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湖南省十三校2015届高三第二次联考 数学(文) Word版含答案

时间:2015-05-06


湖南省 2015 届高三 十三校联考 第二次考试
数学(文)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.若集合 A = {x | x ? ?2} , B = {x | ?3 ? x ? 3} ,则 A A. {x | x ? ?2} 2.不等式 1 ? x ? B. {

x | ?2 ? x ? 3}

B =(

)C D. {x | ?3 ? x ? 3}

C. {x | x ? ?3} )A

?
2

成立是不等式 ( x ? 1)tanx ? 0 成立的( B.必要不充分条件

A.充分不必要条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件

3.为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元) ,以便引导学生树立正确的消费观.样本容量 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在[6,14)内的频数为( A.780 C. 648 B. 680 D. 460 )B

4.输入 x ? 1 时,运行如图所示的程序,输出的 x 值为( )C A.4 B.5 C.7 5.已知 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 的最小值为(
x y

D .9

)D C. 3 3 )B C. f ( x) ? x ? x
3

A. 2 2

B. 4

D.6

6.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是( A

f ( x) ? sin 2 x

B. f ( x) ? xe

x

D. f ( x) ? ? x ? ln x

7.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( A. 9 C. 18 ? 3 2 B. 18 ? 9 3 D. 9 ? 18 2

)D
3 6 正(主视图) 3 俯视图 侧(左)视图

-1-

8. 已知抛物线 C: 准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点, 若 PF ? 2FQ , x2 ? 8 y 的焦点为 F, 则 QF ? ( A.6 )A B.3 C.

8 3

D.

4 3

9.称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a 、 b 间的“距离”.若向量 a 、 b 满足:① | b |? 1 ;② a ? b ;③对任意 的 t ? R ,恒有 d (a, t b) ? d (a, b) ,则( A. a ? b B. a ? (a ? b) )C C. b ? (a ? b) D. (a ? b) ? (a ? b)

10.已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 4a | (a ? 0) ,若对 ?x ? R ,都有 f (2 x) ? 1 ? f ( x) ,则实数 a 的最大 值为( A. )B B.

1 8

1 4

C.

1 2

D.1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号的横线 上.
11.已知复数 z ? 1 ? i (其中 i 是虚数单位) ,则 z 2 ? z ? 12.若直线的参数方程为 ? .1 ? 3i .?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为 ? y ? 2 ? 3t

3 2
. (??,2)

13. 函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线, 则实数 a 的取值范围为

14.在区间 [1,5] 和 [2,4] 分别取一个数,记为 a,b , 则方程

x2 y 2 ? ? 1 表示离心率大于 5 的双曲线的概 a 2 b2

率为



1 8

15.在锐角 ?ABC 中, AC ? 6 , B ? 2 A ,则边 BC 的取值范围是 ______ . (2 3,3 2 )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、 (本小题满分 12 分)编号分别为 A1 ,A 2 ,…,A16 的 16 名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录 如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分 A1 15 A9 17 A2 35 A 10 26 A3 21 A 11 25 A4 28 A 12 33 A5 25 A 13 22 A6 36 A 14 12 A7 18 A 15 31 A8 34 A 16 38

(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: 区间 [10,20)
来源 [

[20,30)

[30,40]

-2-

人数 (2)从得分在区间[20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;②求 这 2 人得分之和大于 50 的概率. 解: (1)4,6,6; ………………………4 分

(2)①得分在区间[20,30) 内的运动员编号为 A3 ,A 4 ,A 5 ,A 10 ,A11 ,A13 。从中随机抽取 2 人,所有可能 的抽取结果有: {A 3 ,A4 },{A3 ,A 5},{A 3 ,A 10},{A3 ,A 11 },{A 3 ,A13 },{A 4 ,A 5 },{A 4 ,A10 } ,{A 4 ,A 11 },{A 4 ,A13 }, {A5 ,A 10 },{A 5 ,A 11 },{A 5 ,A13 },{A 10 ,A 11 },{A 10 ,A 13},{A 11 ,A 13 }, 共 15 种; ………………………8 分

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50”(记为事件 B)的所有可 能结果有:{A 4 ,A5 },{A 4 ,A 10 },{A4 ,A 11},{A5 ,A 10 },{A 10 ,A 11 },共 5 种; 5 1 所以 P (B )= = . 15 3 ………………………12 分

17 、 (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥的侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且底面 ABCD 是直角梯形,

AD ? CD , AB // CD , AB ? AD ?
(1)求证: BC ? 平面 BDP ;

1 CD ? 2 ,点 M 在侧棱上. 2 1 ,点 M 为侧棱 PC 的 2

P M

(2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.

D

C
B

2 2 2 证明(1)由已知可算得 BD ? BC ? 2 2 ,? BD ? BC ? 16 ? DC , A

故 BD ? BC , 又 PD ? 平面ABCD , BC ? 平面 ABCD ,故 PD ? BC , 又 BD

P

PD ? D ,所以 BC ? 平面 BDP ;………………………6 分

N
D

M

解(2)如图,取 PD 中点为 N,并连结 AN,MN,易证明 BM // AN , 则 ?PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角; 又 PA ? 底面 ABCD ,? ?PCD 即为 PC 与底面 ABCD 所成角, 即 tan ?PCD ?

C
A B

1 1 1 ,? PD ? CD ? 2 ,即 PN ? PD ? 1 , 2 2 2

易求得 AN ? 5 , PA ? 2 2 ,则在 ?PAN 中, cos?PAN ?

AP2 ? AN 2 ? PN 2 3 10 ? , 2 AP ? AN 10

即异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值为

3 10 . 10

………………………12 分

18、 (本小题满分 12分)已知正项数列{an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足 an ?

Sn ? Sn?1 (n ? 2) .

-3-

(1)求证: { Sn } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 { 值范围. 解(1)? 当 n ? 2 时, an ?

1 } 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * ,不等式 4Tn ? a 2 ? a 恒成立,求实数 a 的取 an an ?1

Sn ? Sn ?1 ,? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ,

即 Sn ? Sn ?1 ? 1,所以数列 { Sn } 是首项为1,公差为1的等差数列,故 Sn ? n , 故 an ? ,当 n ? 1 时也成立; Sn ? Sn?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ( n ? 2 ) ………………………6分

因此 an ? 2n ? 1 (2)?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? (1 ? )? , ? Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2
又? 4Tn ? a 2 ? a ,? 2 ? a ? a ,解得 a ? ?1 或 a ? 2 ,
2

即所求实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? 2 .

………………………12分

19、 (本小题满分 13 分)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB =6,BC=12.将矩形纸片在右下角折起,使得该 角的顶点落在矩形有左边上,设 EF ? l , ?EFB ? ? ,那么的长度取决于角 ? 的大小. (1)写出用 ? 表示 l 的函数关系式,并给出定义域; (2)求 l 的最小值. 解(1)由已知及对称性知, GF ? BF ? l cos ? , GE ? BE ? l sin ? , 又 ?GEA ? ?GFB ? 2? ,? AE ? GE cos 2? ? l sin ? cos 2? , 又由 AE ? BE ? l sin ? cos 2? ? l sin ? ? 6 得, l ?

D

C
F

6 , sin ? (1 ? cos2? )
………………………4 分

?
G
A E

l
B

即所求函数关系式为 l ?

6 , sin ? (1 ? cos2? )

由 BF ? l cos? ?

1 ? 6 6 cos? ? ? 16 得, sin 2? ? ,又显然 ? ? , 2 4 sin ? (1 ? cos2? ) sin 2? , ] 12 4

?

?
12

?? ?

?
4

,即函数定义域为 [

? ?

………………………7 分

(2)? l ?

6? 2 2 6 3 , ], ? , sin ? ? [ 3 4 2 sin ? (1 ? cos2? ) sin ? ? sin ?

-4-

令 f ( x) ? x ? x3 ( x ? [

6? 2 2 3 2 3 ,利用导数求得,当 x ? 时, f max ( x) ? , , ]) 4 2 3 9
………………………13 分

所以 l 的最小值为

9 3 . 2

x2 y 2 2 20、 (本小题满分 13 分)如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , B 、 F 分别为其短轴的 a b 2
一个端点和左焦点,且 | BF |? (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点为 A1 , A2 ,过定点 N (2,0) 的直线与椭 圆 C 交于不同的两点 D1 , D2 ,直线 A1D1 , A2 D2 交于点 K ,证明点

2.

y

D2
K

D1 A2 N

A1 F

o
B

x

K 在一条定直线上.
解(1)由已知, a ?| BF |?

2,

c 2 2 2 2 ,且 a ? b ? c ,? a ? 2 , b ? 1 , ? a 2
………………………4 分

因此椭圆 C 的方程

x2 ? y2 ? 1 2

(2)由题意,设直线 D1D2 : y ? k ( x ? 2) , D1 ( x1, y1 ) , D2 ( x2 , y2 ) ,

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,则 ? y ? k ( x ? 2) ?
x1 ? x2 ? 8k 2 8k 2 ? 2 x ? x ? , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
①………………………8 分

设直线 A1D1 : y ?

y1 y2 ( x ? 2) , A2 D2 : y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

联立两直线方程,消去 y 得

x ? 2 y2 ( x1 ? 2 ) ? x ? 2 y1 ( x2 ? 2 )

②………………………10 分



x12 x2 x2 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 ,并不妨设 D1 , D2 在 x 轴上方,则 y1 ? 1 ? 1 , y2 ? 1 ? 2 2 2 2 2
x ? 2 y2 ( x1 ? 2 ) ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? ?? ?? x ? 2 y1 ( x2 ? 2 ) ( 2 ? x1 )( 2 ? x2 ) 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

代入②中,并整理得:

-5-

将①代入,并化简得

x? 2 2 ?1 ,解得 x ? 1 , ?? x? 2 2 ?1
………………………13 分

因此直线 A1D1 , A2 D2 交于点 K 在定直线 x ? 1 上.

21、 (本小题满分 13 分)设知函数 f ( x) ?

1 . ? x ? a ln x (a ? R) ( e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数) x

(1)若函数 f ( x) 在定义域上不单调,求 a 的取值范围; (2)设函数 f ( x) 的两个极值点为 x1 和 x2 ,记过点 A( x1, f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k ,是否 存在 a ,使得 k ?

2e a ? 2 ?若存在,求出 a 的取值集合;若不存在,请说明理由. e ?1
2

1 a x 2 ? ax ? 1 解(1) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,并求导 f ( x) ? ? 2 ? 1 ? ? ? , x x x2
/

令 g ( x) ? x 2 ? ax ? 1,其判别式 ? ? a 2 ? 4 ,由已知必有 ? ? 0 ,即 a ? ?2 或 a ? 2 ; ①当 a ? ?2 时, g ( x) 的对称轴 x ?

a ? 1且 g (0) ? 1 ? 0 ,则当 x ? (0,??) 时, g ( x) ? 0 , 2

即 f / ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0,??) 上单调递减,不合题意; ②当 a ? 2 时, g ( x) 的对称轴 x ?

a ? 1 且 g (0) ? 1 ? 0 ,则方程 g ( x) ? 0 有两个不等 x1 和 x2 ,且 2

x1 ? (0,1), x2 ? (1,??) , x1 ? x2 ? 1,
当 x ? (0, x1 ) , x ? ( x2 ,??) 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f / ( x) ? 0 , 即 f ( x) 在 (0, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递减;在 ( x1 , x2 ) 上单调递增; 综上可知, a 的取值范围为 (2,??) ; (2)假设存在满足条件的 a ,由(1)知 a ? 2 . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ………………………6 分

x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? a(ln x1 ? ln x2 ) , x1 x2

所以 k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ln x1 ? ln x2 ?? ?1? a , x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2

若k ?

2e ln x1 ? ln x2 2e a ? 2 ,则 ? 2 ,由(1)知,不妨设 x1 ? (0,1), x2 ? (1,??) 且有 x1 ? x2 ? 1 , e ?1 x1 ? x2 e ?1
2

则得 x1 ? x2 ?

e2 ? 1 1 e2 ? 1 (ln x1 ? ln x2 ) ,即 ? x2 ? ln x2 ? 0, x2 ? (1,??) 2e x2 2e
-6-

……………(*)

设 F ( x) ?

1 e2 ? 1 ?x? ln x ( x ? 1) , x e

并记 x1/ ?

1 e2 ? 1 e2 ? 1 2 1 e2 ? 1 e2 ? 1 2 / [ ? ( ) ? 4 ] , x2 ? [ ? ( ) ? 4 ], 2 2e 2e 2 2e 2e

/ / / 则由(1)②知, F ( x) 在 (1, x2 ) 上单调递增,在 ( x2 ,??) 上单调递减,且 0 ? x1/ ? 1 ? x2 ?e,

又 F (1) ? F (e) ? 0 ,所以当 x ? (1, e) 时, F ( x) ? 0 ;当 x ? (e,??) 时, F ( x) ? 0 , 由方程(*)知, F ( x2 ) ? 0 ,故有 x2 ? e ,
2 又由(1)知 g ( x2 ) ? x2 ? ax2 ? 1 ? 0 ,知 a ? x2 ?

1 1 1 , ? e ? (? y ? x ? 在 [e ? ?) 上单调递增) x x2 e
………………………13 分

又 a ? 2 ,因此 a 的取值集合是 {a | a ? e ? } .

1 e

-7-


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