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教育部课题2011入学高一(3、4)班必修1教学随笔


全国教育科学规划“十一五”教育部重点课题

《新教育实验与素质教育行动策略的研究》

子课题申报表









在高中数学教学中如何达到理想课堂

的实践

课 题 负 责 人 负责人所在

单位 填 表 日 期

张 明 温州市瓯海区三溪中学 2009 年 5 月 11 号

新教育研究院课题管理中心
二○○九年二月

2011 入学高一(3、4)班备课集

2011 年高一开学第一节
一、自我介绍 同学们只要猜中下面的谜语就是我的名字。 躬身自省长此生 真是明人不做暗事 二、初中数学学习与高中数学学习的不同 初中:依赖、具体思维、模仿 注:模仿连猴子也会。过去日本人在世界上被称最聪明的猴子,因为日本善于模仿西方,但 同时加上创造超过西方,比如汽车、彩电等等。 高中:独立、抽象思维、创造 注:1、依赖分生活上的依赖与学习上依赖,在初中两者都依赖,到高中生活不依赖,学习 最好努力不依赖而独立。 2、依赖的表现:换老师学习就不行。 3、我们与温州中学学生的异同:读高中生活上相同都可以独立,在学习上我们依赖多独立 少,他们依赖少独立多。 三、学习高中数学需要改变的东西 1、数学观: 初中: 不合理数学观: “数学是一堆绝对真理的总集” , “自己的头脑是贮存知识的仓库” , “数 学学习就是往自己的头脑里不断增加定理的数目, 是反复刺激的镜面反映, 是自己对教师授 予的知识的被动接受” , “学习数学主要在于背诵” , “数学是一种处理数量问题的工具,是有 益于生计的问题解决的一招一式的技术” , “数学学习是各种算法和技术的机械记忆和应用” 常见学习问题: “数学解题的方法就是死记硬背公式、定理和法则,然后直接应用” 、 “学习 的目的就是记忆‘标准答案’ ” 识别类型,死套方法,强化练习。 “识别类型,死套方法, 强化练习” ,就是对解题步骤的机械记忆和程式化步骤的模仿。 高中:合理先进的数学观: “数学知识是无法传递的,传递的只是信息” , “信息必须被置于 洞察、解释并与头脑认知结构中现有的知识发生联系的位置(即生长点) ,通过新旧制知识 经验的互动,才能被理解而成为自己的知识” , “数学学习是自己自觉主动在心理上建造一 个认知对象的‘建筑物’ ,其建筑材料,除了有关新知识的少量信息来源于外部,多数信息 来源于心理内部——已有的知识、经验、方法和观念。建造的过程除最初少量外部活动外, 主要的是内部的心理活动, 是一系列思维活动的内部操作, 是内部心理上的思维创造过程” 。 “数学学习应该是数学理性精神的再根植” , “数学学习是一种理性的认识过程, 起决定作用 的是理性因素” , “数学公理化和形式化有助于理性思维的培养” , “学习数学就是学习公理化, 形式化、数学化,培养数学意识” 。 “数学是通过对概念的分析、生成和组织,对命题的严密逻辑推理而形成的互相联系的系 统化的有机整体。 反映的是概念命题的客观逻辑结构” , “数学是用数学经验规则组成的体系, 其组织的活力依赖于各部分之间的联系,结构决定体系的功能” 。 “数学是一种探索精神,是 一个动态的过程,是一个思维试验过程,是数学真理的抽象过程, ” “数学是通过对简单事实 的把握,建立思维体系,通过推理得出结果, ” “数学是创建并运用公理化方法,通过严密的 逻辑推理论证,把零散的数学经验规则汇集、发展,构建成系统化的逻辑体系” , “数学是通 过建构模式来刻画自然规律和社会规律的, 是一种模式的建构活动, 而且模式本身就是研究 的对象, 是理想化量化模式的建构与研究” , “数学对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用 的美妙的定理,更重要的是它孕育成熟理性的最佳载体” 。

2、应当如何改变? 随着不断学习慢慢改变 四、举例初中错误的思维方式,不改难学好高中数学 1、解一元二次函数 y=x^2-6x+5 的最小值 ①、套公式 ②、配方 修改:⑴、求 y>0 的解 ⑵、求在[4,5]上最小值、最大值 注:数缺形难直观,形缺数难入微。

集合第一节
一、集合的含义与表示 1、初中我们已经学了集合,到高中还要学,这是为什么?在初中的基础上学习集合那会多 了什么东西? ①、先举几个集合的例子 ②、初中认识集合是具体直观还没有抽象出集合的定义,到了高中要抽象思维,请同学们不 看书能说出集合的定义吗?定义就是事物到底是什么东西。 二、1、我们知道了集合这个事物,既然知道我们还要干什么? 答:研究事物的特征啊性质啊 2、同学们知不知道特征是什么意思? 答:一个事物的特征就是这个事物区别于另一个事物的标志。 比如看到一只动物在吃屎,那这是动物是?吃屎是狗的特征 看到一只动物在抓老鼠,那肯定是猫,因为抓老鼠是猫的特征。 3、我们高一( )班全体同学组成一个集合 ①、问有没有一个同学既属于我们班也属于其他班级?这抽象出集合有什么特征? 答:确定性 ②、 问把我们班的同学座位换一下, 这个班级还是我们班级吗?这抽象出集合有什么特征? 答:无序性 ③问我们班有没有两位同学是一样的?这抽象出集合的什么特征? 答:互异性,集合中元素不能重复出现。 开玩笑:但只有一种情况可以,就是我。为什么我是同卵双胞胎,两个人一模一样。 三、判断下列元素全体是否组成集合? ⑴、大于 3 小于 11 的偶数 ⑵、我国小河流 四、上节课讲过学习数学就是学习形式化且举个例子是符号化 问有关集合概念及相关概念如何符号化? 答:书中找找。 五、有句话是内心美外表美才是真的美。集合的内心美就是我们刚才学的,集合的外表有多 种表达方式。 1、自然语言,请举例子 2、列举法。大家不用看书请顾名思义。请看 P3 例 1。注意列举法符号如何表示?问是不是 所有集合都可以用列举法?请举一例。

3、描述法 ①、描述是什么意思? 答:描述就是许多东西有共同的特征,我们把这个共同的特征用文字或符号把它叙述出来。 这也是为什么要取名描述法,就是顾名思义。因为数学上的一个名字不会无怨无故取的。就 像你父母给你取名字。 ②、问集合{0,2,4,6,8,10,12,14,??}是用什么办法表示?如果用描述法,这些 元素有什么共同特征?该用什么符号表示? ③、{1,3,5,7,9,11,13,15,??.} ④、x<10 的所有实数有什么共同特征?能用列举法表示吗?如何用描述法且符号化。 六、看书自学做练习。

集合第一节课后反思
这节课的失策是学生在初中集合概念听都没听到过, 我问看不看数学课外书, 全班回答 不看。所以我们学校学生的数学底子不太好。 我换个思路,集是什么意思?就是集体的意思。合是什么意思?就是合起来。学生很容 易知道身边的例子 在讲我们知道了集合这个事物为什么要研究它的特征与性质, 我举了个人的例子, 但这 里可以幽默搞笑一下。比如人的特征有两个鼻子,一双耳朵,故意说错,让学生笑。 老师不能说狗的特征是吃屎,学生会说的,你引导他说出来,老师亲自说狗的特征是吃 屎不太雅观。

集合间的基本关系
一、问高一(?)班全体同学组成集合 A,第一小组全体同学组成集合 B。问 1、集合 A 与集合 B 有什么关系? ①、文字语言: 问子集的子是什么意思? 子公司、母公司。 ②、符号语言:符号简洁、形象、生动、自然易记不别扭,写起来非常自然 ③、图形语言 二、集合 B 是集合 A 的子集这样的具体例子多不多? 三、你觉得集合 A 与集合 B 相等是什么意思?以上是什么语言?符号语言如何表达? 两集合相等有什么性质?请用符号语言表达。 四、A={1,2,3},A’={1,2,3,4},B={1,2,3,4},请问 A 是 B 的子集吗?A’是 B 的 子集吗?如果是两个子集有什么不同? 你觉得真子集名字取的好不好?如何用符号表示?这个符号简洁、形象、生动、自然易 记不别扭,写起来非常自然吗? 五、教室里全体同学组成一个集合,那如果教室空无一人,这还组成一个集合吗?如果 组成一个集合你觉得该取什么名字?名字取的好不好? 六、①、任何集合是它本身子集吗?符号语言、图形语言怎么表达? ②、对于集合 A,B,C,如果 A?B,B?C,A?C 吗?图形语言如何表达? 七、写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是真子集?以此类推写出集合{a,b,c}的 所有子集, 并指出哪些是真子集?你能发现什么规律?以此你能知道为什么规定空集是任何 集合的子集? 八、你觉得集合间的基本关系中有关符号是简洁、形象、生动、自然易记不别扭,写起

来非常自然吗?比如你能轻易的区别{a}?A 和 a∈A 吗?

函数概念
一、道歉 二、同学们,你们觉得把全国人民看的清清楚楚的会是谁? 答:国家主席、文学家、哲学家、思想家。国家主席用政治角度、文学家用文学角度、 哲学家用哲学角度、思想家用思想角度。 三、 你们对初中的函数概念看清楚了吗?如果看清楚了, 为什么高中还要学?要怎样才 能看清楚?高中就可以把函数看清楚了吗? 我跟你们讲一件事情。就是著名教育家朱永新老师,很厉害的。今年暑假我到海门参加 他的新教育实验会,我看了他的报告。朱老师把全国老师看的清清楚楚。朱老师为什么能把 全国老师看的清清楚楚,因为他站的角度与他人不一样,站的高度很高很高,他有极强的广 度、有天生看问题的深度。比如谁可以把温州人民看的清清楚楚,那这个人可以当温州市市 委书记,把浙江人民看的清请楚楚,那这个人可以当浙江省委书记,把全国人民看的清请楚 楚,那这个人可以当国家主席。人只有站在较高一个层次才能看清较低层次的事情。把国家 看的清请楚楚的人一定可以把浙江人民看的清请楚楚, 把浙江人民看的清请楚楚的人, 一定 可以把温州人民看的清请楚楚。反之不一定。我再举例子,你把高等数学看的清清楚楚,只 要你愿意,你就可以把初等数学看的清清楚楚。但你把初等数学看的清清楚楚,高等数学也 不一定看的清清楚楚。老师我在某一程度上可以把小学、初中、高中数学看的清清楚楚,但 对高等数学看不清清楚楚。 我 PPT 再打出:我画一个图形给你们看。在你们面前有个正方形的盒子,没盖,里面有 一只宠物,你们自己养的。当你的眼睛在盒子的面前,高度是你前面这个面的中位线中点, 那你可以把这个盒子的前面看的清清楚楚,但这只宠物你看不见。接下去我们这样,我们改 变眼睛的角度与高度,把眼睛上升,上升到眼睛还是在前面这个面的前面,但高度上升到盒 子上面那个面的上面,这时,我们依然把前面这个面看的清清楚楚,但发现了许多新东西, 比如我们看到了盒子里有只宠物。所以改变角度,上升高度,原来的事情依然可以看的清清 楚楚,并且把发现的新东西也可以看的很清楚。我为什么要讲这些东西,因为我们今天学习 函数的概念。 四、初中我们学过哪些函数?初中函数如何定义? 答:一元一次函数、二元一次函数、反比例函数。 因变量(函数),随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只 有唯一值与其相对应。 为什么取名函数?函数英文名: function。本来第一个词义,其他词义就是引申而出。 1、官能,功能,作用 2、职务,职责 3、盛大的集会(或宴会,宗教仪式) 4、 【数】函数 下面我们就站在一个新的角度与新的高度来重新认识函数概念。函数概念 先对初中学过的函数站在新的角度于新的高度重新认识。

教材上三个函数例子,一个一个在新的角度,先的高度进行分析。 告诉学生用高中的角度、高度依然可以把初中的函数看的清清楚楚,并且,我们发现了 按初中的角度、高度以为不是函数的在高中角度、高度还是函数。比如臭氧层、恩格尔系数 这两个教材上的例子。我说只要你们上大学继续读数学就回发现在大四《拓扑学》中又是站 在新的角度、高度对函数进行重新认识,我是花了好长时间才看懂。 《拓扑学》中对函数的 认识站的角度更奇特,站的高度更高。 五、函数的文字语言、符号语言、图形语言。 问函数有图形语言吗? 答:有,就是太熟悉了我们意识不到。

函数概念反思
当我问学生臭氧层空洞例子于城镇居民恩格尔系数例子是不是函数时,学生回答不是。 因为在他们的脑海里函数都有解析式的。 我问是不是所有的函数对应法则可以用解析式表达? 其实在学生的脑海里能解析式表达的函数时大多数, 不能解析式表达比如复杂的图像或复杂 的表格是不可能求出解析式的, 学生觉得这样的函数是少数。 其实要告诉学生能解析式表达 的函数是少数, 绝大部分函数是不能用解析式表达的。 同理, 世界上不等的东西是绝大多数, 相等的东西是少数。世界上不规则的东西是绝大多数,规则的东西是少数。但我们从小到大 学习的时少数的能用解析式表达的函数,学习少数的相等的东西,学习少数的规则东西,让 我们以为世界上大部分东西是用解析式表达的,是相等的,是规则的。

函数概念第二节
一、看 P17 思考下面例 1 上面,回答为什么数学家要创造出区间概念?闭区间、开区 间、 半开半闭区间有什么不同?你会书写那几个实数无穷长度的区间吗?一个是有限长得区 间,一个是无限长的区间。 答:符号简洁、漂亮、思考的思维量小有助于思考,书写方便。 二、请看下图,函数有几要素构成?哪几个要素是决定性的。为什么?如何判断两个函 数时相同的? 画一个两长椭圆型用箭头表示互相对应的图,长椭圆型里有数字。 三、 在初中我们可以求具体数字的一元二次函数的值域, 到高中要上升到会求符号字母 的一元二次函数的值域,同学们会求吗? 教训:只有具体数字运算熟练了才能上升到符号字母运算。 四、

例1 已知函数f ( x) ? (1)求函数的定义域;

x?3 ?

1 , x?2

2 (2)求f ( ?3), f ( )的值; 3 (3)当a ? 0时,求f (a), f (a ? 1)的值.

练习1、函数f ( x) ? A、 ? x | x ? 0?

( x ? 1)0 x ?x

的定义域为(

)

B、 {x | x ? ?1} D、 {x | x ? 0}

C、 {x | x ? 0, 且x ? ?1}

五、

例2   下列函数中哪下与函数 y ? x相等? (1) y ?

? x?
2

2

(2)y ? 3 x 3 x2 ( 4) y ? x

(3) y ? x

例 3、若函数 f(x)的定义域为[1,4],则函数 f(x+2)的定义域为______.

《1.2.1 函数概念的反思》
在旧教材,函数的图形语言是有的,图形语言就是画两个椭圆型的圈,里面有数字,然 后用箭头表示对应,椭圆上面有函数的符号。这是函数的图形语言,但新教材却没有,我按 自己的设计上完之后最后总结用图形语言。 不管讲解函数概念还是区间,要记住他们分别有文字语言、符号语言、图形语言。所以 解答可以有集合形式于区间形式。 已经 f(x)的定义域是 【1,4】 求 f(x+2)的定义域。 对于这道题目你可以找一个定义域是 【1,4】 的函数,很好构造的,可以构造根号形式的函数,这是解答一,解答二既是根据函数的图形 语言来解答,两者联系理解更深刻。

《1.2.2 函数的表示法》
一、 同学们知道不知道一个事物有本质和形式, 事物的本质随着社会的发展认识越来越 深刻,事物的形式总有几种表现形式。 比如人, 人的本质是什么, 从古希腊的人是没有羽毛站立的两脚动物到马克思的人是各 种社会关系的总和。人的形式比如黄种人、白种人、黑人、棕色人。 有句话是心灵美外表美才是真的美,心灵美属于人的本质,外表美属于人的形式。 那如何知道人的本质?就是先研究人的性质, 通过研究人的性质抵达人的本质。 人有什 么性质?比如人有两个鼻子,一只耳朵。 我们上节课研究了函数的本质, 这节课来研究函数的形式, 再再下节课我们来研究函数 的性质。 函数有哪几种形式即函数的表示法书上举了几种? 二、解析法、图像法、列表法各有什么优劣? 解析法:我们知道数缺形难直观,形缺数难入微,所以函数有解析法就可以研究函数的 微小局部,但就是不直观。并且绝大部分函数解析式是很难求出来的,能求出函数解析式的 时少数。

图像法:直观,但没有解析法的支持很难入微。 列表法: 对各个具体元素的情况掌握的非常清楚, 但从宏观上很难判断整体的变化趋势, 要判断函数的整体变化趋势只能通过画图。 三、一题多变 1、画出 y=x 的图像→y=|x|的图像→画出 y=|x-1|的图像→画出 y=-|x|的图像。 2、画出 y=x^2 的图像→画出 y=-x^2 图像→画出 y=|x^2+2x-4|的图像。 四、分段函数是几个函数?分段函数能分成几个函数吗? 答是一个函数,就是把定义域分成几段,每一段都有个对应法则。用函数的图形语言来 直观的描述分段函数。 如果分成了几个函数就不是原来的函数, 因为根据函数相等的条件就 可以判断。 五、只要函数中集合 A、集合 B 不是数集,是任意集合,那函数就可以推广为映射。 六、例 7、以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)集合 A={P|P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实 数对应; (2)集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点}, 集合 B= , 对应关系 f: 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f :每一个三角形都对应它的 内切圆; (4)集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f :每 一个班级都对应班里的学生。 七、练习、习题。

孙维刚老师的解题境界达到什么层次?
我的结论根据以下几部书籍。 孙维刚老师的书籍: 《孙维刚谈立志成才· 全班 55%怎样考上北大清华》 、 《孙维刚初中数 学》 、 《孙维刚高中数学》 中国著名一流数学家徐利治的《数学方法论选讲》 上海陈永明名师工作室著的《数学习题教学研究》 以上书籍网络上都有买。 我自认为陈永明老师对数学解题的研究是孙维刚老师的继承和发展。 陈老师提出解题三境界: 第一境界:就题论题。 这是大部分老师的现状。 第二境界:就题论法。 孙老师提出一题多解、多解归一、多题归一、多题一解、一题多变,15 个中规律、三 四十个小规律,这是就题论法境界。 第三境界:就题论道。 孙老师达到这种境界了吗?达到了。就是 4 个大规律。 我把孙老师的四个大规律抄在下面。 ⑴、深入进去,弄通情景 ⑵、运动的观点,包括“换个角度看问题是灵活性的本质” ,这其中又包括顺推分析和 逆推分析相结合; ⑶、联想思维,包括善于把新课题归结到旧知识的基础上; ⑷、广义对称思想。

那孙老师是否达到就题论道的极致,那不是。我们看中国一流数学家徐利治老师的《数 学方法论选讲》里面提到第 3 讲 关系映射反演原则的应用: 1 何谓“关系映射反演原则”? 2 数学中的 RMI 原则 3 若干较简单的例子 4 几个较难一点的例子 5 用 RMI 原则分析“不可能性命题” 6 关于 RMI 原则的补充说明 这个原则百度就有。 这个原则有关初等数学的, 这才是就题论道的极致, 这本书中其他的道是有关高等数学 的。所以孙老师的解题境界只达到数学专家不是数学家的水平。孙老师是小道、中道,没有 大道。

《1.2.2 函数的表示法》的反思
在讲如何通过图像变换画函数的图像时要再加一个反比例函数的图像变换。 告诉学生初 中是通过描点法来画函数的图像,如果描点法很熟练,到高中第一个函数用描点法,但很快 的,第一、第二、第三个函数就用函数的图像变换来画,就是通过左右上下的平移来画函数 图像。 函数定义域和值域必须是数,你自己都说是函“数” 。 最后讲{函数}与{映射-函数}哪个多一点,其实到大学,是比较势或基数,我也不知道 这两个势或基数哪个大。但告诉学生后者要比前者多,只是告诉学生大学里会深入研究。就 像少数东西是相等的,少数函数是用解析式表达的,少数东西是规则的,绝大多数东西是不 等的,绝大多少函数是求不出解析式的,绝大多数东西是不规则的。至于两者的势或基数哪 个大要到大学里才又深入研究。 对于函数或映射,还是告诉学生一对一、二对一、三对一、多对一是函数或映射,一对 二、一对三、一对多不是函数或映射,这样有助于学生更加理解函数或映射。

孙维刚老师如何成功复制自己
孙老师不当老师可能是中国一流科学家, 当老师是中国老百姓之福气。 孙老师当老师是 如何成功复制自己的? 一、要认识自己,知道自己是谁,成为那个自己。对自己的智力进行认识还要对自己的 情感进行认识。孙老师平时修身养性,积极学习。孙老师具有伟大的人格魅力于学术魅力。 二、认识学生。 孙老师阅生无数,对学生的了解包括学生的家庭是一目了然,一切尽在胸中。孙老师了 解学生胜于学生父母对学生的了解。 三、孙老师教育教学功夫精湛,炉火纯青,达到教师教学的最高境界。 电影《英雄》中残剑说练剑有三重境界,第一重境界,手中有剑,心中亦有剑;第二重 境界,手中无剑,心中有剑;第三重境界,手中无剑,心中亦无剑。 孙老师达到了第三境 界。 这里的剑是指工具和招式, 对于老师指教育教学的工具及教育教学方法及教育教学模式。

《1.2.2 函数的表示法》习题讲解反思
我这个反思是给新老师看的,可能新老师刚当老师一些设计还想不到。 1、设集合 A={a,b,c},B={0,1},试问从 A 到 B 的映射共有几个? 这道题目的回答学生难在全部列出映射时大脑很乱,是乱中无序,所以会漏列或重列,

那如何全部列出, 就是找到乱中有序, 这序是什么?就是推到排列组合公式时的树状图或树 杈图,图倒立就是个树杈。 2、对于高斯函数 f(x)=[x],文字语言很抽象,学生很难理解。如果画个数轴,那高斯函 数就是数轴上从左边开始离这个 x 在数轴上对应点最近的那个整点的坐标。 学生理解起来非 常的容易。

对《1.2.2 函数表示法》习题课的反思
在课堂上如何讲解以下这道题。 1、已知 2f(X)+f(-x)=3x+2,求 f(x)。 我们可以从最简单的讲起。我是这样讲的。 ①:f(x)=x,②:求 2f(x)+f(-x)=(x),③:求 2f(-x)+f(x)=(-x)。 然后黑板上写出②中 x 与③中 x 是相互独立不相关的,比如②中 x=1,③中 x=2,即前 x 与后 x 你取你的我取我的毫不相干。 那如何让② 、③互推?既然两个 x 相互独立,各自取遍定义域内任何数,所以我们让 前 x 取它的相反数,那② 、③互推。 把①、②、③看成三角形的三个顶点,那就是①推出②,①推出③,② 、③互推。在 黑板上画一个三角形,发现②能不能推①?③能不能推①? 于是得到以下题目: 已知 2f(x)+f(-x)=x 求 f(x)。 于是我们让 x 取其相反数得到一元一次方程组,通过换元把 f(x)、f(-x)看成未知数,x 看 成已知数,然后通过解方程组解出 f(x)。 但有些同学会疑问,有得同学没有。什么疑问? 就是解方程组时,第一个方程中得 x 与第二个方程中的 x 是互为相反数,但求方程组时 又看成一样。这是为什么? 其实我们可以用一个特殊具体数字的例子来解释,比如如何求 f(1),让两条方程中想 x 取 1。问学生可不可以?

《1.3 函数的基本形式》
一、 前面几节课我们讲了人不但有本质也有形式更有性质。 人的本质随着社会历史的发 展认识越来越深刻,人的形式比如四种人种:黄种人、黑人、白种人、棕色人。 人的本质比如从古希腊的人时没有羽毛站立的两只脚的动物到马克思的人时各种社会 关系的总和。 我们讲马克思对人的认识时举了个例子, 就是狼孩。 人如果离开社会与狼一起生活那她 就不是人而是狼。 人的性质比如人有两个鼻子一只耳朵等等。 我们还讲了人的心灵美属于人的本质, 人的外表美属于人的形式, 人只有心灵美外表美 才是真的美。 函数也有本质、形式、性质。函数的本质也是随着历史社会的发展认识越来越深刻。函 数的形式有三种表达方式。这节课我们来学习学习函数的性质。 二、同学们思考下单调性是什么意思? 我们知道词语有第一词意,第二、三词意。第二、三词意有第一词意引申二出。单调的 第一词意就是:①只有一种的或重复而缺少变化:色彩单调|形式单调|单调的生活。 三、看几个单调函数图形。 1、文字语言:随着 x 的增大,函数值也增大;随着 x 的减小函数值也减小。或反之。

2、图形语言:一条上升的曲线或一条下降的曲线。 3、符号语言:暂不板书。 四、文字语言、图形语言、符号语言各有什么优劣? 文字语言不精确,比如说者无心听者有意,文字语言总是让人误会。 图形语言直观,但一些函数图形很难画出来。 符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维量,让人更容易思考,减轻大 脑负担。 五、先引导学生增函数的定义是如果 x1< x2,则 y1<y2;或 x1>x2,则 y1>y2。 六、再画一个中间是弯折的整体式上升的曲线,问这个函数也满足你说的,于是引出要 “任意”两词。 七、减函数如何定义? 八、 证明一个函数的单调性文字语言、 图形语言能不能当证明?要证明一个函数的单调 性只能用符号语言来证明。为什么?原因如上。 九、详细分析反比例函数的单调性。 十、最大、小值的文字语言、图形语言、符号语言。 问哪种语言才是精确、严格、简洁、漂亮、可以当定义? 十一、证明玻意耳定律,且指出定律的一个模型。 答:自行车的打气筒。

《1.3.1 单调性与最大小值》第二节
一、为什么一元二次函数很重要? 答: 数学上的许多概念其实是现实生活生产当中的模型。 什么是模型?家里办鞋厂的就 知道每一批鞋都有个鞋的模型, 打火机也一样。 书上举了一元二次函数是什么的模型?工厂 就是根据这个模型来生产产品的。 还有其他例子吗? 答:举出你如果开商店买衣服,进价 100 买 120,每增加 10 元销量减少 2 件,问定价 多少利润最大。 二、例 4 要从最简单的函数开始变换,慢慢变换出复杂的函数。 1、y=1/x 到 y=2/x 到 y=2/(x-2)到 y=|2/(x-2)|到 y=(x+1)/(x-2)。问在区间[2,6]上的最大小 值。 单调性如何证明?如果是选择题或填空题呢?证最复杂的还是最简单的? 三、 已知函数 y=f(x)的定义域为 R, 且对任意的正数 d, 都有 f(x+d)<f(x), 求满足 f(1-a)<f(2a-1) 的 a 的取值范围。 四、函数 f(x)=x2 +2(a-1)x+2 在区间( ? ∞,4)上是减函数,那么实数 a 的取值范围是? 五、自做练习。

对这道题的反思
1、函数 f(x)=x^2+2(a-1)x+2 在区间(-无穷大,4)上是减函数,那么实数 a 的取值范围是? 对于这个函数对称轴是 x=1-a,学生的思维定势是觉得区间是固定不变的,而对称轴因 为有字母不确定所以对称轴在变。 学生如何画图?就是固定区间而让对称轴变换。 如果这样 很难解出。数学上有逆向思维、反客为主,本来我是客人而今变成主人,本来我是主人而今 变成客人。解这道题要让对称轴不变,而让区间在变,这样画图就很容易解出。 这是道培养学生智力品质的好题目。有这种思维品质需要的题目是很多的。 2、对于 f(x)=(x+1)/(x-2)为什么要化出 f(x)=1+3/(x-2)?一是为了函数图像变换的需要,二

是在原函数中分子分母都变, 于是我们不知道整体如何变。 化简成另式我们知道分子不变而 只有唯一分母在变,于是我们知道整体如何变。

函数的奇偶性(一)
一、 同学们先思考下函数的奇偶性是什么意思?函数怎么会有奇有偶, 我们只知道奇数 偶数。 二、同学们为什么会觉得中国的古建筑很美,它讲究其中的一个什么? 答:对称。你看我国古建筑建造起来都有对称结构的,这就是对称给人的美感。函数的 奇偶性讲的就是函数的对称美。 三、我画个图,关于什么对称? 答:y 轴。我们把这样的函数称为偶函数。 四、偶函数的文字语言、图形语言、符号语言。什么语言可以当定义?如果要证明一个 函数是偶函数文字语言、图形语言能当证明吗? 答:只有符号语言可以当定义。还记得理由吗? 五、我画个图,关于什么对称? 答:原点。我们把这样的函数称为奇函数。 六、奇函数的文字语言、图形语言、符号语言。什么语言可以当定义?理由是什么?如 果要证明一个函数是奇函数文字语言、图形语言能当证明吗? 七、 同学们从偶函数奇函数的定义中能发现什么对判断一个函数是偶函数或奇函数起着 一票否决的作用? 答:定义域关于原点对称。为什么? 同学们能不能从现实的生活中找到一票否决的例子? 答: 在现实生活中起着一票否决作用的事情很多。 比如我们三溪中学不管高考成绩多好, 如果出现学生命案那学校的荣誉就一票否决, 高考优秀奖局里就不给三溪中学了。 还如对于 一个地方的执政长官, 如果在自己管理的辖区内出现老百姓到北京上访那你这个第一把手的 政绩就一票否决。 观点:文理相通、万物皆通。 八、偶函数奇函数为什么取名偶函数奇函数? 答:大家看 y=x^n,同学们发现了什么?当 n 是偶数它就是偶函数,当 n 是奇数它就是 奇函数。 九、 f(x)=x^3+2x, f(x)=2x^4+3x^2, 这两个函数时偶函数还是奇函数?你能得出什么结论? 从这两个例子可以得出结论: 两个奇函数相加还是奇函数, 两个偶函数相加还是偶函数。 但两个奇数相加是偶数,两个偶数相加是偶数。 同学们能得出更多的结论吗? 两个奇数相乘还是奇数,两个偶数相乘还是偶数。但两个奇函数相乘却是偶函数,两个 偶函数相乘还是偶函数。奇函数除以偶函数还是奇函数,奇函数除以奇函数是偶函数,偶函 数除以偶函数还是偶函数。 但正数+正数=正数,负数+负数=负数,正数*正数=正数,负数*负数=正数,正数/负数= 负数,正数/正数=正数,负数/负数=负数。 你们说说把奇函数取名负函数,把偶函数取名正函数是不是好一点? 十、判断下列函数的奇偶性:

⑴f(x)=x^4;⑵f(x)=x^5; (3)f(x)=x+1/x; (4)f(x)=x^(-2) 函数的奇偶性反思

一、第一点反思明天要讲。同学们以为如果偶数有什么性质那偶函数也有什么性质,奇 数有什么性质奇函数也有什么性质那该多好啊。 我上课所讲的就是告诉大家世界、 人生总是 充满遗憾和缺陷,她不可能完美无缺,并且我们要觉得遗憾是种美,缺陷是种美,世界、人 生因为遗憾、缺陷才觉得美。完美无缺的东西总是短命的。 二、 我们说根据偶函数奇函数的定义定义域关于原点对称对判断函数的奇偶性起着一票 否决的作用,我们这样讲高度不高,我们应当觉得如果函数定义域没有关于原点对称,那图 像就是缺少对称美, 而奇偶性就是研究函数的对称美。 所以一个函数定义域没有关于原点对 称那它肯定不是偶函数或奇函数。 三、对于偶函数或奇函数定义中得为什么要加“任意”两字原因同函数单调性的定义中 加“任意”两字一样。理由一一样,就是比如画个 y=x^2 的图,先得出 f(-x)=f(x),然后在图 形中间破坏掉一点,那好在两边满足 f(-x)=f(x),那中间就不满足,所以加“任意”两字。

《1.3.2 函数的奇偶性反思》
这反思是写给新教师看的,因为刚教书可能还不会设计。 题目属于习题 1.3。 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>=0 时,f(x)=x(1+x)。画出函数 f(x)的图像, 并求出函数的解析式。 3.已知函数 f(x)是偶函数,而且在(0,+无穷大) ,判断 f(x)在(-无穷大,0)上是增函 数还是减函数,并证明你得判断。 新老师往往会无意识的进行纯代数的推理和证明, 这对我们的学生是非常抽象的。 最好 是结合图形,对于第一道题,图形是准确的。对于第二道题,画图我们是只追求大概不追求 准确。结合图形证明或求解就很直观。 详细分析对勾函数。

学生数学为什么不好?
这是我自创的理论,有待检验,我也想自己实验,国庆结束马上找学生检验检验。一个 女学生告诉我高中数学书看不懂是天书。 儿童有种病叫自闭症,大家百度自闭症。 “症”是病的意思, “自闭”是自我封闭。儿童 躲在自己的世界里不肯出来,他可能很快乐吧,外面的世界太阴沉和黑暗,我这样认为。儿 童就是不肯从他的世界里出来, 所以才说是病。 自闭症儿童在西方是认为上帝对人类的馈赠, 因为许多自闭症儿童长的标致漂亮且有超常智力。 其实我觉得人人是自闭,就是没有达到“症”的程度。每个人只要是成年了大概 30 岁 左右就自闭了。他们活在自己的世界里,很难理解别人的世界。如果一个人生理健康、心理 健康幸福,那他到 30 岁左右时就自闭了。这是人生观、价值观、世界观的自闭。证据是我 们有时很难做一个人的思想工作,就是教也教不起来。但他们没有达到“症”的程度。 一个人的世界是大世界,里面分成许多子世界,有数学世界、物理世界、语文世界、 政治世界、化学世界、历史世界、人生观世界、价值观世界、世界观世界等等。 每个世界自闭的时间都不同。如果一个人生理、心理健康,那这个世界是自闭完备圆满 的,除非发生大事,这个世界才重新开放接纳新事物。 我一个女学生说高中数学书看不懂是天书, 我觉得她的数学世界过早自闭了, 不能再接 纳新的数学知识。当老师的就是重新让学生数学世界开放。 孙维刚老师提出的德育能促进智育的发展我想发展下他的教育思想, 就是情感能促进智 育的发展,德育是情感的一小部分。分析情感能让自闭的数学世界重新开放。我想是人的求 生本能让世界自闭。因为身心觉得再不自闭生理、心理会出问题。

我想国庆放假结束找这位女学生好好谈谈, 她的数学世界是如何自闭的。 显然遗传是一 个因素,但按孙维刚老师观点不是重要因素,后天的环境教育才是重要因素,让她数学世界 过早自闭。

学生数学为什么不好(二)
我把《学生数学为什么不好(一) 》附在下面。 我们知道思维是分层次的,只有站在较高层次才能把较低层次看清楚。一个事实就是 站在高等数学高度就能把初等数学看清楚,但把初等数学看清楚不一定把高等数学看清楚。 高等数学属于大学内容,初等数学属于高中、初中、小学内容。 我的一个女学生看高中数学书看不懂是天书,我说她的数学世界自闭了,这数学世界 是自闭完备圆满的。 我再提出一个观点,自闭是在思维的某个层次自闭,她高中数学看不懂,说明她在从 幼儿园到初中范围内的数学世界自闭了。 她的数学世界是自闭完备圆满的, 这让人想到大学 即《近世代数》这门课里的“域”概念。在这门课里“域”对“域”里的元素根据加减乘除 是自闭完备圆满德的。有个结论是有理数域是最小的域。 每个域有几个生成元,根据这个生成元根据加减乘除可以扩充为域或求出最小域。 每个人的数学世界到一定年龄就是自闭完备圆满的是个域, 里面就有几个生成元, 我把 它又称为每个人的参照系。 每个人都有参照系, 人根据这个参照系来观察外面世界或内心世界, 比如外面世界发生 一起汽车通过高速公路,有的人根据自己参照系得到速度是每小时 90 公里,有的人是 80 公里。每个人观察到速度都不同。这像爱因斯坦的狭义相对论。我也是根据爱因斯坦的狭义 相对论得到启发,爱因斯坦的狭义相对论在高中是属于选修内容,温州中学学生可能有学。 因为每个人在某一层次自闭, 那如何上升到较高层次就是上一层次那就需要外人的帮助, 或找到生成元即参照系然后改变生成元或参照系。 上升到高一层次后又会遇到自闭。 于是又 需要外人帮忙才能又上升到较高层次。 等国庆假期结束,马上找这位女学生检验检验自己的理论。 许多人数学世界的自闭是在相同层次自闭, 就是角度或生成元或参照系不同, 还有广度 不同即有的人数学世界大,有的人数学世界小,但高度是一样的都在同一层次。 注意学生的生成元或参照系有时是不符合事实是错的, 但学生的数学世界按学生自己的 方式是自闭完备圆满的。 如果一个人从小时候起一直成年他的生成元或参照系都是合理正确 科学,那他在某一层次自闭后又能上升到较高层次自闭,再上升到较高层次自闭,数学就一 直学下去。 学生为什么学习数学到一定年龄停住了, 就是他的生成元或参照系是错的, 这错的生成 元或参照系妨碍了他数学的进一步学习。 这生成元或参照系有的是先天遗传有的是后天影响。先天不可改变后天可以改变。

分析自己为什么学不好高等数学,去寻找学生为什么学不好高中数学的原因
温州市瓯海区三溪中学 张明 一.观点 有时老师怨学生笨,实际上自己学高等数学也是笨的,我们做如下假设:学生学高中数 学类似于老师学高等数学。 观点:分析自己为什么学不好高等数学,去寻找学生学不好高中数学的原因 二.分析 我大学概率统计课考的非常浅,泛函分析只有一点点深,拓扑学一字都看不懂,虽有 92 分,我是靠背通过的,这是我学习方式的严重退化。 (暂举这三门功课的例子)毕业之后

陆陆续续看,一天比一天看的懂,并思考大学期间为什么看不懂。 原因 1.太抽象无具体化的例子。 比如,教了高中的概率统计去看大学的概率统计就容易 的多。 高中的概率相对老师是大学概率统计的具体例子。 看拓扑学先看拓扑学的科普著作再 看专业书就容易的多。 2.思维不深刻。有三点,第一.只会抓住事物的形式,抓不住事物的根本。比如,泛函 分析中距离的公理化定义,实际上看问题可以抛弃事物无关紧要的形式,只研究它的本质。 我们要知道这一思维方式。第二.事物的形式千变万化,但有共同的本质。我们要善于从千 变万化的形式中分析出共同的本质,但有时知道却不会分析。比如,概率统计中的普哇松分 布,这个模型是概括了大量的现实数学问题,我是只理解了一个具体例子,看到另外一个例 子是普哇松分布但分析不出来,并且对普哇松分布的理解停留在较底层次。第三.对概念的 理解有层次之分,自己停留在哪个层次,要怎样才能上升到上一层次不知道。 3.那些数学天才的思维是独特的。他们从独特的思维角度看周围的世界,并提炼出问 题去研究。我在独特的思维角度不会,所以提炼不出问题也看不懂这些书。他们从独特的思 维角度去研究事物的规律,这一独特的思维是什么我是很模糊的。比如,点集拓扑学中拓扑 的定义,老师告诉我们拓扑学称橡皮几何学,捏过来捏过去,有些东西是不变。但这捏就是 连续映射,这还好懂,把这捏从开集及其基本性质出发来建立拓扑定义,能这样定义我花了 好长时间才看懂。 一个连自己都学不好高等数学的学生自己是不可能真正知道学不好高等数学的原因的, 因为只有站在较高层次才能看清较底层次所发生的事情。我只不过在低层次内部自我认识, 这是凡人与圣人的区别。但这种低层次内的自我认识对高中教学还是有启发的。 三.启发 1.教学时要尽量抽象问题具体化,并且要知道对自己是具体的,但对学生是抽象的 2.学生思维有点像老师看高等数学的思维,要以自己引以为鉴。 3.高中数学相对于初中数学在思维角度有那些提高与改变,这需要好好研究,只能放 到下一个帖子。

月考分析
一、做人要学会退。 许多同学一直担心考的不好,整天神经绷得紧紧的,心理压抑痛苦,长夜漫漫,无心睡 眠。怎么办?就是做人要学会退,且以退为进。告诉自己考砸了就考砸了,这是高中三年第 一次考试,考砸了,将来考好的机会多的是。做人要学会调节自己的心理。这涉及到情商的 培养。一个人成就大事即靠智商也靠情商。两者哪个重要,网络上的说法我觉得是胡扯。我 觉得都重要。 二、这次考试成绩不好,但考的还可以,为什么?听我分析: 三、老调重弹。 高考、会考区别: 高考:没做过没见过没看过没练过没讲过,与我们平时接触到得题目完全不相同。 会考:做过见过看过练过讲过不完全相同似曾相识的题目,是似曾相识燕归来。 我们从高一到高三以高考为标准进行测试。 高考数学试卷 150 分,容易题 90 分,中档题 30 分,难题 30 分。 我们学校平均分一般式 70 到 80 分左右或 80 几吧。 大家到三溪中学希望将来最少考个三本,虽然今年高考只有两个重点。 2011 年高考第二批录取分数线,理科:382;文科:431。那分摊到数学即数学要承担 的责任是理科只须考 76.4 就可以考上三本,文科只需考 86.2 就可以三本。也就是我们只要

把容易题全做对就可以有三本,即中档题、难题可以不要放弃。 注意,我这样分析不是很严格,但可以当指导高考的法则。 下面我用高一的月考类比于高考,用相似于高考而不是等于高考。 四、 以下用 “不” 、 “易” 、 “中” 、 “难” 来表示月考试卷上题目的 “不” 表示不够格, “易” 表示容易题。 “中”表示中档题, “难”表示难题。 (如果平时已经做过练过那这道题的档次就失效, 自己做过练过自己知道。 有的同学说 那平时岂不是不要做题?不是的,平时是锻炼。 ) 1、不;2、易;3、不;4、易;5、易;6、易;7、中;8、易;9 易偏中;10、中;11、 易;12、不;13、不;14、易;15、易;16、易;17、中;18、中偏难;19、中偏难;20、 中偏难。 同学们自己分析分析自己处于哪个档次? 五、校对试卷。

跟学生谈心记录
这位学生就是我在帖子 《学生数学为什么不好》 里说的那位。 我用自己的理论对她分析。 从谈心知道,她对数学的情感是恐惧、焦虑、害怕、提心吊胆。她是借读的,想考个二本。 我学校二本的也就几十个, 200 多学生。 她说从小学 1、 2、 3 年级还没有对数学的这种恐惧、 焦虑、害怕、提心吊胆。自从小学 4 年级来了位新老师,如果她数学考不好就对她责骂、扭 脸蛋。从此她就开始害怕数学,到初中因为数学老师对她不管不问,于是也就放弃了。她数 学初中开始就考 10 几分。她一想起考大学就觉得数学是心结。 我跟她讲了一个心理学上的故事, 就是催眠疗法。 有的成年人心理很痛苦或心理有疾病 是因为小时候经过过一件重大的事, 这事随着年龄的增大进入了他得潜意识。 催眠就是让他 回忆起这起让他痛不欲生的事,让他知道是什么东西造成了今日的结局。 我说你知道你自己数学当今为何如此,你也知道原因。但我说,打个比方有些病是知道 病因的但就是治不好的。 但我也举了个例子,就是有人得了癌症,最后发现癌症没了。这是怎么回事?如果一个 人得了癌症整天想自己还有多少日子可活, 他马上会死掉。 而这个人从来没有把癌症放在心 上,照样整天开心幽默乐观豁达,饿了就吃,困了就睡,没想到癌症消失了。我说你也学学 这位癌症患者。这位学生是整天把数学放在心上,难过、焦虑、恐惧、害怕、提心吊胆。整 天想数学不好考大学怎办?相当于我得了癌症该怎办? 我说现在高一还只读一个月,慢慢调节自己。

月考分析的反思
一、这些话是老调重弹,对前面几届学生讲过。 1、为什么上课听的懂,就是考试考不起来。 我用一个比喻来说明。我是游泳教练,你们去学游泳。我讲游泳要注意什么,手什么姿 势,脚怎办懂,就算我讲的天花乱坠,你们也会背如何游泳的理论,但如果不自己亲自下水 学,跳进河里还是会淹死。 所以要做题,但题海战术不可取。 胡乱做一百道不如精做一道。可以是一题多解、多解归一、多题归一、一题多变。最后 一道大题第一小题有三种解法。高考是数学好的同学走近路,不好不坏的同学走中路,坏得 同学走远路。 2、我还是复制以前的话。 如果这次考个二、三十分,那就不要理这次月考,为什么?

纠正错误要回到原点 我今天在校对必修 4 第一章《三角函数》复习参考题,当我分析到如果题型与练习、习 题是多题归一或一通百通时, 我的经验是如果复习参考题不懂不是把复习参考题搞懂, 而是 先把练习、习题里的题目搞懂。复习参考题的题目你不惹它它也不会惹你,你不惹它它不会 对你有不利影响,而是你惹了练习、习题里的题目,所以它惹你,所以你先把练习、习题里 的题目处理掉。也就是纠正错误要回到原点。根据“道”生一,一生二,二生三,三生万物 或根据受精卵的比喻,是我们的“道”或受精卵质量不好,所以产生畸形婴儿。 数学心理咨询课 如果这次考个二、三十分,那就不要理这次月考,把书先弄懂。为什么? 我复制我以前对上面几届同学说过的话。 纠正错误要回到原点 我今天在校对必修 4 第一章《三角函数》复习参考题,当我分析到如果题型与练习、习 题是多题归一或一通百通时, 我的经验是如果复习参考题不懂不是把复习参考题搞懂, 而是 先把练习、习题里的题目搞懂。复习参考题的题目你不惹它它也不会惹你,你不惹它它不会 对你有不利影响,而是你惹了练习、习题里的题目,所以它惹你,所以你先把练习、习题里 的题目处理掉。也就是纠正错误要回到原点。根据“道”生一,一生二,二生三,三生万物 或根据受精卵的比喻,是我们的“道”或受精卵质量不好,所以产生畸形婴儿。 一些同学们数学为什么不好? 儿童有一种病叫自闭症, 就是儿童躲在自己的世界里不肯出来。 我认为的原因是外面世 界很让他害怕、恐惧、焦虑、提醒吊胆。自闭症儿童在西方被称为上帝对人类的馈赠。因为 自闭症儿童个个长的标致又漂亮且许多自闭症儿童智力超常。 我知道虽然许多同学不说,那就是许多同学对数学是害怕、恐惧、焦虑、提醒吊胆。原 因有可能是幼儿园、小学、或初中遭到巨大打击。比如老师不理解的责骂,家长不理解的棍 打。他们以为是我们读书不认真,于是我们就形成恶性循环。老师越不理解的责骂,家长越 不理解的棍打, 我们对数学就越害怕、 越恐惧、 越焦虑、 越提心吊胆。 每个人都有求生本能, 追求幸福的本能,如果一个人感到数学让他这么痛苦,这么痛不欲生,那他自动就会关闭数 学世界。 许多同学的数学世界关闭了, 就是自闭了。 只有数学世界的自闭我们才能感到幸福。 我们只能躲在这个数学世界里才能幸福,就像自闭症儿童只有躲在自己的世界里才幸福。 我们也知道自己为什么数学不好的原因。 但我打个比方有些病就算知道病因也是治不好 的。那怎办? 我举个例子。一个人如果得了癌症,他如果担心害怕焦虑恐惧,整天把癌症放在心上, 那他马上死掉。有个人得了癌症,但他幽默、乐观、豁达、想得开、整天开开心心,从来没 有把癌症放在心上, 没想到癌细胞自动消失了。 许多同学就得学习这位癌症患者的人生态度, 就像这位患者对癌症的态度对待自己的数学,对于数学也用这种态度。 有一种心理疗法叫催眠疗法。 一个人成年的痛苦往往是小时候遇到重大打击, 让他当时 紧张、害怕、恐惧、焦虑。但这种打击随着人的成长慢慢忘记了,实际上没忘记,而是进入 自己的潜意识,在成年的时候显示出来。催眠就是让他在梦中回忆起小时候的这次打击,知 道是什么造成今日的痛苦。 我们对数学的恐惧、焦虑、害怕、提醒吊胆其实原因有许多同学知道。请同学们也自己 分析分析。 给学生看一段精彩的话,树立远大理想 @李开复:转发微博。@郭去疾 :乔布斯是戏剧人生最精彩的诠释者:你可以出身卑微,但必须
卓然不群,纵使你将众叛亲离,也注定要重头再来。最迷人的剧情不是后来居上,而是王者归来;最伟大

的战局不是尖峰对决,而是独孤求败;最完美的谢幕不是激流勇退,而是嘎然而止。美人难免迟暮,英雄 方能不朽。浪花淘尽,正是好处,却是了处。

《2.1.1 指数于指数幂的运算》
一、 同学们知道不?数学上的一个符号有可能是现实中一个问题的模型。 什么是模型? 只要家里办皮鞋厂的酒知道,每双皮鞋都有模具的,根据这个模具制造皮鞋,这就是模型。 同学们看以下符号是什么的模型?

y ? (1 ? 7.3%) x ( x ? N * , x ? 20)
? 1 ? 5370 P?? ? ?2?
书上找找,一起推导。
问题 1. 国务院发展研究中心在 2000 年分析,我国未来 20 年 GDP(国内生产总值)年 平均增长率达 7.3℅, 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍? 问题 2. 生物死亡后,体内碳 14 每过 5730 年衰减一半(半衰期) ,则死亡 t 年后体内碳 t 1 14 的含量 P 与死亡时碳 14 的关系为 P ? ( ) 5730 . 2 二、1、在初中指数有什么特点? 答:正整数。 2、分数、无理数可不可以?如果可以你会有什么感觉? 答:想知道又不知道是什么东西。就是好奇。 三、为了说明指数是分数或无理数是什么东西,我们从源头说起,即“道”生一,一生 二,二生三,三生万物。同学们想想看这个“道”是什么东西? 答:这个“道”就是根式。 1、n 次方根的定义:我们从数字具体阶段到符号字母阶段。 2、n 次方根的性质:我们从数字具体阶段抽象出符号字母阶段。 3、同学们感觉下 n 次方根的符号式杂乱无章乱草纵生还是形象生动简洁易记? 4、你用什么办法来学习一个数开 n 次方根之后再 n 次方?符号形象吗? 答:搞懂数字具体阶段上升到符号字母阶段。 5、你用什么办法来学习一个数 n 次方之后再 n 次方根?公式要不要死记硬背? 答:同上。 6、P50 例 1 需要我分析吗? 四、分数指数幂 1、从简单数字具体到符号字母抽象。 ①、根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示位分数指数幂。 ②、当跟谁急的被开方数不能被根指数整除,根式是否可以表示为分数指数幂? ③、会从数字具体上升到符号字母吗? ④、会推广为负分数指数幂吗?也从数字具体到字母符号。 ⑤、0 的分数指数幂的性质是像空集一样是规定还是可以推导出来。 答:可以推导出来。 ⑥、整数指数幂的运算性质与分数指数幂的运算性质有什么特点? 答:照样成立。
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给学生看笑话
我不知道这则笑话给学生看了, 学生是更加爱吸烟还是不吸烟。 我只是觉得学生是喜欢

幽默的老师,笑话来自网络搜索。 [ 场景一 ] 老师: 老实说,你吸烟吗? 男生 a: 不吸。 老师: 不吸?嗯,吃根薯条吧。 男生 a: 很自然地伸出两根手指夹着接过来…… 老师: 不吸?!叫家长来…… [ 场景二 ] 老师: 吸烟吗? 男生 b: 不吸。 老师: 不吸?嗯,吃根薯条吧。 男生 b: 由于听到 a 的情况,所以很小心的用手掌接过了薯条。 老师: 不蘸点番茄酱吗? 男生 b: 一不小心蘸多了,于是马上用手指弹了弹…… 老师: 弹烟灰的姿势很熟练嘛。叫家长来…… [ 场景三 ] 老师: 吸烟吗? 男生 c: 不吸。 老师: 不吸,好,吃根薯条吧。 男生 c: 因有前面两个例子很小心地流着汗吃完了薯条。 老师: 不给同学带根回去吗? 男生 c: 接过薯条后顺手就夹在耳朵上…… 老师: 不吸???叫家长来…… [ 场景四 ] 老师: 吸烟吗? 男生 d : 不吸。 老师: 很好,吃根薯条吧。 男生 d: 心惊胆战地吃完了薯条。 老师: 不给同学带根回去吗? 男生 d: 又小心地将薯条放到了上衣袋里。 老师突然大喊一声:校长来了! 男生 d 赶忙从口袋里取出薯条扔在地上,用脚使劲地踩…… 老师: 不吸?!叫家长来…… [ 场景五 ] 老师: 吸烟吗? 男生 e : 不吸 老师: 很好,吃根薯条吧。 男生 e: 刚拿过薯条,老师说:不请我吃吗? 男生 e: 赶忙双手递过薯条,然后掏出打火机…… 老师: 不吸?!叫家长来……

[ 场景六 ] 老师: 吸烟吗? 男生 f: 不吸。 老师: 很好,吃根薯条吧。 男生 f: 心惊胆战地吃完了。 老师突然大喊一声:校长来了! 男生 f: 手心冒汗,但仍镇定地低头说到:校长您好! 老师: 校长会闻到你嘴里的味道的。 男生 f 掏出薯条:不会,还在这呢,火都还没点…… [ 场景七 ] 老师: 你到底吸不吸烟? 男生 g: 向上帝保证,绝对不吸。 老师: 真的不吸?好,来吃根薯条吧。 男生 g 非常自然接过薯条吃个干净。 老师: 真是个好孩子,你一般喜欢什么牌子的薯条呢? 男生 g( 得意忘形地):大中华…… [ 场景八 ] 老师: 吃根薯条吧。 男生 n : 谢谢,不会。 老师:……

爱因斯坦可以不用脚踩大地,他可以天马行空
当我们初中学习 2时我们不能理解,因为比如 1/2 我们可以在现实中找到一个模型就 是把饼分成两半,当老师告诉我们 2的近似值是 1.414………,我们又能理解了。因为有理数 在初中我们觉得不抽象,所以当用有理数逼近无理数时我们容易理解。 我们学了把指数幂从整数推广为有理数,我们也能理解。但当我们学习2 2 时,许多同 学不能理解。总想知道这是什么东西,想像小学理解 1/2 分数时理解2 2 ,当我说2 2 是 21.4 ,21.41 ,21.414 , … ….逼近的那个数时,同学们总想知道那个数是什么具体的东西,其实 那个数就用2 2 来表示。我们总想知道那个数是什么具体的东西就是因为我们的抽象能力不 好很弱。我们觉得思考问题最好有具体的东西,比如 1/2 可以理解为把饼分成两半等等。 其实爱因斯坦可以不用脚踩大地,他可以天马行空。我们要学习爱因斯坦的抽象能力。 爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论就是天马行空。 爱因斯坦抽象能力很强很强。 我们总要 脚踩大地才能思考数学,其实我们要培养对数学天马行空的能力。

数学笑话的意义
因为许多学生对数学充满恐惧、焦虑、害怕、提心吊胆。所以我想了个办法 就是收集有关数学的笑话,让学生减少这种恐惧、焦虑、害怕、提心吊胆。我也 是试试有没有效果。

甲:老弟,你每天忙忙碌碌幹些什麼﹖ 乙:找哥兒們喝酒聊聊呀! 甲:哎呀,你不怕浪費青春﹖ 乙:不怕,我們哥兒幾個在研究一門幾何。 甲:啊!是平面幾何﹖立體幾何﹖還是解析幾何﹖ 乙:不,對酒當歌,人生幾何!

书该怎样教?给新老师的建议
新老师容易犯这样的毛病,就是考试怕学生考不出来,担心的长夜漫漫,无心睡眠,于 是课堂上讲道不完全相同似曾相识的题目, 如果学生还考不出来就在课堂上批评责备骂学生, 说我上课讲过的题目还是不会做,你们上课有没有在听,给我好好反省反省,你下课到我办 公室里来。 首先要肯定这是位刚教书的认真负责的好老师, 有可能前途无量, 如果学校领导精心培 养,但如果学校领导也这样教书那真是学校悲哀。 我刚教书也这样,被我的忘年交说的不好意思。他现在在温州育英国际实验学校。 在温州市瓯海区有三所学校同等级别。 比如我学校三溪中学与悟田中学数学老师比教学 能力该如何比?就是有一张试卷两所学校老师和学生都没做过讲过看过见过练过, 而我们学 校学生做出来了,悟田中学学生做不出来,那我们学校老师就厉害。如何比较老师的教学能 力?如何比较学生的解题能力?就是有一份试卷两所学校或两个老师都没讲过, 而学生也没 看过练过见过做过,哪所学校学生做出来了,哪所学校老师教学能力比较强。 高考试题是全国或全省学生、老师没讲过没练过没见过没看过没做过的。 我们如何赢得高考,要平时就这么教。 如果考试时相同类型试题讲过那试卷就不好分析,总不能对学生说,同学们,我这道题 讲过你还不会做,真让我失望,气死我了。 并且在平时试卷命题时, 任教老师要相互商量, 比如这道题你讲过没有?同步练习上有 没有?如果有,那砍掉不出。 有的不这样做的老师觉得这些老师在作弊, 看不起他, 觉得自己道德要高尚。 我告诉你, 对于大部分老师是无欲无求,就想保住饭碗。说句难听粗俗的话,在目前的教育体制,教书 有什么鸟意思。 我本来想说教书有什么逼意思。 还作弊?我跟你讲教书教的连作弊也懒的做, 就是混日子。不要把人家想的这么坏。

我对普通高中教学的一个建议
在温州市瓯海区我只了解三所普高,那就是三溪高中、悟田高中、瓯海二高,这三所是 同级别相互竞争的学校,高考成绩最多重点好像 10 来个,我数据忘记了。考生 300 多人, 每学校。我学校今年重点 2 个,受到局长表扬。 生源是这样招的。全区好像是 33 万户籍人口,因为招生只招户籍人口。最好学生被温 州中学招去, 省一级重点中学瓯海中学先招 500 多人, 省二级重点中学任岩松中学好像也是 招 500 多人,因为一些数据看了忘记了也没存在那里,只凭记忆。三所学校是省三级重点中 学生源打乱相互之间竞争各招 3、4 百人。 网友可以根据自己县或区内户籍人口去套是不是跟我学校类似。 对于这样学校,教学原则其实也简单,就是上课题目浅高度高,题目最多相当于高考中 档题,如果是高一高二新课,那要相似于类比于高考也最多相当于相似于类比于中档题。选

题目浅容易,但解题高度高难,需要不断进修学习。孙维刚老师的著作,中国一流数学家徐 利治老师的数学方法论研究, 都要看。 我看了上海的陈永明名师工作室出的研究成果也不错。 这些百度就有。 温州中学其实有些同学要题目深高度高 我知道有些人看了这个建议不舒服,很正常,我抛砖引玉,寻找志同道合之人。

2.1.1 指数与指数幂的运算(二)反思
第一节课是指数与指数幂的概念课,第二节是习题课。我网络上下载了个习题课课件。 我的反思是写给新老师看的。 运算就涉及到运算能力。 什么是运算能力?就是在众多的运算途径中快速的找到一条捷 径。我以前说过差学生走远路,不好不差学生走中路,好学生走近路。近路如何发现就是对 环境熟悉了,走啊走啊,发现了一条近路。 刚开始可以这样设计,就是根式转化为分数指数幂,分数指数幂转化为根式。为什么? 为运算做准备。 为什么要把根式转化为分数指数幂?那就是容易运算, 分数指数幂有运算法则, 根式没 有,根式不能运算。 如何运算?既是数字与数字运算,相同字母与相同字母运算,相当于合并同类项。 运算结果要嘛写成根式要嘛写成分数指数幂, 为什么?因为人时追求美的。 对于结果你 运算到何处是尽头,也看看结果美不美。 在指数与指数的运算幂没入门前同学们是觉得运算繁且难。只要入门,我再问,学生回 答是繁不是难。所以判断学生掌握了没有可以用你觉得运算是繁、难吗?如果只是繁不难, 说明掌握了。

指数函数及其性质
一、大家看 P48 问题 1、问题 2 我们知道数学上一个概念是现实生产生活实际中许多事物的模型。 这两个模型还是比较 具体是数字形式的。我们把它抽象为字母形式。大家看看字母形式会是什么? 答: y ? a
x

指数 x 定义域是什么? 答:全体实数,即 x ? R 。 问底数 a 有什么范围或限制?需要记忆吗? 答:因为指数 x 取全体实数,所以我们只要熟练具体的数字的指数幂就可以了。 比如 a<0 为什么不可以?a=1 为什么不可以?a>0 且 a≠1 为什么可以。 二、我们已经抽象出一个指数函数的概念,接下去我们要研究指数函数这个事物的什 么? 答:图像和性质,比如奇偶性、单调性。 怎么研究? 我们只所以能抽象出字母形式是因为我们对具体数字形式非常熟练, 所以我们要研究字 母形式的指数函数图像与性质我们可以研究具体数字形式的指数函数的图像与性质。 你觉得 数字形式的指数函数哪个最简单? 答:a=2 和 a=1/2 三、 y ? 2 , x ? R
x

我们让 x 取整数, 看看函数值大小变化趋势。 当 x 变的越来越大时比如 x=1、 2、 3、 4、 ……、 10000。当 x 变的越来越负无穷大时比如 x=-1、-2、-3、……、-10000。 四、 y ? ?

?1? ? , x?R ?2?

x

同上。 五、1、上述两函数有什么关系?用文字语言、图像语言、符号语言各自表述或证明。 2、指数函数的图像与性质需要记忆吗? 答:只需记得图像就可以,性质可以根据图像得出。 3、指数函数中有几个未知数,确定一个指数函数需要几个条件? 答:只需一个。看例 6. 那确定一元一次函数、一元二次函数、反比例函数需要几个条件?为什么?请从图像与 代数两角度解释。 教训:学习要八方联系,浑然一体。 4、 例 7 用初中知识可以解答吗?用指数函数图像是不是有点小题大做?杀鸡焉用宰牛刀。 第二小题有几种办法?第三小题的技巧模型在现实生活中能找到吗? 答:两种。房屋介绍所。

指数函数及其性质 2
一、复习 1、P57 例 7 第三小题比较两个数大小,这种技巧现实中模型除了房屋介绍所还有就是 媒婆,即一个想嫁一个想娶。 2、P58 练习 3,细胞如何分裂就是来解释小孩子为什么长得这么快。还有没有多题归一 的题目? 答:印度的一个故事联系起来,就是一个人发明国际象棋,印度国王要奖励他,如何奖 励?就是在棋盘上第一个格子放一粒麦子,第二个格子放两粒,第三个格子放 8 粒,以次类 推。我们求求要多少麦子? 教训:文理相通、万物皆通。 还有没有文理相通,万物皆通的例子? 答:增函数:一行白鹭上青天;减函数:飞流直下三千尺。 二、一题多解、一题多变、多解归一、多题归一。 1、问 P48 问题 1、P57 例 8、P59A 组第六题、P60B 组第三题有什么规律? 答:多题归一,所以要精解一题,通一大片,要一通百通。 注:银行除了复利还有单利,将来我们学习等差数列、等比数列就知道。 2、问 P48 问题 2、P59A 组第九题有什么规律? 答:同上。 3、人口问题让我们想到我国什么政策? 答:计划生育政策。 材料:马尔萨斯《人口原理》 ,它在作者胡作玄先生这本《影响世界历史的 100 名著排 行榜》中排名第八。百度:影响世界历史的 100 名著排行榜,就可以找到所有名著。在《世 界 100 系列丛书》其中一本《影响世界的 100 本书》中排名 58。不同的人有不同的排名。 同学们可以去买或网络搜索。还有百度影响世界的 100 个人,马尔萨斯也在里面。 外国有马尔萨斯,中国有马寅初,当马寅初提出我国人口要控制时,毛主席不听,他 认为人多力量大,所以导致我国人口越来越多,如果我国提早计划生育,那国力也不是现在

这样。 并被错误的批判, 但活到 100 岁。 同学们如果想知道更多有关马寅初的情况, 请百度: 马寅初。 我为什么要讲这些,因为我要同学关注国家大事、人类大事,大善才能大智。大善就 是要关注国家、人类的大事,而不是身边鸡毛蒜皮的小事。

人为什么不能造谣诽谤?
这道题目很有意思, 即可以锻炼学生的基础知识又可以教学生做人。 我今天就讲了这道 题。 乔布斯名言:你不要欺骗任何人,因为你骗到的都是曾经信任你的人。也就是人为什么 不能造谣诽谤?这能不能从数学上解释? 例子:某人听到一则谣言后一小时内传给两人,以后他再没有传给别人,而那两人同样 在一小时内每人又分别传给另外两个人。 如此下去, 一昼夜能不能传遍一个一千万人口的城 市? 答:是可以的,且传遍的人口总是是 2^24=16777216. 这就是谣言的魅力,人言可畏。

复数第一节的引入设计
现在是高一,我在讲解《指数函数习题 2.1B 组第二题》时插入了复数。 题目:已知 x+x^(-1)=3,求下列各式的值: x^(1/2)+x^(-1/2);⑵、x^2+x^(-2);⑶、x^2-x^(-2)。 我引申:若 x+x^(-1)=1,求 x^2+x^(-2)的值。 答:x^2+x^(-2)=-1。 于是问题出来了, 在已知中是没有实数满足这个等式的, 也就是说在实数范围内是无解 的。既然没有实数满足这个等式,那未知的式子是求不出来的,但偏偏可以求出并且还是个 实数-1,且是平方=负数。不可思议,这说明什么?这说明在世界中除了实数还有种神奇的 数,它像个幽灵在世界中游荡徘徊,这是个什么东西?它就像鬼,看不见摸不着,你只能想 象,它就是鬼,于是我们给这个幽灵或鬼一个名称,这个鬼是这样子的,i^2=-1,i 是什么东 西?它就是鬼。

复数就是人鬼情未了
实数是人,看得见摸得着,复数是鬼,看不见摸不着,它的一般形式 a+bi 是人鬼情未 了。

如何讲解指数函数中复合函数的单调性
先举例子:求 y=3^(-x^2+2x+3)的单调性 分析: 刚开始教书几年是这样教的,就是同时画出 y=3^u,u=-x^2+2x+3 的图像,从图像上 加上文字叙述来讲解,但总觉得还是抽象。今天换种解法,但课后反应还是抽象。我写出来 与大家讨论。 问题总是从最简单开始慢慢变复杂,包括生命的进化规律。 先从 y=3^x,然后再 y=3^|x|,问 y=3^(x^2)与前者图像是类似还是完全不同。 答:类似。因为当 x>0 时,x 增长,x^2 也增长,且两者都是偶函数。 以 y=3^(x^2)类似于 y=3^|x|,然后以 y=3^(x^2+2x+3)类似于 y=3^(x^2),可以画一元

二次函数图像来类比,一个对称轴是 x=0,一个对称轴是 x=-1。然后二次项系数添个负号即 -x^2+2x+3,于是增减变相反。

比较指数形式的特殊具体数字型的大小要插入的一个生活经验
当 a>1 时,自己与自己相乘越乘越大以至于无穷大。 当 0<a<1 时,自己与自己相乘越乘越小,与 0 越来越接近。 当 a>1 时,开方式越开越小以至于到接近于 1 当 0<a<1 时,开方是越开越打以至于接近于 1.

对数与对数运算
一、 小时候我们为什么能理解整数比如数字 2 是因为我们可以找到一个模型就是 2 个苹 果等等。 小时候我们为什么理解分数比如 2/3 是因为我们也可以找到一个模型就是把一个大饼 分成三份自己拿两份。 于是我们理解了整数、有理数。 我们为什么能理解无理数,比如 2 。有两种方式理解。第一就是用有理数逼近它。二 是用数轴上的点来对应来理解。 2 是那个点对应那个数的符号。 注意数轴上的点对应一个实数。 用实数来表示数轴上对应的点有多种形式, 虽然本质上 指同一个点。比如 3=6/2=9/3。还有没有其他形式? 二、

求23 =? 已知2 x ? 8, 求x
这两者有什么不同? 答:前一个是已知底数、指数求幂,后一个是已知底数、幂求指数。 在 2 x ? 8 中 x 可以求出来,x=3.
x 那如果是 3 ? 8 ,x 能不能求出来?那怎办?那个数用什么符号表示?

三、对数

3x ? 8 那个数的其中一种表达形式,可能还有其他表 x?log 8 3 ,这个形式也是那个使
达形式。 所以数轴上点 3 这个数还有种表达形式 3 ? log2 8 。 四、复习 5 2 的定义 。 数轴上有个点对应那个数,这个数可以用 5 、 5 、 5
1.4 1.41 1.414

那个数就 、 51.4142 ,......, 来逼近。

用 5 2 来表示, 且也是其中一种表达方式。因为前提是我们理解了指数是 5 2 只是个符号。 有理数,知道有理数指数幂是怎回事。

四、对数定义 已知底数是 1.01,指数是 2,求幂,用什么符号表示?1.01^2=1.0201 已知底数是 1.01,指数是 3,求幂,用什么符号表示?1.01^3=1.030301 倒逆一下 已知幂是 1.0201,底数是 1.01,求指数?用什么符号表示? 已知幂是 1.030301,底数是 1.01,求指数?用什么符号表示? 上升到符号: 已知 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,求 x。

x?log a N ,右边是个符号,是个表达数轴上点对应的那个数的符号,可能是有理数
也可能是无理数。有的可以求出来,有的求不出来,求不出来就不要求,用这个符号记那个 点对应的那个数。 总结:对数的文字语言、符号语言。常用对数、自然对数。对数与指数间的关系。 答: 当a ? 0, a ? 1时,a x ? N ? x ? log a N 几个结论: 负数和零有没有对数,为什么?需要记忆吗?N 为什么叫真数?

log 1 a ?

?,a la o? g

?

答:只需知道特殊具体例子。因为负数和零没有对数,是假的,而 N>0 是真的。 为什么叫对数? 理由同上。”对“是相对、对立面、逆、反的意思。 数学概念不是空中楼阁,它的根紧紧的扎在大地。一个数学概念都有它的现实模型,来 自生活、生产实践。对数的现实模型是?书上找找。 例1、 例 2 是干什么的?是写出一个不想继续写还是想多写几个? 答:例 1、例 2 时,就是把指数式转化为对数式、把对数式转化为指数式。我说你们有 没有写出一个就不想写。如果写出一个还想写那反而不好,说明不懂。

对数的运算
一、1、对数为什么称为对数? 答: “对”就是是相对、对立面、逆、反的意思。对数是指数的逆运算。 2、指数的运算性质是干什么用的? 答:①、根式不好运算,把根式转化为有理数指数幂就容易根据运算性质运算。②、运 算性质是在运算的过程中可以寻得简洁的运算途径, 减少运算量, 运算性质的灵活运用是一 个人运算能力的体现。没有运算性质运算非常麻烦且运算量非常之大,还可能运算不出来。 运算性质可以让人在繁琐的运算中解脱出来。 3、还知道指数的运算性质吗?

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R) (a m ) n ? a mn (m, n ? R) (ab) n ? a n ? b n (n ? R)
引入:我们知道指数运算是综合了乘、除、乘方、开方运算,但这些运算比较起加、减

运算显然是繁、难、抽象、不容易计算且结果巨大,比如 2^64,那好有人想能不能把乘、 除、 乘方、 开方运算转为为加、 减运算?于是有人 (是谁?) 发明了对数。 对数就可以把乘、 除、乘方、开方运算转化为加、减运算。大家看对数的运算性质。 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

①、你能证明吗?从哪里开始?证明的过程中发现什么? 答:从指数的运算性质开始。发现指数、对数是相对逆过程,所以证明过程中发现从原 点出发,转个圈又回来,回到原来地方,这就是循环的表现。 ②、这对数的三条运算性质是相互独立各不相干,还是相互之间可以推导? 答:⑴、⑶可以推出⑵。⑵、⑶推出⑴。⑴推出⑶。 4、 换底公式会推导吗?为什么称为换底公式?它的作用是什么?书上为了说明换底公式 举了什么例子? 5、此节上到这里为止。第二节我想插入两个公式: ①、 log an M ?

1 log a M n

②、 loga c ? logc a ? 1 及其变式。 ③、alogaN=N (a>0,且 a≠1,N>0)

对数的运算第二节
一、再插入三个公式: ①、 log an M ?

1 log a M n

②、 loga c ? logc a ? 1 及其变式。 ③、alogaN=N (a>0,且 a≠1,N>0) 二、有一种学习方法叫自学,但自学有个毛病就是自学时毫无头绪,就像看小说没有线 索,你们看中央电视台的百家讲坛,如果自己看没意思,听他们讲就有滋有味。所以这两道 应用题我们带着问题自学。看《红楼梦》也一样,毫无头绪,但又线索,这线索就是以贾宝 玉、林黛玉、薛宝钗的爱情故事为线索。 例 5 是难在数学上还是地理知识上?地震波是怎么回事?你知道地震哪些知识?我国 近年来发生的一次大地震是什么?你了解这次地震吗?我的看法。 对于例 6,书上去推倒 t 年后体内碳 14 的含量关系式的推倒方法可取不可取?我们前 几节课有讲过吗?在第几页? 例 6 书上说由计算器得,计算器你会按吗?不用计算器怎办? 你知道马王堆汉墓更多的知识吗? 注:用正弦、余弦图象来分析地震波。汶川大地震图片 三、0.5 6 磅 手榴弹爆炸 1.0 30 磅 建筑爆破

1.5 320 磅 二战期间常规炸弹 2.0 1 吨 二战期间常规炸弹 2.5 4.6 吨 二战期间的"Cookie" 巨型炸弹 3.0 29 吨 2003 年大型燃料空气炸弹(MOAB) 3.5 73 吨 1957 年前苏联车里雅宾斯克核事故 4.0 1 千吨 小型原子弹 4.5 5.1 千吨 常见的龙卷风 5.0 32 千吨 投放在日本长崎的原子弹 5.5 80 千吨 1992 年美国内达华 Little Skull Mtn.地震 6.0 10 万吨 1994 年美国内达华 Double Spring Flat 地震 6.5 50 万吨 1994 年 Northridge 地震 7.0 320 万吨 目前最大型的原子弹 7.5 1600 万吨 1992 年美国加利福尼亚 Landers 地震 8.0 10 亿吨 1906 年美国加利福尼亚旧金山地震 8.5 50 亿吨 1964 年美国阿拉斯加安克雷奇耶稣受难日地震 9.0 320 亿吨 2004 年印度洋大地震 10.0 1 万亿吨 美国加利福尼亚圣安德烈斯断层挤压地面 三、地震级数 零级:无感地震,地震仪的仪表上有记录,而人尚无感觉。 一级为「微震」 :人体静止时或对地震有特殊敏感者,有感应。 二级属于「轻震」 :门窗摇动,一般人均有感觉。 三级为「弱震」 :房屋动摇,门窗格格有响,悬物摇摆,盛水动荡。 四级为「中震」 :房屋摇动甚烈,不稳定物体易倾倒或落下,盛水容器达八分满都会溅 出。 五级为「强震」 :墙壁裂开,烟囱或牌坊都会倾倒。 六级为「裂震」 :房屋倾倒,山崩地裂,表层断陷。 第七级时人会站立不稳,池塘出现水波。 第八级则砖石墙部分破裂倒塌,树枝断落。 第九级是很严重的,地下水管破裂,地面出现裂缝,小建筑物倒塌等等。 第十级时水库出现裂缝、桥梁被破坏,铁路扭曲等。 第十一级则地下水管及阴沟系统全被破坏。 第十二级则是全面破坏,连巨石也震动移位。 四 、

五、墓主人的历史背景 马王堆汉墓是西汉初期长沙国丞相、 轪侯利仓及其家属的墓葬。 长沙为汉长沙国首府临 湘县所在地。该墓地曾被讹传为五代十国时楚王马殷的墓地,故称马王堆;又曾被附会为 长沙王刘发埋葬其母程、唐二姬的“双女” 。 一号汉墓出土的女尸,时逾 2100 多年,形体完整,全身润泽,部分关节可以活动,软

结蒂组织尚有弹性, 几乎与新鲜尸体相似。 它既不同于木乃伊, 又不同于尸腊和泥炭鞣尸。 是一具特殊类型的尸体,是防腐学上的奇迹,震惊世界,吸引不少学者、游人观光。女尸 经解剖后,躯体和内脏器官均陈列在一间特殊设计的地下室内(汉墓陈列馆现设在湖南省 博物馆院内) 。三座墓中以一号墓规模最大,墓坑南北长 19.5 米,东西宽达 17.8 米,深 16 米。现在一、二号墓坑已经填塞,三号墓坑经过整理加固,保存下来,并新建了大跨度的 顶棚,供人们参观。 大家百度百科:马王堆汉墓

对数与对数运算的反思
一、一切反动派都是纸老虎的例子 ①、 《2.2.1 对数的运算》例 5 有关地震题。 ②、 3
log3 3

?e

ln

2 2

二、学生对换底公式不能理解,就是不知道 c 是哪里来的。下次设计最好先举具体、数 字、特殊的例子。明天就举举看。

对数函数及其性质
一、 ①、 同学们还记得湖南长沙马王堆汉墓女尸鉴定年代需要依据的一个指数式子吗? 你能把它转化为对数式子马?会转化吗?

? 1 ? 5730 , 答: P ? ? ? ?2?
②、问你能不能把它抽象为字母、符号形式且具有一般性,而不是特殊、具体、数字。 答: y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 。 ③、指数函数为什么称为指数函数?还记得指数与对数的关系吗? 答:因为指数在变,是自变量。互逆。 ④、上述函数称为对数函数,不是对数在变而是真数在变,是自变量。 ⑤、如何画出对数函数图象? 答: 只需画出特殊、 具体、 数字、 最简单的对数函数的图像。 只要把特殊、 具体、 数字、 最简单的对数函数图象搞懂搞熟练了,自然就上升到字母、符号、一般的对数函数。 ⑥那特殊、具体、数字、最简单的对数函数时什么? 答: y ? log 2 x, y ? log 1 x 。
2

t

二、先回答几个问题。 ①、 y ? 2x 和x ? log 2 y, 是同一个函数还是不同函数,他们在同一直角坐标系中图像 是一样的还是不一样的? 答:同一个函数,图像一样。因为 x 是自变量,y 是因变量。 对于第二个函数如果 y 是自变量,那就是不同函数,对应法则是互逆的,于是不能在同 一直角坐标系中画了。 ②、 x ? log2 y, y ? log2 x 是同一个函数还是不同的函数?他们在同一直角坐标系中图 像相同吗?

答:因为 x 是自变量,所以对应法则是互逆的,所以是不同的函数。图像不同。对于第 一个函数如果 y 是自变量,那就是同一个函数,但不能在同一直角坐标系中画了。 总结: 要看自变量用 x 还是用 y, 习惯上自变量是用 x 表示,但自变量可以是 u、 v、 w、 y。 ③、我们用 x 表示自变量,那如果要画出 y ? log 2 x 的图像,我们可以从哪里入手?为 什么? 答:从 y ? 2x 入手,因为两者对应法则是互逆的。因为都是 x 是自变量,所以可以在 同一直角坐标系中画。看几何画板演示。 注:在几何画板上同时用描点法画 y ? 2x , y ? log2 x 的图像,点的坐标值也互换。点 的坐标值用教材上的值,在《2.1.2 指数函数及其性质》这一节。

?1? ④、同理画 y ? ? ? , y ? log 1 x 的图像,但可以省去描点法,只要搞熟练前者,所以 ?2? 2
可以直接画出此图像。 ⑤、上升到字母、符号、一般阶段,看教材。 ⒈对数函数的性质需要记忆吗?你能根据对数函数的图像可以得到多少对数函数的性 质? 答:不需要记忆,只要知道对数函数的图像,性质由图像得出。根据图像可以得到尽可 能多的对数函数的性质。与指数函数类似。 ⑥、例 7、例 8、例 9 该如何学习? 对于例 7 求有关对数函数的定义域,指数函数有没有相同类型的题目?在第几页?例 7 (1) y=logax^2 与 y=2logax 定义域相同吗?是同一个函数吗?为什么?可一题多变为求值 域吗? 对于例 8 有关比较对数类型的大小, 指数类型有类似的题目吗?比较的方法有相同之处 吗? 对于例 9 有关溶液酸碱度测量。里面有个常识:氢离子的浓度越大,pH 值越小,既溶 液的酸性越强。不用记结论,用什么模型来记忆? 硫酸、盐酸模型

x

对数函数及其性质的反思
1、说明为了画出 y=log2x 的图像,我们从 y=2x 开始。利用 y=2x 得到 y=log2x 的图像。这 两个函数图像有什么关系。 有的同学说把指数式 y=2x 转化成对数式是 x=log2y,于是要画 x=log2y 的图像。但同学们 这两个函数如果都让 x 是自变量,那是同一函数,对应法则是一样的,在同一直角坐标系中 图像是一样的。 如果让第二个函数 y 是自变量, x 是因变量, 那不能在同一直角坐标系中画。 为了能够在同一直角坐标系中画图像,要把是 x=log2y 转化为 y=log2x,即 x、y 互换,这样

y=2x 和 y=log2x 自变量都是 x,因变量都是 y,但对应法则是互逆的,于是可以在同一直角坐 标系中画了。 2、y=2x 中的 x 是 y=log2x 中的 y,y=2x 中的 y 是 y=log2x 中的 x。两者 x、y 互换。原因是 我们要在同一直角坐标系当中画图像。 3、logax2=2logax 吗? 答:在 x>0 时相等,在 x<0 时前者有意义,后者无意义。 4、复习真数为什么要>0?需不需要记忆? 答:用特殊、数字、具体的例子套一下。 注:学生又忘记了真数为什么要>0。 5、用几何画板画图来区别 logax2、2logax 定义域不同,对应法则一样,值域与 logax 一 样。用几何画板画图来区别 y=logax、y=loga(4-x)值域是一样的,并且我们用函数图像变换从 y=logax→y=loga(-x)→y=loga(4-x)。取特殊情况 a=2。 6、同学们学到对数函数突然遇到一座高峰的有两次,也就是突然难起来的有两次。一 次是学习函数的概念,一次是学习对数函数的概念、图像、性质,即这节的《对数函数及其 性质》

复数第一节设计的补充
在杂志《中学数学教学参考》2011 第九期上旬里面的一篇论文《 “数系的扩充”一课的 教学设计》作者:丁箐(南京师范大学附属中学)里的一个例子很好,可以拿来当复数第一 节设计。 问题 1 讨论关于 x 的方程 (x-1) (2x-1)(x2-2)(x2+1)=0 的解的个数。分别在整数范围内、 有理数范围内、实数范围内有几解?

对《对数第一节》教学设计的补充
从杂志《中学数学教学参考》2011 第六期上旬论文《高中的对数应该怎么教?》里的 一个例子。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ……

比如计算 16×256 的值,可以先计算 log216+log2256=4+8=12,第一行中 12 对应第二行 中的 4096,于是就有 16×256=4096

幂函数
学习数学请自信点,你们就像这头小象。 我在讲解 P75《习题 2.2》B 组第 4 题时我讲错了。 正确讲法是 lg(1+x)+lg(1-x)=lg(1-x^2),但我上成 lg(1+x)+lg(1-x)=lg(1+x)/(1-x),没有一位 同学指出错误。 说的正确点两个班只有一位同学指出来。 这说明什么?说明同学们对数学很 不自信极其自卑。就算觉得自己是对的也对自己无把握,觉得老师是权威,老师是一字千金 绝无出错。我为什么把+看成-,是因为我眼睛看到的是+,大脑里想的是-,这毛病每人都犯 过。 同学们为什么对数学很不自信极其自卑原因是我们学习数学总是遭遇失败,比如考试。 一次失败我们可以从下次成功中找回自信, 接连再三从无成功的喜悦让我们彻底对数学失去 自信。 我跟你们讲个故事, 在印度, 成年人只需一根细绳在一根小木桩上轻松的拴住巨大的成 年大象,这是为什么? 当大象很小时因为大象小大人只需用一根细绳一根小木桩就可以拴住大象, 因为大象很 小所以就算挣扎也挣脱不了绳子,小像遭遇了无数次失败,于是觉得这绳子永远挣脱不了, 小象一天天长大, 它本来可以不费吹灰之力就可以挣脱绳子了, 但它觉得这绳子是永远挣脱 不了的,这是它小时候遭遇的无数次失败告诉它的,小象虽然长成大象,但它就是真觉得这 根细绳是永远挣脱不了的,于是人只需一根细绳与一根小木桩就可以拴住它了。 你们就像这个小象。请同学们学习数学自信点。 引入:我说,从初中数学到高中数学也是一个经历高原现象的过程。每个人经历高原现 象的时间不同,有的人一个礼拜,有的人一个月,有的人一学期。考的不好没关系,你在经 历高原现象,需要时间,请不要放弃。我学习英语当经历高原现象的时候就放弃了。 高中数学与初中数学感觉不一样用一个字概括就是“变” 。初中是“模仿” 。初中,课堂 上是这种题型,作业是这种题型,考试是这种题型。所以高中学习数学要举一反三、融会贯 通、会迁移。模仿,连猴子也会。假懂、假会还不行,要真懂、真会,并上升到通。 初中的难题到了高中最多是变成中档题, 初中里面的数学高超技巧到了高中就变成一般、 普通、简单技巧。你们初中因为没做过难题,所以到高中就像有个巨大的阶梯迈不上去,遇 到高原现象。有的同学已经感觉到。为什么你们初中没做过难题?因为中考考的很浅,义务 教育要普及。所以温州中学、温州二中、瓯海中学是看不起温州市教育局出的中考试卷,要 自己自主命题招生。中考试卷选拔功能越来越弱。因为大学要普及,所以高考也一样,试卷 比过去要浅。 一、幂函数的生活生产实践模型多不多?书上举了哪些?这些例子是简单还是难? 指数函数为什么称为指数函数?对数函数为什么称为对数函数?幂函数为什么称为幂 函数?幂函数的符号与指数函数的符号有什么区别? 答:因为指数在变,指数是自变量。对数函数是真数在变,真数是自变量,但不叫真数 函数,而叫对数函数,因为对数函数是指数函数的逆过程。幂函数是底数在变是自变量,指 数是常数是不变的,但不叫底数函数,因为是求“幂” , “幂”是什么?“幂”是一个数自己 相乘几次称“幂” 。没有底数函数的,所以叫幂函数。 二、书上只要求我们掌握几种幂函数?为什么只掌握这几种?这几种幂函数你不看书 可以凭数学直觉或感觉能画出来吗?它难画吗?画的时候是觉得自然还是别扭?你会类比

推广吗?你会举一反三、触类旁通吗? y=1 是不是幂函数,百度一下,发现各有各的说法。 三、下面类比推广。 1、α =1 我们太熟悉。 2、α =2 推广为多少? 答:α =4、6、8,??。偶函数。 3、α =3 推广为多少? 答:α =5、7、9,??。是奇函数。 1 4、α = 推广为多少? 2 1 1 1 1 答:α = 、 、 、 ,??。当分母是 3、5 时是奇函数,关于原点对称,当分母 3 4 5 6 是偶数时定义域是 x>0,但这些函数在 x>0 时图像类似。 四、α =-1 推广为多少? ⑴、α =-1、-2、-3、-4、-5,……。有什么关系? 答:在 x>0 部分都相似,但α =-2、-4 是偶函数,图像关于 x 轴对称。α =-1、-3、-5 是奇函数,图像关于原点对称。 1 1 1 1 1 ⑵、y=x 与 y=1/x2 、y=1/x3 、y=1/x4 、y=1/x5 图像有什么关系? 答:在 x>0 部分都相似。只是分母是奇数定义域 x≠0,是奇函数。分母是偶数,定义 域是 x>0,当 x<0 时无意义。 五、道生一,一生二,二生三,三生万物,即相当于受精卵的发育成长过程。幂函数 的道就是α =1、2、3、1/2、-1。你能根据道生出 y=x3 ,y=x2 ,y=x-3 ,y=x-2 的图像。
2 1 2 y=x3 :因为 0<3 <1,且是偶函数,所以当 x>0 时,图像与 y=x2 类似。 3 3 y=x2 :因为2 >1,x 只能取 x>0,所以在 x>0 部分与 y=x3 类似。 2 2 1 1 1 y=x-3 :因为是偶函数,只考虑 x>0,当 x>0 时,y=x-3 类似于 y=x-3 =1/x3 类似于 y= x 。 3 1 y=x-2 :x 只能取 x>0,所以在 x>0 部分图像与 y=x 类似。 2 3 2 3

1 总结:只要指数是<0,则图像在 x>0 部分与 y=x 类似。 注:以上结论要不要去记忆? 答:不需要记忆,结论是非常自然通畅不别扭的没有一卡一卡的,而是流利通畅。是 船到桥头自然直,车到山前必有路的。 六、 例 1 难在哪里?是难在对增函数的内涵不理解还是其他?增函数的内涵我们讲过许 多次? 对习题 2.3 第一题,问哪几个函数是幂函数? 补充: 指数函数有指数型函数, 与指数函数有什么区别?有对数型函数与对数函数有什 么区别?有幂函数型函数与幂函数有什么区别? 习题 2.3 第二题告诉我们什么?

同学们能不能回忆起我们以前讲过的: 确定一元一次函数、 反比例函数、 一元二次函数、 指数函数、对数函数需要几个已知条件? 习题 2.3 第三题是个科学定律,你们在物理上有接触到吗?说明幂函数无处不在。

指数函数、对数函数习题课反思
老师课的类别可分概念课、习题课、复习课、试卷评析课、作业讲评课。每人有每人的 分法,只是分的角度不同,高度差不多。 对于指数函数、对数函数的习题课,我是向新教师提个建议的。那就是指数函数、对数 函数习题课中的每道例题道道可用几何画板演示。 几何画板是老师向学生讲解例题的一个让 学生觉得抽象的数学也可以这么直观的一个有力武器。 我讲解的时候, 基本上道道用几何画 板来演示下。 学生觉得这函数也可以画出图像啊?他觉得不可思议。 我说到了高中你们会遇 到一些乱七八糟的图像,初中是没见过的。 讲解的时候孙维刚老师的理论、 上海陈永明老师的理论, 再加上我自己的理论来讲解例 题。 就是中国著名一流数学家徐利治老师的理论用不上。 看来自己火候没到, 对题目的认识。

给学生看的笑话
一个很有哲理的深意的笑话,大家分享:学校调进一年轻教师,校长语重心 长地对他说:考 100 分的学生你要对他好,以后他会成为科学家;考 80 分的学 生你要对他好,以后他可能和你做同事;考试不及格的学生你要对他好,以后他 会捐钱给学校的;考试作弊的学生你也要对他好,他将来会当官的;中途退学的 同学,你也要对他好,他会成为比尔盖茨或乔布斯

方程的根与函数的零点
一、 这一节哪些是属于初中内容?哪些是属于高中内容既是新知识?对于初中内容, 这 一节进行了怎样的处理?(答:我们知道在初中这些内容是散落在各个章节中,到了高中是 把在初中中散落在各个章节中的有关一元二次方程、二次函数进行整理、归纳形成系统。在 初中这些内容是零碎的、散乱的,所以到了高中就形成有秩序的、系统的。 ) 那同学们自己会不会整理、归纳?整理、归纳也是种学习能力。 你们在学习《红楼梦》的时候,老师会告诉你一条线索就是以贾宝玉、林黛玉的爱情为 线索,以贾宝玉与薛宝钗的爱情为线索。长篇小说是很长的,没有线索就会显的很乱。线索 就是把许多洒落在地下的珍珠,用一条线把它们串起来,形成一条美丽的珍珠项链。那好, 在《方程的根与函数的零点》这一节有关一元二次方程、函数(我们补充一个一元二次不等 式)中线索是什么? 答:一元二次函数的图像。书上代数书写一大堆,其实只要画一个图什么都有了。 教训:文理相通、数形结合,保证及格。 二、你觉得“零点”概念是抽象还是直观具体?有没有直观具体的描述? 答:零点,顾名思义就是这个点的横坐标带进去函数值等于零。 零点与方程的根有什么关系? 答:可以打一个形象、生动、幽默的比喻。方程的根就像一个人的中文名,零点就像一 个人的英文名。因为你要学习英语,一般你或你的老师会帮你取一个英文名。但中文名、英 文名指的是同一个人。 教训:识事物,事物有本质与现象,内容与形式。我们要认识事物的本质、内容它是很

抽象的,我们的眼睛是看到事物的现象,事物的形式,然后观察它们的特征,一步步、慢慢 的深入到本质、内容。所以在学习中坚持“特征性原则”也是不错的一个办法。比如数学上 的“零点”概念,因为教材编书要对事物的本质、内容进行严格的定义,所以定义是很抽象 的。我们很难理解“零点”本质, “零点”是什么意思。 “零点”的特征, “零点” ,顾名思义 就是把这个点的横坐标代进去函数枝等于零。 “零点”与“方程的根”的联系与区别就是一 个是中文名,一个是英文名,但指的是同一个人。 所以在学习中坚持“特征性原则”也是不错的学习策略。 三、 ⑴、 方程根存在的判定定理难吗?是直观还是抽象?我们要借助于什么来理解?如 果数学有文字语言、图形语言、符号语言,那方程根的判定定理是把什么语言转化为什么语 言? 如果再问,在这个区间有几个零点?我们还必须借助于函数的什么性质? 答:单调性 ⑵、详细分析: 其实我们要对 f(a)f(b)<0,分成两类即一正一负两类进行讨论。对 f(a)f(b)>0 也要进行两 类即同正同负进行讨论。对零点所在区间端点可以有无数种情况。 ⑶、对于例 1,我们判断这个函数的单调性除了根据单调的定义来判断还可以根据什么? (答: 根据函数的变换) 。 那根据定义判断会判断吗?这两种判断对解题有什么启发? (答: 根据定义判断是对于证明题而言,根据函数变换是对于选择题、填空题而言) 。 对于例 1 要补充对于函数 f(x)=lnx+2x-6,判断单调性,如果是选择题、天空题我们只需根 据函数的变换即 lnx 是增函数,2x 是增函数,-6 不改变单调性,所以整个函数是增函数。如 果是解答题,那我们就要根据定义判断。 练习 1 它说用图象判断下列方程有没有根, 除了图象, 在初中我们是根据什么判断的? 在这里为什么要用图象判断? 练习 2 零点的大致区间的两个端点我们该如何确定?用几何画板演示。

《方程的根与函数的零点》反思
在这一节讲到学习数学可以利用特征性原则其实还有个比喻和例子。 比喻是人的本质是 很抽象的,人是什么东西谁说出来谁就是伟大哲学家,但人的特征是很简单直观的,比如人 有两只耳朵一只鼻子。 例子是第二章《复习参考题》 B 组第三题第二小题:对于函数

f ( x) ? a ? 2x2?1 (a ? R) 是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数。
答:这道题有两种解法,一是根据奇函数定义,因为奇函数的定义是很抽象的,所以解 法运算量很复杂也难,但奇函数的特征却是很简单直观的,那就是 f(0)=0,所以 a=1。相当 于人的定义本质是很抽象的,人的特征却很简单直观。

期中考复习策略
学习四境界:懂、会、通、创。这四种境界只是种感觉,自己可以感受到。 通是融会贯通,知识形成网络,是八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底。 创是创造的意思。 懂了一会儿就不懂了是假懂, 会了一会儿不会了是假会, 想通了一会儿又不通了是假通。 从懂到会,从会到通,从通到创都有一个高原现象。 通有小通和大通。小通是某一章某一节通了,大通是高中三年数学通了。 同学们的数学水平分三个层次,自己对照是哪个层次。

第一层次:对书本不懂、不会的。 第二层次:对书本懂、会但不通的。 第三层次:对书本能够达到通的 不同的层次采取不同的复习方法: 第一层次:逼自己硬着头皮把书看一遍。 第二层次:把书输理一遍,形成网络。 第三层次:做课外试卷若干套。

学习数学要脸皮厚,做人要脸皮薄
我主要讲讲如何向成绩好的同学求教。一般同学们不敢向成绩好的同学求教,因为被 人说成笨,很丢人,会被其他同学嘲笑。我觉得在学习上脸皮厚并不丢人,求教并不是一 种罪过,求教并不是一种负担。并且指有长短,每个人即有自己的强项也有自己的弱项, 每个人即有自己的长处也有自己的短处。我们不能拿自己的弱项跟别人的强项比,也不能 拿自己的短处跟别人的长处比,这会让自己自卑。同样,我们不能拿自己的强项跟别人的 弱项比,也不能拿自己的长处跟别人的短处比,这样会失去朋友。我们要理性的看待自己 与他人。在求教的过程中我赞成脸皮要厚一点再厚一点。我比他人差并不丢人,我比别人 好也不要露出一副很高傲、很优秀的样子。因为每个人即有自己的强项也有自己的弱项, 即有自己的长处也有自己的短处。 还有要向我不懂马上问的牛劲。 做人脸皮厚是不知羞耻,做人要有点羞耻心。

普通高中数学课该如何上?给新教师的建议
我收集了几篇美文, 我的建议也是参考了这几篇美文, 我把美文也附录在下面供老师欣 赏。 以下内容复制于这几篇美文: 伊曼努尔·康德(ImmanuelKant,1724-1804)是德国古典唯心主义和辩证法哲学的创始 人。康德的心理学思想主要来自于莱布尼兹、沃尔夫和休谟。他在心理学史上虽无重大建 树,但是却有不可低估的影响。 康德坚持知、情、意三分法。 虽然提顿斯(Tetens,J.N)早已经将心理活动区分为认识、感情和意志,但是没有引起 人们注意。在近代欧洲是康德使三分法真正流行起来,他这样的区分的理由是:这三者各 自独立存在,它们之中任何一种都不是由其他任何一种派生出来的。康德的三部主要著作 体现出了他的这种思想: 《纯粹理性的批判》、《实践理性批判》、《判断力批判》。纯粹理性主要讲认识论, 相当于认识活动,实践理性主要讲伦理学,相当于意志活动,判断力主要讲美感,相当于 情感。从此,心理三分法就取代了亚里斯多德的二分法,一直影响至今。 心理学把认知、情感、意志分别定义为:人对于客观事物的感觉、知觉和表象;人对 于客观事物是否符合人的需要而产生的态度的体验;人根据自己的主观愿望自觉地调节行 动去克服困难以实现预定目的的心理活动。由于“态度”和“主观愿望”均属于主观范畴, “人的需要”是何客观内容也不清楚,因此心理学的这些定义并没有找到这三种主观意识 所反映的客观存在,因而没有揭示出这三种基本心理活动的客观本质。

统一价值论认为,认知、情感与意志作为三种基本的、相对独立的主观意识,对应着 反映三种基本的客观存在:事实关系、价值关系和实践关系。 人为了生存和发展就必须首先感知和了解各种事物的事实关系,其次要掌握这些事物 对于人的价值关系,再要掌握每个实践行为的价值关系并且判断、选择、组织和实施一个 最佳的行动方案。第一步由认知活动来完成,第二步由情感活动来完成,第三步由意志活 动来完成,因此从认知到情感,再从情感到意志,是一条基本的、不可分割的人类自控行 为的流水线。 情感是一种特殊的认知,意志又是一种特殊的情感。 认知、情感与意志相互依存、相互联系 没有事实关系,价值关系就成了无源之水,没 有价值关系,实践关系也成了无源之水,因此认知是情感的源泉,情感是意志的源泉;事 实关系以价值关系为导向,价值关系又以实践关系为导向,因此认知以情感为导向,情感 以意志为导向;情感最初是从认知中逐渐分离出来的,它又反过来促进认知的发展,意志 最初是从情感中逐渐分离出来的,它又反过来促进情感的发展;认知、情感与意志相互渗 透、相互作用、互为前提、共同发展。 认知主要是关于“是如何”的认识,情感主要是关于“应如何”的认识,意志主要是 关于“怎么办”的认识。 在认知心理学里,把人的基本心理素质分为认识、情感、意志、气质、个性等。其中 认知、情感、意志,是三种最为基本的心理素质。 遗传素质分析,认为“认知、情感、意志”是人类的三种基本心理素质。其它素质如 气质、个性等,是三种基本素质的倾向性特征。是三种基本素质的具体表现形式。即是说, 通过对“知情意”三种基本素质的倾向性分析,可以了解个性的特征、气质的特征。 遗传素质分析,将人的个性、气质、行为等素质,归纳在“个性行为”里面。即在“三 原基本素质认知素质、情感素质、意志素质”,之外,加上了“个性行为素质”-----简称 “个性素质”。 心理素质,离不开人的生理基础,离不开人的健康水平。生理基础是心理活动展现的 平台。通过对遗传性的分析,首先认识的是人的生理特征,了解的是人的病理倾向特征。 所以,遗传素质分析是在健康素质分析的基础上的。 健康素质,是“三原基本素质” 的生理基础。这样,健康素质、认知素质、情感素质、意志素质、个性行为素质等,共同 成为五类基本的素质。其中,健康素质是基础。三原素质(知、情、意)是基本心理素质。 个性行为,是具体的表现形式。 以上内容复制于这几篇美文。

因为知、情、意是人类三种基本心理素质,我们可以说数学的学习也是为了培养这三种 基本心理素质。 数学对认知能力的培养,对情感的培养,对意志的培养都是很重要的。我只是讲讲数学 对认知能力的培养。 学生对数学能产生怎样的情感根本原因就是他对数学持怎样的观点, 就 是学生学了数学后形成一个有意识或无意识的数学观, 这数学观让他对数学产生情感。 数学 观属于认知范围,由这认知对数学形成或喜欢或恐惧或焦虑,焦虑是有时喜欢有时恐惧。意 志就是学生利用数学来解决生活生产实践问题。 我主要是讲讲数学对认知的培养。 解题有五个度:高度、深度、广度、速度、角度。对应思维的五个品质:深刻性、广阔 性、敏捷性、批判性、创造性。思维的深刻性对应解题的深度,广阔性对应解题的广度,敏 捷性对应解题的速度。 上海陈永明老师的就题论题、就题论法、就题论道是解题的三个不同递增高度。孙维刚 老师的四个大规律是孙老师的解题高度。孙老师提出一题多解、多解归一、多题归一、多题 一解、一题多变,15 个中规律、三四十个小规律是解题广度。孙维刚老师的换个角度看问 题是解题的角度。

一、孙维刚老师的解题境界达到什么层次? 我的结论根据以下几部书籍。 孙维刚老师的书籍: 《孙维刚谈立志成才· 全班 55%怎样考上北大清华》 、 《孙维刚初中数 学》 、 《孙维刚高中数学》 中国著名一流数学家徐利治的《数学方法论选讲》 上海陈永明名师工作室著的《数学习题教学研究》 以上书籍网络上都有买。 我自认为陈永明老师对数学解题的研究是孙维刚老师的继承和发展。 陈老师提出解题三境界: 第一境界:就题论题。 这是大部分老师的现状。 第二境界:就题论法。 孙老师提出一题多解、多解归一、多题归一、多题一解、一题多变,15 个中规律、三 四十个小规律,这是就题论法境界。 第三境界:就题论道。 孙老师达到这种境界了吗?达到了。就是 4 个大规律。 我把孙老师的四个大规律抄在下面。 ⑴、深入进去,弄通情景 ⑵、运动的观点,包括“换个角度看问题是灵活性的本质” ,这其中又包括顺推分析和 逆推分析相结合; ⑶、联想思维,包括善于把新课题归结到旧知识的基础上;

⑷、广义对称思想。 那孙老师是否达到就题论道的极致,那不是。我们看中国一流数学家徐利治老师的《数 学方法论选讲》里面提到第 3 讲 关系映射反演原则的应用: 1 何谓“关系映射反演原则”? 2 数学中的 RMI 原则 3 若干较简单的例子 4 几个较难一点的例子 5 用 RMI 原则分析“不可能性命题” 6 关于 RMI 原则的补充说明 这个原则百度就有。 这个原则有关初等数学的, 这才是就题论道的极致, 这本书中其他的道是有关高等数学 的。所以孙老师的解题境界只达到数学专家不是数学家的水平。孙老师是小道、中道,没有 大道。 二、书该怎样教?给新老师的建议 新老师容易犯这样的毛病,就是考试怕学生考不出来,担心的长夜漫漫,无心睡眠,于 是课堂上讲道不完全相同似曾相识的题目, 如果学生还考不出来就在课堂上批评责备骂学生, 说我上课讲过的题目还是不会做,你们上课有没有在听,给我好好反省反省,你下课到我办 公室里来。 新老师在课堂上想罗尽会考试考到的所有题目类型, 想在课堂上考试考到的所有 题目类型都想讲遍,想包罗殆尽,想一网打尽,想没有漏网之鱼。 首先要肯定这是位刚教书的认真负责的好老师, 有可能前途无量, 如果学校领导精心培 养,但如果学校领导也这样教书那真是学校悲哀。 我刚教书也这样,被我的忘年交说的不好意思。他现在在温州育英国际实验学校。 在温州市瓯海区有三所学校同等级别。 比如我学校三溪中学与悟田中学数学老师比教学 能力该如何比?就是有一张试卷两所学校老师和学生都没做过讲过看过见过练过, 而我们学 校学生做出来了,悟田中学学生做不出来,那我们学校老师就厉害。如何比较老师的教学能 力?如何比较学生的解题能力?就是有一份试卷两所学校或两个老师都没讲过, 而学生也没 看过练过见过做过,哪所学校学生做出来了,哪所学校老师教学能力比较强。 高考试题是全国或全省学生、老师没讲过没练过没见过没看过没做过的。 我们如何赢得高考,要平时就这么教。 如果考试时相同类型试题讲过那试卷就不好分析,总不能对学生说,同学们,我这道题 讲过你还不会做,真让我失望,气死我了。 并且在平时试卷命题时, 任教老师要相互商量, 比如这道题你讲过没有?同步练习上有 没有?如果有,那砍掉不出。 有的不这样做的老师觉得这些老师在作弊, 看不起他, 觉得自己道德要高尚。 我告诉你, 对于大部分老师是无欲无求,就想保住饭碗。说句难听粗俗的话,在目前的教育体制,教书 有什么鸟意思。 我本来想说教书有什么逼意思。 还作弊?我跟你讲教书教的连作弊也懒的做, 就是混日子。不要把人家想的这么坏。 三、我对普通高中教学的一个建议 在温州市瓯海区我只了解三所普高,那就是三溪高中、悟田高中、瓯海二高,这三所是 同级别相互竞争的学校,高考成绩最多重点好像 10 来个,我数据忘记了。考生 300 多人, 每学校。我学校今年重点 2 个,受到局长表扬。 生源是这样招的。全区好像是 33 万户籍人口,因为招生只招户籍人口。最好学生被温 州中学招去, 省一级重点中学瓯海中学先招 500 多人, 省二级重点中学任岩松中学好像也是 招 500 多人,因为一些数据看了忘记了也没存在那里,只凭记忆。三所学校是省三级重点中

学生源打乱相互之间竞争各招 3、4 百人。 网友可以根据自己县或区内户籍人口去套是不是跟我学校类似。 对于这样学校,教学原则其实也简单,就是上课题目浅高度高,题目最多相当于高考中 档题,如果是高一高二新课,那要相似于类比于高考也最多相当于相似于类比于中档题。选 题目浅容易,但解题高度高难,需要不断进修学习。孙维刚老师的著作,中国一流数学家徐 利治老师的数学方法论研究, 都要看。 我看了上海的陈永明名师工作室出的研究成果也不错。 这些百度就有。 温州中学其实有些同学要题目深高度高 我知道有些人看了这个建议不舒服,很正常,我抛砖引玉,寻找志同道合之人。 附录: 知、情、意三分法的流行 www.psychcn.com 2010 年 07 月 14 日 来源:39 健康网社区 伊曼努尔·康德(ImmanuelKant,1724-1804)是德国古典唯心主义和辩证法哲学的创始 人。康德的心理学思想主要来自于莱布尼兹、沃尔夫和休谟。他在心理学史上虽无重大建 树,但是却有不可低估的影响。 康德坚持知、情、意三分法。 虽然提顿斯(Tetens,J.N)早已经将心理活动区分为认识、感情和意志,但是没有引起人 们注意。在近代欧洲是康德使三分法真正流行起来,他这样的区分的理由是:这三者各自 独立存在,它们之中任何一种都不是由其他任何一种派生出来的。康德的三部主要著作体 现出了他的这种思想: 《纯粹理性的批判》 、 《实践理性批判》 、 《判断力批判》 。纯粹理性主要讲认识论,相当 于认识活动,实践理性主要讲伦理学,相当于意志活动,判断力主要讲美感,相当于情感。 从此,心理三分法就取代了亚里斯多德的二分法,一直影响至今。 康德创建了认识心理学。他既反对莱布尼兹-沃尔夫只承认普遍性、必然性的“独断” 见解,也反对休谟的只承认感觉经验的片面观点。他力图调和唯理论和经验论的矛盾,并 建立一种所谓的“批判的”认识心理学??——在进行实际的认识活动前,对人的认识能力 做一番“批判的”考察,以此确定人的认识能力的限度和方式。 康德认为人的认识能力有感性、悟性和理性三种形式。感性是通过感官而获得的一些 零散的感觉表象,悟性是运用逻辑范畴对感性材料进行综合统一的思维能力,理性则是建 立最高原理的认识能力。 康德提出统觉原理,这一原理集中说明了主体在认识过程中的主 观能动性。 他认为统觉是人的一种先天的综合统一的认识能力, 并且反复强调, 统觉是一切知觉、 想象、 概念进行综合的基础, 是 “整个人类认识范围内的最高原理” 。 统觉使人能通过知觉、 想象、概念去认识对象,并将杂多的感觉印象通过知觉、想象、概念的结合而形成统一的 对象。 他的统觉学说对后来完形心理学以及冯特的创造性综合学说有直接的影响,至今统觉 仍然是心理学中值得研究的一个问题。 另外值得一提的是, 康德早年就肯定无意识的存在, 在晚年的时候更是对“模糊观念”进行了详细的阐述,他认为无意识是人的“半个精神世 界” ,这与弗洛伊德的无意识观点很相似,他还特别强调了无意识在艺术创作中的不可忽略 的作用。 这些思想势必对精神分析流派产生一定的影响。 综上所述,康德的心理学思想在欧洲 心理学史上有着特殊的贡献。他虽然没有撰写过一部心理学专著,但是他的心理活动的三 分法,强调心理的主动性和统觉的整合功能,承认无意识的存在,对后来的心理物理学、

意动心理学、二重心理学、精神分析、完形心理学、认知心理学以及一些现代的心理学流 派都有不同的影响。 但是心理学史家波林也指出了康德对心理学发展的一些负面影响,他认为心理学不是 一门科学,不能进行实验研究,认为心理现象是无法测量的等等,一定程度上也延缓了心 理学的进步。 知情意的客观本质 百科内容来自于:有道词典 心理学把认知、情感、意志分别定义为:人对于客观事物的感觉、知觉和表象;人对 于客观事物是否符合人的需要而产生的态度的体验;人根据自己的主观愿望自觉地调节行 动去克服困难以实现预定目的的心理活动。由于“态度”和“主观愿望”均属于主观范畴, “人的需要”是何客观内容也不清楚,因此心理学的这些定义并没有找到这三种主观意识 所反映的客观存在,因而没有揭示出这三种基本心理活动的客观本质。 统一价值论认为,认知、情感与意志作为三种基本的、相对独立的主观意识,对应着 反映三种基本的客观存在:事实关系、价值关系和实践关系。 一、认知的客观本质 事实关系就是指事物之间客观存在的、不以人的意志为转移的相互联系与相互作用。事物 与事物之间,人与事物之间以及人与人之间存在着复杂多样的相互作用,如物理作用和化 学作用等,这些作用都有其客观规律性,人只能承认它、认识它和利用它,而不能否定它、 违背它。 什么是事实?事实一词有多种含义:最狭义的观点认为,事实是指事物的情况或者是 指事物呈现在感官之前的一种存在,它是相对于知觉而言的;较为广义的观点认为,事实 是指作为主体(即个人、集体或社会)认识对象的客体自身,包括客体的实体、状态、属 性、运动过程及与周围事物的联系;最广义的观点认为,事实是指包括主体在内的一切事 物及其状态、属性、过程、联系的总和。这里所说的事实是最广义的,它没有主体与客体 之分,没有确定的主体目标,完全独立于主体而存在着。 对于事实关系的主观反映就是认知,它构成人的主观意识的最基本形式。认知包括感 性认知与理性认知,其中:感性认知是指人对事物所发出的刺激信号进行的感觉、知觉和 表象,如对物体的颜色、形状、大小、声音、冷热等方面的感知;理性认知是指人对概念 或概念系统(即事物的第二信号系统)所进行的认知、理解、判断、推理、分析、归纳等。 认知只需要考虑客观事物本身的运动状态与变化规律,不需要考虑人的利益需要,没有任 何主观偏爱,是一种纯粹中性的反映活动。 二、情感的客观本质 价值关系是指事实本身相对于主体的生存与发展所体现的作用,是指那些带有主体目 的色彩的事实关系。由于任何事物都是相互联系和相互影响的,主体的生存与发展必定或 多或少地与其它事物的状态、属性、过程、关系相联系,因此任何事实关系都或多或少具 有一定的价值关系。 主体的生存与发展是一切价值关系的根本目标,也是价值关系与事实关系的根本差异 之所在。任何价值关系都必须建立在主体目标的基础上,必须依赖于主体而存在,离开了 主体就无所谓价值关系。不过,价值关系是客观存在的,它只取决于主体生存与发展的客 观目标, 而不取决于主体的主观愿望, 客观目标属于客观范畴, 而主观愿望属于主观范畴, 主观愿望是对客观目标的一种反映。因此价值关系是一种特殊的、客观存在的事实关系, 是一种把事物和主体的生存与发展联系起来的事实关系。从广义的角度来看,事实关系可 分为价值事实关系(简称为价值关系)与非价值事实关系(简称为事实关系) 。 对价值关系的主观反映就是情感,它构成人的主观意识的另一种基本形式。情感包括

感性情感与理性情感。感性情感是指人对事物发出的感性刺激(如物理或化学刺激)信号 所产生的感觉取向、知觉取向和表象取向。例如,尖锐物体的刺激引起人的疼痛感觉,人 将会设法逃避它;绿色事物容易使人产生宁静、祥和的情感,人将会趋向于亲近它;凶狠 的狼容易使人产生恐惧的情感, 人将会设法逃避它。 理性情感是指人对概念或概念系统 (即 第二信号系统)所进行的认知取向、理解取向、判断取向、推理取向、分析取向、归纳取 向等。典型的认知取向是,人通常只对那些存在切身利益关系的事物及其知识感兴趣;典 型的理解取向是,善良的人总容易善解人意,邪恶的人总容易恶解人意;典型的判断取向 是,人对道德形象好的人总容易用善的眼光来判断他的行为动机,而对道德形象差的人总 容易用恶的眼光来判断他的行为动机;典型的推理取向是,人最容易找到或肯定那些最为 有利的推理论据,从而推理出最有利于自己的结论,而不容易发现或容易否定那些最不利 的推理论据,从而否定最不利于自己的结论;典型的分析取向是,人在对事物的起因、现 状及发展方向等进行分析时,最容易把事物产生正向价值效应归功于自己或与自己相关联 的事物,最容易把事物产生负向价值效应归罪于他人或与他人相关联的事物;典型的归纳 取向是,乐观者最容易发现事物存在的最好价值效应,即最容易看到最好的前途,悲观者 最容易发现事物存在的最差价值效应,即总容易看到最坏的后果。 情感除了需要考虑客观 事物本身的运动状态与变化规律外,更需要考虑主体的利益需要,它是一种非中性的、有 一定主观偏好的反映活动。 三、意志的客观本质 主体与客体之间的相互作用可以分为两个相反的方面:一个是客体对主体的作用;另 一个是主体对客体的反作用。主体与客体之间的作用与反作用相互促进、相互依赖、互为 前提、共同发展。价值关系反映了客观事物对于主体生存与发展所产生的作用过程,实践 关系则反映了人对于客观事物的反作用过程。 实践关系体现了主体的能动性,反映了主体运用自己的本质力量对客体施加反作用力,创 造新价值的过程,价值增值是实践关系的核心内容,也是价值关系与实践关系的根本差异 之所在。任何价值关系既需要进行消费,也需要进行生产,才得以存在和发展下去,如果 没有价值生产,价值关系就会成为无源之水,如果没有价值消费,价值关系就会将变得毫 无不意义。人通过实践活动进行价值生产,使实践活动具有价值增值的特征,实践关系可 以看作是一种特殊的、能够产生价值增值的价值关系,它是一种把主体的本质力量和主体 的生存与发展联系起来的价值关系。 从广义的角度来看, 价值关系可分为价值消费关系 (简 称为价值关系)与价值生产关系(简称为实践关系) 。 对实践关系的主观反映就是意志,它构成人的主观意识的第三种基本形式。意志包括 感性意志与理性意志。感性意志是指人用以承受感性刺激的意志,它反映了人在实践活动 中对于感性刺激的克制能力和兴奋能力, 如体力劳动需要克服机体在肌肉疼痛、 呼吸困难、 血管扩张、 神经紧张等感性方面的困难与障碍。 理性意志是指人用以承受理性刺激的意志, 它反映了人在实践活动中对于第二信号系统刺激的克制能力和兴奋能力,如脑力劳动需要 克服大脑皮层在接受第二信号系统的刺激时所产生的思维迷惑、精神压力、情绪波动、信 仰失落等理性方面的困难与障碍。意志既要考虑客观事物本身的运动状态与变化规律,还 要考虑主体的利益需要,尤其要考虑人对于客观事物的反作用能力,它是一种非中性的而 且是能动的、创造性的反映活动。 四、知、情、意的辩证关系 人为了生存和发展就必须首先感知和了解各种事物的事实关系,其次要掌握这些事物 对于人的价值关系,再要掌握每个实践行为的价值关系并且判断、选择、组织和实施一个 最佳的行动方案。第一步由认知活动来完成,第二步由情感活动来完成,第三步由意志活 动来完成,因此从认知到情感,再从情感到意志,是一条基本的、不可分割的人类自控行

为的流水线。 知、情、意的辩证关系在根本上取决于事实关系、价值关系与实践关系的辩证关系。 1.情感是一种特殊的认知,意志又是一种特殊的情感 客体对于人的生存与发展的意 义也是客体的一种关系属性,只因为它有着特殊的意义,才与其它关系属性区别开来,因 此价值关系是一种特殊的事实关系,情感是一种特殊的认知;本质力量是人的一种最重要 的价值属性,只因为它有着特殊的意义,才与一般的价值属性区别开来,因此实践关系是 一种特殊的价值关系,意志是一种特殊的情感。从广义角度来看,知、情、意都是一种认 知活动,只是各自侧重于不同的角度,情感侧重于从意义的角度进行认知,意志侧重于从 行为效应的角度进行认知。 2.认知、情感与意志相互区别 其主要区别是:认知一般是以抽象的、精确的、逻辑 推理的形式出现,情感一般是以直观的、模糊的、非逻辑的形式出现,意志一般是以潜意 识的、随意的、能动的形式出现;认知主要是关于“是如何”的认识,情感主要是关于“应 如何”的认识,意志主要是关于“怎么办”的认识。如果把情感与认知割裂开来,就会使 情感没有客观依据而变成了“公说公有理,婆说婆有理” ;如果把情感与认知混淆起来,又 会使情感失去公正性而变成了“成者为王,败者为寇” ;如果把情感与意志割裂开来,就会 使情感成了空洞的情感;如果把情感与意志混淆起来,又会使情感成了糊涂的情感。 3. 认知、 情感与意志相互依存、 相互联系 没有事实关系, 价值关系就成了无源之水, 没有价值关系,实践关系也成了无源之水,因此认知是情感的源泉,情感是意志的源泉; 事实关系以价值关系为导向,价值关系又以实践关系为导向,因此认知以情感为导向,情 感以意志为导向;情感最初是从认知中逐渐分离出来的,它又反过来促进认知的发展,意 志最初是从情感中逐渐分离出来的,它又反过来促进情感的发展;认知、情感与意志相互 渗透、相互作用、互为前提、共同发展。

学生数学为什么不好?我的见解
这是我自创的理论,有待检验,我也想自己实验,国庆结束马上找学生检验检验。一个 女学生告诉我高中数学书看不懂是天书。 儿童有种病叫自闭症,大家百度自闭症。 “症”是病的意思, “自闭”是自我封闭。儿童 躲在自己的世界里不肯出来,他可能很快乐吧,外面的世界太阴沉和黑暗,我这样认为。儿 童就是不肯从他的世界里出来, 所以才说是病。 自闭症儿童在西方是认为上帝对人类的馈赠, 因为许多自闭症儿童长的标致漂亮且有超常智力。 其实我觉得人人是自闭,就是没有达到“症”的程度。每个人只要是成年了大概 30 岁 左右就自闭了。他们活在自己的世界里,很难理解别人的世界。如果一个人生理健康、心理 健康幸福,那他到 30 岁左右时就自闭了。这是人生观、价值观、世界观的自闭。证据是我 们有时很难做一个人的思想工作,就是教也教不起来。但他们没有达到“症”的程度。 一个人的世界是大世界,里面分成许多子世界,有数学世界、物理世界、语文世界、 政治世界、化学世界、历史世界、人生观世界、价值观世界、世界观世界等等。 每个世界自闭的时间都不同。如果一个人生理、心理健康,那这个世界是自闭完备圆满 的,除非发生大事,这个世界才重新开放接纳新事物。 我一个女学生说高中数学书看不懂是天书, 我觉得她的数学世界过早自闭了, 不能再接 纳新的数学知识。当老师的就是重新让学生数学世界开放。 孙维刚老师提出的德育能促进智育的发展我想发展下他的教育思想, 就是情感能促进智 育的发展,德育是情感的一小部分。分析情感能让自闭的数学世界重新开放。我想是人的求 生本能让世界自闭。因为身心觉得再不自闭生理、心理会出问题。 我想国庆放假结束找这位女学生好好谈谈, 她的数学世界是如何自闭的。 显然遗传是一

个因素,但按孙维刚老师观点不是重要因素,后天的环境教育才是重要因素,让她数学世界 过早自闭。 我们知道思维是分层次的, 只有站在较高层次才能把较低层次看清楚。 一个事实就是站 在高等数学高度就能把初等数学看清楚, 但把初等数学看清楚不一定把高等数学看清楚。 高 等数学属于大学内容,初等数学属于高中、初中、小学内容。 我的一个女学生看高中数学书看不懂是天书,我说她的数学世界自闭了,这数学世界 是自闭完备圆满的。 我再提出一个观点,自闭是在思维的某个层次自闭,她高中数学看不懂,说明她在从 幼儿园到初中范围内的数学世界自闭了。 她的数学世界是自闭完备圆满的, 这让人想到大学 即《近世代数》这门课里的“域”概念。在这门课里“域”对“域”里的元素根据加减乘除 是自闭完备圆满德的。有个结论是有理数域是最小的域。 每个域有几个生成元,根据这个生成元根据加减乘除可以扩充为域或求出最小域。 每个人的数学世界到一定年龄就是自闭完备圆满的是个域, 里面就有几个生成元, 我把 它又称为每个人的参照系。 每个人都有参照系, 人根据这个参照系来观察外面世界或内心世界, 比如外面世界发生 一起汽车通过高速公路,有的人根据自己参照系得到速度是每小时 90 公里,有的人是 80 公里。每个人观察到速度都不同。这像爱因斯坦的狭义相对论。我也是根据爱因斯坦的狭义 相对论得到启发,爱因斯坦的狭义相对论在高中是属于选修内容,温州中学学生可能有学。 因为每个人在某一层次自闭, 那如何上升到较高层次就是上一层次那就需要外人的帮助, 或找到生成元即参照系然后改变生成元或参照系。 上升到高一层次后又会遇到自闭。 于是又 需要外人帮忙才能又上升到较高层次。 等国庆假期结束,马上找这位女学生检验检验自己的理论。 许多人数学世界的自闭是在相同层次自闭, 就是角度或生成元或参照系不同, 还有广度 不同即有的人数学世界大,有的人数学世界小,但高度是一样的都在同一层次。 注意学生的生成元或参照系有时是不符合事实是错的, 但学生的数学世界按学生自己的 方式是自闭完备圆满的。 如果一个人从小时候起一直成年他的生成元或参照系都是合理正确 科学,那他在某一层次自闭后又能上升到较高层次自闭,再上升到较高层次自闭,数学就一 直学下去。 学生为什么学习数学到一定年龄停住了, 就是他的生成元或参照系是错的, 这错的生成 元或参照系妨碍了他数学的进一步学习。 这生成元或参照系有的是先天遗传有的是后天影响。先天不可改变后天可以改变。 这位学生就是我说的那位。我用自己的理论对她分析。 从谈心知道,她对数学的情感是恐惧、焦虑、害怕、提心吊胆。她是借读的,想考个二 本。我学校二本的也就几十个,300 多学生。她说从小学 1、2、3 年级还没有对数学的这种 恐惧、焦虑、害怕、提心吊胆。自从小学 4 年级来了位新老师,如果她数学考不好就对她责 骂、 扭脸蛋。 从此她就开始害怕数学, 到初中因为数学老师对她不管不问, 于是也就放弃了。 她数学初中开始就考 10 几分。她一想起考大学就觉得数学是心结。 我跟她讲了一个心理学上的故事, 就是催眠疗法。 有的成年人心理很痛苦或心理有疾病 是因为小时候经过过一件重大的事, 这事随着年龄的增大进入了他得潜意识。 催眠就是让他 回忆起这起让他痛不欲生的事,让他知道是什么东西造成了今日的结局。 我说你知道你自己数学当今为何如此,你也知道原因。但我说,打个比方有些病是知道 病因的但就是治不好的。 但我也举了个例子,就是有人得了癌症,最后发现癌症没了。这是怎么回事?如果一个 人得了癌症整天想自己还有多少日子可活, 他马上会死掉。 而这个人从来没有把癌症放在心

上,照样整天开心幽默乐观豁达,饿了就吃,困了就睡,没想到癌症消失了。我说你也学学 这位癌症患者。这位学生是整天把数学放在心上,难过、焦虑、恐惧、害怕、提心吊胆。整 天想数学不好考大学怎办?相当于我得了癌症该怎办? 我说现在高一还只读一个月,慢慢调节自己。 因为我分析了这位女学生数学为什么不好, 于是我对全班两个班级的学生上了堂数学心 理咨询课,我用 PPT 让学生看了我的看法。以下 PPT 打出: 儿童有一种病叫自闭症, 就是儿童躲在自己的世界里不肯出来。 我认为的原因是外面世 界很让他害怕、恐惧、焦虑、提醒吊胆。自闭症儿童在西方被称为上帝对人类的馈赠。因为 自闭症儿童个个长的标致又漂亮且许多自闭症儿童智力超常。 我知道虽然许多同学不说,那就是许多同学对数学是害怕、恐惧、焦虑、提醒吊胆。原 因有可能是幼儿园、小学、或初中遭到巨大打击。比如老师不理解的责骂,家长不理解的棍 打。他们以为是我们读书不认真,于是我们就形成恶性循环。老师越不理解的责骂,家长越 不理解的棍打, 我们对数学就越害怕、 越恐惧、 越焦虑、 越提心吊胆。 每个人都有求生本能, 追求幸福的本能,如果一个人感到数学让他这么痛苦,这么痛不欲生,那他自动就会关闭数 学世界。 许多同学的数学世界关闭了, 就是自闭了。 只有数学世界的自闭我们才能感到幸福。 我们只能躲在这个数学世界里才能幸福,就像自闭症儿童只有躲在自己的世界里才幸福。 我们也知道自己为什么数学不好的原因。 但我打个比方有些病就算知道病因也是治不好 的。那怎办? 我举个例子。一个人如果得了癌症,他如果担心害怕焦虑恐惧,整天把癌症放在心上, 那他马上死掉。有个人得了癌症,但他幽默、乐观、豁达、想得开、整天开开心心,从来没 有把癌症放在心上, 没想到癌细胞自动消失了。 许多同学就得学习这位癌症患者的人生态度, 就像这位患者对癌症的态度对待自己的数学,对于数学也用这种态度。 有一种心理疗法叫催眠疗法。 一个人成年的痛苦往往是小时候遇到重大打击, 让他当时 紧张、害怕、恐惧、焦虑。但这种打击随着人的成长慢慢忘记了,实际上没忘记,而是进入 自己的潜意识,在成年的时候显示出来。催眠就是让他在梦中回忆起小时候的这次打击,知 道是什么造成今日的痛苦。 我们对数学的恐惧、焦虑、害怕、提醒吊胆其实原因有许多同学知道。请同学们也自己 分析分析。 以上原因也说明了为什么要赏识教育、 快乐教育, 为什么要过一种幸福完整的教育生活。 只有赏识学生,让学生学习感到快乐,教育生活幸福完整,这样学生的数学世界就不会在某 一个层次自闭,而是永远向上一层次进军。

期中考分析
一、高考、会考区别: 高考: 没做过没见过没看过没练过没讲过跟我们平时做过见过看过练过讲过完全不相同 的题目。 会考: 没做过没见过没看过没练过没见过跟我们平时做过见过看过练过讲过不完全相同 似曾相识的题目,是似曾相识燕归来。 本次期中试卷以会考标准,都是没做过没练过没看过没讲过没见过不完全相同的题目, 是似曾相识燕归来的题目。不是高考模式,是会考模式。 二、会考分容易题、中档题、难题。此次试卷没有会考的难题,少数是容易题,绝大部 分是中档题。根据是 2012 年普通高中会考标准和样卷。绝大部分试题构不成高考题,因为 难度不够,几道可以当高考题。 三、自学三层次

第一层次:不看答案就能做出来。 第二层次:看了答案才能做出来。 第三层次:看了答案也做不出来。 此试卷大部分是第一层次,几道是第二层次,没有第三层次。第一、第二层次自己自学 完成,第三层次请教老师。所以请同学们自行根据答案校对,不懂问我。 四、50 分以下请注意会考能不能通过。会考合格难度:会解答相当于教科书练习题和 习题中的大多数基础题水平的试题。根据是 2012 年普通高中会考标准,所以会考合格没把 握的同学要看懂书且能够独立会做练习题和习题中的大多数基础题水平的试题, 所以目标是 看书做书上练习、习题,如果不看书做课外试题是得不偿失。 五、80 分以上同学注意,要会考考 A 即优秀,只要难题得点分就可以是 A 即优秀。中 档题做出来会考可以考良即成绩是 B。 六、对数函数几乎没考,但高考很重要,指数函数最难是最后一题也是会考中档题。 七、1、3、5、6、12、13 是会考容易题。2、4、7、8、9、10、11、14、15、16、17、 18、19、20 是会考中档题,根据是 2012 年普通高中会考标准和样卷。容易题如果考出来, 会考一般可以通过。

对高考、会考区别的一个纠正
一、以前: 高考:没做过没见过没看过没练过没讲过完全不相同的题目。 会考:做过见过看过练过见过不完全相同似曾相识的题目,是似曾相识燕归来。 二、现在: 高考: 没做过没见过没看过没练过没讲过跟我们平时做过见过看过练过讲过完全不相同 的题目。 会考: 没做过没见过没看过没练过没见过跟我们平时做过见过看过练过讲过不完全相同 似曾相识的题目,是似曾相识燕归来。

学困生是知识世界的自闭症
以下内容复制于网络 人们现在一般认为,人类有三大知识体系(当然,这是相对区分的) :自然科学、社会 科学和人文学科(注意:不是“人文科学”而是“人文学科” ) 。与自然科学和社会科学不 同,人文学科构成了一种独特的知识体系,是关于人类价值和精神表现的人文主义学科。 自然科学关心的是事实和规律(因果联系) ,社会科学(比如社会学、管理学等等)关心的 是组织和效率,而人文学科则关心的是价值和意义。 著名学者尤西林教授在陕西师大给学生讲课时,曾经提到“人文学科”这个词,当时 有学生感到很不解,举手发问“为什么不说‘人文科学’而要说‘人文学科’呢?”尤西 林教授很潇洒地一挥手,斩钉截铁地说: “ ‘人文学科’千万不能说成‘人文科学’ !这不是 一个用词的问题,而是涉及到我们对人文精神、人文世界、人文意义的理解。因为人文学 科不是科学! ” 美籍华人学者林毓生说: “人文学科绝对不能把它叫做人文科学。 ”他的理由是: “人文 学科所关心的问题,基本上是无法用‘科学方法’或者是一般人所了解的‘社会科学’来 解答的。 ” (林毓生: 《中国传统文化的创造性转化》 ) 以上内容复制于网络。 知识世界包括自然世界、社会世界、人文世界。对应高中课程是数学、物理、化学属于 自然科学,历史、政治属于社会科学,语文我想还是属于人文科学好点。

自闭其实很正常,可以说人人自闭,只是自闭的程度不同,但还没有到症的程度。如果 自闭到了症的程度那就像儿童自闭症样很难治好。 学困生就是知识世界包括自然世界、 社会 世界、人文世界的自闭症。注意是症。如果没有症只是在某一层次轻度自闭那可以通过某种 方法向上一层次进军。 在某一层次得了自闭症, 那只有先治好这一层次的自闭症才能向上一 层次进军,但自闭症很难治好。 知识世界的自闭与学习的能力哪个因哪个果很难分清。 是因为学习能力的停滞导致知识 世界的自闭症还是知识世界的自闭症导致学习能力的停滞, 这很难分清楚, 是先有鸡还是先 有蛋的问题。 不管是知识世界的自闭症导致学习能力的停滞还是学习能力的停滞导致知识世 界的自闭症,一句话,学习能力在某一层次停滞了,于是带来情感的恐惧。学生对知识的情 感有三种就是喜欢、焦虑、恐惧。焦虑是一会儿喜欢一会儿恐惧,而知识世界的自闭症必定 产生对知识的恐惧, 没有焦虑、 没有喜欢。 而如果情感是焦虑那如果学习方法跟不上变恐惧, 克服了焦虑变喜欢。 焦虑是知识世界的自闭但没有到自闭症的程度。 恐惧是知识世界的自闭 症。喜欢是知识世界没有自闭更加没有自闭症,而是知识世界永远开放。 我把我以前的观点附录在文章最后。

如何治疗学困生知识世界的自闭症
一户家庭有个自闭症子女是很痛苦的, 对自己自闭症的子女如果要治疗康复那就是早发 现早治疗,一般在 3 岁之前,家长要有耐心、恒心、爱心,且掌握科学的治疗方法,先不管 家庭经济条件。 学生的知识世界的自闭症每个学生得的时间不同。这里先说说老师应当如何对待学生。 一、也是早发现早治疗,在小学时,在初中时。 二、老师要有爱心、耐心、恒心,要阅生无数,深刻认识学生。 如果学生学习感到痛苦,老师要理解和包容,而不是雪上加霜,再背后踢他一脚。其实 老师不理解不包容学生都是无意识的,只是觉得学生不认真、淘气、调皮、恶作剧、不遵守 学校规章制度等等。 作为老师如果觉察到学生学习很痛苦, 那老师也应当是帮学生化解这种 痛苦。 还要配合家长一起帮孩子化解学习的痛苦。 老师应当明白如果学生学习不下去在教室 里是感到非常痛苦的。我的学生因为是高中生已经懂事,他们在教室里不会不遵守纪律,但 就是会消极的以睡觉方式来对付学习。 我们知道物乃心像, 人是心的投影, 其实有时候我们发现把学生当坏人的老师自己人品 也是不怎样, 师德也有问题的, 他不会用理解与包容的方式对待学生而是简单粗暴大棒加粗 话和大声斥喝,且目光如冰。一个人品优秀、师德高尚的老师他总是走进学生的心灵理解、 包容学生,用耐心、爱心、恒心激发他的学习潜力,学生在人品优秀、师德高尚的老师那里 是没有三六九等的,而是一视同仁的。 人品差、师德不好的老师往往把学生也看成坏人,人品好、师德好的老师往往把学生看 成好人,这是物乃心像,人是心的投影在师生关系上的一个例子。 唯有大爱才能治疗学生知识世界的自闭症。 爱自己的孩子是小爱, 爱别人的孩子是大爱。

成功复制自己需要三大魅力
教育就是复制自己,但学生也有个自己,两个自己是同化或顺应的关系。孙维刚老师成 功的复制了自己,他成功复制自己靠的是三大魅力:人格魅力、学术魅力、教育教学魅力。 孙老师人格高尚,学术精湛,教育教学即科学又艺术。

二分法
感谢 K12-教育教学论坛-红霞在线 Msir1981 网友的启发

一、你们有一天会谈恋爱、结婚生子组成家庭。 问男同学:林黛玉和薛宝钗你们喜欢哪个? 答:具体情况具体分析,要一分为二的看。男人的一生分成两部分,一部分得意,一部 分失意。男人失意时喜欢林黛玉,因为林黛玉善解人意、无欲无求,只想过一种简单粗茶淡 饭隐士的生活,男人没事业林黛玉不计较。男人得意的时候喜欢薛宝钗,因为薛宝钗漂亮、 贤惠、善良、贤妻良母、相夫教子、有点心机、希望老公考取功名。 问女同学: 男人有才与有财你喜欢哪个? 答:具体情况具体分析,要一分为二的看。有些女人喜欢男人有财,有些女人喜欢男人 有才。喜欢有财的女性典型代表:宁愿座在宝马后座上哭也不愿座在自行车后面笑。我喜欢 女同学将来喜欢有才的男子不是有财的男子。有财的男子在当今名声不好,纨绔子弟,吃喝 嫖赌。女人找男人需要这个男人有家庭责任心,有事业心,有社会责任心。一个男人的成功 靠的是大德与大智慧。所以女人找男人要看男人有没有大德与大智慧。 二、再举两个例子: 1、电信维修工发现连接甲乙两地的电缆出现了故障.需要检修?可是故障点在哪里那?他 们是怎么找到故障点那? 答: 是这样检修的:甲乙两地各有一名维修人员,而维修人员丙开始沿路检查.丙先到甲乙 两地的中点处分别向甲乙两个拨打电话 ,如果发现甲地可以拨通 ,而乙地不通,那么故障点一 定在中点和乙地之间.然后再到中点与乙地....依次类推.就容易找到故障位置. 2、我们猜猜我的手机价格,因为学校禁止带手机。我们不是经常在电视上看到类似的 节目吗?今天我们也来试试. 答:先随便猜一个价格最好是高于原手机价格。然后说高了。如果高了猜原价格的一半 值,以此类推。 上面这些就是二分法的实际应用,在这里思想比知识更重要. 三、先介绍两个概念。 “精确到”常常是在能够求得精确值的前提下,对精确值的一种近似; “精确度”是无 法求得精确值的前提下, 通过近似值与精确值的差的绝对值小于某个具体数值得到的一种近 似值。 精确度还有另一个界定: 只要精确值所在的区间长度小于某个具体值, 那么这个区间的 所有值就都是满足精确度的近似值,即任意“ε”>0,函数在区间(a,b)内含零点,若|a-b|< “ε” ,那么(a,b)内的任意一个数都可以认为是方程的一个近似解。注意是<ε不是=ε “精确到”只有一个答案, “精确度”答案不唯一。 比如: “π”精确度 0.01,精确到 0.01,前者答案不唯一,后者答案唯一。 3.141<π<3.142,而 3.141-3.142=0.001<0.01,所以[3.141,3.142]都满足“π”精确度到 0.01,答案不唯一是无数个。如果 3.14<π<3.15,而 3.15-3.14=0.01 那不行,要<0.01 “π”精确到 0.01 是π≈3.14,答案唯一 四、如何搞懂二分法原理、步骤? 对于二分法我们要熟练掌握数字(具体)运算,那自然就会上升到字母(抽象)运算。 所以我们并不是把二分法的字母 (抽象) 运算搞懂, 而是把二分法的数字 (具体) 运算搞懂。 搞懂的策略就是采用数形结合。 教材告诉我们零点端点是通过计算器或计算机得到。如果是考试会给你当已知。 讲解书上的数字、特殊、具体的例子。 附录:K12-教育教学论坛-红霞在线 Msir1981 网友的课堂实录: 我的"低俗"课堂八卦

课堂八卦之二分法 今天高一该讲二分法了. 我登上讲台:各位,想问你们个问题:广州深圳喜欢哪个城市? 有的学生说喜欢广州,有的说喜欢深圳.我摇摇头! 我又问:物理老师英语老师你们更喜欢哪个?(物理英语老师分别是帅哥靓女) 有的学生说喜欢物理老师 ,有的说喜欢喜欢英语老师!嘿,还有几个小子大声说喜欢数学 老师.(我倒) 我又摇摇头.我说:以后如果还有人问你们喜欢甲还是喜欢乙 ,你们要这样讲:凡事需要一 分为二,具体问题具体分析.(他们大笑) 这就是今天我们学习的二分法. 再举一个例子:电信维修工发现连接甲乙两地的电缆出现了故障 .需要检修?可是故障点 在哪里那?他们是怎么找到故障点那? 我告诉他们,是这样检修的:甲乙两地各有一名维修人员,而维修人员丙开始沿路检查.丙 先到甲乙两地的中点处分别向甲乙两个拨打电话 ,如果发现甲地可以拨通 ,而乙地不通,那么 故障点一定在中点和乙地之间.然后再到中点与乙地....依次类推.就容易找到故障位置. 学生恍然大悟. 我又问:你们谁有比较昂贵的物品拿出来欣赏欣赏 .比如手机之类.说出来后,我也意识到 了,学校禁止学生带手机进课堂.那么其他的比如什么字典也可以.学生手指数学科代表,原来 她有个电子词典.拿出来,很漂亮.我叫她悄悄告诉我价钱.然后我说:好了,你们可以猜这个东东 的价钱了. 我们不是经常在电视上看到类似的节目吗?今天我们也来试试. 有个学生猜 1000,我说:高了.下面猜什么?有的学生说猜 800,有的说猜 600,说什么的都有. 我什么也没说,后来有个学生猜 500.我问:为什么猜 500.他回答说:二分法嘛! 又猜了几次,基本上靠近实际价格了,我就说:别猜了,保护点隐私. 我给他们归纳了一下:上面这些就是二分法的实际应用,在这里思想比知识更重要. 选了一道昨天研究过的题目 f(x)=lnx+2x-6,昨天研究到这个函数有一个零点,而且在 2,3 之 间(昨天没用计算器 ,我禁止他们带那个破玩意儿 ).我就说,今天咱们来求下零点的近似值,精 确度 0.01(原来设计是 0.001,后来在计算时候发现太罗嗦啦,就临时在课堂上改为这个数) 学生手里没计算器,这下可是辛苦了我.他们提供方案,我来操作几何画板计算,几个回合下来, 找到了.顺便也解释了下精确度这个概念,以及最后只要选择区间内任何一个数值都可以做近 似值这个要求. 接下来,我就说:今天的内容学完了.这么点?学生不过瘾啊!科代问什么作业.二分法这里 能做什么作业那?我就说:这个部分没作业!他们很高兴. 下面再忽悠点什么那?算了,反正打开几何画板了,就顺势来点有关内容吧.正好本学期我 开了几何画板与研究性学习的选修课.忽悠什么那?想了想,好了,分段函数啊. 我用几何画板画了个分段函数(两个简单的一次函数,是连续的),然后我在其中一段上找 了一个点,用鼠标拖动,当拖动到两段函数连接处时,这个点就没办法进入另外一段了,我告诉 他们:我没有偷懒啊,我在用力拖动这个点啊,可是它就是不过去啊! 等他们笑完了,我又介绍了一些几何画板中的函数,他们很惊奇,原来高斯函数也在里面! 嘿嘿! 后来隆重给他们推出符号函数,布置了一道研究性问题:用符号函数做出一个分段函数图 象,解决我刚才怎么拖动都没办法进入另外一段的问题 .讲到这里,耳轮中就听到悦耳的下课 音乐响起来了,说了声下课,俺就走了. 愉快的一节课结束了.

过两天要搜集这个研究性学习的作业了 ,看看哪几个家伙能搞出来 ,搞出来的,请他们去 KFC!

《二分法》反思
大部分学生没听过林黛玉和薛宝钗。

我找到了大幅度提高普通高中本科率的教育教学方法
网友们,你信不信我真找到了,但这是不可能做到的,也是不太现实的,老师只能多做 一点算一点,摸摸自己良心过去了吗?过去了也就心安理得了,坦然入睡了。 这方法就是对学生一对一的教学与教育, 不管理科还是文科不管语文还是数学不管物理 还是历史等等。 我们老师先在班级里对全班同学进行共同讲授,下课后起码是对 80﹪的同学进行一对 一的辅导教学教育。 比如班级有 45 个同学, 起码要对 35 个同学进行一对一的辅导教学教育。 我学校每年高考人数 340 人左右, 高考重点今年算最好了有 2 个, 受到瓯海教育局长点名表 扬。班级里每班起码有 5、6 个教材自己是看不懂的,就像学生自己说的教材对他是天书。 但我想不管文科、理科不管数学物理化学还是政治,只要我们对起码 80﹪的学生进行一对 一的辅导教育教学,那我想本科算三本上线率达到 80﹪是绝对有可能的。但网友们,你说 我讲的方法有可能实施的下去吗? 我深深体会到学生学习学不下去的痛苦,他们是高中生懂事了,不会在课堂上吵闹,于 是会以睡觉来消极应付学习。 我只有做的事就是晚自修替他们一对一辅导教育教学。 我对那 些想学又绝望的学生也感到愧疚,只能尽力帮他们。 如果你对学生是一对一的辅导教育教学, 学生大部分是听的下去也是听懂的。 这是我晚 自修的心得。 一对一的辅导教育教学我打个比方任何一位学生语文老师只教他一个, 数学老 师只教他一个,物理老师只教他一个,化学老师只教他一个,地理老师只教他一个等等。如 果我学校数学老师 13 个,学生只有 13 个,物理老师 10 个学生只有 10 个,语文老师 13 个 学生只有 13 个,依此类推,也就是我学校算学生只有 13 个,而每科老师也至少 13 个,总 老师算 117 个,因为算 9 门科目,也就是 117 个老师教 13 个学生,那我想就算像现在的生 源 13 个学生全都考上名牌大学也没问题,但可能吗?网友们。 我不是空说无凭,我是有证据的,证据就是北京 22 中的孙维刚老师,大家百度:孙维 刚,就可以了。

《函数零点判定定理和二分法》习题课反思
学生学习了《函数零点判定定理和二分法》后会有疑问,那就是做的习题该怎么出?比 如教材上说根据计算器知道值是多少,但考试又不用计算器。 我们要告诉学生如果不用计算器那题目会告诉你值是多少, 我用同步练习即 《学海导航》 里的几道题目做了演示,化解学生的这种担心。 还有如果没有计算器,值也没有给你,一般情况下函数值的符号是可以判定的。 还有比如学生说,老师,如果没有计算器我们怎知道一些对数的值,其实如果没有计算 器对数的值是会给你的。 几类不同增长的函数模型 (注:分析教材,教材通过应用题来刻画区别不同函数的增长情况,但对于我学校的学 生,其实就算单单是具体、数字、特殊的函数的增长情况理解起来也有难处。所以我先把应 用题中的函数模型拿出来单独讲授或启发,当学生懂了、会了、通了问学生你可不可以利用

我们学的具体的数字的特殊的函数编造一道应用题, 其实学生遍不出来, 但可以提示教材上 有,让学生看教材。 ) 一、画出以下三个函数的图像,你会画吗?

y ? 40, y ? 10x, y ? 0.4 ? 2x?1。
二、1、如何比较上述函数的增长趋势和速度? 答:分刚开始时的局部比较与整体上的全局比较。 2、问刚开始时的局部比较函数的增长速度如何?哪几个点要注意,也是局部与整体上 全局的分界点。 答:x=1 到 3,x=4,x=5 到 8,x=9。 3、我们举的例子是数字的具体的特殊的,是什么类型的函数?你能把它们上升到字母 的符号的一般的吗? 答:一元一次函数(包括常函数) 、指数(型)函数。我们学过的反比例函数,幂函数 漏掉了。增长模式:指数(型)函数:爆炸型。一元一次函数:稳定型。常函数:平坦型。 三、画出以下四个函数的图像。

y ? 5, y ? 0.25x,y=log7 x+1 ,y ? 1.002x。
四、1、如何比较上述函数的增长趋势和速度? 答:分刚开始时的局部比较与整体上的全局比较。刚开始的局部我们取[0,1000]。 2、问刚开始时的局部比较函数的增长速度如何?那几个点要注意?也是局部与整体上 全局的分界点。 答:对于 y=0.25x 函数,x=20 要注意。对于 y ? 1.002x 在区间(805,806)要注意,因 为存在一个点 x0 满足 1.002 0 ? 5 。 在区间[10, 1000]时,y ? log7 x ? 1 图像在y ? 5的下面。
x

3、我们举的例子是数字的具体的特殊的,是什么类型的函数?你能把它们上升到字母 的符号的一般的吗? 答: :一元一次函数(包括常函数) 、指数(型)函数、对数(型)函数。增长模式:指 数(型)函数:爆炸型。一元一次函数:稳定型。常函数:平坦型。对数函数:缓慢型。 五、1、画出以下三个函数图像

y ? 2x , y ? x2 , y ? log2 x 。
2、问刚开始时的局部比较函数的增长速度如何?那几个点要注意?也是局部与整体上 全局的分界点。 答:x=2。 3、我们举的例子是数字的具体的特殊的,是什么类型的函数?你能把它们上升到字母 的符号的一般的吗? 答:指数(型)函数、幂函数(型) 、对数函数。增长模式:指数(型)函数:爆炸型。 对数函数:缓慢型。幂函数(包括一元二次函数) :处于爆炸与缓慢之间。 六、总结:这几种函数增长速度不严格的讲可以排顺序吗? 指数(型)函数>幂函数(包括一元二次函数)>一元一次函数>对数函数>常函数 五、你能把上述例子编造成两道应用题吗?在书上哪里?应用题是如何编造出来的? 答:再一次讲解这两道应用题,对例 2 还要补充。

我们三溪中学与温州中学同学的差距
昨天我讲了三道题目这两道题目没有用到高中知识, 在初中也是可以解答的。 是关于一 元二次方程的题目。这两道题目是同步练习《学海导航》上的,题目如下 1、已知关于 x 的方程 x2+2x+m+1=0。 ⑴若有两个实根,且都比-1/2 小,求实数 m 的取值范围。 ⑵若有两个实根,且一根笔 2 答,一根比 2 小,求实数 m 的取值范围。 2、关于 x 的方程 x2+ax+2 至少有一个实根小于-1,求实数 a 的取值范围。 我问你们初中有没有做过此类题目?学生回答没有,对于第二题我讲了从正面考虑的方 法和与反面考虑的方法,许多同学还听不懂,这两道题目与高中数学几乎没有关系,纯粹是 初中的题目,但是难题。我们没做过做不出来,但温州中学德的同学就可以做出来。温州中 学招生的时候是自主命题, 对于中考试卷一屑不顾。 我开玩笑的说好像是绍兴中考试卷第一 题是问-3 的绝对值等于多少?考这些谁考不出来啊。我们与温州中学同学差距就是初中难 题他们会做,我们不会做,初中难题又到了高中最多变成中档题。

什么教育教学方法能够拯救普通高中?
我在一个帖子 《我找到了大幅度提高普通高中本科率的教育教学方法》 中提到一对一的 辅导教育教学能大幅度提高普通高中的本科率。我想今天继续把它详细化。 什么教育教学方法能够拯救普通高中?其实也很简单就是做不到, 那就是对每个学生的 教育教学进行量身定制。在课堂上是对全班学生共同讲授,讲的是学习的共性,共性靠授, 但学习个性靠悟, 这学习个性靠悟需要老师对学生进行量身定制的教育教学。 其实在我们学 校,这样的生源,老师在课堂上的共性讲授学生对于我是一般可以听懂,但没用。懂也是假 懂,会也是假会,要真懂真会那就需要对学生采取量身定制的教育教学。 我这里一对一的辅导教育教学用量身定制的教育教学来概括, 因为量身定制这个词比较 形象。 全班算 45 个学生,每个学生的数学需要量身定制的教育教学,物理、化学、生物、地 理、 语文、 历史、 政治都要进行量身定制的教育教学。 每个人需要的教育教学方法全都不同, 虽然具有共同性,这共同性我们只要在课堂上进行对全班的讲授就可以达到。 我们学校这个生源的学生靠课堂上的共同教授没用, 要在课外对学生进行一对一的辅导 教育教学即量身定制的教育教学。 那谁又会这么不要命的干呢?课堂是义务, 课外不是要承 担的责任, 老师没责任没义务在课外对学生进行一对一的辅导教育教学即量身定制的教育教 学。哪个老师做到了,这老师应当要树立一个纪念的丰碑,就算做不到不做其实老师也没有 责任。 其实汝欲教好学生功夫在课外, 就像汝欲学诗功夫在诗外。 课堂上的讲授我想重要性占 20﹪,课外的一对一辅导教育教学即量身定制的教育教学重要性占 80﹪。虽然明知课外的 量身定制的教育教学重要性很重要但又有哪个老师会全力以赴呢?老师如果把课堂上的共 同讲授上的通俗易懂上的认真负责上的深入浅出那已经是个优秀好老师了, 对得起天地对得 起党对得起政府对得起人民对得起家长对得起学生,已经是问心无愧,安然入睡。 所以请不要挑剔老师,他也是凡人。 附旧帖:

我找到了大幅度提高普通高中本科率的教育教学方法
网友们,你信不信我真找到了,但这是不可能做到的,也是不太现实的,老师只能多做 一点算一点,摸摸自己良心过去了吗?过去了也就心安理得了,坦然入睡了。

这方法就是对学生一对一的教学与教育, 不管理科还是文科不管语文还是数学不管物理 还是历史等等。 我们老师先在班级里对全班同学进行共同讲授,下课后起码是对 80﹪的同学进行一对 一的辅导教学教育。 比如班级有 45 个同学, 起码要对 35 个同学进行一对一的辅导教学教育。 我学校每年高考人数 340 人左右, 高考重点今年算最好了有 2 个, 受到瓯海教育局长点 名表扬。班级里每班起码有 5、6 个教材自己是看不懂的,就像学生自己说的教材对他是天 书。 但我想不管文科、理科不管数学物理化学还是政治,只要我们对起码 80﹪的学生进行 一对一的辅导教育教学,那我想本科算三本上线率达到 80﹪是绝对有可能的。但网友们, 你说我讲的方法有可能实施的下去吗? 我深深体会到学生学习学不下去的痛苦,他们是高中生懂事了,不会在课堂上吵闹,于 是会以睡觉来消极应付学习。 我只有做的事就是晚自修替他们一对一辅导教育教学。 我对那 些想学又绝望的学生也感到愧疚,只能尽力帮他们。 如果你对学生是一对一的辅导教育教学,学生大部分是听的下去也是听懂的。这是我晚 自修的心得。 一对一的辅导教育教学我打个比方任何一位学生语文老师只教他一个, 数学老 师只教他一个,物理老师只教他一个,化学老师只教他一个,地理老师只教他一个等等。如 果我学校数学老师 13 个,学生只有 13 个,物理老师 10 个学生只有 10 个,语文老师 13 个 学生只有 13 个,依此类推,也就是我学校算学生只有 13 个,而每科老师也至少 13 个,总 老师算 117 个,因为算 9 门科目,也就是 117 个老师教 13 个学生,那我想就算像现在的生 源 13 个学生全都考上名牌大学也没问题,但可能吗?网友们。 我不是空说无凭, 我是有证据的, 证据就是北京 22 中的孙维刚老师, 大家百度: 孙维刚, 就可以了。

几类不同增长的函数模型
一、先复习上节课的注意点。 1、x ??10,1000? 时, ?

y x

log 7 x ? 1 ? 0.25 , 如何判断?教材是说用计算器或计算机, x

但考试没有用计算器或计算机, 况且这是图形计算器, 很贵的, 温州中学有开图形计算机课, 要几千块钱。高考为什么不用计算器是因为会作弊成灾,计算器中会安装作弊工具。 所以考试怎办? 这纯粹是杞人忧天,天下本无事庸人自扰之。如何真考到那数据会给你。 2、指数型函数增长模式是爆炸性,对数型函数是缓慢型这是为什么? 因为既然指数型函数增长模式是爆炸型, 那对数型函数作为它的逆函数逆运算只能是缓 慢型。 3、同学们可能问三个奖励的函数模型是怎么来的即 y ? 0.25x,y=log7 x+1 ,y ? 1.002x。 是怎么来的?其实要么是给你要么就是根据经商 经验找到的。 二、再次复习这三个函数图像

y ? 2x , y ? x2 , y ? log2 x
同学们能把具体数字特殊的上升到字母一般抽象吗?在书上哪里?找找。 答:P101 上数下第一行到探究上面。 三、你用什么办法来讨论函数

y ? a x (0 ? a ? 1), y ? xn (n ? 0), y ? loga x(0 ? a ? 1)

在区间 ? 0, ??? 的衰

减情况吗? 答:用具体数字特殊的例子来讨论然后上升到字母一般情况。取这三个函数

?1? y ? ? ? , y ? x ?1 , y ? log 1 x ?2? 2
四、结论。 (几何画板)

x

每日一哈
给女同学看个笑话,娱乐娱乐。让学习数学有乐趣点,轻松点,幽默点。 母亲在暑假里为女儿买了很多参考书, 女儿看到那么多的参考书后, 对母亲说: “妈妈, 我真想为你点首歌。 ” 母亲很高兴, 以为女儿终于明白了她的一片苦心, 忙问: “是什么歌?” “女人何苦为难女人。 ” 同学们可以百度 mp3《女人何苦为难女人》找到这首歌,挺好听的,我手机里就收藏 这首歌。歌手:辛晓琪。

《3.2.2 函数模型的应用实例》 一、每日一哈
非洲野猪 生物老师正兴致勃勃在台上描述非洲野猪的长相,偶尔眼光一扫台下,竟发现多数学 生在打瞌睡。于是大为光火,喝道: “你们要看着我啊!不看我,你们怎么知道非洲野猪长 的是什么样子?” 二、复习函数概念 (注: 函数概念学了差不多半学期了, 刚开始学生学的半熟不生, 似懂非懂, 似会非会, 是假懂假会。 而今复习要达到真懂真会且能通。 因为学生通过半学期的接触积累了大量的有 关函数的感性认识,而今要达到理性认识。 ) 1、文字语言 设 A, B 是非空数集, 如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个 函数。通俗点,一对一、二对一、三对一、多对一是函数,一对二、一对三、一对多不是函 数。为什么要对“一”这是函数的规定,这规定不是无缘无故的,而是函数是生活生产世界 中的许多事物的模型。这是我们从生活生产世界中把它抽象出来。 2、符号语言

y ? f ( x), x ? A 。f 称对应关系或对应法则。A 称定义域,注意“定义”是什么意思。
“域”是什么意思。函数值的集合称值域,如何理解值域就是顾名思义。值域是集合 B 的子 集。 定义含义: ①人们相互交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。 为此, 就要对名称和术 语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition) 。

②定义是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个 概念的意义。被定义的事物或者物件叫做被定义项,其定义叫做定义项。 ③定义是认识主体使用判断或命题的语言逻辑形式, 确定一个认识对象或事物在有关事 物的综合分类系统中的位置和界限, 使这个认识对象或事物从有关事物的综合分类系统中彰 显出来的认识行为。 域:范围。 对应法则指我们初中函数对应法则都有的就是解析式是其表达形式, 但我们讲过大部分 函数对应法则是没有解析式也是求不出来的。 还记得教材上的臭氧层空洞问题和恩格尔系数 变化这两个函数的例子吗?按初中角度、 高度这两个不是函数, 这两个函数解析式是求不出 来的,但按高中角度、高度这两个却是函数。 3、图形语言 画两个椭圆当集合 A,集合 B,上面是 f : A ? B 。 三、分段函数用函数的图形语言来描述。 四、这节课是有关函数的应用题课。 应用题有两难: 这节课是讲解应用题, 那自然产生如下问题: 应用题难吗?在高考中难度是处于什么层 次?难在哪里?为什么会难? 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生 产、生活问题。 所以应用题可以分成两部分:背景知识,数学问题。背景知识分社会背景知识、自然 背景知识。 应用题第一难: 难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、 物理、 汽车、 建筑物、 地理、 经济等等。 我们在做应用题前要先熟悉这些知识。 所以这里有个高原现象, 就是熟悉背景知识,我们不熟悉。 应用题第二难:难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有 关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有 个高原现象我们迈不上去,就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练, 但我们不熟练。 在高考中难度在中等附近。 所以我吧应用题中的数学问题先剥离出来,把应用题分成两部分。根据我学校生源质 量,学生对解决应用题的数学知识、方法、思想、数学思维方式很不熟练。所以先让学生 搞懂搞会应用题中剥离出来的数学问题,然后根据数学问题编制应用题,其实学生也编制 不出来,但可以让学生在教材中找找。 五、1、请写出下列图像的解析式:

2、画出下列函数的图象

3、编制一道应用题,看教材 P102 例 3,且 PPT 演示,百度很多,且用学案教学。 问:例 3 是容易还是难,需要我分析吗?例 3 的第一小题与第二小题有什么不同,它是 把什么关系转化为什么关系? 复制前年的课堂实录对付今年。 我问例 3 第二小题是不是时间与路程的关系图?学生回答是。 其实不是。 它是汽车里程 表读数跟时间的关系图。我问那能不能把汽车里程表读数跟时间的关系图转化为时间与路 程的关系图,怎样转化?学生回答,就是向下平移 2004 个单位。这是一辆新车还是旧车, 为什么?学生回答:新车。因为里程表读数只有 2004 公里。那汽车开过多少公里要报废? 学生说不知道,我说我也不知道,但好象是 10 万公里。这辆汽车在行驶时最低时速与在高 时速是多少公里?学生答:50 公里、90 公里。那你们知不知道在温州瓯海大道上最高时速 限制多少公里?学生说,不知道。我说,我也不知道,好象是 80 公里。因为我没汽车。我 说前几天瓯海大道发生车祸,死了两人,你们知道不知道?学生说,不知道。我说,你们 真是一心只读圣贤书,两耳不闻窗外事。 学生说,我们有什么办法。 我说范美忠(范跑跑) 跟你们一样,当他考上大学时,发现来自大城市的同学外面世界都知道,他一点也不知道 外面的世界, 所以开始抨击基础教育。 我说, 我跟你们讲的这些事情百度一下就可以知道, 有时我还赞同学生可以带手机进校园,但就像外国的一些学校也禁止学生带手机进校园, 原因是你们会拿手机干不正当的事。 六、1、 y ? y0ert , 是什么类型的函数?还知道 e 是什么吗?确定指数函数只需要一个 条件,那确定指数型函数需要几个条件? 2、 同学们注意这个模型最早在 1798 年英国经济学家马尔萨斯发现的, 它是自然状态下 的人口增长模型。注意自然状态是什么意思?就是没有人为的干预即计划生育。其中 t 表示 经过的时间, y0 表示 t=0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率。 例 4 是容易还是难,需要我分析吗? 例 4 右边的图片说明什么? 答:人口爆炸。

那描述人口增长的模型,同学们猜猜看,该是什么? 答:指数函数(型)模型。 你还记得我跟你们讲的马尔萨斯的故事吗?影响人类的 100 个人。 例 4 的人口增长模型需要确定哪几个常数,是几个常数,需要几个条件? 教材求出这个常数,求了几次?为什么?考试也要算这么多次吗? 答:如果考试一般不会这样算 9 次。 从这道题你对我国的国策计划生育有没有更多的认识?你是不是更加赞同我国的国策 计划生育? 复制前年的课堂实录应付今年 例 4 的生成是我问你们好记不记得我跟你们讲的马尔萨斯的故事?学生回答说: 不记得。 我说你们真没良心。后来我说,就像马戏团里的狮子、猴子表演,动作正确了,却没有给它 吃食物,所以就不肯表演了。对于多少年人口达到多少其实百度一下就可以知道,但手机不 能进校园。我说电视、电影明星或歌星是不值得崇拜的,他们想多生小孩,因为自己可以被 当成人才, 所以就把户口移到美国、 加拿大、 欧洲、 香港。 老师我真能生一个, 做人真失败。 一个社会问题, 如果抽象为数学问题, 那它的数学模型只有一个吗?如果模型预测有失 误,那要对模型进行怎样处理? 答:可以有几个。要修正模型。 当堂完成 104 页练习。

应用题第三难
就是把现实生活生产问题抽象为数学模型,能够提炼出数学模型,这种抽象、提炼能力 学生不会。

《3.2.2 函数模型的应用实例》2
一、P104 练习 2 说明数学好的同学物理好,物理好的同学数学好。数学家往往是物理 学家,比如牛顿。 二、应用题有三难。今天继续讲应用题,同学们对照一下是第几难? 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生 产、生活问题。 所以应用题可以分成两部分:背景知识,数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背 景知识。 应用题第一难:难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、 建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象, 就是熟悉背景知识,我们不熟悉。 应用题第二难:难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关 的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高 原现象我们迈不上去,就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练,但我们 不熟练。 应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型,能够提炼出数学模型,这种 抽象、提炼能力我们不会。 在高考中难度在中等附近。 三、①、会求函数 y=-40x2+520x-200 的最大值吗?如果 0<x<13 呢? ②、看例 5。 对于例 5 要得到函数解析式需要找到规律,那规律如何找?

答:老老实实列出前面几项。 你能自己求出函数解析式吗? 求出之后对例题的解答跟什么知识有关? 答:一元二次函数。 一元二次函数,我们从初中一直学到现在,但高中还是很重要,要求也提高许多,有一 种要求特别强调:数形结合。 这道题还有其他解法吗? 答:换个角度看问题。我说角度不同,世界不同,这也是一位同学的 QQ 签名。这个角 度看问题(世界) ,问题(世界)就简单,那个角度看问题(世界) ,问题(世界)就复杂。 比如例 5 得到一元二次函数模型的解析式,你即可以是设在进价的基础上增加 x 元, 也可以设每桶水的销售价为 x 元。 比如, 如果你设在进价的基础上增加 x 元, 那也有两种方法得到函数解析式, 即: [480-40 (x-1)]*x-200,也可以是[480-40(x-1)]*(x+5)-200-[480-40(x-1)]*5。前者是买出去 的桶装水数量乘以每桶赚的钱减去固定成本。 , 后者是买出去的桶装水数量乘以铜装水价格 即总收入,所以要减去成本,这成本包括固定成本、可变成本。所以前者角度看问题(世 界) ,问题(世界)就简单,后者角度看问题(世界) ,问题(世界)就复杂。 总结:第一个角度:设在进价的基础上增加 x 元,又分两子角度。 第二个角度:设每桶水销售价格为 x 元,则[480-40(x-6)]*(x-5)-200。 共同点:总利润=总收入-固定成本-可变成本。 四、①、对于例 6,要得到函数模型,先要干什么? 答:画图。 函数模型中有几个未确定的常数?需要几个条件?函数模型唯一吗? 对于例 6 第二小题,容易懂吗?计算难吗? ②、例 5 第三难;例 6 第二难,就是运算量大,要图形计算器或计算机。 ③、书上 106 页,用数学模型解决实际问题的解决流程,如何才能深刻理解它? 答:就是深入、仔细、熟练研究具体、数字的问题,自然上升到一般流程。

如何啃下应用题这个硬骨头?
应用题有三难,同学们看过,我不再叙述。应用题在高考中属于中档题。高考考应用题 告诉我们平时要关注自然关注社会,不是两耳不门窗外事,一心只读圣贤书。 应用题是块硬骨头,我们如何啃下它?我们慢慢啃,用三年时间,今天啃一点,明天啃 一点。今年啃一点,明年啃一点。所以同学们不要恐惧、焦虑,请放松点。 对于例 5,为什么利润有最大值?因为价格越低销量越大,价格越高销量越少,所以肯 定有价格多少利润越大的问题。 对于例 6 的补充:1、求系数,数据选择两组,不一定一定要选这两组,其他也可以。 2、例 6 在生活生产实践中我们经历过那就是到超市里买东西门口放着测体重、身高判断是 偏瘦还是偏胖得机器,这机器原理就是例 6。

为什么要啃下应用题这块硬骨头?
应用题在高考属于中档题, 在试卷属于 120 分内, 我们学校同学如果要考重点即第一批, 那要啃下应用题。 虽然去年重点只有两个, 340 个左右同学参加高考, 但我们不要放弃希望。 但第一批即重点北大清华浙大复旦也是第一批即重点, 温州大学也有第一批, 所以啃下 应用题是考相当于温州大学的第一批好一点比如浙江工业大学第一批。还有 30 分是难题, 为了区分第一批中的北大清华浙大复旦与相当于温州大学第一批的大学好一点是浙江工业

大学的第一批。

如何让学生不作弊?
老师经常跟学生讲做人要诚实要道德要善良要有爱心要有羞耻心, 所以高考请不要作弊。 我以为这样讲是没用的。 中央的好像是江主席提出以德治国和依法治国相结合, 我觉得 道德是靠不住的只有完善的制度才能杜绝作弊行为。我们很幸运,高考制度是很完善的,世 界一流。 所以我从不讲告诉学生做人要诚实要道德要善良要有爱心要有羞耻心, 所以请高考 不要作弊,我只告诉学生高考作弊是得不偿失,我把其中的利害关系算给学生看。 一个是温州本地媒体报道的永嘉一副镇长帮儿子作弊父亲被撤职儿子被取消高考资格。 一个是如果你要作弊你周围的四个人要打点,他要同意给你看,这种情况是千年一遇, 这种情况确实发生过也成功了。 一个是高考时普通中学同学与普通中学的同学一起考, 温州中学不会与我们一起考。 如 果一起考,那大家都看温州中学的学生。温州中学重点率今年好像百分之 80 左右。数据忘 记了。 一个是就算作弊也有概率我假定成功的概率是千分之一, 我问你们把成功压在这千分之 一上合算吗? 一个是就算监考是我监考我也不会告诉你, 因为旁边有其他同学, 他如果告我我要丢饭 碗。 所以努力学习是正道其他是歪门邪道。


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