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2015年全国高中数学联赛模拟卷二试

时间:2015-08-20


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分) C 在 Rt ?ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高,记 I1 , I 2 , I 分 P 别是△ADC, △BCD,△ABC 的内心, I 在

AB 边上的射 ?CAB, ?ABC 的角平分线分别交 BC , AC 于 影为 O1 , Q I P, Q ,且 PQ 的连线与 CD 相交于 O2 ,求证:四边形 I2

I1O1 I 2O2 为正方形.

A

I1 D O1

B

二、 (本题满分 40 分)给定正数 a, b, c, d, 证明: a3 ? b3 ? c3 b3 ? c3 ? d 3 c3 ? d 3 ? a3 d 3 ? a 3 ? b3 ? a2 ? b2 ? c2 ? d 2 . ? ? ? a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 三、 (本题满分 50 分)设 k ? N ? ,定义 A1 ? 1 , An ?1 ?
nAn ? 2(n ? 1) 2 k , n ? 1,2,? n?2 证明:当 n ? 1 时, An 为整数,且 An 为奇数的充要条件是 n ? 1或2(mod4)

四、 (本题满分 50 分)试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之
和是 7 的倍数. 一.证明:不妨设 BC ≥ AC ,由 ?ADC ~ ?CDB 且 I1 , I 2 分别是其内心,得 且 ?I1 DI 2 ?

AC I1D ? BC I 2 D

1 ?ADB ? 900 ? ?ACB ,所以 ?DI1I 2 ~ ?CAB 则 ?I 2 I1D ? ?CAB ① 2 Rt ?ABC 的三边长为 a, b, c ,I1 , I 2 在 AB 边上的射影为 E , F , 设 ?ADC, ?BCD 的内切圆半径分别为 r 1, r 2, x ? z ?b y? z?a b?c?a , r2 ? , AO1 ? 并且 AD ? x, BD ? y, CD ? z ,则 r1 ? , 2 2 2 b?c?a y ? z ?a x ? z ?b ?x? ? ? r2 ? r1 , 所以 DO1 ? AO1 ? AD ? 2 2 2 , I1E ? r1 ? r2 ? (r2 ? r1 ) ? DF ? DO1 ? O1F , EO1 ? r 1? (r 2? r )1? r ? 2 I F2 ? 因此 ?I1EO1 ? ? ?FO1I 2 . ? O1I1 ? O1I 2 且 ?I1O1I 2 ? ? ? ?I1O1E ? ?I 2O1F ? ? ? ?O1I 2 F ? ?I 2O1F ? ,② 2 则 D, O1 , I 2 , I1 四点共圆 ? ?I 2O1F ? ?I 2 I1D ? ?CAB (由①知)所以 O1I 2 // AC , 同理 O1I1 // BC ,

1 (b ? c ? a) CQ BC CQ BC ab AI1 AO1 2 b?c?a ? ? ? ? CQ ? ∴ ,又由角平分线性质得 ? ? ? QA BA QA ? CQ BA ? BC a?c I1P BO1 1 (c ? a ? b) c ? a ? b 2 1 CQ ? CO2 sin ?ACD ab QO2 S?CQO2 2 b?c b 同理 CQ ? ,另一方面 , ? ? ? b?c O2 P S?CPO2 1 CP ? CO sin ?BCD a ? c a 2 2 C AI1 QO2 b ? c ? a b(b ? c) 又 O2 I1 // CA ? , ? ? ? I1P O2 P c ? a ? b a (a ? c ) P 而 a(a ? c)(b ? c ? a) ? b(b ? c)(c ? a ? b) Q I

? a(ab ? ac ? a2 ? cb ? c2 ? ac) ? b(bc ? ba ? b2 ? c2 ? ac ? bc) ? a(ab ? b2 ) ? b(ba ? a 2 ) ? 0 ,

I2 A I1 D O1 B

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所以 O2 I1 // CA ,

同理 O2 I 2 // BC ,

所以四边形 I1O1I 2O2 为平行四边形,由②知四边形 I1O1I 2O2 为正方形. 二.解:由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数 下式成立

因为如果上式成立, 则原式的左边不小于

不失一般性, 可以在 的假设下证明上述不等式. 如果 , 只要将不等式两边同除 , 令 于是问题转化成下列被修改的问题:给定满足条件 此不等式证明如下: 的正数 证明

三.证明:注意到 (n ? 2) An?1 ? nAn ? 2(n ? 1) 2k

(n ? 1) An ? (n ? 1) An?1 ? 2n 2k

得 (n ? 2)(n ? 1) An?1 ? (n ? 1)nAn?1 ? 2(n ? 1) 2k ?1 ? 2n 2k ?1 反复运用上式,得 An ? 得 2 S ( n) ?
n

2 S ( n) ,其中 S (n) ? 1t ? 2t ? ? ? n t , t ? 2k ? 1 n(n ? 1)
n i ?1

?[(n ? i) t ? i t ] ? ?[(n ? 1 ? i) t ? i t ] ,从而可知 n(n ? 1) | 2S (n) ,因此 An (n ? 1) 是整数.
i ?0

(1)当 n ? 1或2(mod4) 时,由 S (n) 有奇数个奇数项知 S (n) 为奇数,所以 An 为奇数. (2)当 n ? 0(mod4) 时, ( ) ? 0(mod 4) ,
t

n 2

n ? i t ] ? ( ) t ? 0(mod4) ,所以 An 为偶数 2 i ?0 n ?1 t ) ? 0(mod 4) , (3)当 n ? 3(mod4) 时, ( 2
故 S (n) ?

?[(n ? i)
n ?1 2 i ?1

n 2

t

故 S ( n) ?

?[(n ? 1 ? i)

t

? it ] ? (

n ?1 t ) ? 0(mod4) ,所以 An 为偶数 2

综上所述,命题成立,证毕. 四.解:首先,我们可以指出 12 个连续正整数,例如 994,995,?,999,1000,1001,?,1005,其中任 一数的各位数字之和都不是 7 的倍数,因此, n ? 13 . 再证,任何连续 13 个正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.对每个非负整数 a ,称如下 10 个数所构成的集合: Aa ? {10a,10a ? 1,?10a ? 9}为一个“基本段” ,13 个连续正整数,要么属于两个基 本段,要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时,据抽屉原理,其中必有连续的 7 个数,属于 同一个基本段; 当 13 个连续数属于三个基本段 Aa ?1 , Aa , Aa ?1 时, 其中必有连续 10 个数同属于 Aa .现在设

ak ak ?1 ?a1a0
k

ak ak?1 ? a ( a ? 1) ? , a 1 0 k ?a k? 1
k k i ?0 i i ?0 i i ?0 i

7 个数,它们的各位数 a a 6) 1( ? 0 是属于同一个基本段的

字之和分别是

? a , ? a ? 1,?, ? a ? 6, 显然,这 7 个和数被 7 除的余数互不相同,其中必有一个是 7

的倍数.因此,所求的最小值为 n ? 13.
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2014 全国高中数学联赛模拟题(2)加试(二试)
9:40~12:10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合

1、(本题 40 分)在△ABC 中,AB>BC,K、M 分别 是边 AB 和 AC 的中点, O 是△ABC 的内心。 设 P 点是 直线 KM 和 CO 的交点, 而 Q 点使得 QP⊥KM 且 QM∥BO, 证明:QO⊥AC。

2、 (本题 40 分)已知无穷数列 ?an ?满足 a0 ? x, a1 ? y, an ?1 ?

an an?1 ? 1 ?n ? 1,2,?? . an ? an?1

(1)对于怎样的实数 x,y,总存在正整数 n0 ,使当 n ? n0 时, an 恒为常数? (2)求数列 ?an ?的通项公式.

3、 (本题 50 分)空间六点,任三点不共线,任四点不共面,成对地连接它们得十五条线段,用红色或蓝色染 这些线段(一条线段只染一种颜色).求证:无论怎样染,总存在同色三角形.(1953 年美国普特南数学竞赛题) 由此, 证明有 17 位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三 个科学家相互之间讨论同一个题目. (第 6 届国际数学奥林匹克试题)

4、 (本题 50 分)设 a1 ? 3, an?1 ? an ? an ? 1, n ? N * ,证明: (1)对所有 n, an ? 3(mod4) ; (2)当 m ? m 时, (am , an ) ? 1 (即 am , an 互质) 1、证:作 OR⊥AC 于 R,过 P 作 MK 的垂线,交直线 OR 于 Q 点(如图) 。这样只需证 Q’M∥O,因为这时 Q 和 Q’重合。 因为 K,M 分别为 AB 和 AC 的中点,所以 KM∥BC,于是 ∠MPC=∠BCP=

2

1 ∠ACB=∠MCP。因此 MP=MC=MA, 2

这样一来,P 点在以 AC 为直径的圆周上,且∠APC=90° 。 在四边形 APOR 中,∠APO=∠ARO=90° ,所以 APOR 内 接于圆,∠RPO=∠RAO=

1 × ∠BAC。 2

在四形边 MPQ’R 中,∠MPQ’=∠MRQ’=90° ,所以 MPQ’R 内接于圆,于是∠Q’MR=∠Q’PR=∠Q’PO +∠OPR=(90° -∠OPM)+

1 1 1 ∠BAC=(90° - ∠ACB)+ ∠BAC。 2 2 2 1 1 1 设 BO 交 AC 于 D,在△BDC 中,∠BDC=180° -∠ACB- ∠ABC=90° + ∠BAC- ∠ACB=∠ 2 2 2

Q’MR,因此 MQ’∥BO,于是本题得证。
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2、解:由递归方程 f ?x ? ?

x2 ? 1 ? x ,得不动点 x ? ?1 .由不动点方法 2x

an an ?1 ? 1 ?1 an ?1 ? 1 an ? an ?1 a a ? 1 ? an ? an?1 ?an ? 1??an ?1 ? 1? an ? 1 an ?1 ? 1 ? . ? n n?1 ? ? ? a a ? 1 an ?1 ? 1 n n ?1 ? 1 an an?1 ? 1 ? an ? an?1 ?an ? 1??an ?1 ? 1? an ? 1 an ?1 ? 1 an ? an ?1
令 bn ?

x ?1 an ? 1 y ?1 ,则 bn?1 ? bnbn?1 ?n ? N? ? .易知 b0 ? , b1 ? . x ?1 an ? 1 y ?1
F F

2 3 2 n?1 n?2 注意到 bn ? bn?1bn?2 ? ?bn?2bn?3 ?bn?2 ? bn , ?2bn?3 ? bn?3bn?4 ? ? ? b 1 b0

其中, Fn?1 ? Fn ? Fn?1 , F0 ? F1 ? 1, ?Fn ?为斐波那契数列.

? y ?1? a ?1 于是, bn ? n ? b1Fn?1 b0Fn?2 ? ? ? y ?1? ? an ? 1 ? ?

Fn?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

Fn?2

.

a ?1 ? y ?1? ? ?? 故 n ? an ? 1 ? ? y ?1?

Fn?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

Fn?2

?n ? 2? .

(1)要使总存在正整数 n0 ,当 n ? n0 时, an 恒为常数,还需分情况讨论. (i)若 n0 ? 1 ,当 n ? n0 时, an 恒为常数. 由 a1 ? y , a2 ?

a0 a1 ? 1 xy ? 1 y2 ?1 ? ? y , a3 ? ? y ,?? a0 ? a1 x? y 2y

有 y ? 1 ,且 y ? ? x . 此时, an 恒为常数 1 或 ? 1 . (ii)若 n0 ? 2 ,当 n ? n0 时, an 恒为常数. 首先,当 an ? ?1?n ? n0 ? 时,如果 n0 ? 3 ,由 an0 ? ?1 , an0 ?1 ? ?1 及 an0 ?1 ?

an0 an0 ?1 ? 1 an0 ? an0 ?1

,有

an0 ?1 ? 1 .注意到 an0 ?1 ? ?1 .又由 an0 ?
于是,由 an0 ?1 ?

an0 ?1an0 ? 2 ? 1 an0 ?1 ? an0 ? 2

,有 an0 ?2 ? ?1 .

an0 ? 2 an0 ?3 ? 1 an0 ? 2 ? an0 ?3

,有 an0 ?1 ? ?1 ,矛盾.

此 时 , 只 能 是 n0 ? 2 , 即 an ? ?1?n ? 2? , 所 以 , a2 ?

a0 a1 ? 1 xy ? 1 ? ? ?1 , a0 ? a1 x? y

a3 ?

xy ? 1 a1a2 ? 1 a2 a1 ? 1 ? 1 ? y ? 1 ? ?1,且 y ? 1 ? xy ? x ? y ? 1 ? 0 , ? ? ? ?1 ,??于是, x? y a1 ? a2 a2 ? a1 ?1? y

且 y ? ? x , y ? 1 ? x ? ?1 或 y ? ?1 ,且 y ? ? x , y ? 1 .
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因此,当 x ? ?1 或 y ? ?1 ,且 y ? ? x 时,取 n0 ? 2 .当 n ? 2 时, an 恒为常数 ? 1 . 其 次 , 当 an 在 n ? n0 ?n0 ? 2? 时 不 恒 为 ? 1 , 但 当 n ? n0 时 , 使 an 恒 为 常 数 , 故

a ?1 ? y ?1 ? ? ?? an ? ?1 ?n ? n0 , n0 ? 2?.则 n ? an ? 1 ? ? y ?1?
显然,

Fn?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

Fn?2

在 n ? n0 时恒为常数.

x ?1 y ?1 ? 1, ? 1. x ?1 y ?1



x ?1 y ?1 a a ?1 ? ?1 且 的分母为 0 ,矛盾 . 所以,只能 ? ?1 ,则 x ? y ? 0 ,有 a2 ? 0 1 x ?1 y ?1 a0 ? a1

x ?1 y ?1 ? 0或 ? 0 ,即 x ? 1 或 y ? 1 ,且 y ? ? x 时,当 n ? n0 ?n0 ? 2? 时, an 恒为常数 1. x ?1 y ?1
综上,当 x ? 1 且 y ? ? x 或 y ? 1 且 x ? ? y 时,总存在正整数 n0 ,使当 n ? n0 时 an 恒为常数 1 或 ?1.

a ?1 ? y ?1? ? ?? (2)注意到 n ? an ? 1 ? ? y ?1?
则 an ?

Fn?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

Fn?2

?n ? 2? .
F F

2 ? y ?1 ? 1? ? ? y ?1? ? ? ?
n?1

Fn?1

? x ?1 ? ? ? ? x ?1?
n ?2 n?2

Fn?2

?1 ?

2? y ? 1? n?1 ?x ? 1? n?2 ?1 . ? y ? 1?Fn?1 ?x ? 1?Fn?2 ? ? y ?1?Fn?1 ?x ?1?Fn?2

故 an ?

? y ? 1?F ?x ? 1?F ? y ? 1?F ?x ? 1?F
n?1

? ? y ? 1? n?1 ?x ? 1? n?2 ?n ? 2?, a0 ? x , a1 ? y . F F ? ? y ? 1? n?1 ?x ? 1? n?2
F F

3、证明 设 A、B、C、D、E、F 是所给六点.考虑以 A 为端点的线段 AB、 AC、AD、AE、AF,由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同,不 妨设就是 AB、AC、AD,且它们都染成红色.再来看△ BCD 的三边,如 其中有一条边例如 BC 是红色的,则同色三角形已出现(红色△ ABC); 如△ BCD 三边都不是红色的,则它就是蓝色的三角形,同色三角形也现 了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形. 证明 用平面上无三点共线的 17 个点 A1,A2,…,A17 分别表示 17 位科学 家.设他们讨论的题目为 x,y,z,两位科学家讨论 x 连红线,讨论 y 连蓝线,讨 论 z 连黄线.于是只须证明以这 17 个点为顶点的三角形中有一同色三角 形. 考虑以 A1 为端点的线段 A1A2,A1A3,…,A1A17,由抽屉原则这 16 条线段中至少有 6 条同色,不妨设 A1A2, A1A3,…,A1A7 为红色.现考查连结六点 A2,A3,…,A7 的 15 条线段,如其中至少有一条红色线段,则同 色(红色)三角形已出现;如没有红色线段,则这 15 条线段只有蓝色和黄色,由例 5 知一定存在以这 15 条 线段中某三条为边的同色三角形(蓝色或黄色).问题得证. (属图论中的接姆赛问题.) 4 、证明: ( 1 )由递推关系得 an?1 ? 1 ? an (an ? 1) 当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 3(mod 4) , an ? 3 ? 3(mod 4) 即
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an ? 4k ? 3 ,那么 an?1 ? an (an ? 1) ?1 ? 4(4k ? 3)(k ?1) ?1 ? 3(mod 4) ∴对所有 n , an ? 3(mod 4)
(2)由递推关系得 an?1 ? 1 ? 4an an?1an?2 ?a1 不妨设 m ? n ,得 am | an ?1 ,令 an ? 1 ? qam , q ? N 则 (am, an ) ? (am , qam ?1) ? (am , am ?1) ? 1

2014 年全国高中数学联赛 加 试
O

A

1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线上一点,直 线 BD 与 AC 交于点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.

B

EK D

C

P

Q

N M

2. (40 分)设 k 是给定的正整数, r ? k ? 明:存在正整数 m,使得 f
( m)

1 (l ) (l ?1) .记 f (1) (r ) ? f (r ) ? r r ? ? ? ? , f (r ) ? f ( f (r )), l ? 2 .证 2

?1? (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? 2 ? ? 1 , ? ?

?1? ? ? ? 1.
3. (50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ?, an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ?, n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

4. (50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A 1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个, 同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问: 该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
A




O

1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q, 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P,连接 PQ. 因为 PK ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)
2

B

EK D

C

P

Q

? ? PO 2 ? r 2 ? ? ? KO 2 ? r 2 ? ,
M

N

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2 2 2 2 2 同理 QK ? QO ? r ? KO ? r ,所以 PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,

?

? ?

?

故 OK ⊥ PQ . 由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

AQ AP . ? QN PM



由梅内劳斯(Menelaus)定理,得

MC DE AP NB DE AQ ? ? ? 1. ③ ? ? ? 1 ,② CD EA PM BD EA QN

由①,②,③可得

NB MC ND MD ? ? , 所以 ,故△DMN ∽ △DCB,于是 ?DMN ? ?DCB ,所以 BD CD BD DC

BC∥MN,故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D, C 四点共圆. 注 1: “ PK ? P 的幂 (关于⊙O)? K 的幂 (关于⊙O) ”
2

A

的证明:延长 PK 至点 F,使得 PK ? KF ? AK ? KE , ④ 则 P,E,F,A 四点共圆,故 ?PFE ? ?PAE ? ?BCE , 从而 E,C,F,K 四点共圆,于是 PK ? PF ? PE ? PC ,⑤ ⑤-④, 得

O F B EK D P C

P K2 ? P E ? PC ?

AK ? ? KP E 的幂 (关于⊙O)

. ? K 的幂(关于⊙O) 注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.

Q

N M

2.

记 v2 (n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k ) ? 1 时, f

( m)

(r ) 为整数.

下面我们对 v2 (k ) ? v 用数学归纳法.当 v ? 0 时,k 为奇数, k ? 1 为偶数,此时

1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ?k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? 为整数. 2?? 2? ? 2? ?
假设命题对 v ? 1(v ? 1) 成立.对于 v ? 1 ,设 k 的二进制表示具有形式

k ? 2v ? ?v?1 ? 2v?1 ? ?v?2 ? 2v?2 ? ?,
这里, ?i ? 0 或者 1, i ? v ? 1, v ? 2, ? . 于是

1 k 1 ?? 1? ? 1? ? f (r ) ? ? k ? ? ?k ? ? ? ? k ? ? ? k ? 1? ? ? ? k 2 ? k 2 2 2?? 2? ? 2? ? ? 1 1 ? 2v ?1 ? (? v ?1 ? 1) ? 2v ? (? v ?1 ? ? v ? 2 ) ? 2v ?1 ? ? ? 22 v ? ? ? k ? ? , 2 2


这里 k ? ? 2

v ?1

? (?v?1 ?1) ? 2v ? (?v?1 ? ?v?2 ) ? 2v?1 ? ?? 22v ? ? .
1 经过 f 的 v 次迭代得到整数,由①知, 2

显然 k ? 中所含的 2 的幂次为 v ? 1 .故由归纳假设知, r ? ? k ? ?

f (v?1) (r ) 是一个整数,这就完成了归纳证明.
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3.

由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ?

? ai ? k ,
i ?1

k

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n 1 n ?1 1? k ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai ? ? ai ? ? ? ? ? ai n i ?k ?1 n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? k n ? i ?1
k ?1 n ?1 ?1 1? k ? ? 1 1 ? ? ? max ? ? ai , ? ? ? ? ai ? ? m a x (? k ) ? n ? ? 1? , ?, ? ? k n ? k n ? ? ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ? ?n


? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak
k ?1 k ?1 k ?1
n ?1

n

n

n

?

? ? An ? Ak ? ? ? An ? Ak
k ?1 k ?1

n ?1

n ?1

? k ? n ?1 . ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ?
4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上 a,

如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于给定的点 A , 1 上的设置(共有 4 种) 按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3 , ?, An 上的设置.为了使得最终回到 A 1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶数条的方法数的 4 倍. 设标有 a 的边有 2 i 条, 标有 b 的边有 2 j 条, 0?i?? ?, 0? j?? 2

?n? ? ?

? n ? 2i ? 2i . 选取 2 i 条边标记 a 的有 Cn ? ? 2 ?

2j 2i 2j 种方法, 在余下的边中取出 2 j 条边标记 b 的有 Cn 其余的边标记 c. 由乘法原理, 此时共有 Cn Cn ? 2i 种方法, ? 2i
?n? ?2? ? ? i ?0 ? n ? 2i ? ? ? ? ? ? 2i ? 2 ? 2 j ? ? Cn ? Cn ? 2 i ? . j ?0 ? ? ? ?

种标记方法.对 i,j 求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为 4

?



0 这里我们约定 C0 ? 1.
? n ? 2i ? ? 2 ? ? ? j ?0

当 n 为奇数时, n ? 2 i ? 0 ,此时
?n? ?2? ? ? i ?0

?C

2j n ? 2i

? 2n?2i ?1 .



代入①式中,得 4

?

? n ? 2i ? ?n? ?n? ? ? ? 2 ? ?2? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2j ? 2 i n ? 2 i ?1 C C ? 4 C 2 ? 2 ? ? ? Cn2i 2n?2i ? ? ? n ? n ? n ? 2i ? j ?0 i ?0 i ?0 ? ? ? ?

k n?k k n ?k ? ? Cn 2 ? ? Cn 2 (?1)k ? (2 ? 1)n ? (2 ? 1)n ? 3n ? 1 . k ?0 k ?0

n

n

当 n 为偶数时,若 i ?

n n ,则②式仍然成立;若 i ? ,则正 n 边形的所有边都标记 a,此时只有一种 2 2
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标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

4?
i ?0

?n? ?2? ? ?

n? ? n ? 2i ? ?n? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 ?2? ? ? ? ? ? ? ? ? 2i 2 i n ? 2 i ?1 ? 2j ? 2i n ? 2i ?1 C C ? 4 ? 1 ? C 2 ? 2 ? 4 Cn 2 ? 3n ? 3 . ? ? ? ? n ? 2i ? n ? ? ? ? n i ?0 j ?0 i ?0 ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3 ? 1 种;当 n 为偶数时有
n

3n ? 3 种.
2015 全国高中数学联赛模拟试题 06 加试 一(本题满分 40 分) 如图,在△ ABC 中, AB ? AC , ? O 是△ ABC 的外接圆, 过点 A 作 ? O 的切线交 BC 延长线于点 D , 过点 B, C 作 BC 的两 条垂线分别与 AB, AC 的中垂线交于点 E , F . 求证: D, E, F 三点共线

二、 (本题满分 40 分)

已知无穷正数数列 an 满足: (1)存在 m ? R ,使得 ai ? m ? i ? 1,2,?? ; (2)对任意正整数 i , j ? i ? j ? 均有 ai ? a j ?

? ?

1 , i? j

求证: m ? 1

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三、 (本题满分 50 分)

设 a, b, c, d ? N 满足: bc ? ad ? 1 ,集合 A ? ?1, 2, 3,? , a ? c ? 1? , B ? ia i ? N ,

?

?

如果 k ? A ? B ,求证: ? k ? ? ? k ? (其中 x 表示不超过 x 的最大整数) a c

?b ? ? ?

?d ? ? ?

? ?

四、 (本题满分 50 分)

? p ? i 1 ? i ? n? 均为 mod n 的完全剩余系
i

求所有的自然数 n ,使得存在 ?1,2,?, n? 的一个置换 p1 , p2 ,?, pn 满足: 集合 pi ? i 1 ? i ? n 和

?

?

?

?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 10 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 如图,四边形 ABCD 内接于圆, AB, DC 延长线交于 E , AD, BC 延长线交于 F , P 为圆上任一点,

PE , PF 分别交圆于 R, S ,若对角线 AC , BD 交于 T ,求证: R, S , T 三点共线

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二、 (本小题满分 40 分)

给定实数 r ? ? 0,1? , n 个复数 z1 , z2 ,?, zn 满足 zk ?1 ? r ? k ? 1,2,?, n ? 证明: z1 ? z2 ? ? ? zn

1 1 1 ? ?? ? ? n 2 ?1 ? r 2 ? z1 z2 zn

三、 (本题满分 50 分)
n 求具有下述性质的所有整数 k :存在无穷多个正整数 n 使得 n ? k 不整除 C2 n

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法二:所求整数为除 1 以外的所有整数.

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四、 (本题满分 50 分)给定整数 n ? 5 ,求最小的整数 m ,使得存在两个由整数构成的集合 A, B ,同时满足 以下条件: (1) A ? n, B ? m , 且A? B; (2) 对 B 中任意两个不同元素 x, y 有:x ? y ? B 当且仅当 x, y ? A

解:最小的整数 m 为 3n ? 3 ,我们首先给出一个例子

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2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 设 n 是给定的正整数, 且 n ? 3 .对于 n 个实数 x1 , x2 ,? , xn , 记 xi ? x j ? 1 ? i ? j ? n ? 的最小值为 m .
2 2 2 若 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 ,试求 m 的最大值

二、 (本小题满分 40 分)

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三、 (本题满分 50 分)
第 15 页 共 24 页

n? 2 ? 3n ? 2 mod q n , q n ? 2 ? 3n ? 2 mod p n 的三元数组 ? p, q, n? ,其中 p, q 为 试确定所有同时满足 p

?

?

?

?

奇素数, n 为大于 1 的整数

四、 (本题满分 50 分)

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2012 年全国高中数学联赛加试试题 一、 (本题满分 40 分) 如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC , M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ?BAM ? ?CAN . 设 ?ABC 和

?AMN 的外心分别为 O1 , O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线。

二、 (本题满分 40 分)

2 n 试证明:集合 A ? 2, 2 ,? , 2 ,? 满足

?

?

(1)对每个 a ? A ,及 b ? N ,若 b ? 2a ? 1 ,则 b(b ? 1) 一定不是 2 a 的倍数;
? ) 是 2a (2)对每个 a ? A (其中 A 表示 A 在N 中的补集) ,且 a ? 1 ,必存在 b ? N ,b ? 2a ? 1 ,使 b(b ?1 的倍数.

?

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三、 (本题满分 50 分) 设P 0, P 1, P 2 ,?, P n 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( )

d 3

n

(n ? 1)!

四、 (本题满分 50 分)

1 1 ? ? ? , n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 {Sn ? [Sn ]} 中有无穷 2 n 多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.
设 Sn ? 1 ?

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2012 年全国高中数学联赛加试试题(

A 卷)
A

一、 (本题满分40分) 如图,在锐角 ?ABC 中, AB ? AC , M , N 是 BC 边上不同的两点,使得 ?BAM ? ?CAN . 设 ?ABC 和

?AMN 的外心分别为 O1 , O2 ,求证: O1 , O2 , A 三点共线。
证明:如图.连接 AO1 , AO2 ,过 A 点作 AO1 的垂线 AP 交 BC 的延长线于点 P ,则 AP 是 ? O1 的切线.因此 ?B ? ?PAC ???10 分 因为 ?BAM ? ?CAN , 所以 ?AMP ? ?B ? ?BAM ? ?PAC ? ?CAN ? ?PAN ????20 分 因而 AP 是 ? AMN 的外接圆 O2 的切线???????30 分 故 AP ? AO2 . 所以 O1 , O2 , A 三点共线。????????????40 分 二、 (本题满分40分)
2 n 试证明:集合 A ? 2, 2 ,? , 2 ,? 满足

B

M N

C

?

?

(1)对每个 a ? A ,及 b ? N ,若 b ? 2a ? 1 ,则 b(b ? 1) 一定不 是 2 a 的倍数;
? ) 是 2a (2) 对每个 a ? A(其中 A 表示 A 在N 中的补集) , 且 a ? 1, 必存在 b ? N ,b ? 2a ? 1 , 使 b(b ?1 的倍数.

?

证 明 : 对 任 意 的 a ? A , 设 a ? 2k , k ? N ? , 则 2a ? 2k ?1 , 如 果 b 是 任 意 一 个 小 于 2a ? 1 的 正 整 数 , 则 b ? 1 ? 2a ? 1 ???????????????10 分 由于 b 与 b ? 1 中 , 一个为奇数 , 它不含素因子 2 , 另一个是偶数 , 它含素因子 2 的幂的次数最多为 k , 因此 b(b ? 1)一定不是 2 a 的倍数;???????20 分 若 a ? A ,且 a ? 1, 设 a ? 2k ? m, 其中 k 为非负整数, m 为大于 1 的奇数, 则 2a ? 2 ? m ???????????????????????30 分 下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令 b ? mx, b ? 1 ? 2
k ?1 k ?1
k ?1

y, 消去 b 得 2k ?1 y ? mx ? 1.

k ?1 ? ? x ? x0 ? 2 t 由于 (2 , m) ? 1, 这方程必有整数解; ? 其中 t ? z,( x0 , y0 ) 为方程的特解. ? ? y ? y0 ? mt ? k ?1 把最小的正整数解记为 ( x? , y? ), 则 x ? 2 ,故 b ? mx? ? 2a ?1, 使 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.??40 分

证法二:由于 (2k ?1, m) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组

? x ? 0(mod 2k ?1 ) k ?1 在区间 (0, 2 m) 上有解 x ? b, 即存在 b ? 2a ? 1, 使 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.???? 40 ? ? x ? m ? 1(mod m)


, ? ) 证 法 三 : 由 于 ( 2m

1 , 存 在 r (r ? N ? , r ? m ?1), 使 2r ? 1(mod m) 取 t ? N ? , 使 tr ? k ? 1, 则 总

2tr ? 1(mod m) tr k ?1 存在 b ? (2 ?1) ? q ? (2 m) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2a ? 1, k ?1 此时 m b ,2 m ?1, 因而 b(b ? 1) 是 2 a 的倍数.?????40 分
三、 (本题满分50分) n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d (d ? 0) 设P 0, P 1, P 2 ,?, P n 是平面上 求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( )

d 3

n

(n ? 1)! d k ?1 3

k PP ? 证法一:不妨设 P 0P 1 ? P 0P 2 ??? P 0P n . 先证明:对任意正整数 ,都有 0 k
显然, P0 Pk ? d ?

d k ? 1 对 k ? 1, 2,?,8 均成立,只有 k ? 8 时右边取等号??10 分 3
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所以,只要证明当 k ? 9 时,有 P0 Pk ? 以P i (i ? 0,1, 2,?, k ) 为圆心 ,

d k ? 1 即可. 3

圆,这个圆覆盖上述 k ? 1 个圆??????20 分 所以 ? ( P0 Pk ?

d d 为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切;以 P 为半径画 0P k ? 0 圆心, P 2 2

d 2 d d ) ? (k ? 1)? ( ) 2 ? P0 Pk ? ( k ? 1 ? 1) ????????30 分 2 2 2 k ?1 ?1 k ?1 由 k ? 9 易知 ????????????????40 分 ? 2 3 d k ? 1 对 k ? 9 时也成立. 所以 P0 Pk ? 3 d k ?1 . 综上,对任意正整数 k 都有 P0 Pk ? 3 d n (n ? 1)! ????????????50 分 因而 P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( ) 3 证法二: 不妨设 P 0P 1 ? P 0P 2 ??? P 0P n .
以P i (i ? 0,1, 2,?, k ) 为圆心,

d 为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切;?10 分 2 d 1 3 ? P0 Pk ? P0 Pk ? P0 Pk ???????????20 分 2 2 2

设 Q 是是圆 Pi 上任意一点,由于

P0Q ? P0 Pi ? PQ ? P0 Pi ? i
因而,以 P 0 为圆心,

3 P0 Pk 为半径的圆覆盖上述个圆???????30 分 2 3 d 2 d 2 k ? 1(k ? 1, 2,?, n) ????????40 分 故 ? ( P0 Pk ) ? (k ? 1)? ( ) ? P0 Pk ? 2 2 3 d n (n ? 1)! ???????????????50 分 所以 P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( ) 3
四、 (本题满分50分)

1 1 ? ? ? ,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 {Sn ? [Sn ]} 中有无穷 2 n 多项属于 ( a, b) .这里, [ x ] 表示不超过实数x的最大整数.
设 Sn ? 1 ? 证法一:(1)对任意 n ? N ,有
?

1 1 1 1 1 1 1 1 S 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ? 1 ? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ??? n ) 2 3 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ? ? ? n ) ? 1 ? ? ? ? ? ? n ??????????10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ] ? 1, m ? [ S n0 ] ? 1, 则 令 N0 ? [ ? N0 , ? b ? a, Sn0 ? m ? m ? n ???20 分 b?a b?a N0
又令 N1 ? 2t ( m?1) ,则 SN1 ? S2t ( m?1) ? m ? 1 ? m ? b, 因此存在 n ? N ? , N0 ? n ? N1, 使得 m ? a ? Sn ? m ? b, 所以 Sn ? [Sn ] ? (a, b) ?????..30 分 不然一定存在 N0 ? k , 使得 Sk ?1 ? m ? a, Sk ? m ? b, 因此 Sk ? Sk ?1 ? b ? a, 这与 Sk ? Sk ?1 ?

1 1 ? ? b ? a 矛盾.所以一定存在 n ? N ? , 使得 Sn ? [Sn ] ? (a, b) ???40 分 k N0
1? j ? k

(2) 假 设 只 有 有 限 个 正 整 数 n1 , n2 ,?, nk , 使 得 Sn ? [Sn ]? ( a, b ), (1 ? j?k 令 ) c? j j

min ?S

nj

? [Sn j ] , 则

?

a ? c ? b, 则不存在 n ? N ? , n ? N ? , 使得 Sn ? [Sn ] ? (a, c), 这与(1)的结论矛盾.
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所以数列 ?Sn ? [Sn ]? 中有无穷多项属于 ( a, b) .终上所述原命题成立???????50 分

1 1 1 ? ??? n 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( 1 ? 2 ) ? ( n ?1 ??? n ) ? 1? ? ( 2 ? 2 ) ?? ? ( n ?? ? n ) 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? n ???????10 分 2 2 2 2 1 1 ] ? 1, 则 N 0 ? , 当 k ? N0 时, 因此,当 n 充分大时, Sn 可以大于如何一个正数,令 N 0 ? [ b?a b?a 1 1 Sk ? Sk ?1 ? ? ? b ? a ??????????????20 分 k N0 因此,对于如何大于 S N0 的正整数 m, 总存在 n ? N0 , 使 Sn ? m ? (a, b),
证法二:(1) S2n ? 1 ? 即 m ? a ? Sn ? m ? b, 否则,一定存在 k ? N0 , 使 Sk ?1 ? m ? a, 且 Sk ? m ? b, 这样就有 Sk ? Sk ?1 ? b ? a,

1 1 ? ? b ? a, 矛盾.故一定存在 n ? N0 , 使得 m ? a ? Sn ? m ? b, ???30 分 k N0 令 mi ? [SN0 ] ? i(i ? 1, 2,3,?), 则 mi ? SN0 , 故一定存在 n1 ? N0 ,
而 Sk ? Sk ?1 ? 使 mi ? a ? Sni ? mi ? b ,因此 a ? Sni ? mi ? Sni ? [Sni ] ? b ??????..40 分 这样的 i 有无穷多个,所以数列 ?Sn ? [Sn ]? 中有无穷多项属于 ( a, b) ?????50 分

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