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2015高考数学冲刺限时训练(一)


2015 高考数学冲刺限时训练(一)
1、已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0). 数列 {bn } 满足 bn ? an an ?1 (n ? N *) 。 (1)若 {an } 是等差数列,且 b3 ? 12, 求 a 的值及 {an } 的通项公式; (2)当 {bn } 是公比为 a ? 1 的等比数列时,{an } 能否为等比

数列?若能,求出 a 的值;若不能,请 说明理由. 解: (1) {an } 是等差数列, a1 ? 1, a2 ? a(a ? 0),? an ? 1 ? (n ? 1)(a ? 1) . 又 b3 ? 12,? a3a4 ? 12,即(2a ? 1)(3a ? 2) ? 12 ,解得 a ? 2或a ? ? , (2)数列 {an } 不能为等比数列.

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a ? 0,? a ? 2.从而an ? n .

2、 某校从参加某次知识竞赛的同学中, 选取 60 名同学将其成绩(百分制, 均为整数)分成 [40,50) , [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] 六组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观 察图形中的信息,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (Ⅲ)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人, 求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率.

220 3 60 ? 0 . 1 ? 6 人(设为 1,2,3,4,5,6) (Ⅲ)第 1 组: 第 6 组: 60 ? 0.1 ? 3 人(设为 A,B,C) 1 共有 36 个基本事件,满足条件的有 18 个,所以概率为 2 3、设向量 a ? (sin x, cos x), b ? (sin x, 3 sin x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? 2b) . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合.
解: (Ⅰ) 0.3 (Ⅱ)

(2) 由 f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ?

?

) ,得 f ?( x) ? 4 cos(2 x ? ) . 由 f ?( x) ? 2 , 6 6
1

?

得 cos(2 x ?

1 ? ? ? ? ? ? x ? k? ? (k ? Z) . ,则 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 即 k? ? 6 2 3 6 3 12 4 ? ? ? ? ∴ 使不等式 f ?( x) ? 2 成立的 x 的取值集合为 ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z? 12 4 ? ?

?

)?

4、如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, AB ? BC , AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分 别是 AB, A1C 的中点 (1)求证: MN ∥平面 BCC1 B1 ; (2)求证: MN ⊥平面 A1 B1C ; (3)求三棱锥的体积 M ? A1 B1C 的体积. 【解析】 (1)证明:连结 BC1 , AC1 ,显然 AC1 过点 N ∵ M , N 分别是 AB, AC 的中点, 1 ∴ MN / / B1C ,

故 VM ? A1B1C ? VB ? A1B1C ? VA1 ?CB1B ?

4 . 3

2


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