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2013年中国西部数学邀请赛


2013 年中国西部数学邀请赛
甘肃 兰州 第一天 8 月 17 日 上午 8:00-12:00 每题 15 分
1.是否存在整数 a, b, c ,使得 a 2bc ? 2, ab 2c ? 2, abc 2 ? 2 都是完全平方数? 2.设整数 n ? 2 ,且实数 x1 , x2 ,? , xn ? ? 0,1? ,求证:

1? k

?l ? n

?

kxk xl ?

n ?1 n ? kxk . 3 k ?1

3. ?ABC 中, B2 是 AC 边上旁切圆圆心 B1 关于 AC 中点的对称点, C2 是 AB 在 点 点 边上旁切圆圆心 C1 关于 AB 中点的对称点, BC 边上旁切圆切 BC 边于点 D .求
AD 证: ? B2C2 . AC 边上旁切圆指与 BA、BC 的延长线及线段 AC 均相切的圆. ( )

4.把 n(n ? 2) 枚硬币排成一行.如果存在正面朝上的硬币,那么可以从中选取一 枚, 将以这枚硬币开头的从左到右连续奇数枚硬币 (可以是一枚) 同时翻面, (翻 面是指将正面朝上的硬币翻成正面朝下,将正面朝下的硬币翻成正面朝上) ,这 称为一次操作, 当所有硬币正面朝下时, 停止操作. 若开始时全部硬币正面朝上,
? 2n?1 ? 试问: 是否存在一种方案, 使得可以进行 ? (其中 ? x ? 表示不大于 x ? ? ? 次操作? ? 3 ?

的最大整数. )

2013 年中国西部数学邀请赛
甘肃 兰州 第二天 8 月 17 日 上午 8:00-12:00 每题 15 分
5.若非空集合 A ? ?1, 2,3,? , n? 满足 A ? min x ,则称 A 为 n 级好集合.记 an 为 n
x? A

级好集合的个数(其中 A 表示集合 A 的元素个数, min x 表示集合 A 的最小元
x? A

素) .求证:对一切正整数 n ,都有 an? 2 ? an?1 ? an ? 1. 6.如图,PA, PB 为圆 O 的切线,点 C 在劣弧 ? 上(不含点 A, B ) .过点 C 作 PC AB 的垂线 l ,与 ?AOC 的平分线交于点 D ,与 ?BOC 的平分线交于点 E .求证:
CD ? CE .

P

C A D O

E B

7.将一个正 n 边形的 n 条边按顺时针方向依次标上 1, 2,? ,n .求所有的整数
n ? 4 ,使得可以用 n ? 3 条在内部不交的对角线将这个 n 边形分成 n ? 2 个三角形

区域,并且在这 n ? 3 条对角线上各标上一个整数,满足每个三角形的三边所标 之数的和都相等. 8.求所有的正整数 a ,使得对任意正整数 n ? 5 ,都有 (2n ? n2 ) | (a n ? na ) .


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