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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
(高一年级)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请 严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档

次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 2 1.已知数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2015
项的和为 1209 .

3 2. 已知 a , b 是常数, 函数 f ( x) ? ax ? b ln( x ?

x 2 ? 1) ? 3 在 (??,0) 上的最大值为 10,则 f ( x)

在 (0,??) 上的最小值为 -4



3.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为

1 3



4.设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*), S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的元 素的个数为 504 .

5.△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若 a ? c ? a sin C ,则 sin 1 .

A?C B ? sin 的值为 2 2

6.设 多 项 式 f ( x) 满 足 f ( x) ? f ( x ? 1) ? ?2x 2 ? 2x ? 3 , 则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (9) ? 186 .



7. 已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内,?BAC ? 90? ,?CAP 为锐角, | AP |? 2 ,AP ? AC ? 2 ,

AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan?CAP ?

7 2



8. 8 sin 10 ? ?

2

1 的值为 sin 10 ?

6



9.函数 f ( x) ? 8 ? x ? 3x ? 6 的最小值为

10



10.使得

p ? 1 p2 ?1 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 7 2 2



二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11.定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足: x ① f (2) ? 1 ;②当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;③ f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) . y (1)试判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f (t ) ? f (t ? 3) ? 2 ,试求 t 的取值范围. x x 解 (1)设 0 ? x1 ? x2 ,则 2 ? 1 ,故 f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , x1 x1 故 f ( x) 在 (0,??) 上是单调增函数. ………………………………………(5 分) 4 (2)因为 f (2) ? f ( ) ? f (4) ? f (2) ,所以 f (4) ? 2 f (2) ? 2 ,从而 2 f (t ) ? f (t ? 3) ? f (4) . ………………………………………(10 分) 4 ) ,于是 即 f (t ) ? f ( t ?3 ? ?t ? 0, ? ………………………………………(15 分) ?t ? 3 ? 0, 4 ? t? . ? ? t ?3 解得 3 ? t ? 4 .故 t 的取值范围是 (3,4] . ………………………………………(20 分)

12.已知正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,求 (1 ? 解 设 a ? c ? sin ? , b ? c ? cos? , ? ? (0,

2

2

2

?
2

c c )(1 ? ) 的最小值. a b

) ,则

c c 1 1 sin ? ? cos ? ? 1 u ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 1? . …………………(5 分) a b cos ? sin ? sin ? cos ?
令 x ? sin ? ? cos ? ,则 x ?

) ,1 ? x ? 2 . …………………(10 分) 4 x2 ?1 x ?1 2 ? 1? 又 sin ? cos? ? ,所以 u ? 1 ? 2 . ………………………………(15 分) x ?1 2 x ?1 2

2 sin(? ?

?

当x ?

c c 2 2 时, u = (1 ? )(1 ? ) 取得最小值 1 ? ? 3 ? 2 2 .…………………(20 分) a b 2 ?1

13.设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N* . (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)设 S n ? T12 ? T2 ? ? ? Tn2 ,求证: a n ?1 ?

1 1 ? S n ? a n ?1 ? . 2 3

1 , Tn ? 0, an ? 1 ,且由 Tn?1 ? 1 ? an?1 , Tn ? 1 ? an ,得 2 an?1 T 1 ? a n ?1 1 1 1 ,即 ,即 ? ? 1 . ……………(5 分) a n ?1 ? n?1 ? ? 1 ? a n ?1 1 ? a n Tn 1 ? an 1 ? an?1 1 ? an 1 1 1 所以 ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? n ? 1 ,故 1 1 ? an 1 ? a1 1? 2 1 n an ? 1 ? ? . ………………………………………(10 分) n ?1 n ?1 1 (2)由(1)得 Tn ? a1 a 2 ? a n ? . n ?1 1 1 1 一方面, S n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 3 (n ? 1) 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? a n?1 ? ;……………(15 分) 2?3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 n ? 2 2
解 (1)易知 T1 ? a1 ? 另一方面,

1 1 1 2 1 ? ??? ? ? . 3 5 5 7 1 3 2 1 1 1 3 2 2 2 ? ? ( n ? )( n ? ) n ? 2 ? 3 ? (n ? 1) ? 2 2 3 4 4 4 2 2 2 2 2 1 2 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? ? a n?1 ? . 又 ? 2 3 n?2 n?2 3 3 3 n? 3 1 1 所以 a n ?1 ? ? S n ? a n ?1 ? . ………………………………………(20分) 2 3

Sn ?

1

?

1

???

1

?


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