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排列组合知识点 总结

时间:2013-07-26


排列组合 二项式定理 1, 分类计数原理 完成一件事有几类方法, 各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法 (每一种都可以独立的完成这个事情) 分步计数原理 完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2,排列 排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素(被取出的元素各不相同) , 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义;从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有排列的个数
m n

A

m n

公式

A

=

n! 规定 0!=1 (n ? m)!

3,组合 组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素的所有组合个数
m n

C

m n

C

=

n! m !(n ? m)!

性质

C =C
n

m

n?m n

C

m n ?1

? Cn ?Cn
m

m ?1

习题
一.直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位 数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。
2 分析: (1)个位和千位有 5 个数字可供选择 A5 ,其余 2 位有四个可供选择 A4 ,由乘 2 法原理: A5 A4 =240
2 2

2.特殊位置法
3 (2)当 1 在千位时余下三位有 A5 =60,1 不在千位时,千位有 A4 种选法,个位有 A4
2 1 1 2 1 1

种,余下的有 A4 ,共有 A4 A4 A4 =192 所以总共有 192+60=252 二 间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法
4 3 2 A6 ? 2 A5 ? A4 =252

Eg 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任

意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
3 3 分析: :任取三张卡片可以组成不同的三位数 C5 ? 23 ? A3 个,其中 0 在百位的有
2 2 C4 ? 2 2 ? A2 个 , 这 是 不 合 题 意 的 。 故 共 可 组 成 不 同 的 三 位 数 2 2 3 3 C5 ? 23 ? A3 - C4 ? 2 2 ? A2 =432

Eg 三个女生和五个男生排成一排 (1) 女生必须全排在一起 有多少种排法( 捆绑法) (2) 女生必须全分开 (插空法 须排的元素必须相邻) (3) 两端不能排女生 (4) 两端不能全排女生 (5) 如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法 二.插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺 序,有多少中插入方法? 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有
1 1 A9 ? A10 =100 中插入方法。

三.捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 1. 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中, 若使每个盒子不空, 则不同的放法有
2 3 ( C4 A3 )



,2,某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有 一所学校人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排
1 19 方法有( C29 ? A28 ) (注意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一 1 个整体来选有 C 29 其余的就是 19 所学校选 28 天进行排列)

四.阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法 例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少 一人,名额分配方案共 种 。 分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有 C11 种 五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理,各有几种分发? (1) 平均分成三堆, (2) 平均分给甲乙丙三人 (3) 一堆一本,一堆两本,一对三本 (4) 甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案) (5) 一人的一本,一人的两本,一人的三本
7

3 分析:1,分出三堆书(a1,a2),(a3,a4), 5,a6)由顺序不同可以有 A3 =6 种,而这 6 (a
2 2 2 C6 C 4 C 2 =15 种 3 A3

种分法只算一种分堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有

2,六本不同的书,平均分成三堆有 x 种,平均分给甲乙丙三人 就有 x 3,

A

3 3


2 3 3

CCC
6 4

2

2

2 2 1 2 3 3

CCC
6 5

1

5,

A CCC
3 6 5

3

五. 合并单元格解决染色问题 Eg 如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一颜 色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答) 。 分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色 方法相当于 4 个元素
2,4 ①③⑤的全排列数

A

4 4 4 4

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得

A

种着色法.

(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格 2,4 ① 3,5 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 由加法原理知:不同着色方法共有 2 练习 1(天津卷(文) )将 3 种作物种植 1 2 3 4 5
4 4

C ? A 种方法.
3 3 3 4 3 3 3 4

A ? C A =48+24=72(种)

在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72) 2.某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3) ,现要栽种 4 种颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话, 不同的栽种方法有 种 (以数字 作答)(120) .
5 6 2 1 3 4

B A C D E

图3 图4 3.如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但 同一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数. (540)

4.如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须 穿同种颜色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同 A 与否不受限制,那么不同的着色方法是 种(84)
4 1 2 3

B C D

E

图5 图6 5.将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种 颜色可供使用,则不同的染色方法共 种(420)


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