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江苏省淮安市浦南外国语学校2014-2015学年高一上学期10月质检数学试卷


江苏省淮安市浦南外国语学校 2014-2015 学年高一上学期 10 月 质检数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1},那么集合 A∩B 等于. 2.函数 y=ln(2﹣x)的定义域为. 3.若函数 f(x)=mx +x 为偶函数,则实数 m 的值为. 4.如

图图象中表示函数关系 y=f(x)的有(填序号)
3 2

5.用“<”将 0.2

﹣0.2

、2.3

﹣2.3

、log0.22.3 从小到大排列是.

6.设函数 g(x+2)=2x+3,则 g(x)的表达式是. 7.函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点. 8.已知集合使 A={x|x>1},B=(a,+∞) ,且 A?B,则实数 a 的取值范围是.

9.函数 f(x)=

的值域是.

10.已知函数 f(x)=a+

是奇函数,若 f(x)> ,则实数 x 的取值范围为.

11.已知函数 f(x)=2 +log3x 的零点在区间(k﹣1,k﹣ )上,则整数 k 的值为.
x

x

12.函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为 .

13.已知函数

,下列叙述

(1)f(x)是奇函数; (2)y=xf(x)是奇函数; (3) (x+1)f(x)﹣4<0 的解为﹣3<x<1 (4)xf(x+1)<0 的解为﹣1<x<1;其中正确的是(填序号) . 14.若函数 f(x)=kx ,x∈R 的图象上的任意一点都在函数 g(x)=1﹣kx,x∈R 的下方, 则实数 k 的取值范围是.
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.计算下列各式的值: (1) (ln5) +( ) + (2)log21﹣lg3?log32﹣lg5. 16.已知集合 A={a ,a+1,﹣3},B={a﹣3,2a﹣1,a +1},若 A∩B={﹣3},求实数 a 的 值. 17.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3=0},B={x|mx+1=0}. (1)若 m=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=A,求实数 m 的值. 18. (16 分)用一根细铁丝围一个面积为 4 的矩形, (1)试将所有铁丝的长度 y 表示为矩形的某条边长 x 的函数; (2)①求证:函数 f(x)=x+ 在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数; ②题(1)中矩形的边长 x 多大时,细铁丝的长度最短? 19. (16 分)已知 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x﹣3 (1)用分段函数的形式写出函数 f(x)的表达式; (2)作出函数 f(x)的简图; (3)指出函数 f(x)的单调区间. 20. (16 分)已知一次函数 f(x)=kx+b 的函数经过点(4,﹣1) ,g(x)=﹣2x?f(x) ,且 g(x)的图象关于直线 x=1 对称. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 x0 满足 g(x0)+ <0,试判断 f(x0+2)的符号.
2 2 2 2 0 0.5



江苏省淮安市浦南外国语学校 2014-2015 学年高一上学 期 10 月质检数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1},那么集合 A∩B 等于{x||﹣2≤x<﹣ 1}. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用交集的定义,求出两个集合的交集. 解答: 解:∵A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1}, ∴A∩B={x|﹣2≤x<﹣1} 故答案为:{x||﹣2≤x<﹣1} 点评: 在求集合的运算时常借助的工具是数轴;注意集合的运算结果一定也是集合形式. 2.函数 y=ln(2﹣x)的定义域为(﹣∞,2) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 对数的真数大于 0,可求其定义域. 解答: 解:要使函数有意义,必有 2﹣x>0,即 x<2. 故答案为: (﹣∞,2) . 点评: 本题考查对数函数的定义域的求法,解题时注意负数和 0 没有对数,是基础题. 3.若函数 f(x)=mx +x 为偶函数,则实数 m 的值为 0. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义建立方程即可求解 m. 3 2 解答: 解:∵函数 f(x)=mx +x 为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 f(﹣x)=﹣mx +x =mx +x , ∴﹣m=m, 解得 m=0, 故答案为:0. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数是偶函数,建立方程 f(﹣x)=f(x) 是解决本题的关键.
3 2 3 2 3 2

4.如图图象中表示函数关系 y=f(x)的有(1) (填序号)

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的定义,判断即可. 解答: 解:函数的定义可知:定义域中的任意自变量 x,在函数的值域中都有唯一的 y 值 与之对应,是一对一映射或多对一映射,考察 4 个图象, (1)满足函数的定义,正确; (2) (3) (4)都不满足函数的定义,都不是函数的图象. 故答案为: (1) . 点评: 本题考查函数的定义,函数的图象的判断,基本知识的考查. 5.用“<”将 0.2
﹣0.2

、2.3

﹣2.3

、log0.22.3 从小到大排列是 log0.22.3<2.3

﹣2.3

<0.2

﹣0.2



考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 先根据指数函数与对数函数的图象与性质得到前两个数大于 0,第三个数小于 0, 然后比较两个大于 0 之间的大小, 根据指数函数底数大于 1 为增函数, 底数小于 1 为减函数, 由自变量与 0 的大小,分别根据函数的增减性即可作出判断,进而得到从小到大的顺序. 解答: 解:由指数函数图象与性质得:0.2 >0,2.3 >0, 由对数函数的图象与性质得:log0.22.3<0, ﹣0.2 x 0 ∵y=0.2 为减函数,由﹣0.2<0,0.2 >0.2 =1, ﹣2.3 x 0 又 y=2.3 为增函数,由﹣2.3<0,2.3 <2.3 =1, ﹣2.3 ﹣0.2 ∴2.3 <0.2 , ﹣2.3 ﹣0.2 则从小到大排列为:log0.22.3<2.3 <0.2 . ﹣2.3 ﹣0.2 故答案为:log0.22.3<2.3 <0.2 点评: 此题考查了对数值大小的比较以及分数指数幂的运算, 要求学生掌握指数函数及对 数函数的图象与性质.比较前两数大小时找出一个中间量“1”是解本题的关键. 6.设函数 g(x+2)=2x+3,则 g(x)的表达式是 g(x)=2x﹣1. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 令 x+2=t 求出 x,利用 x 的关系将 2x+3 用 t 表示;求出 g(t) ,最后即可求出 g(x) 解析式 解答: 解:令 x+2=t?x=t﹣2 所以 g(t)=2(t﹣2)+3=2t﹣1. ∴g(x)=2x﹣1. 故答案为:g(x)=2x﹣1.
﹣0.2 ﹣2.3

点评: 本题考查利用换元法求函数的解析式.一般的,知 f(ax+b)的解析式求 f(x)的 解析式常用此法. 7.函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点(0,2) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 根据函数 y=logax 过定点(1,0) ,得函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1) 必过定点(0,2) . 解答: 解:由于函数 y=logax 过定点(1,0) , 则在函数 f(x)=loga(2x+1)+2 中, 令 2x+1=1,可得 x=0,此时 f(x)=loga(2x+1)+2=2, 故函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点(0,2) . 故答案为 (0,2) . 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题. 8.已知集合使 A={x|x>1},B=(a,+∞) ,且 A?B,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,1]. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 由 A={x|x>1},B=(a,+∞) ,且 A?B,知 a≤1. 解答: 解:∵A={x|x>1},B=(a,+∞) , 且 A?B, ∴a≤1, 故答案为: (﹣∞,1]. 点评: 本题考查集合的包含条件的应用,解题时要认真审题,注意不等式的性质的应用.

9.函数 f(x)=

的值域是(0,1) .

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 可由原函数解出 3 ,再由指数函数的值域,解不等式即可得到所求值域. 解答: 解:函数 y=f(x)= ,

即有 3 = 由于 3 >0, 则 >0,
x

x



解得 0<y<1. 值域为{0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查函数的值域问题,考查指数函数的值域的运用,考查二次不等式的解法, 属于中档题.

10.已知函数 f(x)=a+

是奇函数,若 f(x)> ,则实数 x 的取值范围为 x>0.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是奇函数,从而可求出 a 的值,进一步由 f(x)> 即可确定 x 的取值 范围. 解答: 解:函数 f(x)=a+ 是奇函数,可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,

即 a+

=﹣a﹣

,即 2a=



=1,

解得 a= , ∵f(x)> , ∴ + > ?4 >1
x

解得 x>0. 故答案为:x>0. 点评: 本题主要考察了函数奇偶性的性质,指数函数的图象和性质,不等式的解法,属于 中档题.
x

11.已知函数 f(x)=2 +log3x 的零点在区间(k﹣1,k﹣ )上,则整数 k 的值为 1.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x x 分析: 由于函数 f(x)=2 +log3x 在(0,+∞)单调递增.可知函数 f(x)=2 +log3x 最多 有一个零点.当 k=1 时,区间(k﹣1,k﹣ )为(0, ) ,利用函数零点存在定理即可判断 出:函数 f(x)在区间(0, )上存在零点, 解答: 解:∵函数 f(x)=2 +log3x 在(0,+∞)单调递增.
x

∴函数 f(x)=2 +log3x 最多有一个零点. 当 k=1 时,区间(k﹣1,k﹣ )为(0, ) , 当 x→0 时,f(x)→﹣∞,当 x= 时,f( )= ∴函数 f(x)在区间(0, )上存在零点, 因此必然 k=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了函数零点存在判定定理,属于基础题. 12.函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为 .
x

x

﹣log32>0,

考点: 对数函数的单调性与特殊点;指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 分析: 结合函数 y=a 与 y=logax 的单调性可知 f(x)=a +logax 在[0,1]单调,从而可得 函数在[0,1]上的最值分别为 f(0) ,f(1) ,代入可求 a x 解答: 解:∵y=a 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. x ∴f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上单调, 0 1 ∴f(0)+f(1)=a,即 a +loga1+a +loga2=a, 化简得 1+loga2=0,解得 a= 故答案为: 点评: 本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用, 利用整体思想求解函数 的最值,试题比较容易.
x x

13.已知函数

,下列叙述

(1)f(x)是奇函数; (2)y=xf(x)是奇函数; (3) (x+1)f(x)﹣4<0 的解为﹣3<x<1 (4)xf(x+1)<0 的解为﹣1<x<1;其中正确的是(1) (3) (填序号) . 考点: 命题的真假判断与应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: 由题中的函数解析式和奇函数的定义分别去判断①的正误;利用奇函数与奇函数 的乘积是偶函数判断②的正误;根据分段函数对 x 分三种情况,求解对应的不等式得解集, 最后再并在一起,判断③④的正误.

解答: 解:函数



对于(1) ,由题意知 f(0)=0 且函数的定义域是 R,当 x>0 时,f(﹣x)=﹣2=﹣f(x) , 当 x<0 时,f(﹣x)=﹣2=﹣f(x) ,故(1)正确; 对于(2) ,由(1)可知 f(x)是奇函数,y=x 也是奇函数,∴y=xf(x)是偶函数不是奇函 数,故(2)不正确; 对于(3) ,当 x=0 时,f(0)=0<4,成立;当 x>0 时, (x+1)f(x)﹣4<0 不等式为 x+1 <2 解得 0<x<1; 当 x<0 时,不等式为﹣x﹣1<2,解得﹣3<x<0; 综上,不等式得解集是(﹣3,1) ,故(3)正确; 对于(4) ,当 x=﹣1 时,f(﹣1+1)=0<0,不等式无解; 当 x>﹣1 时,x+1>0,不等式 xf(x+1)<0 化为 2x<0 解得 x<0,不等式的解为:﹣1< x<0; 当 x<﹣1 时,不等式为﹣2x<0,解得 x>0,不等式无解; 综上,不等式得解集解集为{x|﹣1<x<0},故(4)不正确; 故答案为: (1) (3) . 点评: 本题的考查是分段函数判断奇偶性和求分段函数构成的不等式的解集, 需要根据分 段函数的不同范围对应不同的解析式进行对 x 分类进行求解. 14.若函数 f(x)=kx ,x∈R 的图象上的任意一点都在函数 g(x)=1﹣kx,x∈R 的下方, 则实数 k 的取值范围是(﹣4,0]. 考点: 函数的图象;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 对 k 分 k=0 与 k≠0 讨论,当 k≠0 时利用二次函数的恒成立问题,即可得答案. 解答: 解:当 k=0 时,f(x)=0,g(x)=1,满足题意; 2 当 k≠0,∵f(x)=kx ,x∈R 的图象上的任意一点都在函数 g(x)=1﹣kx,x∈R 的下方, ∴f(x)的开口向下,k<0,两曲线 f(x)与 g(x)无公共点,即 f(x)与 g(x)联立组 成的方程组无解, 2 即 kx +kx﹣1=0 无解. ∴ 解得﹣4<k<0.
2

综上所述,﹣4<k≤0. 故答案为: (﹣4,0]. 点评: 本题考查函数的图象, 着重考查二次函数的恒成立问题, 考查化归思想与分类讨论 思想,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.计算下列各式的值: (1) (ln5) +( ) +
0 0.5



(2)log21﹣lg3?log32﹣lg5. 考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据幂函数的性质对数函数运算的性质即可求出, (2)利用对数的运算性质和换底公式,计算即可. 解答: 解: (1) (ln5) +( ) + (2)log21﹣lg3?log32﹣lg5=0﹣lg3?
0 0.5



=1+ +

﹣1﹣

= ,

﹣lg5=﹣lg2﹣lg5=﹣lg10=﹣1

点评: 本题主要考查了对数函数的运算性质,属于基础题. 16.已知集合 A={a ,a+1,﹣3},B={a﹣3,2a﹣1,a +1},若 A∩B={﹣3},求实数 a 的 值. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由 A∩B={﹣3}得﹣3∈B,分 a﹣3=﹣3,2a﹣1=﹣3,a +1=﹣3 三种情况讨论,一 定要注意元素的互异性. 解答: 解:∵A∩B={﹣3}, ∴﹣3∈B,而 a +1≠﹣3, ∴当 a﹣3=﹣3,a=0,A={0,1,﹣3},B={﹣3,﹣1,1}, 这样 A∩B={﹣3,1}与 A∩B={﹣3}矛盾; 当 2a﹣1=﹣3,a=﹣1,符合 A∩B={﹣3} ∴a=﹣1 点评: 本题主要考查集合的交集及其运算,通过公共元素考查了分类讨论的思想. 17.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3=0},B={x|mx+1=0}. (1)若 m=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=A,求实数 m 的值. 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)把 m=1 代入 B 中方程求出解,确定出 B,求出 A 中方程的解确定出 A,找 出两集合的交集即可; (2)由 A 与 B 的并集为 A,得到 B 为 A 的子集,确定出 m 的范围即可. 解答: 解: (1)由 A 中方程变形得: (x﹣3) (x+1)=0, 解得:x=3 或 x=﹣1,即 A={﹣1,3}, 把 m=1 代入 B 中方程得:x+1=0,即 x=﹣1, 可得 B={﹣1}, 则 A∩B={﹣1}; (2)∵A∪B=A,∴B?A, 当 m=0 时,B=?,满足题意;
2 2 2 2 2

当 m≠0 时,B={ }, ∵A={﹣1,3},∴﹣ =﹣1 或 3, 解得:m=1 或 m=﹣ , 综上,实数 m 的值为 0,1 或﹣ . 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 18. (16 分)用一根细铁丝围一个面积为 4 的矩形, (1)试将所有铁丝的长度 y 表示为矩形的某条边长 x 的函数; (2)①求证:函数 f(x)=x+ 在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数; ②题(1)中矩形的边长 x 多大时,细铁丝的长度最短? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用面积求出另一条边长为 ,则可得铁丝的长度; (2)①利用导数证明即可;②由①可知 x=3 时,函数取得最小值. 解答: (1)解:由题意,另一条边长为 ,则铁丝的长度 y=2x+ (x>0) ; (2)①证明:∵f(x)=2(x+ ) , ∴f′(x)=2﹣ ,

∴在(0,2]上,f′(x)<0,在[2,+∞)上,f′(x)>0, ∴函数 f(x)=2(x+ )在(0,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数; ②解:由①可知 x=2 时,函数取得最小值 8. 点评: 本题考查函数模型的选择与应用,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (16 分)已知 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上是偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x﹣3 (1)用分段函数的形式写出函数 f(x)的表达式; (2)作出函数 f(x)的简图; (3)指出函数 f(x)的单调区间. 考点: 二次函数的图象;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间;偶函 数. 专题: 综合题;数形结合. 分析: (1)设出 x<0,把﹣x 代入题设函数的解析式,利用函数奇偶性求得函数在(﹣ ∞,0)上的解析式,最后综合可得函数的解析式.
2

(2)利用二次函数的性质,分别看 x≥0 和 x<0,函数的对称轴,开口方向以及与 x 轴,y 轴的交点画出函数的图象. (3)根据图象和二次函数的性质可推断出函数的单调性. 2 解答: 解: (1)设 x<0 则﹣x>0,f(﹣x)=x +2x﹣3 2 又∵f(x)为偶函数∴f(x)=f(﹣x)=x +2x﹣3



(2)

(3)如图:f(x)在(﹣∞,﹣1]与[0,1]单调递减, 在[﹣1,0]与[1,+∞)上单调递增. 点评: 本题主要考查了二次函数的图象, 函数的单调性及其求法等. 考查了学生的基础知 识的应用和数形结合思想的运用. 20. (16 分)已知一次函数 f(x)=kx+b 的函数经过点(4,﹣1) ,g(x)=﹣2x?f(x) ,且 g(x)的图象关于直线 x=1 对称. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 x0 满足 g(x0)+ <0,试判断 f(x0+2)的符号.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 4k+b=﹣1,表示出 f(x)=kx﹣4k﹣1,g(x)=﹣2kx +2(4k+1)x,根 据 g(x)的图象关于直线 x=1 对称,得 =1,解出即可; ﹣2(x0+2)= +2x0,
2

(2)由(1)得出 g(x)的表达式,得出 g(x0+2)= 从而得出答案. 解答: 解: (1)由题意得:4k+b=﹣1,即 b=﹣4k﹣1(k≠0) , 2 f(x)=kx﹣4k﹣1,g(x)=﹣2kx +2(4k+1)x, ∵g(x)=﹣2x?f(x)的图象关于直线 x=1 对称,



=1,∴k=﹣ ,b=1,

∴f(x)=﹣ x+1; (2)由(1)得:g(x)=x ﹣2x,g(x0)+ <0,即 ∴2x0> + ,而 g(x0+2)= ﹣2(x0+2)=
2

﹣2x0+ <0, +2x0> + + >0,

即 g(x0+2)的符号为正号. 点评: 本题考查了求函数的解析式问题,一元二次不等式的解法,是一道基础题.


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