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高一数学第四章 圆与方程


第四章 圆与方程 复习
¤学习目标:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程;能根据给定直线、圆 的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系;能用直线 和圆的方程解决一些简单的问题;了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置;会推 导空间两点间的距离公式;初步了解用代数方法处理几何问题的思想. ¤例题精讲: 相交于 P、Q

两点,O 为坐标原

【例 1】设直线 点,若 解: 圆 ,求 的值.

与圆

过原点,并且



∴ PQ 是圆的直径,圆心的坐标为



在直线

上, ∴

, 解得

.

【例 2】(1997 上海)设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方 程是 . 解法一:已知圆的方程为(x-2)2+y2=9,可知圆心 C 的坐标是(2,0) ,

又知 AB 弦的中点是 P(3,1) ,所以 kCP= 故直线 AB 的方程是 x+y-4=0.

=1,而 AB⊥CP,所以 kAB=-1.

解法二:设所求直线方程为 y-1=k(x-3). 代入圆的方程,得关于 x 的二次方程:

(1+k2)x2-(6k2-2k+4)x+9k2-6k-4=0,由韦达定理:x1+x2= -1.

=6,解得 k=

解法三:设所求直线与圆交于 A、B 两点,其坐标分别为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,

则有

, 两式相减,得(x2+x1-4) (x2-x1)+(y2-y1) (y2+y1)=0.

又 AB 的中点坐标为(3,1) ,∴x1+x2=6,y1+y2=2.



=-1,即 AB 的斜率为-1,故所求方程为 x+y-4=0.
1

【例 3】长为 轨迹方程.

的线段 AB 的两端点 A 和 B,分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求线段 AB 中点的

解:设线段 AB 的中点坐标为

,则 点



.

由 .

,得

.所以,所求轨迹方程为

点评:此解体现了求曲线轨迹方程的基本思路,先设动点的坐标,再 写出题目所满足的几何条件,然后由所写条件式列出方程,最后化简即得所求轨迹方程 . 另解:∵ , 即线段 AB 中点 M 的轨迹是以原点 O 为圆心, 为半径的圆. ∴ 所求轨迹方程为 . , M 是 AB 中 点 , x 轴 ⊥ y 轴 , ∴

点评: 由已知条件分析得出动点的轨迹, 再由轨迹写出方程, 这种解法类似于数形结合思想, 关键找出图形的重要特征. 【例 4】已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解:(1)证明:l 的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

∵m∈R,∴

,得

,即 l 恒过定点 A(3,1). <5(半径),∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相

∵圆心 C(1,2),|AC|= 交于两点.

(2)弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-

,∴l 的方程为 2x-y-5=0.

点评:本题考查了圆的弦长问题,直线系的知识,进一步考查了参数思想. 解题关键是抓住 图形的几何性质,灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化,推演,达到合乎逻辑、说理充 分、陈述严谨.

2

对应练习 第四章 圆与方程 复习 xkb1.com 新课标第一网
※基础达标

1. (06 年江苏卷)圆 A. x-y=0 2. (04 年天津卷)若 ). A. B. B. x+y=0 为圆

的切线方程中有一个是( C. x=0 D. y=0

).

的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程

是(

C.

D. ).

3. (06 年陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( A.± B.±2 B.± D.±4. 相切的圆的方程为 (

4. (06 年重庆卷) 以点 (2 , -1) 为圆心且与直线 A. C. 5. (06 年湖南卷)圆 与最小距离的差是( ). A.36 B. 18 C. D. 且与直线 B. D. 上的点到直线

) .

的最大距离

6. (07 年湖南.文理 11)圆心为

相切的圆的方程

.

7.(06 年全国卷Ⅱ)过点 的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的 圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= . ※能力提高 8. 一圆的圆心在直线 x-y-1=0 上, 与直线 4x+3y+14=0 相切, 在 3x+4y+10=0 上截得弦长为 6, 求圆的方程.

9.已知圆 和直线 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及半径.

交于 P、Q 两点且 OP⊥OQ(O

3

※探究创新 10.某铝制品厂在边长为 40cm 的正方形铝板上割下四个半径为 20 厘米的圆形(如图所示 的阴影部分).为节约铝材,该厂打算用余下部分制作底面直径和高相等的圆柱形包装盒(接缝 用料忽略不计).问: (1)包装盒的最大直径是多少?(精确到 0.01 厘米) (2)画出你设计的剪裁图.

答案:

1~5

CABCC;

6.



7.

.

8. 解:由圆心在直线 x-y-1=0 上, 可设圆心为(a,a-1),半径为 r, 由题意可得

, 经计算得 a=2, r=5. 所以所求圆的方程为(x-2) + (y-1) =25 9. 解: 将 代入方程 ,得
2

2



、Q

,则

满足条件:

∵ OP⊥OQ,



,即

,从而





,∴



∴m=3,此时Δ >0,圆心坐标为(-

,3),半径

.

10. 解:如图建立直角坐标系,依题意,若使圆柱底面直径最大,应如图所示剪裁.设底面 半径为 r,由于 2r 为圆柱的高,故 AD=2r,AB=2π r, 于是 A 点的坐标为(π r,r). ∴ AC 的直线方程为 ①; ⊙O′的方程为:(x-20)2+(y-20)2=20 2 ②. 将①代入②,得 (π y-20)2+(y-20)2=20 2, 求解得 y1≈3.01(cm),y2≈12.23(cm)(舍去).
4

∴ r≈3.01(cm).

于是 O″(0,6.02),O′(20,20), ∴ . 而 r+20=23.01<24.41, 所以,在裁下矩形 ABCD 后,可在余下部分裁下两个半径为 3.01 的圆(⊙O″).这样,每块余料 做一圆柱形(直径与高相等)的包装盒,底面最大直径是 6.02(cm).

5


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