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201年中学同步教学测试试卷


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绝密★启用前

【解析】设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱

2013 年高三函数测

试试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 四 五 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

则 目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验.
y 80

? x ? y ? 70 ? ?10 x ? 6 y ? 480 ? x, y ? N ?

第 I 卷(选择题)
请修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单项选择

70 (15,55)

70 x

1. 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品. 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千 克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、 乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 【答案】B

0

48

2. 若

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式① a ? b ? ab ;② a ? b ;③ a ? b ;④ a b
) (C) 3 个 (D)

b a ? ? 2 中,正确的不等式有 ( a b
(A)1 个 4个 【答案】B (B) 2 个

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3. 不等式组 ( )

?x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?ax ? y ? 2a ? 0 ?

15 表示的平面区域的面积为 . 2 ,则 a=

4 A. 7

B.1

C.2

D.3 如图阴影部分,

【答案】C 【解析】

1 4. 函数 f(x)=x+ +2 的值域为( x
A.[4,+∞) B.(3 2 ,+∞) C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪[4,+∞) 【答案】D

a 2 ? b 2 表示区域内的动点 P ( a, b) 到原点距离的平方,由图象可知当
)

P 在 D 点 时 , a 2 ? b 2 最 大 , 此 时 a 2 ? b2 ? 42 ? 16 , 原 点 到 直 线

a ? 2b ? 2 ? 0 的距离最小, d ? 即
即 a 2 ? b 2 的取值范围是

?2 1? 2
2

?

4 2 , 所以 a 2 ? b 2 ? d 2 ? , 5 5

4 ? a 2 ? b 2 ? 16 ,选 B. 5
) D. a ? b ? ?2 ab C. a 2 ? b2 ? 2ab

6. 若 a ? b ? 0 ,则下列结论中不恒成立的是( ....
2 2

5. 已知 a , b 是正数,且满足 2 ? a ? 2b ? 4 .那么 a ? b 的取值范围是 ( )

A. a ? b 【答案】D

B.

1 1 ? a b

4 16 4 16 (A) ( , ) (B) ( ,16) (C) (1,16) (D) ( , 4) 5 5 5 5
【答案】B

【 解 析 】 当 a ? ?2, b ? ?1 , a ? b ? ?3 ? ?2 ab ? ?2 2 , 所 以

?2 ? a ? 2b 【解析】原不等式组等价为 ? ,做出不等式组对应的平面区域 ?a ? 2b ? 4

a? b ? 2 ?

a 不恒成立。 b

B 7. 设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R , ? x x ? b ? 2, x ? R . A ? B , 若
则实数 a , b 必满足(
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?

?

?

?

) .

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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A.a ? b ? 3

B.a ? b ? 3

C.a ? b ? 3

D.a ? b ? 3 11. 不等式|x -2x+3|<|3x-1|的解集为______ 【答案】 (1,4) 12. 设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________.
2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】D 【解析】 8. 某产品的产量第一年的增长率为 p,第二年的增长率为 q,设这两年平 均增长率为 x,则有( ) p?q p?q A. x ? B. x ? 2 2 p?q p?q C. x ? D. x ? 2 2 【答案】C

【答案】

2 10 5
3 ·2xy=1, 2

?x ? y ? 2 ? 9. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 x ? 2 y ? a 恒成立,则实数 a ?x ? 1 ?
的取值范围为 ( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,2] C.(-∞,3] D.[-1,3] 【答案】A 【解析】

【解析】 ∵4x2+y2+xy=1, ∴(2x+y)2-3xy=1, 即(2x+y)2-

3 ( 2 x ? y )2 8 2 10 ∴(2x+y) - · ≤1,解之得(2x+y) 2≤ ,即 2x+y≤ . 2 2 5 5
2

13. 设 函 数 f(x)= 是 ) .

?2 x ? ? 2x ? ?x?3

?x ? 2 ? ?x ? 2 ?

, 若 f(x0) > 1, 则 x0 的 取 值 范 围

? x? y?4?0 ? 10. 实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值为( ? x ? 0, y ? 0 ?
A.16 B.4 C.1 D.

【答案】(0,2)∪(3,+∞)
? b 14. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的 m 不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为

1 2

【答案】D



第 II 卷(非选择题)
请修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
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【答案】9 【解析】 由值域为
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,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即

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b?

a2 , 4
2 2 2

1 1 ? y ? mx ? n 上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为 线
【答案】 3 ? 2 2 【 解 析 】 注 意 换 元 法 的 利



a2 ? a? ∴ f ( x) ? x ? ax ? b ? x ? ax ? ??x? ? 。 4 ? 2?

a a a a? ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?
∵不等式 的解集为

2

m?

1 1 1 1 1 n 2 ,? ( ? ? ) ? ?m ( m n 2 m n

n? )

(

? )

?3

?2

a a , ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 , ∴ 2 2

19. 已知函数 g ?x? ? 2 x ,且有 g ?a ?g ?b? ? 2 ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab 的最 大值为 【答案】 .

解得 c ? 9 。 3 15. 建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁 的造价每平方 米 分 别 为 120 元 和 80 元 , 则 水 池 的 最 低 总 造 价 为 元. 【答案】1760 【解析】

1 4

20. 若函数 f ? x ? ? ? ________.

?ax 2 ? 1, x ? 0
3 ? x ,x ?0

,则不等式 f ? a ? ? f ?1 ? a ? 的解集为

?y ? 2 ? 0 ? 16. 已知 x , y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
【答案】25

.

【答案】 (??, ? ) ? ( , ??)

1 2

1 2

评卷人

得分 三、解答题

17. 在等比数列 ?an ?中, an >0,且 a1 ? a2 ????? a7 ? a8 ? 16, 则a4 ? a5 的最小 值为___________. 【答案】 2 2 【解析】 18. 已知复数 (1 ? 2i)i (其中 i 为虚数单位)在复平面上对应的点 M 在直
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21. 已 知 f(x) 是 定 义 在 [—1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 f (1)=1, 若 m,n∈[—1,1],m+n≠0 时有

f ?m ? ? f ?n ? ? 0. m?n

(1)判断 f (x)在[—1,1]上的单调性,并证明你的结论;

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※





2

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(2)解不等式: f ? x ?

? ?

1? ? 1 ? ?? f? ?; 2? ? x ?1?

故?

? t ? 0, ? t ? 0, 或? ?g ?1? ? 0, ? g ?? 1? ? 0.

(3)若 f (x)≤ t 2 ? 2at ? 1 对所有 x∈[—1,1], a ∈[—1,1]恒成立,求实 数 t 的取值范围. 【答案】(1)任取—1≤x1<x2≤1,则 f (x1)—f (x2)= f (x1)+f (-x2)= ∵—1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0, 由已知

解得:t≤—2 或 t=0. 22. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m . (1)求证: ?m? R ,直线 l 与圆 C 恒有两个不同的交点;

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

f ?x1 ? ? f ?? x2 ? ? ?x1 ? x2 ? x1 ? x2

(2)若直线 l 与圆 C 交于 A 、 B 两点, | AB |? 17 ,求直线 l 的方程; (3)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 【答案】 (1)直线 l 恒过定点 (1,1) ,且点 (1,1) 在圆内,所以直线与圆恒有 两个交点. (2) m ? ? 3, ? ?

f ?x1 ? ? f ?? x2 ? >0,又 x1-x2<0, x1 ? x2

∴f (x1)—f (x2)<0,即 f (x)在[—1,1]上为增函数. (2) ∵f (x)在[—1,1]上为增函数,故有

?
3

或? ?

2? ; 3 1 2 1 . 4

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1, ? 1 3 ? ? ? ? 1,由此解得? x ? ? x ? ?1? ??1 ? x ?1 2 ? ? ? 1 1 ?x? ? , ? 2 x ?1 ?
(3)由(1)可知:f(x)在[—1,1]上是增函数,且 f (1)=1,故对 x∈[—l,1], 恒有 f(x)≤1. 所以要使 f(x)≤ t 2 ? 2at ? 1 ,对所有 x∈[—1,1], a ∈[—1,1]恒成立, 即要 t 2 ? 2at ? 1 ≥1 成立,故 t 2 ? 2at ≥0 成立. 记 g( a )= t 2 ? 2at 对 a ∈[—1,1],g( a )≥0 恒成立,只需 g( a )在[—1,1] 上的最小值大于等于零.
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(3)设中点 P( x, y) ,? k PA ? k PO ? ?1,? ( y ? 1) 2 ? ( x ? ) 2 ? 23. 已 知 对 于 任 意 非 零 实 数

m , 不 等 式

| 2m ? 1| ? | 1 ? m |?| m | (| x ? 1| ? | 2 x ? 3 |) 恒成立, 求实数 x 的取值范围.

【答案】 24. 若 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1,求证: (1–a)(1–b)(1–c)≥ 8abc.
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【答案】证明:因为 a、b、c 都是正数,且 a+b+c=1, 所 以 (1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( 2 bc ·2 ac ·2 ab =8abc.

a+b)



28. 若关于 x 的一元二次不等式 ax2 ? 2 x ? c ? 0 的解集是 ? x | ? ? x ? ? , 求不等式 ?cx 2 ? 2 x ? a ? 0 的解集.

? ?

1 3

1? 2?

【答案】 [4, ?) ? 【解析】 2 2 26. 已知关于 x 的方程 x +(m -1)x+m-2=0 的一个根比-1 小, 另一个 根比 1 大, 求参数 m 的取值范围。 【答案】-2<m<0

27. 已知集合 A ? ?x | | x ? a |? 2? , B ? ? x | (1)求集合 A 和集合 B (2)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围.

? ?

2x ? 6 ? ? 1? . x?2 ?

【答案】 29. 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里 (3)如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?

【答案】(1)由 | x ? a |? 2 ,得 a ? 2 ? x ? a ? 2 ,即 A ? (a ? 2, a ? 2) 由

2x ? 6 x?4 ?1? ? 0 ? x ? ?4 或 x ? ?2 , x?2 x?2

即 B ? (??, ?4) ? (?2, ??) (2) A ? B ? R ? ?

?a ? 2 ? ?4 ? ?4 ? a ? ?2 , ?a ? 2 ? ?2

a 的取值范围是 ?4 ? a ? ?2
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

【解析】 25. 现有两个定值电阻, 串联后等效电阻值为 R , 并联后等效电阻值为 r , 若 R ? kr ,则实数 k 的取值范围是 .

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【答案】(1)在△ADE 中,y =x +AE -2x·AE·cos60° ? y =x +AE - x·AE,①
2 2 2 2 2 2

【答案】(1) f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,证明如下: 任 取
x1、x2 ?? ?1,1?

又 S△ADE=

1 3 2 1 S△ABC= a = x·AE·sin60° ? x·AE=2.② 2 2 2
2 2

, 且

x1 ? x2

, 则
)

x1 ? x2 ? 0

, 于 是 有

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

4 2 ②代入①得 y =x + ( ) 2 -2(y>0), ∴y= x 2 ? 2 ? 2 (1≤x≤2). x x
(2)如果 DE 是水管 y= x 2 ? 当且仅当 x2=

f ( x1 ? f x 2 f x ? 1f ? x ) 2 ( ) ( ) ( ? ?0, x1 ? x 2 x ? (? x ) 1 2

而 x1 ? x2 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数 (2)由 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数知:
? ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 ??2 ≤ x ≤ 0 ? ? 1 ? ≤ 1 ? ? x ≥ 2, 或x ≤ 0 ? ?2 ≤ x ? ? 2 , ??1 ≤ x ?1 ? ? ? x ? ? 2, 或1 ? x ? 2 ? 1 ?x ? 1 ? x ?1 ?

4 ? 2 ≥ 2?2 ? 2 ? 2 , x2

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2 . x2 4 (3)如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+ 2 ,可知 x
函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f(x) max=f(1)=f(2)=5. ∴y max= 5 ? 2 ? 3 . 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长 30. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [-1,1] 上 的 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若 任 意 的
a、b ? [?1,1] ,当 a ? b ? 0 时,总有

故不等式的解集为 x ?2 ≤ x ? ? 2 . (3)由(1)知 f ( x) 最大值为 f (1) ? 1 ,所以要使 f ( x) ≤ m2 ? 2 pm ? 1 对所有的
x ? [?1,1] 恒成立,

?

?

f (a) ? f (b) ? 0. a?b

只需 1≤ m2 ? 2 pm ? 1 成立,即 m(m ? 2 p) ≥ 0 成立. ①当 p ? [?1, 0) 时, m 的取值范围为 (??, 2 p] ? [0, ??) ; ②当 p ? (0,1] 时, m 的取值范围为 (??, 0] ? [2 p, ??) ; ③当 p ? 0 时, m 的取值范围为 R.

(1).判断函数 f ( x) 在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2).解不等式: f ( x ? 1) ? f (
1 ); x ?1

(3).若 f ( x) ≤ m2 ? 2 pm ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 恒成立,其中 p ? [?1,1] ( p 是常 数),求实数 m 的取值范围.
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x 31. 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,求 x ? y , x ? 2 y , 的取值范围。 y

y ? g (mx2 ? 2x ? m) ? log1 (mx2 ? 2x ? m)
3

令 u ? m x ? 2 x ? m ,则 y ? log1 u
2

3

当 m ? 0时 ,? y ? log1 u 的定义域为 R,
3

【解析】 30 ? x ? 42

30 ? x ? 42
? 48 ? ?2 y ? ?32

30 ? x ? 42

16 ? y ? 24

1 1 1 ? ? 24 y 16 5 x 21 ? ? 4 y 8

∴?

?m ? 0
2 ?? ? 4 ? 4 m ? 0

,解得 m ? 1 ,综上所述, m ? 1

(2) y ? [ f ( x)] 2 ? 2af ( x) ? 3 ? ( ) 2 x ? 2a ( ) x ? 3

46 ? x ? y ? 66

? 18 ? x ? 2 y ? 10

1 3

1 3

1 32. 已知函数 f ( x) ? ( ) x , 函数 g ( x) ? log 1 x . 3 3

(1)若 g (mx2 ? 2x ? m) 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ???1, 1? 时,求函数 y ? ? f ( x)? ? 2af ( x) ? 3 的最小值 h(a) ;
2

1 1 ? [( ) x ] 2 ? 2a ( ) x ? 3 , x ? [?1,1] 3 3 1 x 1 1 令 t ? ( ) ,则 t ? [ ,3] y ? t 2 ? 2at ? 3 , t ? [ ,3] 3 3 3 1 1 28 ? 6a h 对称轴为 t ? a ,当 a ? 时, (a ) ? y ( ) ? ; 3 3 9 1 当 ? a ? 3时, (a) ? y(a) ? 3 ? a 2 ; h 3
当 a ? 3时, (a) ? y(3) ? 12 ? 6a . h
1 ? 28 ? 6a , a? , ? 9 3 ? 1 ? 2 ? a ? 3, ? ? a ? 3, 3 ? a ? 3. ? ?6a ? 12, ? ?

(3) 是否存在非负实数 m、 n,使得函数 y ? log 1 f ( x2 ) 的定义域为 ? n, m? ,
3

值域为 ?2n,2m? , 若存在,求出 m 、 n 的值;若不存在,则说明理由. 【 答 案 】 (1)

综上所述, h(a) ?

? g ( x) ? log1 x
3

,



2 1 x2 2 2 ? (3) y ? log1 f ( x ) ? log1 ( ) ? x ,假设存在,由题意,知 ?n ? 2n ?

3

3

3

?m 2 ? 2 m ?

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

【答案】 46 ? x ? y ? 66

? 18 ? x ? 2 y ? 10

5 x 21 ? ? 4 y 8

( ? 当 m ? 0时 , u ? 2 x , y ? log1 2 x 的定义域为 0, ?) ,不成立;
3

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?n ? 0 解得 ? ∴存在 n=0,m=2,使得函数 y ? log1 f ( x2 ) 的定义域为 [0,2] , ?m ? 2 3
值域为 [0,4]

又因为 n ? N ,所以 n=2,3,4,??18.即从第 2 年该公司开始获利 。 (3)年平均收入为

25 f (n) =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 , n n

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年 平均获利最大。 【解析】 34. 已知函数 f ( x ) ?

33. 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益 为 21 万元。该公司第 n 年 需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。
费用(万元)

1 2 ax ? 2 x , g ( x) ? lnx . 2

(Ⅰ)如果函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)是否存在正实数 a ,使得函数 ? ? x ? ?

g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 在区 x

an 4 2 1 2 n


间 ( , e) 内有两个不同的零点?若存在, 请求出 a 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 上是单调增函数,符合题

1 e

(1)求 an ;

(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;

(3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大? 【答案】解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差 数列,求得:

an ? a1 ? 2(n ? 1) ? 2n ;
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

f ( n) ? 21n ? [2n ?

n( n ? 1) ? 2] ? 25 ? 20n ? n2 ? 25 , 2
解得 10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3 ,
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2 , a 2 由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调函数,所以 ? ? 1 ,解得 a ? ?2 或 a a ? 0, 综上, a 的取值范围是 a ? 0 ,或 a ? ?2 . lnx ? (ax ? 2) ? (2a ? 1) , (Ⅱ) ? ? x ? ? x 1 因 ? ? x ? 在区间( , e )内有两个不同的零点,所以 ? ? x ? ? 0 , e 1 即方程 ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ? 0 在区间( , e )内有两个不同的实根. e
意.当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? 设 H ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? lnx ( x ? 0) ,
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由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0

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1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a ) ? ? ? x x x
令 H ?( x) ? 0 ,因为 a 为正数,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? ( ,1) 时, H ?( x) ? 0 ,

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,q 是 p 的充分不必要条件,则 0< a ? 2 , ?x ? 2x ? 8 ? 0 ?
且 3a ? 3 .所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 36. 设 命 题 p: 关 于 x 的 不 等 式 a x ? 1 0 ? a ? 1, a ? 1) 解 集 是 的 ( 或

1 (舍) 2a

H ( x ) 是减函数;

当 x ? (1, e) 时, H ?( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数. 为满足题意,只需 H ( x ) 在( , e )内有两个不相等的零点, 故

?x | x ? 0?,命题 q:函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域为 R.
(1)如果“p 且 q”为真,求实数 a 的取值范围; (2)如果“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)若 p 真,即 0 ? a ? 1 ,若 p 假,即 a ? 1 ; 若 q 真,即 a ?

1 e

? 1 ? H ( e ) ? 0, ? e2 ? e 1? a ? ? H ( x)min ? H ?1? ? 0, 解得 2e ? 1 ? H (e) ? 0, ? ?
35. (1)写出命题“ p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0 的否定形式(非 p) (2)设 p:实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足

1 1 ,若 q 假,即 a ? . 2 2

?0 ? a ? 1 ? 而“p 且 q”为真,即 p 真且 q 真,所以 ? , 1 a? ? ? 2
所以实数 a 的取值范围是: {a | ( 2 ) 依 题 意 ,p,q

1 ? a ? 1} ; 2

? x ? x ? 6 ? 0, ? 若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. ? 2 ? x ? 2 x ? 8 ? 0. ?
2

一 真 一 假 , 即 ?

? p真

? p假 ,或 ? , 亦 即 ?q假 ?q真

【答案】(1)命题的否定: ?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0 (2)由 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

?0 ? a ? 1 ? a ? 1 ? ? ? 1 ,或 ? 1 , a? a? ? ? ? 2 ? 2
所以实数 a 的取值范围是: {a | 0 ? a ?

1 , 或a ? 1} . 2

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

1 e

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????○????外????○????装????○????订????○????线????○????

????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

37. 奇函数 f ( x)的定义域为 ,且在 0, ?) 上是增函数,当 0 ? ? ? R [ ?

?
2

(1)求 a , b 的值. (2)设函数 g (x)= 的 x 值. 【答案】解: (1)∵不等式 方程 ax -3x+b=0 的根.
2

时,是否存在实数 m,使 f (cos2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos? ) ? f (0) 对所有 的 ? ? [0, ] 均成立?若存在,求出适合条件的所有实数 m;若不存在,说

f ( x) , x ? 1, 2 ,求函数 y=g (x)的最小值及对应 x2
f ( x) x

? ?

?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2

明理由.

<0 的解集为{x∣1<x<2},∴1 和 2 是

f 【答案】易知 f ( x)在R上递增,且 (0) ? 0 ,
f (cos2? ? 3) ? f (4m ? 2m cos2? ) ? 0

b ? ?1?2= a ? ? ?1+2= 3 a ? 则?

,得:
g ( x)=

1 ?a= ? ?b=2

. -3

? f (cos2? ? 3) ? ? f (4m ? 2m cos? ) ? f (cos2? ? 3) ? f (2m cos? ? 4m) ? cos 2? ? 3 ? 2m cos? ? 4m ? cos2 ? ? m cos? ? 2m ? 2 ? 0

(2)函数

f ( x) x 2-3x+2 2 = =x+ -3 x2 x x ≥2 2

当且仅当 x= 2 时取“=”号.注意到 2 ∈[1,2] , 所以函数 y=g(x)的最小值是 2 2 -3,对应 x 的值是 2 . 【解析】 39. 如图,将圆分成 n 个区域,用 3 种不同颜色给每一个区域染色,要 求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为 an .求 (1) a1 , a2 , a3 , a4 及 an 与 a n ?1 (n ? 2) 的关系式; (2)数列 ?an ? 的通项公式 an ,并证明: an ? 2n(n ? N * ) .

令 cos? ? t,则0 ? t ? 1。由题设,在 0,上,不等式 [ 1] t 2 ? m t ? 2m ? 2 ? 0恒成立,从而 m ? m ? ? ? ?0 ?1 ? ? m ? 4(2m ? 2) ? 0或? 2 或? 2 ?2m ? 2 ? 0 ?1 ? m ? 2m ? 2 ? 0 ? ?
2

故m ? 4 ? 2 2。
因此,满足条件的实数 m 存在,它可取 (4 ? 2 2, ?) 内的一切值. ?

38. 设 函 数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? bx , 已 知 不 等 式

f ( x) <0 的解集是 x

? x 1 ? x ? 2? .
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【答案】 (1) 当 n ? 1 时,不同的染色方法种数 a1 ? 3 , 当 n ? 2 时,不同的染色方法种数 a ? 6 , 当 n ? 3 时,不同的染色方法种数 a ?6 , 当 n ? 4 时,分扇形区域 1,3 同色与异色两种情形∴不同的染色方法种数
2
3

故 an ? 2n(n ? N * )

40. (I)若正数 a,b 满足 a ? b ? s, 令a ?

s s ,b ? ,证明:xy ? 1; x ?1 y ?1
? 9 ? . b 2
案 】

a4 ? 3 ?1? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1?1 ? 18

.
n

(II)设正数 a,b 满足 a ? 2b ? 2, 求证: ?

1 a

依次对扇形区域 1, 2,3,?, n, n ? 1 染色,不同的染色方法种数为 3 ? 2 ,其中 扇形区域 1 与 n ? 1 不同色的有 an ?1 种,扇形区域 1 与 n ? 1 同色的有 a n 种. ∴
an ? an ?1 ? 3 ? 2n ? n ? 2? an ? an ?1 ? 3 ? 2n ? n ? 2?





(2)∵

2 ∴ a2 ? a3 ? 3 ? 2

a3 ? a4 ? 3 ? 23

n ?1 ?????? , an ?1 ? an ? 3 ? 2

将上述 n ? 2 个等式两边分别乘以 ?
a2 ? ? ?1?
n ?1 2 3

?1? ? k ? 2,3,?, n ? 1?
k
n ?1

,再相加,得
n ?1

an ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? ? ?1?

?2

n ?1

22 ?1 ? ? ?2 ? ? 3? ? 1 ? ? ?2 ?

? ?





an ? 2 ? 2 ? ? ?1?
n

n

,从而

?3, ? n ? 1? ? an ? ? n n ?2 ? 2 ? ? ?1? , ? n ? 2 ? ?

.

证明:当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 2 ?1
an ? 2n ? 2 ? ? ?1? ? ?1 ? 1? ? 2 ? ? ?1?
n n n

当 n ? 2 时, a2 ? 6 ? 2 ? 2 ,当 n ? 3 时,
n

?1? n ? C ? C ??? C
2 n 3 n

n?2 n

? n ? 1 ? 2 ? ? ?1?

? 2n ? 2 ? 2 ? ? ?1? ? 2n

n

41. 如图, ?ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3 (百米),底 AB 的长为 4 (百米).现决定在该空地内筑一条笔直的小路 EF (宽度不计), 将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长 相等、面积分别为 S1 和 S 2 .
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

(1) 若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; (2) 求

S1 的最小值. S2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________









42. 函数 f ( x) ? 的值.

(1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 的定义域为 [?2,1] ,求实数 a

【答案】等价于不等式 (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 ? 0 的解集为 [?2,1] , 显然 1 ? a 2 ? 0
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?1 ? a 2 ? 0且x1 ? ?2 、 x2 ? 1 是方程 (1 ? a 2 ) x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6 ? 0 的两根,
? ?a ? ?1或a ? 1 ?a ? ?1或a ? 1 ? 3(a ? 1) ? ? ? ? x1 ? x 2 ? ? ?1 ? ?a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a 的值为 a=2. 2 1? a ? ?a 2 ? 4 ? 6 ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? a 2 ? ?2 ?
43. 某水泥预制厂有一批钢筋,每根长度为 12m,要截成 50 ㎝和 60 ㎝的 两种毛胚,且这两种毛坯数量比大于

?50 x ? 60 y ? 1200, ? ?x 1 目标函数 z ? 50 x ? 60 y , ? ? ?y 3 ? x, y ? N , ?
经验证:当 50 x ? 60 y ? t 经过(6,15)时最合理, 即 50 ㎝毛坯 6 根,60 ㎝毛坯 15 根最合理. 44. 已知集合 A={x|x2-(3a+3)x+2(3a+1)<0,x∈R}, 集合 B= ? x |

? ?

x?a ? 0, x ? R x ? (a 2 ? 1)

? ?x?x-?a2+1?<0,x∈R ?

? ? ?

x-a

? ?. ?

1 ,怎样截最合理? 3

(1)当 4?B 时,求实数 a 的取值范围; (2)求使 B?A 的实数 a 的取值范围. 【答案】(1)若 4∈B,则 ∴当 4?B 时,实数 a 的取值范围为 ∪[4,+∞).

(2)∵A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},B={x|a<x<a2+1}. ①当 时,A=(3a+1,2),

29 题图

【答案】本题是一道整点最优解总是先用最优解的方法,求可行域和目 标函数,然后在可行域上求满足条件的最优解. 设每根钢筋截 x 根 50 ㎝的毛坯和 y 根 60 ㎝的毛坯.

要使 B?A,必须 ②当 a= 时,A=?,使 B?A 的 a 不存在. ③当 时,A=(2,3a+1),

要使 B?A,必须
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此时 2≤a≤3.

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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(Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f(x)最大值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f(x)≥0. 综上可知,使 B?A 的实数 a 的取值范围是 【解析】 【答案】 11. 【题文】 已知集合 A={x|x>1}, B={x|x2-2x<0}, A∩B=________. 则 【答案】{x|1<x<2} 【解析】B={x|0<x<2},A∩B={x|1<x<2}. 45. 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子 棉 2 吨、二级子 棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨,每 1 吨甲种 棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中 要求消耗一级子棉不 超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精 确到吨),能使利润 总额最大? 【答案】解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,
?2 x ? y ? 300 ? 那么 ? x ? 2 y ? 250,z=600x+900y. ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
y

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【答案】 47. 某加工厂需要定期购买原材料,已知每公斤材料的价格为 1.5 元,每 次购买原材料需支付运费 600 元.每公斤原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需要消耗原材料 400 公斤,每次购买的原材料当天即开始使 用(即有 400 公斤不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内
x+2y=250

2x+y=300

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上 方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点 距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组
?2 x ? y ? 300,得 M 的坐标为 x= 350 ≈117,y= 200 ≈67. ? 3 3 ? x ? 2 y ? 250

50 50

总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式;
x

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用

y

最少,并求出这个最少(小)值.

【答案】⑴每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用

答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大. 【解析】 46. 已知函数 f(x)=|x-a|-2|x-1|(a∈R).
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y1 ? 400? 0.03?1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( x ? 1)? ? 6x 2 ? 6x(元)
⑵ 由 ⑴ 可 知 购 买 一 次 原 材 料 的 总 的 费 用 为
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????○????内????○????装????○????订????○????线????○????

6x 2 ? 6x ? 600? 1.5 ? 400x(元)
所以购买一次原材料平均每天支付的总费用

98 y 98 98 ? ?2 x ? ? 40 ? ?2 2 x ? ? 40 ? 12 ,当且仅当 2x ? ,即 x ? 7 x x x x
时,年平均利润最大,共盈利 12 ? 7 ? 26 ? 110 万元 第二种:盈利总额 y ? ?2( x ? 10)2 ? 102 ,当 x ? 10 时,取得最大值 102 , 即经过 10 年盈利总额最大,共计盈利 102 ? 8 ? 110 万元两种方案获利相 等,但由于方案二时间长,采用第一种方案 【解析】 49. 已知定点 P(6, 4) 与定直线 l1 : y ? 4x , P 点 的直线 l 与 l1 交于第一 过 象限 Q 点, x 轴正半轴交于点 M , 与 求使 ?OQM 面积最小的 直线 l 方程.

1 600 y ? (6 x 2 ? 6 x ? 600 ? 1.5 ? 400 x) ? ? 6 x ? 594 x x

y?2


600 600 ? 6 x ? 594 ? 714 ? 6x x .当且仅当 x ,即 x ? 10 时,取等

号. ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最少,为 714 元. 48. 国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,环保节能的产品供不应 求.为适应市场需求,某企业投入 98 万元引进环保节能生产设备,并马 上投入生产.第一年需各种费用 12 万元,从第二年开始,每年所需费用 会比上一年增加 4 万元. 而每年因引入该设备可获得年利润为 50 万元. 请 你根据以上数据,解决以下问题: (1)引进该设备多少年后,该厂开始盈利? (2)若干年后,因该设备老化,需处理老设备,引进新设备.该厂提出 两种处理方案: 第一种:年平均利润达到最大值时,以 26 万元的价格卖出. 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出.问哪种方案较为 合算? 【答案】解: (1)设引进该设备 x 年后开始盈利.盈利额为 y 万元. 则 y ? 50 x ? 98 ? [12 x ?

【答案】设 Q(a, 4a)(a ? 0) ① a ? 6 时, lPQ : y ? 4 ? 令 y ? 0 , 得 xM ?

4a ? 4 ( x ? 6) a?6

x( x ? 1) ? 4] ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98 , 令 y ? 0 , 得 2
,∵ 5 1 x ? N * ,∴ 3 ? x ? 17 .

?4(a ? 6) 5a ?6? ? 0故a ?1 4a ? 4 a ?1

1 0?

51 x ? 10 ? ?

S?OQM ?
利 为

即引进该设备三年后开始盈利 ( 2 ) 第 一 种 : 年 平 均 盈

1 10a 2 1 yQ ? xM ? ? 10(a ? 1 ? ? 2) 2 a ?1 a ?1

y x




a ?1 ?

1 1 ? 2 ,10(a ? 1 ? ? 2) ? 40(当且仅当 a ? 2 时取 “=” 号) a ?1 a ?1
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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所以当 a ? 2 时, (S?OQM )min ? 40 ②当 a ? 6 时, S?OQM ?

1 1 yQ ? xM ? ? 6 ? 24 ? 72 ? 40 2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

由①②得,当 a ? 2 时,(S?OQM )min ? 40 ,此时 Q(2,8) ,lPQ : x ? y ?10 ? 0 50. 已 知 集 合
) 2

3 x? ? ? ?1? x2 ? 2 x ? A ? ?x | 2 ?? ? ?2? ? ?

1 ? 3 ? ( ? ? ? , B ? ? x | log 1 (9 ? x ) ? log 1 (6 ? 2 x) ? , ? 3 3 ? ? ?

又 A ? B ? x | x 2 ? ax ? b ? 0 ,求 a ? b 等于多少?

?

?

【答案】 2

x 2 ? 2 x ?3

?1? ?? ? ? 2?

3( x ?1)

? 23?3 x , x2 ? x ? 6 ? 0, ?3 ? x ? 2, A ? ? ?3, 2 ?

?9 ? x 2 ? 0 ? , ?1 ? x ? 3, B ? (?1,3) , A ? B ? (?1, 2) ?6 ? 2 x ? 0 ?9 ? x 2 ? 6 ? 2 x ?
方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个根为 ?1 和 2 ,则 a ? ?1, b ? ?2

? a ? b ? ?3

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参考答案

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