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2.3等差数列的前n项和1

时间:2016-05-17


问题情景:
泰姬陵坐落于印度古都阿格, 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰 罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮 观,纯白大理石砌建而成的主体 建筑叫人心醉神迷,成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝 . 传说陵寝中 有一个三角形图案,以相同大小 的 圆 宝 石 镶 饰 而 成 , 共 有 100 层 (见左图),奢靡之程度,可见 一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝 石吗?

实例探究:
高斯(1777—1855) 德国著名数学家。

1+2+3+…+98+99+100=?
高斯10岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢?

问题:如何求一般等差数列的前n项和

一、数列前n项和的意义:
设数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an ,… 我们把a1+a2 + a3 + … + an叫做 数列{ an }的前n项和,记作Sn.

二、等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2

形式2:

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

公式应用
例1.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小 学实施校校通工程的通知》。某市据此提出了实 施“校校通”工程的总体目标:从2001年起用10 年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。 据测算,2001年该市用于“校校通”的工程经费 为500万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年 投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001 年起的未来10年间,该市“校校通”工程中的总 投入是多少?

解:根据题意,从 2001 ~ 2010 年, 该市每年投入“校校通”工程的经费都比 上一年增加50万元。所以,可以建立一个 等差数列{ an },表示从2001年起各年投入 d ? 50 的资金,其中, a1 ? 500, 那么,到2010年(n=10),投入的 资金总额为 10 ? (10 ? 1) S ?10?500 ? ?50 ? 7250 10 2
答:从2001~2010”年,该市在“校校 通”工程中的总投入是7250元.

公式应用
例 2. 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ,前 20 项的和是 1220 ,由此可以确 定求其前n项和的公式吗? 分析:若要确定其前n项求和公式,则 要确定 a1和d. 由已知条件可获两个关于 和的关系式,从而可求得 a1 d

n ( n ? 1) ?Sn ? 4n ? ? 6 ? 3n2 ? n 2

课堂练习
练习1.等差数列-10,-6,-2, 2,· · · · · · · 前多少项和是54 ?
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. 设 Sn= 54,


n( n ? 1) ? 10n ? ·4 ? 54 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

n2-6n-27=0 得 n1=9, n2=-3(舍去)。 因此等差数列 -10,-6,-2,2, · · · · · · ·前9项和是54。

练习 2. 根据下列条件,求相应的等差数列

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
S10

?an ? 的 Sn

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;
S50

10 ? (5 ? 95) ? ? 500. 2

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, 0.7

50 (50 ? 1) ? 50 ? 100? ? ( ?2) ? 2550 2

S26

26 ? (14.5 ? 32) ? ? 604.5. 2

1.等差数列前n项和Sn公式的推导;
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.

n( n ? 1) n(a1 ? an ) Sn ? na1 ? d Sn ? 2 2
说明:两个求和公式的使用-------知三求一.

3. 在等差数列 {an} 中,如果已知五
个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三 个, 可以求出其余两个量 .

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2
结论:知 三 求 二

an ? a 1 ? ( n ? 1)d

解题思路一般是:建立方程(组)求解

P52

习题2.3A组 1,2,3


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