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2010年广州市高二数学竞赛试题及答案


2010 年广州市高二数学竞赛试题
2010.5.9 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 直线 x ? ay ? 1 ? 0(a ? R ) 与

圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 的交点个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) D.无数个

2. 今年春,我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中学组织学生在社 区开展 募捐活动,第一天只有 10 人捐款,人均捐款 10 元,之后通过积极宣传,从第二天 起,每天的捐款人数是前一天的 2 倍,且人均捐款数比前一天多 5 元.则截止第 5 天(包括 第 5 天)捐款总数是( A.4800 元 ). B.8000 元 C.9600 元 D.11200 元

3. 函数 f ? x ? ? cos2x ? sin x( x ? R ) 的最大值和最小值分别为 A.

7 , 0 8

B.

7 , ?2 8
2

C.

9 , 0 8

D.

9 , ?2 8

2 2 4. 若点 ? a, b ? 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 内的动点,则函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的一个零点在

? ?1,0? 内,
A.

另一个零点在 ? 0,1? 内的概率为 B.

1 4

1

?

C.

1 2

D.

2

?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5. 已知大于 1 的实数 x, y 满足 lg ? 2x ? y ? ? lg x ? lg y , 则 lg x ? lg y 的最小值为 .

6. 将一边长为 4 的正方形纸片按照图 1 中的虚线所示的方法剪开后 拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .

图1
b 、c 都是单位向量, 7. 设 a 、 且 a ? b =0, 则 ? a ? b? ? ? b ? c ? 的最大值为
.

w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

8. 对于两个正整数 m, n ,定义某种运算“ ? ”如下,当 m, n 都为正偶数或正奇数时,

m ? n ? m ? n ;当 m, n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ? n ? mn ,则在此定
义下, 集合 M ?

?? p, q ? p ? q ? 10, p ? N * , q ?N * ? 中元素的个数是
n

.

9. 设 Sn 是 数 列

1? * ?an ? 的 前 n 项 和 , 若 a1 ? 3, an an?1 ? ? ? ? (n ? N ) , 则 ?2?

S2010 ? ____________.
10. 在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ? 1 ,如果椭圆经过 A, B 两点,它的一个焦点为 C ,另一个焦 点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,已知 C ? 2 A,cos A ? (1) 求 cos B 的值; (2)求 b 的值.

? ??? ? 27 3 ??? , BA?BC ? . 4 2

12. (本小题满分 15 分) 如图,已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 45 , 在半平面 ? 内有一个半圆 O , 其直径 AB
?

在 l 上,

M 是这个半圆 O 上任一点(除 A 、 B 外), 直线 AM 、 BM 与另一个半平面 ? 所成的
角分别为 ?1 、 ?2 . 试证明 cos2 ?1 ? cos2 ?2 为定值.
?
M

l A B

?

13. (本小题满分 20 分) 如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 , 现以矩形 ABCD 的 AB 边为 x 轴, AB 的 中点为原点建立直角坐标系 , P 是 x 轴上方一点 , 使得 PC 、 PD 与线段 AB 分别交于点

C1 、 D1 ,
y

且 AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列. (1) 求动点 P 的轨迹方程; (2) 求动点 P 到直线 l : x ? y ? 6 ? 0 距离 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.
C1 B O D1 A x P

C

D

14. (本小题满分 20 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x 2 ? a | ln x ? 1 | . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 x ? [1,??) 时,求函数 f ( x) 的最小值.

?

?

15. (本小题满分 20 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ?

5 ,且对于任意实数 x、 y , 2

总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) 成立. (1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 为偶函数; (2)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论.

2010 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 6 分,满分 24 分. 1.C 2.B 二、填空题:每小题 6 分,满分 36 分. 5.

3.D

4.A

3lg 2

6.

8 2 3

7. 1 ? 2

8. 13

9.

19 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 3 ? ? ?2?

1005

? ? ? ?

10.

6? 3

三、解答题:满分 90 分. 11. (本小题满分 15 分) 解: (1)∵ C ? 2 A, cos A ?

3 ? 0, 4
2

∴ cos C ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 ? 2 ? ? ∵ 0 ? A ? ?,0 ? C ? ? , ∴ 0? A?

1 ?3? ? ?1 ? ? 0 . 8 ?4?

2

? ? ,0 ? C ? . 2 2
2

? ? ? cos A cos C ? sin Asin C ? 9 ? . 16 ??? ? ??? ? 27 27 (2) ∵ BA?BC ? , ∴ ac cos B ? . 2 2 a c c c ? ? ? ∴ ac ? 24 . ∵ , sin A sin C sin 2 A 2sin A cos A 2 ? ? a ? 4, c 2 ?a ? c, ? c. ∴a ? 由? 解得 ? 3 2 cos A 3 ?c ? 6. ? ?ac ? 24.

3 7 7 2 , sin C ? 1 ? cos C ? . 8 4 ∴ cos B ? cos ? ?? ? ? A ? C ?? ? ? ? cos ? A ? C ?
∴ sin A ? 1 ? cos A ?

2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 6 ? 2 ? 24 ?
2 2

∴ b ? 5.

9 ? 25 . 16

12. (本小题满分 15 分) 证明:过 M 作 MH ? ? , H 为垂足,在 ? 内,作 MK ? AB , K 为垂足, 连接 KH , AH , BH ,则 ?MAH ? ?1 , ?MBH ? ?2 . ∵ MH ? ? , AB ? ? , ∴ MH ? AB . ∵ MK ? MH ? M , MK ? 平面 MHK , MH ? 平面 MHK , ∴ AB ? 平面 MHK . ∵ HK ? 平面 MHK , ∴ AB ? HK . ∴ ?MKH 是二面角 ? ? l ? ? 的平面角. ∴ ?MKH ? 45 . ∴ MH ?
?

?
M

K A B

l

2 H MK . 2 ? 2 2 2 在 Rt ?AMB 中, AM ? AK ?AB, BM ? BK ?AB, MK ? AK ?BK . MH MH ,sin ? 2 ? 在 Rt ?MHA 和 Rt ?MHB 中, sin ?1 ? . AM MB
∴ sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ?

MH 2 MH 2 MK 2 MK 2 ? ? ? AM 2 MB 2 2 AK ?AB 2 BK ?AB

AK ?BK AK ?BK ? 2 AK ?AB 2 BK ?AB BK ? AK ? 2 AB AB 1 ? ? . 2 AB 2 ?
∴ cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? 2 ? ( sin ?1 ? sin ? 2 ) ?
2 2

3 2

13. (本小题满分 20 分) 解: (1)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ? y ? 0? ,过 P 作 PE // CD 交 DA 的延长线于 E ,交 CB 的延 长线于 F .

6 在 ?DPE 中, , 得 , ? ? 5? x 6? y PE DE
得 D1 A ?

D1 A

DA

D1 A

y

6 ?5 ? x ? . 6? y

F

P E

在 ?PCD 中,

C1 D1 CD

?

PD1 PD

?

EA ED

?

y , 6? y

B

18

C1 O

D1 A x

16

得 C1 D1 ?

10 y . 6? y

14

C

12

D
y

6 ?5 ? x ? 同理可得 C1 B ? . 6? y
∵ AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列, ∴ D1C1 ? AD1 ?C1 B .
-30

10

8

6

4

2

2

6 ? -20 5 ? x ? 6 ?5 ? x? ? 10 -25 y ? -15 ? ∴ ? . ? ? 6? y 6? y ?6? y ?
2

-10

-5 -2

O l
-4

5

x

10

15

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . 化简得 25 9
∴ 动点 P 的轨迹方程为

-6

-8

x y ? ? 1? y ? 0 ? . 25 9

2

2

-10

(2)由图易知当与直线 l 平行的直线与半椭圆相切于点 P 时,点 P 到直线 l 距离的最大.
-14

-12

设与直线 l : x ? y ? 6 ? 0 平行的直线方程为 x ? y ? k ? 0 ,代入 -16 得 34 x ? 50kx ? 25k ? 225 ? 0 ,①
2 2
2 2 由 ? ? 2500k ? 3400 k ? 9 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1, 25 9

?

?

2 解得 k ? 34 ,由 k ? 0 ,得 k ? ? 34 .

故点 P 到直线 l 距离的最大值为

k ?6 2

?

? 34 ? 6 2

? 3 2 ? 17 .

把 k ? ? 34 代入①式,可解得点 P 的坐标为 ?

? 25 34 9 34 ? ? 34 , 34 ? ?. ? ?

14. (本小题满分 20 分)
2 解: (1) 当 a ? 1 时,f ( x) ? x 2 ? | ln x ? 1 | , 当 x ? e 时,f ( x) ? x ? ln x ? 1, f ?( x) ? 2 x ?

令 x ? 1 ,得 f (1) ? 2, f ?(1) ? 1, 所以切点为(1,2) ,切线的斜率为 1, 所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为: x ? y ? 1 ? 0 . (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? 故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e 2 .
2 ② 当 1 ? x ? e 时 , f ( x)? x ? al n x ? , a f ?( x) ? 2 x ?

1 x

? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒成立. ? f ( x) 在 [e,??) 上为增函数.

a ( x ? e) . x

(1 ? x ? e )

a 2 a a ? (x ? )(x ? ) x x 2 2

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时,若 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上为增 2 函数.故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) .
(ⅰ)当

a a ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时,若 x ? (1, ) 时, f ?( x) ? 0 ; 2 2 a , e) 时, f ?( x) ? 0 , 若 x?( 2 a a ) 上为减函数,在 ( , e] 上为增函数, 所以 f ( x) 在区间 [1, 2 2 a a 3a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) . 故当 x ? 时, y min ? 2 2 2 2 2 a ? e ;即 a ? 2e 2 时,若 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间[1, e ]上为减 (ⅲ)当 2 2 函数,故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e . 2 2 综上所述,当 a ? 2e 时, f ( x) 在 [e,??) 和 [1, e) 上的最小值都是 e ,
(ⅱ)当 1 ? 所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f (e) ? e ;
2

a 3a a a a )? ? ln ,而 f ( ) ? f (e) , 2 2 2 2 2 a 3a a a )? ? ln . 所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f ( 2 2 2 2 2 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [e,??) 时最小值为 e ,在 [1, e) 时的最小值为 f (1) ? 1 ? a ,
2 当 2 ? a ? 2e 时, f ( x) 在 [1, e) 时的最小值为 f (

而 f (1) ? f (e) , 所以 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a .

所以函数 y ? f ( x) 的最小值为 ymin

? 1 ? a, ? 3a a a ? ? ? ? ln , 2 ?2 2 2 e , ? ?

0 ? a ? 2, 2 ? a ? 2e2 , a ? 2e2 .

15.(本小题满分 20 分) 解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又? f (1) ?

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2

令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f (? y)

? f ( y) ? f (? y) 对任意的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数. 25 17 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . (2)令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,? 4 4 17 5 ? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? ? ? 6 . 2 2
令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,

? f (n ? 2) ?

5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? 2 ? ?

? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an

(n …1).
∴ an ? 6 ? 2n?1 .

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列.
(3)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 ,

∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky( k ? N ) , 故 ?k ? N , 总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成立.
+ +



f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? ? f ( y) ? f (0) ? 0
∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
+

+ ∴对于 m, n ? N ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ? ? ? ? f (my ) 成立.

∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |?

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2

则 | x1 |?

q1 p2 pq 1 , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N+ . ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? p1 p2 p1 p2 p1 p2

∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

如图,△ ABC 内接于圆 O ( O 为圆心) , AB 是圆 O 的直径, AB ? 2 , AC ? 1 , 四边形 DCBE 是平行四边形,且 DC ? 平面 ABC . (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ; (2)若二面角 A ? DE ? C 的大小为 45 ? ,求直线 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值; (3)在线段 CD 上是否存在一点 M ,使得 MO ? 平面 ADE ?证明你的结论.

E

D

A

O

B

C

解: (1)证:∵ DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ DC ? BC . ∵ AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点,∴ BC ? AC . 又 DC ? AC ? C ,∴ BC ? 平面 ACD . ∵ DCBE 是平行四边形,∴ DE ? BC ,∴ DE ? 平面 ACD . ∵ DE ? 平面 ADE ,∴平面 ACD ? 平面 ADE . (2)由(1)知 DE ? 平面 ACD ,∴ DE ? AD, DE ? DC . ∴ ?ADC 为二面角 A ? DE ? C 的平面角. ∴ ?ADC ? 45? . ∵ DC ? 平面 ABC ,∴ DC ? AC ,
2 2

?2 分 ?4 分

?6 分

E

∴ DC ? AC ? 1 , AD ? AC ? CD ? 2 . 由(1)平面 ACD ? 平面 ADE ,交线 AD , 在平面 ACD 内,过 C 作 CF ? AD 于 F ,则 CF ? 平面 ADE , D ∴ ?CEF 为 CE 与平面 ADE 所成的角. ?8 分

AC ? CD 1 2 在 Rt△ ACD 中, CF ? , ? ? AD 2 2
在 Rt△ ACB 中, BC ? 在 Rt△ CBE 中, CE ?

N

F A M B

AB2 ? AC 2 ? 3 ,

O BC2 ? BE2 ? 2 , CF 2 ? 在 Rt△ CFE 中, sin ?CEF ? , C CE 4 2 ∴直线 CE 与平面 ADE 所成角的正弦值为 . ?10 分 4 (3)在 CD 上存在点 M ,使得 MO ? 平面 ADE ,且该点 M 为 DC 的中点. ?11
分 证明如下: 如图,取 BE 的中点 N ,连 MO、MN、NO ,

∵ M 、N、O 分别为 CD、BE、AB 的中点, ∴ MN ? DE , NO ? AE . ∵ DE ? 平面 ADE , MN ? 平面 ADE , ∴ MN ? 平面 ADE . 同理可得 NO ? 平面 ADE . ∵ MN ? NO ? N ,∴平面 MNO ? 平面 ADE . ∵ MO ? 平面 MNO ,∴ MO ? 平面 ADE . 分 ?15

13. (本小题满分 20 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,其左焦点与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点 F 重合,过 F 且与 x 轴垂 直的 直线与椭圆交于 A、B 两点,与抛物线交于 C、D 两点,且 (1)求椭圆的方程; (2)若圆 x ? y ?
2 2

CD AB

?2 2.

2 的切线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,问 OP 与 OQ 是否一定垂直?证明 3
? y 2 ? ?4 x ? x ? ?1

你的 结论. 解: (1)易知 F (?1, 0) ,由 ? ∵

, 2) 、 D(?1, ? 2) ,则 CD ? 4 . 解得: C (?1

| CD | ? 2 2 ,∴ AB ? 2 . | AB |

y
?4 分 C

∵ AB ? x 轴,∴ A(1,

2 ). 2

l
P

1 ?1 A x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 设椭圆的方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则有 ? a , 2b F a b ?a 2 ? b 2 ? 1 O ? B Q 2 ? ?a ? 2 解得 ? 2 , ? ?b ? 1 D x2 2 ? y ? 1. 故椭圆的方程为 ?7 分 2 6 6 6 , )、 ( 2)① 当直线 l 的斜率不存在时, l : x ? ? ,代入椭圆方程解得: P( 3 3 3 6 6 Q( ,? ) 3 3 6 6 6 6 ,? ) ,显然有 OP ? OQ . 或 P(? ?9 , ) 、 Q( ? 3 3 3 3


x

② 当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? m ,代入 x 2 ? 2 y 2 ? 2 ,得

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,
设 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 分

4km 2m 2 ? 2 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?11

∴ OP? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1? k 2 )x1x2 ? km(x1 ? x2 ) ? m2

??? ? ??? ?

? (1 ? k 2 ) ?
分 ∵ l 与圆 x ? y ?
2 2

2m 2 ? 2 4km 3m2 ? 2k 2 ? 2 2 ? km ( ? ) ? m ? (*). 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?15

2 |m| 6 相切,∴ , ? 3 3 k 2 ?1

?17

分 分 综上所述, OP 与 OQ 一定垂直. 分 13.

即 3m2 ? 2(k 2 ? 1) ,代入(*) ,得 OP? OQ ? 0 ,故 OP ? OQ .

??? ? ????

?19 ?20

如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 , 现以矩形 ABCD 的 AB 边为 x 轴, AB 的 中点 为原点建立直角坐标系, P 是 x 轴上方一点, 使得 PC 、 PD 与线段 AB 分别交于点 C1 、

D1 ,
且 AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列. (1) 求动点 P 的轨迹方程; (2) 求动点 P 到直线 l : x ? y ? 6 ? 0 距离的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.

y

P

C1 B O

D1 A x

C

D

解: (1)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ? y ? 0? ,过 P 作 PE // CD 交 DA 的延长线于 E ,交 CB 的延 长线于 F .

6 在 ?DPE 中, , 得 , ? ? 5? x 6? y PE DE
得 D1 A ?

D1 A

DA

D1 A

y

6 ?5 ? x ? . 6? y

?3分

F
18

P E

在 ?PCD 中,

C1 D1

y ? , ? ? CD PD ED 6 ? y
?6分

PD1

EA

C1 B O

D1 A x

16

14

10 y 得 C1 D1 ? . 6? y
同理可得 C1 B ?

12

C

10

D
y

6 ?5 ? x ? . 6? y

?9分

8

6

∵ AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列, ∴ D1C1 ? AD1 ?C1 B .
2

4

2

6 ?5 ? x ? 6 ?5 ? x ? ? 10 y ? ? ∴ ? . ? ? 6? y 6? y ?6? y ?
-30

2

-25

-20

-15

-10

-5 -2

O l
-4

5

x

10

化简得

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . 25 9 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . 25 9
?12分

-6

-8

∴ 动点 P 的轨迹方程

-10

-12

(2)由图易知当与直线 l 平行的直线与半椭圆相切于点 P 时,点 P 到直线 l 距离的最大 . -14 设与直线 l : x ? y ? 6 ? 0 平行的直线方程为 x ? y ? k ? 0 ,代入 得 34 x ? 50kx ? 25k ? 225 ? 0 ,①
2 2

x 2 y 2 -16 ? ? 1, 25 9
?14


2 2 由 ? ? 2500k ? 3400 k ? 9 ? 0 ,

?

?

2 解得 k ? 34 ,由 k ? 0 ,得 k ? ? 34 .

?16分

故点 P 到直线 l 距离的最大值为 分

k ?6 2

?

? 34 ? 6 2

? 3 2 ? 17 .

?18

把 k ? ? 34 代入①式,可解得点 P 的坐标为 ? ? 分

? 25 34 9 34 ? , ?. 34 ? ? 34 ?

?20

14. 已知函数 f ? x ? ? a 1 ? x

2

? 0 ? a ? 1? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? a, an?1 ? f ? an ? (n ?N * ) .

(1)求证:过曲线 y ? f ? x ? 上任一点的切线斜率 k ,都有 k ? a ; (2)定理:若函数 f ? x ? 在区间 ? s, t ? 上可导,则存在 ? ? ? s, t ? ,使

f ?t ? ? f ? s ? ? f ' ? ??? ?t ? s ? .
试用上述定理证明不等式: an ? a1 ?

1 ?a ? a 1? a 2 1

(1) 证明:∵ f ? x ? ? a 1 ? x ,
2

∴f

'

? x? ?
ax

ax 1 ? x2

.

∴k ?

1? x

2

?

ax x

? a.
ax 1 ? x2

' (2)证明:由(1)知,当 x ? 0 时, f ? x ? ?

? 0,

故函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数. ∴对一切 n ?N ,由定理知:存在 ??? an?1 , an ? ? n ? 2? ,
*

使得 f ? an ? ? f ? an?1 ? ? f
' 由(1)知 f ? ? ? ? a ,

'

? ???? an ? an?1 ? .

' ∴ f ? an ? ? f ? an ?1 ? ? f ? ? ?? ? an ? an?1 ? ? f ' ? ? ? ?an ? an?1

? a an ? an?1 .
∴ an?1 ? an ? a an ? an?1 ? a an?1 ? an?2 ? ? ? a
2 n?1

a2 ? a1 .

∴ an ? a1 ? (an ? an ?1 ) ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a2 ? a1 ?

? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ? an?2 a2 ? a1 ? an?3 a2 ? a1 ??? a2 ? a1
? ? a n ? 2 ? a n ?3 ? a n ? 4 ? ? ? 1? a2 ? a1

?
?

1 ? a n?2 ?a2 ? a1 1? a
1 ?a ? a . 1? a 2 1

E 为棱 CC1 上的点. 12. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1) 求证: A1E ? BD ;

EBD ; (2) 当 E 为棱 CC1 的中点时,求证:平面 A 1 BD ? 平面

(3) 在棱 CC1 上的点.是否存在点 E ,使二面角 A1 ? BD ? E 的大小为 45 ,如果存在,试 确定点 E 在棱 CC1 上的位置;如果不存在,说明理由.( 理科) (3)在(2)的条件下,求三棱锥 A 1 ? BDE 体积.
A1 D1 C1

?

B1 E

(1) 证明:连接 AC , AC 与 BD 交于点 O , ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体,
A

D

C

∴ AC ? BD, AA 1 ? 平面 ABCD . ∵ BD ? 平面 ABCD , ∴ AA1 ? BD .

B

AC ? 平面 A1 ACE , ∵ AA 1 ? AC ? A, AA 1 ? 平面 A 1 ACE ,
∴ BD ? 平面 A 1 ACE . ∵ A1 E ? 平面 A 1 ACE , ∴ A1E ? BD . (2) 连接 AO 1 , EO , ∵ BD ? 平面 A , ? 平面 A1 ACE , A1 E ? 平面 AOE 1 1 ACE , AO 1 ∴ BD ? A1 E , BD ? A1O ∴ ?AOE 为二面角 A1 ? BD ? E 的平面角. 1 设正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2 a , ∵ E 为棱 CC1 的中点, ∴ EC ? a . 在 Rt△ ECO 中, EO ?
A1 D1 C1

B1 E

EC2 ? OC 2 ? 3a ,
A1 A ? AO ? 6a ,
2 2

D O

C

AO ? 在 Rt△ A 1 AO 中, 1

A

B

在 Rt△ A1C1 E 中, A1 E ?

A1C12 ? C1 E 2 ? 3a .

2 2 2 ∵ EO2 ? A 1O ? 9a ? A 1E ,

∴ ?AOE ? 90? . 1

EBD . ∴平面 A 1 BD ? 平面 E ,使二面角 A1 ? BD ? E 的大小 (3) 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,假设棱 CC1 上存在点
为 45 ,由(2)得 ?AOE ? 45? , 1 设正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2 a , EC ? x , 则 EO ?
?

2a 2 ? x2 , AO ? 6a, A1E ? 8a 2 ? ? 2a ? x ? . 1
2

2 2 在△ A , ? EO2 ? 2 ? AO 1OE 中,由 A 1E ? AO 1 1 ? EO ? cos ?AOE 1

得 x ? 8ax ? 2a ? 0 ,
2 2

解得 x ? 4a ? 3 2a , ∵ 4a ? 3 2a ? 2a , 4a ? 3 2a ? 0 ,而 0 ? x ? 2a , ∴在棱 CC1 上不存在满足条件的点. 5. 对定义域分别是 D f 、 Dg 的函数 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) ,规定:

? f ( x) ? g ( x), 当x ? D f 且x ? Dg, ? 函数 h( x) ? ? f ( x) , 当x ? D f 且x ? Dg , ? g ( x) , 当x ? D 且x ? D . f g ?
已知 f ( x) ? x ( x ? R), g ( x) ? sin x( x ? ( ?
3

? ?

, ). 2 2

(Ⅰ) 求函数 h( x) 的单调区间; (Ⅱ) (文) 若 x1 , x2 ? [

?
2

, ??) , 比较

h( x1 ) ? h( x2 ) ? x ? x2 ? 与 h? 1 并说明理由. ? 的大小, 2 ? 2 ?

3 (理)令 k ( x) ? h( x) ? x ,当 0 ? x1 ? x2 ?

?
2

时,试比较 x1k ( x2 ) 与 x2k ( x1 ) 的大

小,并说明理由. 命题意图:考查分段函数的概念、函数的性质等基础知识,考查分类讨论的思想方法、推理 论证能力和创新意识.

命题溯源:2005 年上海卷第 21 题.

? ? ? 3 x ? sin x, x ? (? , ), ? ? 2 2 解:(Ⅰ) h( x) ? ? ? x3 , x ? (??, ? ? ] ? [ ? , ??). ? ? 2 2
当 x ? (?

? ?

, ) 时, h?( x) ? 3x2 ? cos x ? 0 ; 2 2

当 x ? (??, ?

?

] ? [ , ??) 时, h?( x) ? 3x2 ? 0 ; 2 2

?

所以, h( x) 的单调递增区间是 (??, ? (Ⅱ) (文)若 x1 , x2 ? [

?

?
2

2

] , (?

? ?

, ) , [ , ??) . 2 2 2

?

, ??) ,则

3 3 h( x1 ) ? h( x2 ) ? x ? x ? x ? x2 ? h? 1 2 ? ? 1 2 2 ? 2 ?

?x ?x ? 3 ? ? 1 2 ? ? ( x1 ? x2 )2 ( x1 ? x2 ) ? 0 , ? 2 ? 8

3



h( x1 ) ? h( x2 ) ?x ?x ? . ? h ? 1 2 ? (当且仅当 x1 ? x2 时,等号成立) 2 ? 2 ?

(Ⅱ) (理) 当 0 ? x1 ? x2 ?

?
2

时, k ( x) ? h( x) ? x ? sin x ,
3

x1k ( x2 ) ? x1 sin x2 , x2k ( x1 ) ? x2 sin x1 ,
令 g ( x) ?

x cos x ? sin x cos x( x ? tan x) sin x ? ?? ? ? 0 ? x ? ? ,则 g ?( x) ? x2 x2 x ? 2?

因为在 ? 0,

? ?

??

? 内, tan x ? x ? 0 , 2?

故当 0 ? x ?

?
2

时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 ? 0,

? ?

??

? 内单调递减. 2? sin x1 sin x2 , ? x1 x2

所以,当 0 ? x1 ? x2 ?

?
2

时, g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,即

所以 x2 k ( x1 ) ? x1k ( x2 ) .

(理科)21.已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? a ? 0 ? 的极小值为 ?2 .
3

(1)求 a 的值;

答: a ? 3
*

(2)若数列 ?an ? 满足:a1 ? b ? ? 0,1? ,2an?1 ? f ? an ? (n ?N ) ,试比较 an ?1 与 an 的大小;

(3)在(2)的条件下,问是否存在正实数 c ,使 0 ? 若存在,求 c 的取值范围;若不存在,说明理由. (1)解:∵ f ? x ? ? ?x3 ? ax , a ? 0 , ∴ f ' ? x ? ? ?3x2 ? a

an ? c ? 2 对任意 n ?N * 都成立? an ? c

? a ?? a? ? ?3 ? x ? x ? ? ? ? ? ?? ?. 3 3 ? ?? ?
当x??

a 时, f ' ? x ? ? 0 , 3

当?

a a 时, f ' ? x ? ? 0 , ?x ? 3 3 a 时, f ' ? x ? ? 0 , 3
? ? ? ? a a? a? , 上单调递减, 在 ? ? ? ? 上单调递增, ? ? 3? 3 3? ? ?

当x?

∴函数 f ? x ? 在 ? ??, ?

在 ? ??, ?

? ? ?

a? ? 上单调递减. 3? ?

∴当 x ? ?

a 时, 函数 f ? x ? 取得极小值. 3
3

? a? ? a? 依题意得 ? ? ? ? a ? ? ? ? 3? ?? 3 ? ? ? ?2 , ? ? ? ?
解得 a ? 3 . ∴ a ? 3. (2)解:令 g ? x ? ? ?

1 3 3 x ? x, 2 2 3 2 3 3 ' 则 g ? x ? ? ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ? . 2 2 2
当 x ? ? ?1,1? 时, g ? x ? ? 0 ,
'

∴函数 g ? x ? ? ?

1 3 3 x ? x 在 ? ?1,1? 上单调递增. 2 2

∵ 2an?1 ? f ? an ? ∴ an ?1 ? ?

1 3 3 an ? an . 2 2
*

下面用数学归纳法证明: an ? ? 0,1? 对任意 n ?N 都成立. ①当 n ? 1 时, a1 ? b ? ? 0,1? 成立. ②假设 n ? k 时, ak ? ? 0,1? 成立, 当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ? ∵函数 g ? x ? ? ?

1 3 3 ak ? ak . 2 2

1 3 3 x ? x 在 ? ?1,1? 上单调递增, 2 2 1 3 3 ∴函数 g ? x ? ? ? x ? x 在 ? 0,1? 上单调递增. 2 2
∴ g ? 0? ? g ? ak ? ? g ?1? ,即 0 ? ak ?1 ? 1 . ∴ n ? k ? 1 时, an ? ? 0,1? 也成立 由①、②知对任意 n ?N , an ? ? 0,1? 都成立.
*

∴ an ?1 ? an ? ? ∴ an?1 ? an .

1 3 3 1 2 an ? an ? an ? an ?1 ? an ? ? 0. 2 2 2

(3)存在正实数 c ,使 0 ?

an ? c ? 2 对任意 n ?N * 都成立. an ? c

令 h ? x? ?

x?c ?2c ,则 h' ? x ? ? ? 0 ( x ? c ), 2 x?c ? x ? c?

∴函数 h ? x ? 在 ? c, ??? 上单调递减. ∴

an ? c 随着 an 增大而减小. an ? c

∵数列 ?an ? 是递增数列, ∴要使 0 ?

an ? c ? 2 对任意 n ?N * 都成立, an ? c

?a1 ? c ? 0, ? 只须 ? a1 ? c ? a ? c ? 2. ? 1
∴0 ? c ?

1 b a1 ,即 0 ? c ? . 3 3


1.已知函数 f ( x) ? x2 ? x( x ? R ) ,集合 A ? ?x | f ( x) ? x? , B ? ? y | y ? f ( x)? ,则有( A. A ? B B. A ? B ? ? C. A ? B ? B D. A ? B ? A )

1.已知 z (1 ? i) ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 2. 已 知 集 合 A ? B.第二象限 C.第三象限
2

D.第四象限

?? x, y ? x ? ay ? 1 ? 0, a ? R? , B ? ?? x, y ? x

? y 2 ? 4x ? 0 , 则 集 合

?

A? B 的
元素个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个

2. 已知 i 为虚数单位,下面给出 4 个不等式, 其中正确的是 A.3i〉2i
2

B. 1 ? 2i ? 1 ? i

C. 1 ? i ? 2i

4

D. i ? ?i
2

4. 若函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2b 的一个零点在 ? ?1,0? 内, 另一个零点在 ? 0,1? 内,则 a ? b 的取值范围为 A. ? ?1,1? 8. 若 B. ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

C. ??1,1? .

D. ? ? ,1? ? 2 ?

? 1 ?

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为

?t ? 1, 2 2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? y ? tan 2 x tan 3 x ? ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4 10. 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 5 x f( x ? 1 )? ( 1 ? x )f ( x ) f ( f ( )) 的值是 ,则 2 1 5 A.0 B. C.1 D. 2 2
解:令 tan x ? t , ?

?

4

?x?

?

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题.(同文 12)(四川卷 09) 解析:令 x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 2 2 2 2 2 2 2 2

f ( 0) ? 0
由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

x?1 f ( x ) ,所以 x

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A. 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2 6. 已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S1 , S 2 , S 3 ,
满足的等量关系是___________. 【答案】 S1 ? 2 S2 ? 3 S3
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(上海试题)

8. 若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,

cm . 则此几何体的体积是 答案:18 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 , 上面的长方体体积为 3 ? 3 ? 1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

3

(浙江试题) 2. 函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M , 函数 g ? x ? ? 则M ?N ? A. C.

x ? 3 的定义域为 N ,

? x ?3 ? x ? 1 ?

B. D.

? x ?3 ? x ? 1 ?

?x x ? 1 ?
2

? x x ? ?3 ?

? a?b? 5. a ? b 是 ? ? ? ab 的 ? 2 ?
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 1 ? a ? 2 是关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? a 有解的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件
n

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. ?1 ? x ? (n ? N ,且 n ? 2 )展开式中 x 的系数记为 an ,则
*

2

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值 a2 a3 a4 an
D.大于

A.大于 2

B.小于 2

C.等于 2

3 2

2 7.若点 ? a, b ? 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 内的动点,则函数 f ? x ? ? x 2 ? ax ? b 的一个零点在 2

? ?1,0? 内,
A.

另一个零点在 ? 0,1? 内的概率为 B.

1 4

1

?

C.

1 2

D.

2

?
2 3

1 2 4 7 11 16 25 14 25 7 11 16 3 4 5 6

8. 如图 2,它满足:① 自上往下数第 n 行首末两数均为 n ; ② 表中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n 行 ? n ? 2 ? 第 2 个数(自左往右数)是 .
5 6 4

答:

n2 ? n ? 2 2

15. 已知点 A

?

3,1 , B ? 0, 0 ? , C

?

?

3,0 ,设 ?BAC 的平分线 AE 与 BC 交于点 E ,

?

若 CB ? ? BE , 则实数 ? 的值为 A. ?

??? ?
3 2

??? ?

B.

3 2

C. ?3

D. ?

1 3

8.记函数 f

? x? ? ? x? ( x ? R ) 表示不超过 x 的最大整数,如 f ? ?1.2? ? ??1.2? ? ?2 ,

f ?1.2? ? ?1.2? ? 1, f ? 2? ? ?2? ? 2 ,若 ?log3 1? ? ?log3 2? ? ?log3 3? ??? ?log3 n? ? 500 ,
则正整数 n 的值为 A. 116 3. 函数 y ? B. 117 C. 160 D. 161

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是
2

A. [1, ??)

B. ( , ?? )

2 3

C. [ ,1]

2 3

D. ( ,1]

2 3

17. (本小题满分 12 分)

E 为棱 CC1 上的点. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1) 求证: A1E ? BD ; (2) 在棱 CC1 上是否存在点 E , 使二面角 A1 ? BD ? E 的大小为 90 , 如果存在,
A
?

D1

C1

A1

B1 E

D

C

B

试确定点 E 在棱 CC1 上的位置;如果不存在,说明理由. 9. 函数 f ? x ? ? a x?2 ? 2 (a ? 0 ,且 a ? 1) 的图象恒过定点 A , 且点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0
上, 其中 mn ? 0 ,则 答: 8 11. 在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别 a, b, c ,且 a ? 5, b ? 8 .设 CA 与 CB 的夹角为 ? . (Ⅰ) 当 ? ? 时,求 c ; 3 ??? ? ??? ? ? ( Ⅱ ) 若 0 ? CA? CB ? 20 2 , 求函数 f (? ) ? 2 cos 2 ( ? ? ) ? 3 cos 2? 的最大值与最 4 小值. 题根:(1)人教 A 版必修 4,习题 2.4 A 组第 2 题;(2)人教 A 版必修 4,3.2 简单的三角变换例 3. 命题意图:考查平面向量的数量积、余弦定理、三角公式、三角函数性质等基础知识,考查 运算求解能力. 解:(Ⅰ)由余弦定理得

1 2 ? 的最小值为 m n

.

??? ?

??? ?

?

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 52 ? 82 ? 2 ? 5 ? 8 ? cos

?
3

? 49,

? c ? 7. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)?CA? CB ? ba cos? ? 40cos? ,0 ? CA? CB ? 20 2 ,
? 0 ? 40cos ? ? 20 2, 0 ? cos ? ?
又 0 ? ? ? ? ,故 ∵ f (? ) ? 2 cos (
2

2 . 2

?

?

4

?? ?

?
2



4

? ? ) ? 3 cos 2?

? 1 ? cos 2( ? ? ) ? 3 cos 2? ? 1 ? cos( ? 2? ) ? 3 cos 2? 4 2

?

?

? 1 ? sin 2? ? 3 cos 2?

? ? 1 3 ? 1 ? 2( sin 2? ? cos 2? ) ? 1 ? 2(sin 2? cos ? cos 2? sin ) 3 3 2 2
? 1 ? 2sin(2? ? ) . 3


?

?
4

?? ?

?
2

, ∴

5? ? 4? 3 ? 1 ? 2? ? ? ? sin(2? ? ) ? , , ∴? 6 3 3 2 3 2



0 ? f (? ) ? 1 ? 3 .

故当 ? ?

?
2

时, f (? )max ? 1 ? 3 ;当 ? ?

?
4

时, f (? )min ? 0 .

(3)将(2)中的结论推广到一般, 试探究:当椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 时,写出相应的圆方程(只需 .. a 2 b2
C

y l
P

直接 写出猜想结果 ,不要求证明 ). .. ...... ..... A F

O B Q

x

D


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