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2004-2013上海历年高考数列大题-理


2004-2013 上海历年高考数列大题

(2004 上海)22、(本题满分 18 分) 第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题
满分 8 分 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,…, P n ( xn , yn ) ( n ? 3, n ? N ) 是二次曲线 C 上的点 , 且

a1 ?

OP 1 , a2 ? OP 2 , …, an ? OP n 构成了一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列, 其中 O
是坐标原点. 记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an .

2

2

2

(1)若 C 的方程为 写出一个) (2) 若 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , n ? 3. 点 P 1 (3,0) 及 S3 ? 255 , 求点 P 3 的坐标; (只需 100 25

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0). 点 P 1 ( a , 0) , 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化 a2 b2

时, 求 S n 的最小值; (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条 件的点 P 1, P 2 ,? , P n 存在的充要条件,并说明理由.

? 100 ,由 S3 ? 【解】(1) a1 ? OP 1

2

3 2 (a1 ? a3 ) ? 255 ,得 a3 ? OP3 ? 70 . 2

? x2 y2 2 ? ? ?1 ? ? x3 ? 60 由 ?100 25 ,得 ? 2 ? ? x 2 ? y 2 ? 70 ? y3 ? 10 3 ? 3
∴点 P3 的坐标可以为 (2 15, 10) . (2) 【解法一】原点 O 到二次曲线 C : 最大距离为 a .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上各点的最小距离为 b , a 2 b2
2

? a 2 , ∴ d ? 0 ,且 an ? OPn ∵ a1 ? OP 1

2

? a 2 ? (n ? 1)d ? b 2 ,

b2 ? a 2 n(n ? 1) ? d ? 0 . ∵ n ? 3, ∴ >0 n ?1 2
∴ Sn ? na 2 ?

b2 ? a2 n(n ? 1) ,0)上递增, d 在[ n ?1 2

故 S n 的最小值为 na 2 ?

n(n ? 1) b 2 ? a 2 n(a 2 ? b 2 ) · = . n ?1 2 2

【解法二】对每个自然数 k (2 ? k ? n) ,

? xk2 ? yk2 ? a 2 ? (k ? 1)d ?b 2 (k ? 1)d ? 2 2 2 由?x ,解得 yk ? yk k a 2 ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

2 ∵ 0 ? yk ? b 2 ,得

b2 ? a 2 ?d ?0 k ?1



b2 ? a 2 ?d ?0 n ?1

以下与解法一相同. (3) 【解法一】若双曲线 C :

x2 y2 - =1,点 P 1 ( a , 0) , a2 b 2

则对于给定的 n , 点 P 1, P 2 ,? , P n 存在的充要条件是 d ? 0 . ∵原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h ?[| a |, ??) ,且 OP 1 ?a ,
2

2 2 ∴点 P 1 ,即 d>0. 1, P 2 ,? , P n 存在当且仅当 OPn > OP

【解法二】若抛物线 C : y ? 2 x ,点 P 1 (0,0) ,
2

则对于给定的 n , 点 P 1, P 2 ,? , P n 存在的充要条件是 d ? 0 .理由同上 【解法三】若圆 C : ( x ? a) ? y ? a ( a ? 0 ), P 1 (0,0) ,
2 2

则对于给定的 n, 点 P 1, P 2 ,? , P n 存在的充要条件是 0 ? d ? ∵原点 O 到圆 C 上各点的最小距离为 0,最大距离为 2 a ,
2

4a 2 . n ?1

且 OP1 =0, ∴d>0 且 OPn

? (n ? 1)d ? 4a 2 .即 0 ? d ?

4a 2 . n ?1

(2005 上海)20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题
满分 8 分. 假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计

在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中, 中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? 解: (1)设中低价房面积形成数列 ?a n ?,由题意可知 ?a n ?是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 S n ? 250 n ? 令 25n ? 225 n ? 4750 ,
2 2

n(n ? 1) ? 50 ? 25n 2 ? 225 n, 2

即 n ? 9n ? 190 ? 0, 而n是正整数,? n ? 10.

∴到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, - 其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08)n 1 由题意可知 a n ? 0.85bn 有 250+(n-1)50>400 · (1.08)n 1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6, ∴到 2009 年底, 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.


(2006 上海)21. (本小题满分 16 分) 已知有穷数列{an}共有 2k 项(整数 k ? 2) ,首项 a1 = 2。设该数列的前 n 项 和为 Sn,且 an+1 = ( a – 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 ,?, 2k – 1 ),其中常数 a > 1。 (1) 求证:数列{an}是等比数列;
2

(2) 若 a ? 2 2k ?1 ,数列{bn}满足 b n ? 数列{bn}的通项公式;

1 log 2 (a 1a 2 ?a n ) ( n = 1 , 2 ,?, 2k ),求 n

(3) 若 (2) 中 的 数 列 {bn} 满 足 不 等 式 | b1 ?
| b 2k ?
(1) [证明]

3 3 3 | + | b 2 ? | + ? + | b 2 k ?1 ? | + 2 2 2

3 | ? 4,求 k 的值。 2 a2 当 n=1 时,a2=2a,则 =a; a1
2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴数列{an}是等比数列. an
1? 2??? ( n ?1)

(2) 解:由(1) 得 an=2a b n=

n ?1

, ∴a1a2…an=2 n a

=2 n a

n ( n ?1) 2

n?

=2

n ( n ?1) 2 k ?1

,

1 n(n ? 1) n ?1 [n ? ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). n 2k ? 1 2k ? 1

(3)设 bn≤

3 1 3 ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ; 2 2 2 3 当 n≥k+1 时, bn> . 2 3 3 3 3 3 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- ) 2 2 2 2 2
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 2 =[ . ? k] ? [ 2 ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1


k2 2 ≤4,得 k -8k+4≤0, 2k ? 1

4-2

3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,

∴当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立.

(2007 上海) 20. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满 分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

an ? a1 , a 2 ? a n ?1 , 如果有穷数列 a1, 满足条件 a1 ? an , ?, a2, a3, ?, an( n 为正整数)
即 ai ? a n ?i ?1 ( i ? 1,, ,我们称其为“对称数列” .例如,由组合数组成的数列 2 ?, n)
0 1 m Cm , Cm , ?, Cm 就是“对称数列” .

(1)设 ? bn ?是项数为 7 的“对称数列” ,其中 b1, b2, b3, b4 是等差数列,且 b1 ? 2 ,

b4 ? 11 .依次写出 ? bn ?的每一项;
(2)设 ? c n ?是项数为 2k ? 1 (正整数 k ? 1 )的“对称数列” ,其 中 ck, ck?1, ?, c2 k? 1是首项 为 50 ,公差为 ? 4 的等差数列.记 ? c n ?各项的和为 S 2 k ?1 .当 k 为何值时, S 2 k ?1 取得最大 值?并求出 S 2 k ?1 的最大值; ( 3 )对于确定的正整数 m ? 1 ,写出所有项数不超过 2m 的“对称数列” ,使得

1,, 2 22, ?, 2m?1 依次是该数列中连续的项; 当 m ? 1500 时, 求其中一个 “对称数列” 前 2008
项的和 S 2008 . 解: (1)设 ? bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11 ,解得 d ? 3 ,

?

数列 ? bn ?为 2,,, 5 8 11,,, 8 5 2.

(2) S 2 k ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? ck ?1 ? ? ? c2 k ?1

? 2( ck ? ck ?1 ? ? ? c2 k ?1 ) ? ck ,
S 2 k ?1 ? ?4( k ? 13 ) 2 ? 4 ? 13 2 ? 50 ,

?

当 k ? 13 时, S 2 k ?1 取得最大值.

S 2 k ?1 的最大值为 626.
(3)所有可能的“对称数列”是:

2 22 , ?, 2m ? 2 , 2m?1, 2m ? 2 , ?, 22,, 2 1; ① 1,, 2 22 , ?, 2m ? 2 , 2m?1, 2m?1, 2m ? 2 , ?, 22,, 2 1; ② 1,, 2m?2, ?, 22,, 2 1,, 2 22, ?, 2m?2, 2m?1 ; ③ 2m?1, 2m?2, ?, 22,, 2 1, 1,, 2 22 , ?, 2m ? 2 , 2m?1 . ④ 2m?1,
对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2007 ? 2 2008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 m? 2 ? 2 m?1 ? 2 m? 2 ? ? ? 2 2 m? 2009

? 2 m ? 1 ? 2 m?1 ? 2 2m?2009 ? 2 m ? 2 m?1 ? 2 2m?2009 ? 1 .
对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 2008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2
m?1

? 2 2m?2008 ? 1 .

对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 m ? 2 2009?m ? 3 . 对于④,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m?2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 ? 2
m 2008?m

? 2.

(2008 上海)21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满 分 7 分,第 3 小题满分 8 分。

? an ? c, an ? 3, ? 已知 a1 为首项的数列 {an } 满足: an ?1 ? ? an . , an ? 3, ? ?d
(1)当 a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,求数列 {an } 的通项公式; (2)当 0 ? a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 时,试用 a1 表示数列 {an } 前 100 项的和 S100 ; (3)当 0 ? a1 ?

1 1 1 , c ? ,正整数 d ? 3m 时,求证:数列 a2 ? , , ( m 是正整数) m m m

a3m? 2 ?

1 1 1 , a6 m? 2 ? , a9 m? 2 ? 成等比数列当且仅当 d ? 3m 。 m m m

(2009 上海)23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满 分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 已知 ? an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。 (1) 若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由; (2) 找出所有数列 ? an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N * ,

an ?1 ? bn ,并说明理由; an

(3) 若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ? an ? 中存在某个连续 p 项的和 是数列 ?bn ? 中的一项,请证明。 23.[解法一](1)由 am ? am ?1 ? ak ,得 6m ? 5 ? 3k ? 1 , 整理后,可得 k ? 2m ? . . . . . .2 分

4 ,? m 、 k ? N ? ,? k ? 2m 为整数, 3
. . . . . .5 分 (*)

?不存在 m 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)若

an ?1 a1 ? nd ? b1q n ?1 , ? bn ,即 a1 ? (n ? 1)d a

(ⅰ)若 d ? 0, 则 1 ? b1q n ?1 ? bn 。 当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 (ⅱ)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得 lim
n ??

. . . . . .7 分

a1 ? nd (*)式等号右边的极限只 ?1 , a1 ? (n ? 1)d

有当 q ? 1 时,才能等于 1。此时等号左边是常数,? d ? 0 ,矛盾。 综上所述,只有当{ an }为非零常数列,{ bn }为恒等于 1 的常数列,满足要求。 . . . . . .10 分 【解法二】设 an ? nd ? c, 若

an ?1 ? bn , 且 ?bn ? 为等比数列 an



an ? 2 an ?1 / ? q, 对n ? N *都成立,即an an ? 2 ? qa 2 n ?1 an ?1 an

? (dn ? c)(dn ? 2d ? c) ? q(dn ? d ? c)2 对n ? N *都成立, ? a 2 ? qd 2 ....7分
(i) (ii) 若 d=0,则 an ? c ? 0,? bn ? 1, n ? N * 若 d ? 0, 则q=1,? bn ? m (常数)即

dn ? d ? c ? m ,则 d=0,矛盾 dn ? c
an?1 ? bn , an
10 分

综上所述,有 an ? c ? 0, bn ? 1, 使对一切n ? N * , (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3n , n ? N *

设 am?1 ? am?2 ? ?? ? a m? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? N .
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2

3k ? 4m ? 2 p ? 3 ? ,? p、k ? N *,? p ? 35 , s ? N . p
取 k ? 3s ? 2,4m ? 3
2 s ?2

13 分

? 2 ? 3s ? 3 ? (4 ? 1) 2 s?2 ? 2 ? (4 ? 1) s ? 3 ? 0,

15 分

由二项展开式可得正整数 M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,

2 ? (4 ? 1) s ? 8M 2 ? (?1) s 2, ? 4m ? 4( M1 ? 2M 2 ) ? (?1) s ? 1 2,? 存在整数m满足要求.
故当且仅当 p=3s,s ? N 时,命题成立. 说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am+1+am+2+??+am+p 为偶数,但 3k 为奇数 故此等式不成立,所以,p 一定为奇数。 当 p=1 时,则 am+1=bk,即 4m+5=3k, 而 3k=(4-1)k
0 k 1 k ?1 k ?1 k ?1 k k k = Ck ? 4 ? Ck ? 4 ? (?1) ? ?? ? Ck ? 4 ? (?1) ? Ck ? (?1) ? 4M ? (?1) , M ? Z ,

?

?

当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k 成立 当 p=3 时,则 am+1+am+2+am+3=bk,即 3am+2-bk, 也即 3(4m+9)=3k,所以 4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知,当 k-1 为偶数即 k 为奇数时,存在 m, 4m+9=3k 成立 当 p=5 时,则 am+1+am+2+??+am+5=bk,即 5am+3=bk

1分

2分

也即 5(4m+13)=3k,而 3k 不是 5 的倍数,所以,当 p=5 时,所要求的 m 不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 (2010 上海)20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 5 分,第 2 个小 题满分 8 分。 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N * (1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ? S n ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并说明理由。 (2) S n = n ? 75( )n ?1 ? 90

5 6

n=15 取得最小值

5 解析: (1) 当 n?1 时, a1??14; 当 n≥2 时, an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1, 所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6?
n ?1

?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

?5? ,从而 Sn ? 75 ? ? ? ?6?

n ?1

? n ? 90

(n?N*);
?5? 解不等式 Sn<Sn?1,得 ? ? ?6?
n ?1

?

2 2 , n ? log 5 ? 1 ? 14.9 ,当 n≥15 时,数列{Sn}单调递 5 6 25

增; 同理可得,当 n≤15 时,数列{Sn}单调递减;故当 n?15 时,Sn 取得最小值. (2011 上海)22.(本大题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第二小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分)
[来源:学_科_网]

已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N *) .将集合

{x x ? an , n ? N *} ? {x x ? bn , n ? N *} 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 , 构 成 数 列
c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?
(1)写出 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? ; (3)求数列 {cn } 的通项公式.

(2012 上海)23.对于数集 X ? {?1, x1 , x2 , ?, xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定义向量集 Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ? Y , 存在 a2 ? Y , 使得 a1 ? a2 ? 0 ,

则称 X 具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (4 分) (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; (6 分) (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1 , x2 , ?, xn 的通 项公式.(8 分) [解](1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1 , x1 ) ? Y .设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. ……7 分 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1 , xn ) ? Y ,并设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, ?, n. 记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? ( s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a 2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? ( s1 , t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak , 则 t1 ? xk ?1 .由 ( s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 , 得 s ? txk ?1 ? xk ?1 , 与 ……10 分 ……12 分 ……2 分 ……4 分

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? q i ?1 ,i=1, 2, ?, n.

……15 分

当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, ?, k; 当 n=k+1 时, 若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P, 则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk }
k ?1 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, q , xk ?1} .

取 a1 ? ( xk ?1 , q) ,并设 a2 ? ( s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 1,不可能; k ?1 k k ?1 k 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? q ? q ,又 xk ?1 ? q ,所以 xk ?1 ? q . 综上所述, xi ? q
i ?1

xi ? q i ?1 ,i=1, 2, ?, n.
s1 t1

……18 分

[解法二]设 a1 ? ( s1 , t1 ) , a2 ? ( s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于

? ? s22
t

.

| s ? X , t ? X , | s |?| t |} ,则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 记 B ? {s t
原点对称. ……14 分 B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn } 共有 n-1 个数, 注意到-1 是 X 中的唯一负数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn xn?1

?

xn xn?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

xn x n ?1
x n ?1 x n?2 x2 x1

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

xn x2
x n ?1 x1

?

xn x1

??

注意到

xn x1
x

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ……18 分

2 k ?1 xk ? x1 ( x1 ) ? q k ?1 ,k=1, 2, ?, n.

(2013 上海)23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 给定常数 c>0, 定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列 a1, a2, a2, ?满足 an+1=f(an), n∈N*. (1)若 a1=-c-2,求 a2 及 a3; * (2)求证:对任意 n∈N ,an+1-an≥c; (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,?,an,?成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不 存在,说明理由. 解:(1)a2=2,a3=c+10.

? x ? c ? 8, x ? ?c, ? (2)f(x)= ?3 x ? 3c ? 8, ?c ? 4 ? x ? ?c, ?? x ? c ? 8, x ? ?c ? 4. ?
当 an≥-c 时,an+1-an=c+8>c; 当-c-4≤an<-c 时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当 an<-c-4 时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c. * 所以,对任意 n∈N ,an+1-an≥c. (3)由(2),结合 c>0,得 an+1>an,即{an}为无穷递增数列. 又{an}为等差数列,所以存在正数 M,当 n>M 时,an≥-c, 从而,an+1=f(an)=an+c+8. 由于{an}为等差数列,因此其公差 d=c+8. ①若 a1<-c-4,则 a2=f(a1)=-a1-c-8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即 a1=-c-8,从而 a2=0. 当 n≥2 时,由于{an}为递增数列,故 an≥a2=0>-c, 所以,an+1=f(an)=an+c+8,而 a2=a1+c+8, 故当 a1=-c-8 时,{an}为无穷等差数列,符合要求; ②若-c-4≤a1<-c,则 a2=f(a1)=3a1+3c+8, 又 a2=a1+d=a1+c+8, 所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得 a1=-c,舍去; ③若 a1≥-c,则由 an≥a1 得到 an+1=f(an)=an+c+8, 从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上,a1 的取值集合为[-c,+∞)∪{-c-8}.


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