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北京2013届西城区高三数学一模理科试题及答案

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北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

2013.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x2 ?1 ? 0} ,那

么 A ? ?U B ? (A) {x | 0 ? x ? 1} (B) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x |1 ? x ? 2} (D) {x |1 ? x ? 2}

2.若复数 (A) ?1

a?i 的实部与虚部相等,则实数 a ? 2i
(B) 1 (C) ?2 (D) 2

3.执行如图所示的程序框图.若输出 y ? ? 3 ,则输入角 ? ?

π 6 π (C) 3
(A)

π 6 π (D) ? 3
(B) ?

4.从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人承担一项.若甲、乙二 人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 (A) 60 种 (B) 72 种 (C) 84 种 (D) 96 种

5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视 图是边长为 2 的正方形,该正三棱柱的表面积是 (A) 6 ? 3 (C) 12 ? 2 3 (B) 12 ? 3 (D) 24 ? 2 3

6.等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ a3 ? a6 ”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 7.已知函数 f ( x) ? log2 x ? 2log2 ( x ? c) ,其中 c ? 0 .若对于任意的 x ? ( 0, ? ? ) ,都有 f ( x) ? 1 ,则 c 的取 值范围是

(A) (0, ]

1 4

(B) [ , ??)

1 4

(C) (0, ]

1 8

(D) [ , ??)

1 8

8.如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, P 为底面 ABCD 1 上的动点, PE ? AC 于 E ,且 PA ? PE ,则点 P 的轨迹是 1
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(A)线段

(B)圆弧

(C)椭圆的一部分

(D)抛物线的一部分

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,则曲线 C 的直角坐标方程为 ? y ? 1 ? 2sin ?



10.设等差数列 {an } 的公差不为 0 ,其前 n 项和是 Sn .若 S2 ? S3 , Sk ? 0 ,则 k ? ______. 11.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______. 12.如图,已知 AB 是圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PC 切圆 O 于点 C , CD ? OP 于 D .若 CD ? 6 , CP ? 10 , 则圆 O 的半径长为______; BP ? ______. 13.在直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1, 0) 关于原点 O 对称. 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 4 x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______.
2

??? ??? ? ?

14.记实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,?, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,?, xn } .设△ ABC 的三边边长 分别为 a, b, c ,且 a ? b ? c ,定义△ ABC 的倾斜度为 t ? max{ , , } ? min{ , (ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______; (ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间. 16. (本小题满分 13 分) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

a b c b c a

a b c , }. b c a

π . 4

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行学业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

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17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD , AB ? 2 BC ,

?ABC ? 60? , AC ? FB .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ)求 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 ED 上是否存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC ? 证明你的结论. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? eax ? 3x ,其中 a ? R . (Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A , B 两点.当直线 AB 经过椭 a 2 b2
?

圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别 交于 D, E 两点.记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点) 的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) . 对于 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Sn ,定义 AB ? (b1 ? a1 , b2 ? a2 , ?, bn ? an ) ;

??? ?

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; (Ⅱ) (ⅰ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (ⅱ)设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) .是否一定 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ? 说明理由; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? Sn .若 A , B ? Sn ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的最大值.
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??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

北京市西城区 2013 年高三一模试卷 2013.4 高三数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ; 10. 5 ; 13. 1 ? 2 ; 6.B; 7.D; 11. ? 8.A.

3 2

12.

15 ,5 ; 2

14. 1 , [1,

1? 5 ). 2

注:12、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,

π 4

??????1 分

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

??????3 分 ??????5 分 ??????6 分

解得 a ? 1 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x ? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x
? cos 2x ? 3sin 2x
??????7 分 ??????8 分 ??????9 分

π ? 2sin(2 x ? ) . ??????10 分 6 π π π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . ??????12 分 2 6 2 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ ? ] , k ? Z . ??????13 分 3 6
16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 , 所以,从甲组抽取的学生人数为 ?????1 分

2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 .???2 分 3 3
??????3 分

设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P( A) ?

15 C1 ? C1 15 3 5 ,故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 .???5 分 ? 2 28 C8 28
??????6 分

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,1, 2,3 .
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P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

2 C5 ? C1 5 2 , ? 2 1 C8 ? C4 28 2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 ? 3 2 5 1 2? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 28

P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 ? 2 1 ? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 56 2 C3 ? C1 3 2 ? .?????10 分 2 1 C8 ? C4 56

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

5 28

25 56

9 28

3 56
??????11 分

EX ? 0 ?

5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 28 56 28 56 4

??????13 分

17. (本小题满分 14 分)
? (Ⅰ)证明:因为 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60 ,

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . ??????4 分 ??????2 分

(Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . ??????5 分

所以 CA, CF , CB 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系 C ? xyz . ??????6 分 在等腰梯形 ABCD 中,可得 CB ? CD .

( 设 BC ? 1 ,所以 C (0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), D

3 1 3 1 , ? ,0), E ( , ? ,1) . 2 2 2 2

3 1 ,? ,1) , CA ? ( 3,0,0) , CB ? (0,1,0) . 2 2 ??? ? ?n ? CE ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ?n ? CA ? 0. ?
所以 CE ? (
? 3 1 所以 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, ? ? 3x ? 0. ?

取 z ? 1 ,得 n ? (0, 2,1) .

??????8 分

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??? ? ??? ? | CB ? n | 2 5 设 BC 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? | cos?CB, n? | ? ??? , ? ? 5 | CB || n |
所以 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 5 . 5

??????9 分

(Ⅲ)解:线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .证明如下:

??????10 分

3 1 3 1 ,? , t ) (0 ? t ? 1) ,所以 CQ ? ( ,? , t ) . 2 2 2 2 ??? ? ? m ? CB ? 0, ? 设平面 QBC 的法向量为 m ? (a, b, c) ,则有 ? ??? ? ? m ? CQ ? 0. ?
假设线段 ED 上存在点 Q ,设 Q(
?b ? 0, 所以 ? ? 3 1 ? a ? b ? tc ? 0. ? 2 2

取 c ? 1 ,得 m ? (?

2 t ,0,1) . 3

??????12 分

要使平面 EAC ? 平面 QBC ,只需 m ? n ? 0 , 即 ?

??????13 分

2 t ? 0 ? 0 ? 2 ? 1?1 ? 0 , 此方程无解. 3
??????14 分

所以线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC . 18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 且 f ?( x) ? a ?

??????1 分 ??????2 分

1 ax ? 1 ? . x x

① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. 从而 f (x) 没有极大值,也没有极小值. ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ??????3 分

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

1 . a
1 ( , ? ?) a

1 (0, ) a
?

1 a
0

?




故 f ( x ) 的单调减区间为 (0,

1 1 ) ;单调增区间为 ( , ? ? ) . a a
??????5 分 ??????6 分

从而 f (x) 的极小值为 f ( ) ? 1 ? ln a ;没有极大值. (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 R ,且 g ?( x) ? ae ? 3 .
ax

1 a

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③ 当 a ? 0 时,显然 g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上单调递增. 由(Ⅰ)得,此时 f ( x ) 在 ( , ? ? ) 上单调递增,符合题意.

1 a

??????8 分

④ 当 a ? 0 时, g ( x) 在 R 上单调递增, f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意.??9 分 ⑤ 当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 ,得 x0 ?

g ( x) 和 g ?( x ) 的情况如下表:
x
g ?( x) g ( x)

1 3 ln(? ) . a a

(??, x0 )
?

x0
0

( x0 , ? ?)

?




当 ?3 ? a ? 0 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 ( x0 , ? ?) 上单调递增,由于 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合 题意. ??????11 分

当 a ? ?3 时, x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 (??, x0 ) 上单调递减,由于 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减,符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) . 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意,当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时,其倾斜角为 60 . 设 F (?c, 0) , 则
?

??????13 分

??????1 分

b ? tan 60? ? 3 . c
2 2 2

??????2 分

将 b ? 3c 代入 a ? b ? c , 解得 a ? 2c . 所以椭圆的离心率为 e ? ??????3 分

c 1 ? . a 2

??????4 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,椭圆的方程可设为

x2 y2 ? 2 ?1. 4c 2 3c

??????5 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将其代入

3x2 ? 4 y2 ? 12c2 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .
则 x1 ? x2 ?

??????7 分

6ck ?8ck 2 ?4ck 2 3ck y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 G( 2 , 2 ). , , 2 4k ? 3 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3
??????8 分

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3ck 2 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, x ? ?ck . ??????9 分 因为 GD ? AB ,所以 D 4k 2 ? 3 ?4ck 2 ? xD 4k 2 ? 3 因为 △ GFD ∽△ OED ,

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ( 2 ? 2 ) ? ( 2 )2 S1 | GD |2 4k ? 3 所以 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck 2 S2 | OD | ( 2 ) 4k ? 3
? (3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9. 2 2 2 4 (ck ) ck k

??????11 分

??????13 分

所以

S1 的取值范围是 (9, ??) . S2

??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A, B) ?

?| a ? b | ? 7 ,
i ?1 i i

5

得 |1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | a5 ? 3| ? 7 ,即 | a5 ? 3| ? 2 . 由 a5 ?N* ,得 a5 ? 1 ,或 a5 ? 5 . ??????3 分

(Ⅱ) (ⅰ)证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) . 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC , 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) , 即 ?? ? 0 ,使得 bi ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2,?, n . 所以 bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2,?, n) 同为非负数或同为负数. 所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ?
n n n i i i i i i i

??? ?

??? ?

??????5 分

?| a ? b | ??| b ? c | ? ? (| b ? a | ? | c ? b |)
i ?1 i ?1 i ?1 i

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C ) .
i ?1

n

??????6 分

(ⅱ)解:设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ,此时不一定 ?? ? 0 ,使得

??? ? ??? ? AB ? ? BC .

??????7 分

反例如下:取 A ? (1,1,1,?,1) , B ? (1, 2,1,1,?,1) , C (2, 2, 2,1,1,?,1) , 则 d ( A, B) ? 1 , d ( B, C ) ? 2 , d ( A, C ) ? 3 ,显然 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) . 因为 AB ? (0,1,0,0,?,0) , BC ? (1,0,1,0,0,?,0) ,
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??? ?

??? ?

所以不存在 ? ? ? ,使得 AB ? ? BC . (Ⅲ)解法一:因为 d ( A, B) ?

??? ?
n

??? ?

??????8 分

?| b ? a | ,
i ?1 i i

设 bi ? ai (i ? 1, 2,?, n) 中有 m (m ? n) 项为非负数,n ? m 项为负数.不妨设 i ? 1, 2,?, m 时 bi ? ai ? 0 ;

i ? m ? 1, m ? 2,?, n 时, bi ? ai ? 0 .
所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |
i ?1 i i

n

? [(b1 ? b2 ? ?? bm ) ? (a1 ? a2 ? ?? am )] ? [(am?1 ? am?2 ? ?? an ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn )]
因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p , 所以

? (ai ?1) ? ? (bi ?1) , 整理得
i ?1 i ?1

n

n

? ai ? ? bi .
i ?1 i ?1

n

n

所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |? 2[b ? b
i ?1 i i 1

n

2

? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )] .?????10 分

因为 b1 ? b2 ? ?? bm ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn ) ? ( p ? n) ? (n ? m) ?1 ? p ? m ; 又 a1 ? a2 ? ?? am ? m ?1 ? m , 所以 d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ?? bm ? (a1 ? a2 ? ?? am )] ? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p .即 d ( A, B) ? 2 p .?12 分

p 对于 A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) ,有 A , B ? Sn ,且 d (I , A) ?d (I , B) ? , d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | ,即 | x ? y | ? | x | ? | y | . 所以 d ( A, B) ? ?????13 分

?| b ? a | ? ?| (b ?1) ? (1 ? a ) | ? ? (| b ? 1| ? |1 ? a |)
i ?1 i i i ?1
n

n

n

n

i

i

i ?1

i

i

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 2 p .
i ?1 i ?1

n

?????11 分 ?????12 分

上式等号成立的条件为 ai ? 1 ,或 bi ? 1 ,所以 d ( A, B) ? 2 p .

p 对于 A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) ,有 A , B ? Sn ,且 d (I , A) ?d (I , B) ? , d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . ?????13 分

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