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高中数学典型例题解析---- 数列

时间:2012-08-03


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高中数学典型例题解析---§4.1 等差数列的通项与求和

数列

一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项),第 2 项,?,第 n 项,?. 3.通项公式:一般地,如果

数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系 可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种 重要方法,其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d 表示. 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=

a?b 2

.我们把A=

a?b 2

叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同 而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列 看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,?,n})的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
?S1 3.数列 n} {a 的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系: n ? ? a ? S n ? S n ?1 ( n ? 1), ( n ? 2 ).

若 a1 适合 an(n>2),

则 a n 不用分段形式表示,切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一 次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n, a n )均匀排列在一条直线上,由两点确定一条 直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解:等差数列的前 n 项之和公式可变形为
Sn ? d 2 n ? (a1 ?
2

d 2

) n ,若令 A=

d 2

,B=a1-

d 2

,则 S n =An +Bn.

2

6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1,4,7,10,?,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出这个数列的通项 公式; (2)指出 1+4+?+(3n-5)是该数列的前几项之和. 错解: (1)an=3n+7;
归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。 -1-

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(2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n 项之和. 错因:误把最后一项(含 n 的代数式)看成了数列的通项.(1)若令 n=1,a1=10 ? 1,显然 3n+7 不是它的通项. 正解: (1)an=3n-2; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n-1 项的和. [例 2] 已知数列 ?a n ? 的前 n 项之和为① S n ? 2 n ? n
2

② Sn ? n ? n ?1
2

求数列 ?a n ? 的通项公式。 错解: ① a n ? 2 n ? n ? 2 ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 4 n ? 3
2 2

② a n ? n ? n ? 1 ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 1 ? 2 n
2 2

错因:在对数列概念的理解上,仅注意了 an=Sn-Sn-1 与的关系,没注意 a1=S1. 正解: ①当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 1
2 2 当 n ? 2 时, a n ? 2 n ? n ? 2 ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 4 n ? 3

经检验 n ? 1 时 a 1 ? 1 也适合,? a n ? 4 n ? 3 ②当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 3
2 2 当 n ? 2 时, a n ? n ? n ? 1 ? ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 1 ? 2 n

∴ an ? ?

? 3 ?2n

( n ? 1) (n ? 2)

[例 3] 已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100. 错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.
10 ? 9 ? ?10 a 1 ? 2 d ? 10 2 2 ? 正解:由题意: ? 得 a1 ? , d ? 5 15 ? 30 a ? 30 ? 29 d ? 70 1 ? 2 ?



代入得 S40 = 40 a 1 ?

40 ? 39 2

? 40 d ? 120 。

[例 4]等差数列 ?a n ? 、 ?b n ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

Sn Tn

?

7n ? 1 4 n ? 27

( n ? N ? ), 求

a7 b7



错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.
? a7 b7 ? 7?7 ?1 4 ? 7 ? 27 ? 10 11
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归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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错因:误认为

Sn Tn

?

an bn ? S 13 T13 ? 7 ? 13 ? 1 4 ? 13 ? 27 ? 92 79

正解:?

a7 b7

?

a7 ? a7 b7 ? b7

[例 5]已知一个等差数列 ?a n ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ?| a n |? 的前 n 项和; 错解:由 an ? 0 得 n ? 5
?

?a n ? 前 5 项为非负,从第 6 项起为负,
( 20 ? 5 n )( n ? 5 ) 2

? Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n ? 5)

当 n ? 6 时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+?+|an|=
? 50 ? ? Sn= ? ( 20 ? 5 n )( n ? 5 ) , ? 2 ? , n?5

n? 6

错因:一、把 n ? 5 理解为 n=5,二、把“前 n 项和”误认为“从 n ? 6 起”的和.
? n ( 45 ? 5 n ) , n?5 ? ? 2 正解: ? ? ( 20 ? 5 n )( n ? 5 ) ? 50 , n ? 6 ? 2 ?

[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 解:理由如下:由题设: S 10 ? 310
? 10 a 1 ? 45 d ? 310 得: ? ? 20 a 1 ? 190 d ? 1220
? a1 ? 4 ? ? ?d ? 6
2

S 20 ? 1220

∴ S n ? 4n ?

n ( n ? 1) 2

? 6 ? 3n ? n
1? n

[例 7]已知: a n ? 1024 ? lg 2

( lg 2 ? 0 . 3010 ) n ? N ?

(1) 问前多少项之和为最

大?(2)前多少项之和的绝对值最小? 解: 1) (
? a n ? 1024 ? (1 ? n ) lg 2 ? 0 1024 1024 ? ? n? ?1? 3401 n ? 3403 ? ? lg 2 lg 2 ? a n ?1 ? 1024 ? n lg 2 ? 0
n ( n ? 1) 2

∴ n ? 3402 (2) S n ? 1024 n ?
( ? lg 2 ) ? 0

当 S n ? 0 或 S n 近于 0 时其和绝对值最小

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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令: S n ? 0 得: n ?
2048 lg 2

即 1024+

n ( n ? 1) 2

( ? lg 2 ) ? 0

? 1 ? 6804 . 99

∵ n? N?

∴ n ? 6805
2

[例 8]项数是 2 n 的等差数列,中间两项为 a n 和 a n ? 1 是方程 x ? px ? q ? 0 的两根,求证此数 列的和 S 2 n 是方程 lg x ? (lg n ? lg p ) lg x ? (lg n ? lg p ) ? 0 的根。 ( S 2 n ? 0 )
2 2 2 2

证明:依题意 a n ? a n ?1 ? p ∵ a 1 ? a 2 n ? a n ? a n ?1 ? p
2 2 2

∴ S 2n ?

2 n ( a1 ? a 2 n ) 2
2

? np

∵ lg x ? (lg n ? lg p ) lg x ? (lg n ? lg p ) ? 0 ∴ (lg x ? lg np ) ? 0
2

∴ x ? np ? S 2 n

(获证) 。

四、典型习题导练 1.已知 a 1 ? 3且 a n ? S n ?1 ? 2 ,求 a n 及 S n 。
n

2.设 a n ? 3.求和: 1 ?

1? 2 ?
1 1? 2
2

2?3 ?
1 1? 2 ? 3
2

3? 4 ?? ?
?? ?
2

n ( n ? 1) ,求证:
1

n ( n ? 1) 2

? an ?

( n ? 1) 2

2



?

1? 2 ? 3?? ? n
2 2 2 2 2

4.求和: (100

? 99 ) ? ( 98

? 97 ) ? ? ? ( 4 ? 3 ) ? ( 2 ? 1 )
2 2 2

5.已知 a , b , c 依次成等差数列,求证: a ? bc , b ? ac , c ? ab 依次成等差数列. 6.在等差数列 ?a n ? 中, a 5 ? a 13 ? 40 ,则 a 8 ? a 9 ? a 10 ? ( A.72 B.60 C.48 D.36 ) 。

7. 已知 ?a n ? 是等差数列,且满足 a m ? n , a n ? m ( m ? n ) ,则 a m ? n 等于________。
? 1 ? 11 13 , a5 ? ? 8.已知数列 ? ,求 a 8 的值。 ? 成等差数列,且 a 3 ? ? 6 7 an ? 2 ? ?

§4.2 等比数列的通项与求和 一、知识导学

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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1. 等比数列: 一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公 比通常用字母q表示. 2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.
? n ? a1 ? ? ? a 1 (1 ? q n ) a ?a ? q ? 1 n ? 1? q ? 1? q ( q ? 1) ( q ? 1)

3.等比数列的前 n 项和公式: S n

二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第 2 项 起,而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列, 这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. n-1 4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q ,可求出等比数列中的任一 项. n-m 5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用 an=amq 可求等比数列中任意一项. 6.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 可改写为 a n ?
n-1

a1 q

? q .当 q>0,且 q ? 1 时,y=q 是
n

x

一个指数函数,而 y ?

a1 q

? q 是一个不为 0
x

的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的

图象是函数 y ?

a1 q

? q 的图象上的一群孤立的点.
x

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例 1] 已知数列 ?a n ? 的前 n 项之和 Sn=aq ( a ? 0 , q ? 1, q 为非零常数) ,则 ?a n ? 为( ) 。
n

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 错解:? a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ? aq
? a n ? S n ? S n ?1 ? aq
n ?1 n ?1

? aq

n

? aq ( q ? 1)
n

( q ? 1)

?

a n ?1 an

? q (常数)

? ?a n ? 为等比数列,即 B。

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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错因:忽略了? a n ? S n ? S n ?1 中隐含条件 n>1. 正解:当 n=1 时,a1=S1=aq; 当 n>1 时,? a n ? S n ? S n ?1 ? aq
? a n ?1 an ? q (常数)
n ?1

( q ? 1)

但?

a2 a1

? q ?1 ? q

? ?a n ? 既不是等差数列,也不是等比数列,选 C。

[例 2] 已知等比数列 ?a n ? 的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于. 错解:S30= S10·q . ? q =7,q= ?
2 2

7 ,? S40= S30·q = ? 70 7 .

错因:是将等比数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.
? a 1 (1 ? q 10 ) ? 10 ? a1 ? ? ? 10 ? 1? q ? 正解:由题意: ? 得 ?1 ? q , 30 a 1 (1 ? q ) ? ? q 10 ? 2 或 q 10 ? ? 3 ( 舍去 ) ? 70 ? ? 1? q ?

? S40=

(1 ? q )? 200 . 1? q
40
2 3 n

a1

[例 3] 求和:a+a +a +?+a . 错解: a+a +a +?+a =
n 2 3 n

1? a

n

1? a

.

错因:是(1)数列{a }不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前 n 项和公式(2)用等 比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1. 2 3 n 正解:当 a=0 时,a+a +a +?+a =0; 2 3 n 当 a=1 时,a+a +a +?+a =n; 当 a ? 1 时, a+a +a +?+a =
2 3 n

1? a

n

1? a
2

.

[例 4]设 a , b , c , d 均为非零实数, ?a ? b ?d ? 2 b ? a ? c ?d ? b ? c ? 0 ,
2 2 2 2

求证: a , b , c 成等比数列且公比为 d 。 证明: 证法一:关于 d 的二次方程 ?a ? b ?d ? 2 b ? a ? c ?d ? b ? c ? 0 有实根,
2 2 2 2 2

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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∴ ? ? 4b

2

?a ? c ? 2

?4 a ?b
2

?

2

?( b

2

? c ) ? 0 ,∴ ? b ? ac
2

?

2

?

2

?0

则必有: b 2 ? ac ? 0 ,即 b 2 ? ac ,∴非零实数 a , b , c 成等比数列 设公比为 q ,则 b ? aq , c ? aq 代入
2

?a

2

?a q
2 2

2

?d
2

2

? 2 aq a ? aq
2

?

2

?d ? a

2

q ?a q
2 2

4

?0

∵ ?q ? 1?a ? 0 ,即 d ? 2 qd ? q ? 0 ,即 d ? q ? 0 。
2

证法二:∵ ?a ? b ?d ? 2 b ? a ? c ?d ? b ? c ? 0
2 2 2 2 2

∴ ?a d ? 2 abd ? b
2 2
2

2

? ? ?b
2

2

d

2

? 2 bcd ? c

2

?? 0

∴ ? ad ? b ? ? ?bd ? c ? ? 0 ,∴ ad ? b ,且 bd ? c ∵ a , b , c , d 非零,∴
b a ? c b ? d 。

[例 5]在等比数列 ?b n ? 中, b 4 ? 3 ,求该数列前 7 项之积。 解: b1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 ? ?b1 b 7 ??b 2 b 6 ??b 3 b 5 ?b 4 ∵ b 4 ? b1 b 7 ? b 2 b 6 ? b 3 b 5 ,∴前七项之积 ?3 2 ? ? 3 ? 3 7 ? 2187
2
3

[例 6]求数列 { n ?

1 2
n

} 前 n 项和
1 2 1? ? 2? 1 4 1 4 ? 3? ? 2? 1 8 1 8 ? ???? ? n ? ? 3? 1 16 1 2
n

解: S n ? 1 ?
1 2 Sn ?


1 2
n

? ? ? ( n ? 1) ?

? n? 2

1
n ?1


) ? 2

1

两式相减:

1 2

Sn ?

1 2

?

1 4
1

?

1 8

? ?? ?

1 2
n

? n? 2

1
n ?1

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

?

2

n
n ?1

? S n ? 2 (1 ?

1 2
n

? 2

n
n ?1

)? 2? 2

n ?1

?

n 2
n

[例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后每次 都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问:(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg? (2)经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质 量分数为多少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

a1= 0.2 (kg),

a2=

1 2

×0.2(kg),

a3= (

1 2

) ×0.2(kg)

2

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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由此可见:an= (

1 2

) ? ×0.2(kg),
n 1

a5= (

1 2

) ? ×0.2= (
5 1

1 2

) ×0.2=0.0125(kg) 。

4

(2)由(1)得{an}是等比数列
0 . 2 (1 ? ? 1?

a1=0.2 ,
1
6

q=

1 2

? S6 ?

a 1 (1 ? q )
6

) ? 0 . 39375 ( kg )

1? q

2 1 2

0 . 4 ? 0 . 39375 ? 0 . 00625 ( kg ) 0 . 00625 ? 2 ? 0 . 003125 ( kg )

答:第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg;6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg 盐, 此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式: 1) a1=?2, a3=?8 2) a1=5, 且 2an+1=?3an 3) a1=5, 且
a n ?1 an ? n n ?1

2.在等比数列 ?a n ? ,已知 a 1 ? 5 , a 9 a 10 ? 100 ,求 a 18 .
0 1 2 n ?1 5

3.已知无穷数列 10 5 ,10 5 ,10 5 , ? ? 10

,? ? ,
1 10

求证: (1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 ,

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列 ?a n ? 为 1, 2 x ,3 x , 4 x ? ? nx
2 3 n ?1

? ? x ? 0 ? 求此数列前 n 项的和。

5.已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 6.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 7.在等比数列 ?a n ? 中, a 1 a 3 ? 36 , a 2 ? a 4 ? 60 , S n ? 400 ,求 n 的范围。

§4.3 数列的综合应用 一、知识导学 1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题 的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用 数列知识建立数学模型. 2. 应用题成为热点题型, 且有着继续加热的趋势, 因为数列在实际生活中应用比较广泛, 所以数列应用题占有很重要的位置,解答数列应用题的基本步骤:(1)阅读理解材料,且对 材料作适当处理;(2)建立变量关系,将实际问题转化为数列模型;(3)讨论变量性质, 挖掘题目的条件,分清该数列是等差数列还是等比数列,是求 Sn 还是求 an.一般情况下,增或
归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。 -8-

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减的量是具体体量时,应用等差数列公式;增或减的量是百分数时,应用等比数列公式.若 是等差数列,则增或减的量就是公差;若是等比数列,则增或减的百分数,加 1 就是公比 q. 二、疑难知识导析 1.首项为正(或负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转 化为解不等式 ? a n ?
? 0 ? ?a ? 0 ? ?或 ? n ? ? a n ?1 ? 0? ? ? a n ?1 ? 0 ? ?

解决;

2.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数列前 n 项和公式 时,勿忘分类讨论思想; 3.等差数列中, am=an+ (n-m)d,
d ? am ? an m?n

; 等比数列中,an=amq ; q

n-m

n?m

?

an am

4.当 m+n=p+q(m、n、p、q∈ N ? )时,对等差数列{an}有:am+an=ap+aq;对等比数列 {an}有:aman=apaq; 5.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b 是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是 等比数列,则{kan} nbn}等也是等比数列; 、{a 6.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9?)仍是等差(或等比)数列; 7.对等差数列{an},当项数为 2n 时,S 偶-S 奇=nd;项数为 2n-1 时,S 奇-S 偶=a 中(n ∈N ? ) ; 8.若一阶线性递推数列 an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形 式: a n
? b k ?1 ? k ( a n ?1 ? b k ?1 )

(n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;

三、经典例题导讲 [ 例 1] 设 ?a n ? 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 是 其 前 n 项 和 . 证 明 :
log
1 2

S n ? log 2

1 2

S n?2 > log log
1 2 1 2

S n ?1 。
1 2

S n ? log 2

S n?2 > log
1 2

错解:欲证 只需证 log

S n ?1

1 2

S n ? log

1 2

S n ? 2 >2 log
S n ?1
2

1 2

S n ?1

即证: log 1 ( S n ? S n ? 2 ) > log
2

1 2

由对数函数的单调性,只需证 ( S n ? S n ? 2 ) < S n ? 1
2

? S n ? S n ? 2 - S n ?1 =
2

a 1 (1 ? q )(1 ? q
2 n

n?2

)

(1 ? q )

2

?

a 1 (1 ? q
2

n ?1 2

)

2

(1 ? q )

=- a 1 q ? 0
2 n

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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?

S n ? S n ? 2 < S n ?1
2

? 原不等式成立. 错因:在利用等比数列前 n 项和公式时,忽视了 q=1 的情况.
log
1 2

S n ? log 2

1 2

S n?2 > log
1 2

正解:欲证 只需证 log

S n ?1

1 2

S n ? log

1 2

S n ? 2 >2 log
S
2 n ?1

1 2

S n ?1

即证: log 1 ( S n ? S n ? 2 ) > log
2

1 2

由对数函数的单调性,只需证 ( S n ? S n ? 2 ) < S n ? 1
2

由已知数列 ?a n ? 是由正数组成的等比数列,
?
q >0, a 1 ? 0 .

若q ? 1, 则 S n ? S n ? 2 - S n ? 1 = na 1 ( n ? 2 ) a 1 ? [( n ? 1) a 1 ]
2

2

=- a 1 <0;

2

若q ? 1,
a 1 (1 ? q )(1 ? q
2 n n?2

S n ? S n?2 - S

2 n ?1



)

(1 ? q )

2

?

a 1 (1 ? q
2

n ?1 2

)

2

(1 ? q )

=- a 1 q ? 0
2 n

?

S n ? S n ? 2 < S n ?1
2

原不等式成立. [例 2] 一个球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回至原高度的一半落下,当它第 10 次着地时,共经过了多少米?(精确到 1 米) 错解:因球 每次着地后又跳回至原高度的一半,从而每次着地之间经过的路程形成 了一公比为
1 2

?

的等比数列,又第一次着地时经过了 100 米,故当它第 10 次着地时,共经

过的路程应为前 10 项之和.
1 10 100 [1 ? ( ) ] 2 即 S 10 ? =199(米) 1 1? 2 错因:忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.

正解:球第一次着地时经过了 100 米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过了

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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2?

100 2

=100(米)?因此到球第 10 次着地时共经过的路程为
100 2 ? 100 2
2

100 ? 100 ?

?

100 2
3

?? ?

100 2
8

1 9 100 [1 ? ( ) ] 2 = 100 ? ? 300(米) 1 1? 2

答:共经过 300 米。 [例 3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每年 生日,到银行储蓄 a 元一年定期,若年利率为 r 保持不变,且每年到期时存款(含利息)自 动转为新的一年定期,当孩子 18 岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱 的总数为多少? 错解:? 年利率不变,每年到期时的钱数形成一等比数列,那 18 年时取出的钱数应为以 a 为 18 首项,公比为 1+r 的等比数列的第 19 项,即 a19=a(1+r) . 错因:只考虑了孩子出生时存入的 a 元到 18 年时的本息,而题目要求是每年都要存入 a 元. 正解:不妨从每年存入的 a 元到 18 年时产生的本息 入手考虑,出生时的 a 元到 18 年时变为 18 a(1+r) , 17 1 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r) , 16 2 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r) , ?? 1 17 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r) , 18 17 1 ? a(1+r) + a(1+r) + ?+ a(1+r) =
a (1 ? r )[1 ? (1 ? r ) ]
18

1 ? (1 ? r )
a r [(1 ? r )
19



? (1 ? r )] a r [(1 ? r ) 1 a
2 19

答:取出的钱的总数为 [例 4]求数列 1 ? 1 ,
1 a

? (1 ? r )] 。 1 ? 10 , ? ? , a 1
n ?1

?4,

?7,

a

3

? ( 3 n ? 2 ) , ? ? 的前 n 项和。 1 a
n ?1

解:设数列的通项为 an,前 n 项和为 Sn,则 a n ?
? S n ? (1 ? 1 a ? 1 a
2

? (3n ? 2 )

? ?? ? a

1
n ?1

) ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ( 3 n ? 2 )]

当 a ? 1 时, S n ? n ?
1?

(1 ? 3 n ? 2 ) n 2
1

?

3n ? n
2

2
n

当 a ? 1 时, S n ?
1?

n (1 ? 3 n ? 2 ) n a ?1 ( 3 n ? 1) n a ? ? n ? n ?1 1 2 2 a ?a

a

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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[例 5]求数列

6

1? 2 2 ? 3 3 ? 4

,

6

,

6

,? ? ,

6 n ( n ? 1) ?

, ? ? 前 n 项和

解:设数列的通项为 bn,则 b n ?

n ( n ? 1)
1 2

? 6(

1 n

?

1 n ?1
1 3

)

? S n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? b n ? 6[(1 ? ? 6 (1 ? 1 n ?1 )? 6n n ?1

)?(

1 2

?

) ? ?? ? (

1 n

?

1 n ?1

)]

[例 6]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? ( 求数列{an}的前 n 项和 解:取 n =1,则 a 1 ? (
a1 ? 1 2 ) ? a1 ? 1
2

an ? 1 2

) (n ? N ? ) ,
2

又由 S n ?

n ( a1 ? a n ) 2
*

可得:

n ( a1 ? a n ) 2

?(

an ? 1 2

)

2

? a n ? ?1 (n ? N )

? a n ? 2n ? 1
2

? S n ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? n

[例 7]大楼共 n 层,现每层指定一人,共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会,问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、 下楼梯所走的路程总和最短。 (假定相邻两层楼梯长相等) 解:设相邻两层楼梯长为 a,则
S ? a (1 ? 2 ? ? ? ? k ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ? ? ? ( n ? k )] ? a[ k
2

? ( n ? 1) k ?

n ?n
2

]

2

当 n 为奇数时,取 k ? 当 n 为偶数时,取 k ?

n ?1 2 n 2 或

S 达到最小值
n?2 2

S 达到最大值

四、典型习题导练 1.在[1000,2000]内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个? 2 2.某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m ,如果该城市每年人口平均增长率 2 2 为 1%,每年平均新增住房面积为 30 万 m ,求 2000 年底该城市人均住房面积为多少 m ?(精确 到 0.01) 3.已知数列 ?a n ? 中, S n 是它的前 n 项和,并且 S n ?1 ? 4 a n ? 2 , a 1 ? 1

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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(1) 设 b n ? a n ?1 ? 2 a n ,求证数列 ?b n ? 是等比数列; (2) 设 c n ?
an 2
n

,求证数列 ?c n ? 是等差数列。

4.在△ABC 中,三边 a , b , c 成等差数列, a , b , c 也成等差数列,求证△ABC 为正三角形。 5. 三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数 减去 4,则又成等比数列,求原来三个数。 6. 已 知 是一次函数,其图象过点 ,又 成等差数列,求

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( n ) 的值.

归纳和总结是学好数学的必要方法,但是在这之前,我们需要大量的练习。

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