nbhkdz.com冰点文库

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准

时间:2013-01-02


2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 选择题( 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m 2 + n 2 = a , x 2 + y 2 = b ,其中 a,b 为常数,那 么 mx+ny 的 答:[B] A.
a+b 2









B.

ab

C.

a2 + b2 2

D.

a2 + b2 2

解 由柯西不等式 (mx + ny ) 2 ≤ (m 2 + n 2 )( x 2 + y 2 ) = ab ;或三角换元即可得到
mx + ny ≤ ab ,当 m = n =

a b ,x= y= 时, mx + ny = ab . 选 B. 2 2

?1 1? 2. 设 y = f ( x) 为指数函数 y = a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中, ?2 4?

函数
y = f (x) 与 其 反 函 数 y = f ?1 ( x) 的 图 像 的 公 共 点 只 可 能 是 点

答:[D] A. P B. Q C. M
1

D. N
1



1 ? 1 ?2 1 ? 1 ?4 1 取 a = ,把坐标代入检验,Q ? ? = ,而 ? ? = ,∴公共点只 16 4 2 ? 16 ? ? 16 ?

可能是 点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列 成等比 数 答:[A] A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 列 , 那 么
1 0.5

x+ y+z
2 1







x
y
z

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿



第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的
5 3 , z = ,则 x + y + z = 1 . 选 A. 16 16

x = 0 .5 , y =

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C 2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C 2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C 2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C 2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C 2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是

锐角三角形;若 ?A2 B2 C 2 是锐角三角形,则不妨设
?π ? cos A1 =sin A2 =cos ? ? A1 ? , ?2 ? ?π ? cos C1 =sin C 2 =cos ? ? C1 ? . ?2 ? ?π ? cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ?


A1 = A1 + B1 + C1 =

π
2

? A2 , B1 =

π
2

? B2 , C1 =

π
2

? C2 ,



3π ? ( A2 + B2 + C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? α , b ? β ,且 α ⊥ β ” 的 答: [D] A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对 平 面

α



β

解 任作 a 的平面 α ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 α 的垂 线. b 与

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

垂线确定的平面 β 垂直于 α . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 填空题( 6. 设集合 A = x x 2 ? [x] = 2 和B = {x x < 2},其中符号 [x ] 表示不大于 x 的最大整 数,则 A I B = ? 1, 3 . 解 ∵ x < 2 , [x ] 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x 2 = 0 无解; 当[x]=0,则 x 2 = 2 无解; 所以 x = ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P = 成既约 分数).
91 ?5? . 解 考虑对立事件, P = 1 ? ? ? = 216 ?6?
3

{

}

{

}

当[x]= ? 1 ,则 x 2 = 1 ,∴x= ? 1 ; 当[x]=1,则 x 2 = 3 ,∴ x = 3 .

91 (结果要求写 216

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, + 2OB + 2OC = 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5: OA 1.
解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同, 高是 5:1. 故面积比是 5:1.

A O B C

9. 与 圆 x 2 + y 2 ? 4 x = 0 外 切 , 且 与 y 轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为

y 2 = 8 x( x > 0) 或
y = 0( x < 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x = ?2 为准线的抛物线 上的点;若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2 = 8 x( x > 0) , 或 y = 0( x < 0) .

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

a 2 + b2 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =3. c2 解 切割化弦,已知等式即
sin A sin B sin A sin C sin B sin C , = + cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B sin( A + B ) sin A sin B cos C ab cos C = ,即 =1,即 = 1. 2 sin C cos C sin C c2 a2 + b2 ? c2 a2 + b2 = 1 ,故 = 3. 2c 2 c2

所以,

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 解答题( 11. 已知函数 f ( x) = ?2 x 2 + bx + c 在 x = 1 时有最大值 1,0 < m < n ,并且 x ∈ [m, n]
?1 1 ? 时, f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

解 由题 f ( x) = ?2( x ? 1) 2 + 1 , 分
∴ f ( x ) ≤ 1 ,∴

……5

1 ≤ 1 ,即 m ≥ 1 ,∴ f ( x)在[m, n] 上单调减, m 1 1 且 f (n) = ?2(n ? 1) 2 + 1 = . m n

∴ f (m) = ?2(m ? 1) 2 + 1 =

……

10 分

∴ m ,n 是方程 f ( x) = ?2( x ? 1) 2 + 1 =

1 的两个解,方程即 x

( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) =0,

解方程,得解为 1,

1+ 3 1? 3 , . 2 2 1+ 3 . 2

∴1 ≤ m < n ,∴m = 1 , n =

……

15 分 12. A、B 为双曲线
x2 y2 ? = 1 上的两个动点,满足 OA ?OB = 0 。 4 9

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

1

(Ⅰ)求证:
OA

2

+

1
2

为定值;

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB = 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cosθ , r sin θ ) ,B 的坐标为 (r ′ cos θ ′, r ′ sin θ ′) , 则 r = OA ,

? cos 2 θ sin 2 θ ? r ′ = OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? ? 4 ? 9 ? = 1. ? ? ?
1 cos 2 θ sin 2 θ = ? . 4 9 r2

所以 5分

……

由 OA ? OB = 0 得 OA ⊥ OB ,所以 cos 2 θ ′ = sin 2 θ , cos 2 θ = sin 2 θ ′ . 同理,
1 cos 2 θ ′ sin 2 θ ′ sin 2 θ cos 2 θ = ? = ? , 4 9 4 9 r ′2

1
所以

| OA |
10 分

2

+

1 | OB |
2

=

1 1 1 1 5 + 2 = ? = . 2 4 9 36 r r'

……

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP × AB = OA × OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP × AB = OA × OB ,即 OP × ? OA + OB ? = OA × OB . ? ? ? ?

? ? 2 2 ? 1 1 ? ?1 1? ? 5? 即 OP × ? + = OP × ? ? ? = OP × ? ? = 1 . 2 2 ? ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

于是, OP =
2

36 . 5

6 5 即 P 在以 O 为圆心、 为半径的定圆上. 5

……15

分 13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射 线

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

DC 在平面 N 内. 已知 ∠BDC = α ,∠BDA = β ,∠CDA = γ , α ,β ,γ 都 且 是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 α , β ,γ 的三角函数值表 示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
AB = tan β , DB =
B M N C A D

1 , cos β 1 , cos γ ……5

AC = tan γ ,DC = 分

并且 ∠BAC = ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 10 分 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式 BC 2 =
所以,

……

1 1 2 + ? cos α = tan 2 β + tan 2 γ ? 2 tan β tan γ cos ? , 2 2 cos β cos γ cos β cos γ

2 tan β tan γ cos ? = tan 2 β + tan 2 γ ? = 15 分
故得到 cos ? =

1 1 2 ? + cos α 2 2 cos β cos γ cos β cos γ
……

2(cos α ? cos β cos γ ) , cos β cos γ

cos α ? cos β cos γ . sin β sin γ

……20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每
行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿

能,请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 分 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3 1+1+ 2+1+ 2+1 =219·38 不是立方数,故 不能. (Ⅱ)可以. 15 分 如右表 ……5

36 8 6

2 12 72

24
……

18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23. 分

… … 20

一切为了学生的发展

一切为了家长的心愿


2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(7)一、填空题...

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分 30 ...

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评...

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准隐藏>> 2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参...

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-...- 8-4 - 2007 年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准一、选择题(...

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案

2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准 2005 年 04 月 03 日 说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 ...

100测评网2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

100测评网2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。...2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 参考答案及评分标准一、选择题(本题...

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及解答

2005 , 求 n 的 3 2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 ...

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

并说明理由. 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 2 页共 7 页 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案评分细则一、填空题(本题共 10 小题,...

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年...共 13 页第 5 页 2007 年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准一...

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

? 为有理数. 2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. ...