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2013中国女子数学奥林匹克


2013 中国女子数学奥林匹克
第一天 2013 年 8 月 12 日 上午 8:00-12:00

宁波 浙江省镇海中学
1.设 A 是平面直角坐标系中三条直线 x ? 1 , y ? 0 和 y ? t (2 x ? t ) 围成的闭区域, 其中 0 ? t ? 1 .求证:在区域 A 内,以 P(t , t 2 ) 和 Q(1,0)

为其中两个顶点的三角形 的面积不超过
1 . 4

2.如图,在梯形 ABCD 中, AB // CD , ? O1 与 DA, AB, BC 三边相切, ? O2 与 设 求 BC, CD, DA 三边相切. P 是 ? O1 与边 AB 的切点,Q 是 ? O2 与边 CD 的切点. 证: AC, BD, PQ 三线共点.

3.在 m 个女孩和 n 个男孩组成的群体中,任意两人要么相互认识,要么互不认 识.对任意两个男孩和两个女孩,其中至少有一个男孩与一个女孩互不认识.求 证:相互认识的男女孩无序对的个数不超过 m ?
n(n ? 1) . 2

4.求同时满足下列两个条件的多项式 f ( x) ? ax3 ? bx 的个数: (1) a, b ?{1, 2,?, 2013} ; (2) f (1), f (2),?, f (2013) 中任意两数之差都不是 2013 的倍数.

2013 中国女子数学奥林匹克
第二天 2013 年 8 月 13 日 上午 8:00-12:00

宁波 浙江省镇海中学
5.给定正实数 a1 , a2 ,?, an .求证:存在正实数 x1 , x2 ,?, xn 满足 ? xi ? 1 ,且对任
i ?1 n

何满足 ? yi ? 1 的正实数 y1 , y2 ,?, yn ,均有 ?
i ?1
i ?1

n

n

ai xi 1 n ? ? ai . xi ? yi 2 i ?1

6.设集合 S 是 {0,1, 2,?,98} 的 m ? 3 元子集,满足对任意 x, y ? S ,均存在 z ? S , 使得 x ? y ? 2 z(mod99) .求 m 的所有可能值. 7.如图, ? O1 与 ? O2 外切于点 T ,四边形 ABCD 内接于 ? O1 ,直线 DA、CB 分 别切 ? O2 于点 E、F . 直线 BN 平分 ?ABF 并与线段 EF 交于点 N , 直线 FT 交 ? AT (不含点 B )于另一点 M ,且 M 与 A 不重合.求证:点 M 为 ?BCN 的外心.

8.设 n ? 4 是偶数.在正 n 边形的顶点处任意方式标上 n 个互不相同的实数,从 某条边起按顺时针方向依次将边记为 e1 , e2 ,? , en .一条边称为“正边” ,若其两个 端点所标之数按顺时针方向是递增的. 两条不同的边构成的无序边对 {ei , e j } 称为 “交错” 若 2 | (i ? j ) , 的, 且将它们四个端点上所标数按递增顺序记为 a ? b ? c ? d 后, a, c 是其中一条边的两端点所标之数.求证:交错的边对的个数与正边的个 数具有不同的奇偶性.


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