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奥狐杯高三数学学科特长竞赛模拟卷


“奥狐杯”组委会、奥狐教育、天科学堂 2015 年学员内部使用测评试卷 仅供参考

2015 年第五届“奥狐杯”全国高中生学科特长竞赛 高三数学模拟测试笔试试卷
★启用前绝密
考试注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,答案写在本试卷 上无效; 2.考试结束后,须将本试卷、草稿纸、答题卡一并交回; 3.保持卷面

整洁,不要折叠,不要弄破。 未经“奥狐杯”组委会授权,任何单位或个人都不得翻印或销售此试卷,也不 准以任何形式转载。本部分共 10 道题,其中解答题 4 道,解答题需要写出必要 的文字说明、方程式和主要的演算步骤。 本部分共 10 道题,其中解答题 4 道,解答题需要写出必要的文字说明、方程式 和主要的演算步骤。 (满分 100 分,建议时间 75 分钟)
一、单项选择题( 5 ? 2 ? 10 ) 1.在 2001,2002,2003,…,2014 中任取 4 个数 a1 , a2 , a3 , a4 ,且满足 a4 ? a3 ? 4 , a3 ? a2 ? 3 ,
' '

a2 ? a1 ? 2 .问共有(
A.63

)不同的取法。

B.70 C.77 D.80

2.空间四点 A、B、C、D 满足 | AB | ? 3 , | BC |? 7 , | CD | ? 11 , | DA |? 9 , 则 AC ? BD 的取值( ) A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个

二、填空题( 5' ? 4 ? 20' ) 3. 1980 年 2 月 25 日,国务院正式批准中国科技大学设立“ 郭沫若奖学金”。“郭沫若奖学金” 是中国科学院利用任科大校长 20 年之久的郭沫若院长生前交给院党组的 15 万元稿费设立的 专项奖学金,用以激励莘莘学子努力攀登科学技术高峰。“ 郭沫若奖学金” 设立初期每年仅 15 个名额,获奖者可获得一枚“郭沫若奖学金获得者”银质奖章和 200 元现金。大批郭沫若 奖获得者都成了所在领域的领军人物。2007 年将该奖额度提升至 10000 元。有利于维持这 个新中国第一奖学金与科大本科生最高荣誉奖不可动摇的地位。现在每年的名额稳定在 25 人左右,是中国科学技术大学众多奖学金中最具含金量的奖学金。假设“郭沫若奖学金”创立 初期,中国科学技术大学某年将 15 个奖学金名额分配给 6 大院系,分配原则是至多有 3 个 院系分不到,则共有 种不同的分法。 4. cos12 ? cos 24 ? cos 48 ? cos 84 ? 5. 若 2 ? 2 ? 2 为一个平方数,则正整数 n ?
n 9 10
? ? ? ?

“奥狐杯”组委会、奥狐教育、天科学堂 2015 年学员内部使用测评试卷 仅供参考

6.已知 3 x ? 4 y ? 48 ,那么

2

2

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 5 的最大值为

三.解答题(一共四道大题,总分 70 分) 7.(14 分)已知 ? 、 ? 是方程 4 x 2 ? 4tx ? 1 ? 0 ( t ? R )的两个不等实根,函数 f ( x) ?

2x ? t 的定义域为[ ? , ? ]。 x2 ?1
(Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x); (Ⅱ)证明:对于 u i ? ( 0,

? ) (i ? 1,2,3) ,若 sin u1 ? sin u 2 ? sin u 3 ? 1 ,则 2

1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u1 ) g (tan u 2 ) g (tan u 3 ) 4

8.(18 分)设平面直角坐标系 XOY 中, y 轴正半轴上的点列 ? An ? 与曲线 y ? 上的点列 ? Bn ? 满足: OAn ? OBn ? 为 bn , n ? N . (1)证明: an ? an ?1 ? 4, n ? N ; (2)证明存在 n0 ? N ? ,使得对 ?n ? n0 ,都有
?

2x ? x ? 0?

1 ,直线 An Bn 在 x 轴上的截距为 an ,点 Bn 的横坐标 n

?

b b b2 b3 ? ? ??? ? n ? n ?1 ? n ? 2004 . b1 b2 bn ?1 bn

9.(18 分) 证明当 n ? N ? 时, (1 ? ) n 存在极限.

1 n

10.(20 分) 在一个圆周上选出不重合的 2017 个点,分别染成红、蓝颜色。现可采取如下 变换措施:每次可选其中连续 的 k 个点变换为相反颜色, (k 为定值且 k≤2017) ,即每次变换 .. 可以使得这连续 ,红变蓝,蓝变红。证明: ..k 个点“红蓝颠倒” (1)若 k 是奇数,可以通过有限次这样的变换,所有点变为红色,也可通过有限次变换, 所有点变为蓝色; (2)若 k 是偶数,可否也能通过有限次这样的变换,使全部点变换为同色?

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“奥狐杯”高中生学科特长竞赛组委会答家长、选手问 1、参加“奥狐杯”赛事有用吗?用处是什么? 自通知发布以来有大量优秀打电话咨询,大部分考生是希望以个人身份报名参加“奥狐杯” 竞赛,一来可以在全国数千名高端考生中检测自己所处的水平,找到自身的不足;二来,发 现自己的真正的学科特长,而后着力打造 1-2 科学科特长,为未来自主招生作准备工作;三 来如果在竞赛中获得奖项,可以塑造学科特长的信心同时为自主招生报名材料拿下重要一 码。 2、是不是必须要参加“奥狐杯”?“奥狐杯”正规不正规? 是否报名参加“奥狐杯”完全由学校、考生自愿。组委会不通过任何形式强制参赛。 “奥狐 杯” 从命题到考务、 从改卷到评奖, 每个环节背后都凝结着组委会所有工作人员的汗水。 “金 杯银杯不如家长、高校的口碑” ,奥狐杯组委会将从考试大纲、竞赛命题、考务流程等整个 考试流程层层严格把关,将赛事过程中的每个细节都做好。 3、 第六届“奥狐杯”的考点在哪里?我的家乡有没有安排考点? 竞赛考试地点原则上由组委会统一安排(统一安排考点北京、南京、济南、武汉、长沙、合 肥等省会城市,如有调整于考前两周在官网上公布) 。如果高中学校官方、带队老师有合适 考点提供并与组委会协调一致,可适当安排更多个性化考场。 4、 只能通过学校报名吗?个人能不能自己报名参加竞赛? “奥狐杯”欢迎个体报名参赛,报名缴费链接:到奥狐杯组委会官网 缴费之后请及时发短 信: “姓名+高一/高二/高三+学科竞赛(数/理/化/语/英)+就读高中+考点”至指定手机即可 报名成功。 5、 “奥狐杯”学科特长竞赛的考试范围到底是什么? 全国高中生学科特长竞赛(省赛、国赛)在知识方面有所扩展,命题组适当增加了高考考纲 之外的内容, 所涉及的知识范围与 985 大学自主招生所要求具备的较高层级的分析问题的能 力和解决问题的能力相对接。 6、 赛前有培训吗?赛前有样卷看吗?赛后可以看到试卷吗?可以查到成绩吗? 为了考察出考生真实的学科特长水平, “奥狐杯”组委会不安排考前培训。赛前组委会将公 布试卷形式和少数样题;赛后将通过组委会网站公布考试试卷。选手们的考试成绩,将以短 信、邮件的形式通知。 7、 “奥狐杯”竞赛的奖项是如何安排的? ( 1) 、参加省赛且进入前 15%的同学,可以获得“省级一等奖” “省级二等奖” “省 级三等奖”奖项(比例:一等奖 4%,二等奖 5%,三等奖 6%) 。组委会将向国内多所 211、 985 大学报送获“省级一等奖、二等奖”的考生名单,以供今后自主招生选拔时参考。 ( 2) 、参加国赛且进入前 10%的同学,将获得“全国一等奖” “全国二等奖” “全国三 等奖”奖项(比例:一等奖 2%,二等奖 3%,三等奖 5%) 。组委会将向国内多所 211、985 大学报送获 “全国一、二、三等奖”的学生名单,以供今后自主招生选拔时参考。 ( 3) 、省赛、国赛获奖名单于考试结束 10 天内发到高中所在学校、带队老师处,之后 将及时颁发奖牌及获奖证书。 ( 4) 、省赛和国赛获奖名单还将在“奥狐杯”学科特长竞赛组委会官方报名网站、天科 学堂自主招生考试研究院网站中公布。表现优异的学生必将获得众多名牌大学的关注。 8、 “奥狐杯”竞赛主要工作日程安排?

“奥狐杯”组委会、奥狐教育、天科学堂 2015 年学员内部使用测评试卷 仅供参考

1、2015 年 9 月向全国各学校发出组委会文件和参赛通知。 2、2015 年 12 月 20 日,截止报名。 3、2015 年 12 月 22 日,下发试卷到各考点。 4、2016 年 1 月 1 日,全国统一组织考试。 5、2016 年 1 月底公布获奖名单、举办颁奖典礼。 9、 我是理科生,除了报数理化学科特长竞赛以外,能不能报英语或语文? 按照规定是不可以的, 一般建议理科生选择数理化其中的科目报名参赛。 如果选手确实自认 为自身英语或语文具备较强的学科特长。经过和组委会协商一致也可给予安排。


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