时, 在 上是减函数, 时有最小值 …………4 分 ③当 时有最小值 时, 在 上是不单调, …………6 分

…………8 分

(2)存在, 由题知



是增函数,在

是减函数

12

时,

,…………10 分

恒成立 为整数,



…………12 分,

的最小值为 …………13 分

13


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