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2008年高考数学文科试题分类汇编:数列

时间:2013-12-27


03 数列
一、选择题 1. (北京 7) .已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( C ) A.30 B.45

C.90

D.186

2. (广东 4)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=4,S

4=20,则该数列的公差 d= ( B ) A.7 B.6 C.3 D.2

3. (宁夏 8)设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

S4 =( C ) a2

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2 1 n

4. (江西 5)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

5. (全国Ⅰ7)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A ) A.64 B.81 C.128 D.243

6. (福建 3)设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 前 8 项和为( C ) A.128 B.80 C.64 D.56

7. (上海 14) 若数列 ?an ? 是首项为 l , 公比为 a ? 则 a 的值是( B ) A.1 B.2 C.

3 的无穷等比数列, ?an ? 各项的和为 a, 且 2
D.

1 2

5 4

8.(天津 4) 若等 差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( B ) A.12 B.13 C.14 D.15 9. (浙江 4)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?

1 ,则公比 q = ( D ) 4
(D) ( C ) (D)7

(A) ?

1 2

(B) ? 2

( C)2

1 2

10.(重庆 1)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于 (A)4 (B)5 (C)6

11.(陕西 4) 已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等 于( B )

A.64 二、填空题

B.100

C.110

D.120

1. (安徽 15) 在数列 {an } 在中,an ? 4n ? 为常数,则 ab ? -1

5 * ,a ? a ? ?an ? an2 ? bn ,n ? N ,其中 a , b 2 1 2
.15

2. (宁夏 13)已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? 3. (江苏 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 4. (四川 16)设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ? 1 , 则通项 an ? ______

n2 ? n ? 6 2

n ? n ? 1? ? 1 _____。 2

三、解答题 1. (安徽 21) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a0 ? a, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中 a , c 为实数,且 c ? 0 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ)设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2
*

(Ⅲ)若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,证明 0 ? c ? 1 解 (1) 方法一:

∵an?1 ?1 ? c(an ?1)
∴ 当 a ? 1 时, ?an ?1?是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列。

∴an ?1 ? (a ?1 )n?1 ,即 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。 c
∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。
方法二 由题设得:当 n ? 2 时,

an ?1 ? c(an?1 ?1) ? c2 (an?2 ?1) ? ? ? cn?1 (a1 ?1) ? (a ?1)cn?1

∴an ? (a ?1)cn?1 ?1
n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。
∴ 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 (n ? N * ) 。
(2)

1 ? n( ) n 2 1 1 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2( ) 2 ? ? ? n( ) n 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n ?1 Sn ? ( ) ? 2( ) ? ? ? n( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 ∴ Sn ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? 1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 2[1 ? ( ) n ] ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 ∴ Sn ? 2 ? (2 ? n)( ) n 2
由(1)得 bn ? n(1 ? a) c
n ?1

(3) 由(1)知 an ? (a ?1)cn?1 ? 1 若 0 ? (a ?1)cn?1 ? 1 ? 1 ,则 0 ? (1 ? a)cn?1 ? 1

∵0 ? a1 ? a ? 1,
由c
n ?1

∴ 0 ? c n ?1 ?

1 (n ? N * ) 1? a

? 0 对任意 n ? N * 成立,知 c ? 0 。下面证 c ? 1 ,用反证法
x
n ?1

方法一:假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c 于无穷大



∴cn ?1 ?

1 * 不能对 n ? N 恒成立,导致矛盾。∴ c ? 1 。 1? a ∴0 ? c ? 1 1 1 n ?1 n ?1 方法二:假设 c ? 1 ,∵ c ? ,∴ log c c ? log c 1? a 1? a 1 (n ? N * ) 恒成立 即 n ? 1 ? log c (*) 1? a

∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴ c ? 1
∴0 ? c ? 1
2. (北京 20) (本小题共 13 分)

,? , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? (n2 ? n ? ? )an ( n ? 1 2, ) ? 是常数.
(Ⅰ)当 a2 ? ?1时,求 ? 及 a3 的值;

(Ⅱ)数列 ?an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅲ)求 ? 的取值范围,使得存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 an ? 0 . 解: (Ⅰ)由于 an?1 ? (n2 ? n ? ? )an (n ? 1 2, ) ,且 a1 ? 1 . ,? 所以当 a2 ? ?1时,得 ?1 ? 2 ? ? , 故 ? ? 3. 从而 a3 ? (22 ? 2 ? 3) ? (?1) ? ?3. (Ⅱ)数列 ?an ? 不可能为等差数列,证明如下: 由 a1 ? 1 , an?1 ? (n2 ? n ? ? )an 得

a2 ? 2 ? ? , a3 ? (6 ? ? )(2 ? ? ) , a4 ? (12 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) .
若存在 ? ,使 ?an ? 为等差数列,则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即 (5 ? ? )(2 ? ? ) ? 1 ? ? , 解得 ? ? 3 . 于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2 , a4 ? a3 ? (11 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) ? ?24 . 这与 ?an ? 为等差数列矛盾.所以,对任意 ? , ?an ? 都不可能是等差数列. ( Ⅲ ) 记 bn ? n2 ? n ?? ( n ?,? ), 根 据 题 意 可 知 , b1 ? 0 且 bn ? 0 , 即 ? ? 2 且 12 ,

? ? n2 ? n(n ?N* ) ,这时总存在 n0 ? N* ,满足:当 n ≥ n0 时,bn ? 0 ;当 n ≤ n0 ?1 时,
bn ? 0 .
所以由 an?1 ? bn an 及 a1 ? 1 ? 0 可知,若 n0 为偶数,则 an0 ? 0 ,从而当 n ? n0 时, an ? 0 ; 若 n0 为奇数,则 an0 ? 0 ,从而当 n ? n0 时 an ? 0 . 因此“存在 m ? N ,当 n ? m 时总有 an ? 0 ”的充分必要条件是: n0 为偶数,
*

记 n0 ? 2k (k ? 1 2, ) ,则 ? 满足 ,?

?b2 k ? (2k ) 2 ? 2k ? ? ? 0 ? . ? 2 ?b2 k ?1 ? (2k ? 1) ? 2k ? 1 ? ? ? 0 ?
故 ? 的取值范围是 4k ? 2k ? ? ? 4k ? 2k (k ?N ) .
2 2 *

3. (福建 20) (本小题满分 12 分)

已知{ an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an ?1 )(n ? N*)在函数 y=x2+1 的图象 上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn ·bn+2<b2n+1. 解法一: (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(a-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n 从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+··+(b2-b1)+b1 · n-1 n-2 =2 +2 +··+2+1 · =
a

1 ? 2n n =2 -1. 1? 2

因为 bn·bn+2-b 2?1 =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2 n =(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1) =-5·2n+4·2n =-2n<0, 所以 bn·bn+2<b 2?1 , n 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 b2=1, bn·bn+2- b 2?1 =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b 2?1 n n =2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1 =2n(bn+1-2n+1) =2n(bn+2n-2n+1) =2n(bn-2n) =? =2n(b1-2) =-2n〈0, 所以 bn-bn+2<b2n+1 4. (广东 21)(本小题满分 14 分) 设数列{an}满足 a1=1,a2=2,an=

1 (an-1+2an-2)(n=3,4,?),数列{bn}满足 b1=1,bn(n=2,3,?) 3

是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k,都有-1 ? bm+bm+1+?+bm+1 ? 1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2) 记 cn=nanbn(n=1,2,?),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

解:(1)由 an ?

1 (an ?1 ? an ? 2 ) 得 3

2 an ? an ?1 ? ? (an ? 1? an ? ) 2 3

(n ? 3 )

又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 ,

2 ? 数列 ?an?1 ? an ? 是首项为 1 公比为 ? 的等比数列, 3

? 2? an?1 ? an ? ? ? ? ? 3?

n ?1

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?? (an ? an?1 )

? 2? ? 2? ? 2? ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?
? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 ? b ? Z,b ? 0 2 ? 2

2

n?2

? 2? 1? ? ? ? 3? ? 1? ? 2 1? 3

n ?1

?

8 3? 2? ? ?? ? 5 5? 3?

n ?1





? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? b2 ? ?1 , 由 ? ?1 ? b3 ? 1 ? b ? Z,b ? 0 3 ? 3



b3 ? 1 ,?
同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1; 因此 bn ? ?

? 1 当 n 为奇数时 ?-1 当 n 为偶数时

n ?1 ? 8 3 ?2? ? n ? n? ? 5 ?3? ? 5 (2) cn ? nanbn ? ? n ?1 3 ?2? ? 8 ? n ? n? ? ? 5 5 ?3? ?

当 n 为奇数时

当 n 为偶数时

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn
当 n 为奇数时,
8 8 8 8 8 S n ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n) ? 5 5 5 5 5 1 2 3 n ?1 ? ? 2 ?0 3 ?2? ?2? ?2? ?2? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

?

0 1 2 3 n ?1 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ?

当 n 为偶数时,
8 8 8 8 8 S n ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n) ? 5 5 5 5 5 0 1 2 3 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

??

0 1 2 3 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?

令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ?

?2? ?3?

0

?2? ?3?

1

?2? ?3?

2

?2? ?3?

3

?2? ?3?
4

n ?1

??①

2 ①× 得: 3
①-②得:

2 ? 2? ?2? ?2? ? 2? ?2? Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? 3 ? 3? ?3? ?3? ? 3? ?3? 1 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
?2? 1? ? ? n n 3 ?2? ?2? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? ?3 ? n? ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3
n

1

2

3

n

??②

1

2

3

4

n ?1

? 2? ? n? ? ? 3?

n

? Tn ? 9 ? ? 9? 3 ? ? 2 ? n ? ? ?3?

n

? 4n ? 23 9 ? n ? 3? ? 2 ?n ? ? ? ? 5 5 ? ?3? Sn ? ? 因此 n ? 4n ? 27 9 ? n ? 3? ? 2 ? ? ? ? ? ? 5 5 ?3? ?

当 n 为奇数时

当 n 为偶数时

5. (江苏 19) (16 分) (1)设 a1 , a2 ,...... n 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) ,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去 a 某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n ? 4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(2)求证:对于一个给定的正整数 n(n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2 ,...... n ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。 b
【解析】 :本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。 (1)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比 数列,则推出 d=0。 若删去 a2 , a32 ?a1 a4 , (a1 ? d 则 即 ? 2)
2

?a 1? a 1? d ( 3)

化简得 a1 ? 4d ? 0 , 得

a1 ? ?4 d

若删去 a3 ,则 a2 2 ? a1 ? a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) 化简得 a1 ? d ? 0 ,得 综上,得

a1 ?1 d

a1 a ? ?4 或 1 ? 1 。 d d ②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去 a1 , a2 , a4 , a5 ,否则出现连续三项。
若删去 a3 ,则 a1 ?a5 ? a2 ?a4 ,即 a1 (a1 ?4d ) ?(a 1 ?d ) ?(a 1 ?3d) 为 d ? 0 ,所以 a3 不能删去; 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an?1, an 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an ? a3 ? an?2 ,这与 d ? 0 矛盾;同样若删 去 an ?1 也有 a1 ? an ? a3 ? an? 2 ,这与 d ? 0 矛盾;若删去 a3 ,?, an?2 中任意一个,则必有 化简得 3d ? 0 ,因
2

a1 ? an ? a2 ? an?1 ,这与 d ? 0 矛盾。(或者说:当 n≥6 时,无论删去哪一项,剩余的项中必
有连续的三项) 综上所述, n ? 4 。 (2)假设对于某个正整数 n,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,...... n ,其中 b

bx?1 , by ?1, bz ? 1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b2 y?1 ? bx?1 ? bz ?1 ,即 (b1 ? yd)2 ? (b ? xd) ? ( b ? zd),化简得 ( y2 ? xz)d 2 ? ( x ? z ? 2 y)b1d 1 1
由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0
2

(*)

当 y 2 ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。 故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y
b1 为有理数。 d

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 于是, 对于任意的正整数 n(n ? 4) , 只要

b1 为无理数, 相应的数列就是满足题意要求的数列。 d

例如 n 项数列 1,1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,??, 1 ? (n ?1) 2 满足要求。 6. (江西 19)等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列,

b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 .
(1)求 an 与 bn ; (2)求和:

1 1 1 ? ??? . S1 S2 Sn
[来源:Zxxk.Com]

(1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
依题意有 ?

? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64



6 ? ?d ? ? 5 ?d ? 2 ? 解得 ? (舍去) ,或? ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ?
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2
1 1 1 1 3 2n ? 3 (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

?
?

7. (湖南 20)数列 ?an ? 满足

a1 ? 0, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2

n? n? )an ? 4sin 2 , n ? 1, 2,3,?, 2 2

(I)求 a3 , a4 ,并求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 Sk ? a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 , Tk ? a2 ? a4 ? ? ? a2k , Wk ? 求使 Wk ? 1 的所有 k 的值,并说明理由。 解: (I)因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos
2

2Sk (k ? N ? ) , 2 ? Tk

?
2

)a1 ? 4sin 2

?
2

? a1 ? 4 ? 4,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? 4sin2 ? ? 2a2 ? 4, 一般地, 当 n = 2k ?1(k ? N ? ) 时,
a2 k ?1 ? [1 ? cos 2 (2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? 4sin 2 ? ? a2 k ?1 ? 4, 2 2

即 a2k ?1 ? a2 k ?1 ? 4. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 0、公差为 4 的等差数列, 因此 a2k ?1 ? 4(k ?1).
? 当 n = 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? [1 ? cos
2

2 k? 2k ]a2 k ? 4sin 2 ? ? 2a2 k , 2 2

所以数列 ?a2k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k ? 2k.

?2(n ? 1), n ? 2k ? 1(k ? N ? ), ? 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ? 2 2 , n ? 2k ( k ? N ? ) ?

(II)由(I)知, Sk ? a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ? 0 ? 4 ? ? ? 4(k ?1) ? 2k (k ?1),

Tk ? a2 ? a4 ? ?? a2k ? 2 ? 22 ? ?2k ? 2k ?1 ? 2, Wk ?
于是 W1 ? 0, W2 ? 1, W3 ?

2Sk k (k ? 1) ? . 2 ? Tk 2k ?1

3 3 5 15 , W4 ? , W5 ? , W6 ? . 2 2 4 16

下面证明: 当 k ? 6 时, Wk ? 1. 事实上, 当 k ? 6 时,

Wk ?1 ? Wk ?

(k ? 1)k k (k ? 1) k (3 ? k ) ? ? ? 0, 即 Wk ?1 ? Wk . 2k 2k ?1 2k

又 W6 ? 1, 所以当 k ? 6 时, Wk ? 1. 故满足 Wk ? 1 的所有 k 的值为 3,4,5. 8. (辽宁 20) (本小题满分 12 分) 在数列 | an | , | bn | 是各项均为正数的等比数列,设 cn ? (Ⅰ )数列 | cn | 是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ )设数列 | ln an | , | ln bn | 的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a1 ? 2 , 列 | cn | 的前 n 项和. 解: (Ⅰ) cn 是等比数列. ································· 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 2 证明:设 an 的公比为 q1 (q1 ? 0) , bn 的公比为 q2 (q2 ? 0) ,则

bn ( n ? N* ) . an

Sn n ,求数 ? Tn 2n ? 1

cn?1 bn?1 an bn?1 an q ? ? ? ? ? 2 ? 0 ,故 cn 为等比数列. ················5 分 ··········· ····· ·········· ····· cn an?1 bn bn an ?1 q1
(Ⅱ)数列 ln an 和 ln bn 分别是公差为 ln q1 和 ln q2 的等差数列.

n(n ? 1) ln q1 2 2 由条件得 ,即 ? n(n ? 1) 2n ? 1 n ln b1 ? ln q2 2 n ln a1 ?
2ln a1 ? (n ? 1) ln q1 n . ··········· ··········· ········· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 7 ? 2ln b1 ? (n ? 1) ln q2 2n ? 1
故对 n ? 1 , 2 ,?,

(2ln q1 ? ln q2 )n2 ? (4ln a1 ? ln q1 ? 2ln b1 ? ln q2 )n ? (2ln a1 ? ln q1) ? 0 .
于是

?2 ln q1 ? ln q2 ? 0, ? ?4 ln a1 ? ln q1 ? 2 ln b1 ? ln q2 ? 0, ?2 ln a ? ln q ? 0. 1 1 ?
将 a1 ? 2 代入得 q1 ? 4 , q2 ? 16 , b1 ? 8 .························ 分 ······················· 10 ·········· ··········· ·· 从而有 cn ?

8? n?1 16 ? 4n . n ?1 2?4

所以数列 cn 的前 n 项和为

4 ? 42 ? … ? 4n ?

4 n (4 ? 1) . ·······························12 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 3

9. (全国Ⅰ19) (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,

an ?1 a ? nn 1 ? 1 , n 2 2?

bn?1 ? bn ? 1 ,
则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,

bn ? n , an ? n2n?1 .
(2) Sn ? 1? ? 2? ? ? ? (n ?1)? 2 2 2
0 1 n ?2

? n? n?1 2

2Sn ? 1? 1 ? 2? 2 ? ?? (n ?1)? n?1 ? n? n 2 2 2 2

两式相减,得

Sn ? n? n ?1? 0 ? 21 ??2n?1 ? n? n ? 2n ?1 . 2 2 2
10. (全国Ⅱ18) (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 . 解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则
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a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d ,
··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d . ··································3 分
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 , 整理得 10d ? 10d ? 0 ,
2

解得 d ? 0 或 d ? 1 . ····································· 分 ··········· ·········· ··········· ···· 7 ·········· ··········· ··········· ···· 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . ······························ 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 9 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ?

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . ···················· 分 ··················· 12 ·········· ········· 2

11.(山东 20)(本小题满分 12 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a4 a7 a3 a5 a8 a6 a9 a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .Sn 为数列 ?bn ? 的前 ?

n 项和,且满足

2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn Sn ? Sn

(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?
4 时,求上表中第 k (k ≥3) 行所有项的和. 91

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

(Ⅰ)证明:由已知,当 n ≥ 2 时, 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 所以

2bn ?1, 2 bn Sn ? Sn

2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, 2 ( Sn ? Sn ?1 ) Sn ? Sn



2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, ? Sn ?1Sn 1 1 1 ? ? , Sn Sn ?1 2

所以

又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 . 所以数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ?
1 1 n ?1 , ? 1 ? (n ? 1) ? Sn 2 2

由上可知

即 Sn ?

2 . n ?1

所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ?

2 2 2 ? ?? . n ?1 n n(n ? 1)

?1,    n ? 1, ? 因此 bn ? ? 2 ?? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 . 因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ?

12 ?13 ? 78 , 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ?an ? 的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列,

q 因此 a81 ? b13 ? ? ?
2

4 . 91

又 b13 ? ?

2 , 13 ? 14

所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ≥3) 行所有项的和为 S , 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ?? ? ? (1 ? 2k )(k ≥ 3) . 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

12. (上海 21) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分4分,第 2 小题满分6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? : a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? r , an?3 ? an ? 2 ( n 是正整数) ,与数列 . ?bn ? : b1 ? 1 , b2 ? 0 , b3 ? ?1 , b4 ? 0 , bn?4 ? bn ( n 是正整数) 记 Tn ? b1a1 ? b2 a2 ? b3a3 ? ? ? bn an . (1)若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a12 ? 64 ,求 r 的值; (2)求证:当 n 是正整数时, T12n ? ?4n ; (3)已知 r ? 0 ,且存在正整数 m ,使得在 T12 m ?1 ,T12 m ? 2 ,? ,T12m?12 中有 4 项为 100.求

r 的值,并指出哪 4 项为 100.
【解】 (1)

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a12

? 1 ? 2 ? r ? 3 ? 4 ? ? r ? 2? ? 5 ? 6 ? ? r ? 4? ? 7 ? 8 ? ? r ? 6?
? 48 ? 4 r . 48 ? 4r ? 64, ? r ? 4.



………………..2 分 ………………..4 分

【证明】 (2)用数学归纳法证明:当 n ? Z ?时,T12n ? ?4n. ① 当 n=1 时, T12 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? ?4, 等式成立….6 分 ② 假设 n=k 时等式成立,即 T12 k ? ?4k , 那么当 n ? k ? 1 时,

T12? k ?1? ? T12k ? a12k ?1 ? a12k ?3 ? a12k ?5 ? a12k ?7 ? a12k ?9 ? a12k ?11 ………8 分
? ?4k ? ?8k ? 1? ? ?8k ? r ? ? ?8k ? 4? ? ?8k ? 5? ? ?8k ? r ? 4? ? ?8k ? 8? ? ?4k ? 4 ? ?4 ? k ? 1? , 等式也成立.

根据①和②可以断定:当 n ? Z ?时,T12n ? ?4n. …………………...10 分 【解】 (3)

T12 m ? ?4m ? m ? 1? . 当n ? 12m ? 1, 12m ? 2时, n ? 4m ? 1; T 当n ? 12m ? 3, 12m ? 4时,T ? ?4m ? 1 ? r ; n 当n ? 12m ? 5, 12m ? 6时,Tn ? 4m ? 5 ? r ; 当n ? 12m ? 7, 12m ? 8时,Tn ? ?4m ? r ; 当n ? 12m ? 9, 12m ? 10时,Tn ? 4m ? 4;
当n ? 12m ? 11, 12m ? 12时, Tn ? ?4m ? 4. ………………………..13 分
∵ 4m+1 是奇数, ?4m ? 1 ? r , ?4m ? r , ?4m ? 4 均为负数, ∴ 这些项均不可能取到 100. 此时, T293 , T294 , T297 , T298 为 100. 13. (四川 21) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明: ………………………..15 分 …………………………18 分

?a

n ?1

? 2a n ? 是等比数列;

(Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式 【解】(Ⅰ)因为 a1 ? S1 ,2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2 : 由 2an ? Sn ? 2n 知

2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1
得 an ? Sn ? 2n?1 ①

所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8

a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S2 ? 24 a4 ? S3 ? 24 ? 40
(Ⅱ)由题设和①式知
n n an ?1 ? 2an ? ? S n ? 2 ?1 ? ? ? S n ? 2 ?

? 2n ?1 ? 2n ? 2n

n 所以 an ?1 ? 2a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅲ) an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ??? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1

? ? n ?1? ? 2n?1
14.(天津 20)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ≥ 2,q ? 0) . (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an (n ? N* ) ,证明 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N ,an 是 an ?3 与 an?6
*

的等差中项. (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 (n ≥ 2) ,得

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,


bn ? qbn?1,n ≥ 2 .
又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,

a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? q ,
??

an ? an?1 ? qn?2 (n ≥ 2) .
将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? …? qn?2 (n ≥ 2) .所以当 n ≥ 2 时,

? 1 ? q n ?1 ,q ? 1, ?1 ? an ? ? 1? q ?n, q ? 1. ?
上式对 n ? 1 显然成立. (Ⅲ )解:由(Ⅱ ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . ) 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q ? q ? q ? q ,由 q ? 0 得
5 2 2 8

q3 ? 1 ? 1 ? q 6 ,



整理得 (q3 )2 ? q3 ? 2 ? 0 ,解得 q3 ? ?2 或 q3 ? 1 (舍去) .于是

[来源:Z|xx|k.Com]

q?? 2.
3

另一方面,

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 an ? an?3 ? ? (q ? 1) , 1? q 1? q an?6 ? an ?
由① 可得

q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q

an ? an?3 ? an?6 ? an,n ? N* .
所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*

15. (浙江 18) (本题 14 分) 已知数列 ?xn ? 的首项 x1 ? 3 , 通项 xn ? 2n p ? nq( n ? N ? , p, q 为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等差数列,求: (Ⅰ) p, q 的值; (Ⅱ)数列 ?xn ? 的前 n 项的和 Sn 的公式。 (Ⅰ)解:由 x1 ? 3 ,得 2 p ? q ? 3 , 又 x4 ? 24 p ? 4q , x5 ? 25 p ? 5q ,且 x1 ? x5 ? 2 x4 ,得

3 ? 25 p ? 5q ? 25 p ? 8q ,
解得 p ? 1 , q ? 1 . (Ⅱ)解: Sn ? (2 ? 22 ? ?? 2n ) ? (1 ? 2 ? ?? n)

? 2n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) . 2
[来源:Z&xx&k.Com]

16. (重庆 22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分.(Ⅱ)小问 6 分) 设各项均为正数的数列{an}满足 a1 ? 2, an ? a (Ⅰ)若 a2 ?
3 2 n ?1 n ? 2

a

(n ? N*) .

1 , 求 a3,a4,并猜想 a2008 的值(不需证明); 4

(Ⅱ)若 2 2 ? a1a2 ? ? n ? 4 对 n≥2 恒成立,求 a2 的值. ?a

解: (I)因 a1=2,a2=2-2,故 由此有 a1=2(-2)0, a2=2(-2)4, a3=2(-2)2, a4=2(-2)3, 从而猜想 an 的通项为

an ? 2 ( ?2) (n ? N*) ,
所以 a2xn= 2
( ?2 ) 2 xn

n ?1

.

(Ⅱ)令 xn=log2an.则 a2=2x2,故只需求 x2 的值。 设 Sn 表示 x2 的前 n 项和,则 a1a2?an= 2 n ,由 2 2 ≤a1a2?an<4 得
s

2 ≤Sn=x1+x2+?+xn<2(n≥2). 3 2 1 因上式对 n=2 成立,可得 ≤x1+x2,又由 a1=2,得 x1=1,故 x2≥ . 3 2
2 3 由于 a1=2, an ? an?1an?2 (n∈N*),得 x n ?

3 x n ?1 ? x n ? 2 (n∈N*),即 2

3 1 1 x n ?1 ) ? x n ?1 ? ( x n ?1 ? 2 x n ) , 2 2 2 1 因此数列{xn+1+2xn}是首项为 x2+2,公比为 的等比数列,故 2 1 xn+1+2xn=(x2+2) n ?1 (n∈N*). 2 x n ? 2 ? 2 x n ?1 ? ( x n ? 2 ?
将上式对 n 求和得 Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1+

1 1 1 +?+ n ?1 )=(x2+2)(2- n ?1 )(n≥2). 2 2 2
)<5(n≥2).

因 Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且 x1=1,故 (x2+2)(2-

1 2 n ?1

因此 2x2-1< 下证 x2≤ 2n 1<


x2 ? 2 ( n≥2). 2 n ?1

1 1 ,若淆,假设 x2> ,则由上式知,不等式 2 2

x2 ? 2 2 x2 ? 1
1 . 2

对 n≥2 恒成立,但这是不可能的,因此 x2≤ 又 x2≥

1 1 z ,故 z2= ,所以 a2=2 2 = 2 . 2 2

17.(湖北 21).(本小题满分 14 分)

已知数列 {an }和{bn }满足:a1 ? ? , an ? 1 ? 中 ? 为实数, n 为正整数.

2 ax ?n ? 4n , bn ? (?1)n (an ? 3n ? 21) ,其 3

(Ⅰ)证明:当 ? ? ?18时,数列 bn }是等比数列; { (Ⅱ)设 Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n,都有 若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由. Sn ? ?1 2 ?
2 (Ⅰ)证明:假设存在一个实数?,使{an}是等比数列,则有 a2 ? a1a2 ,即
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4 2 2 4 ?4 ? ? ? 3 )2= ? ? ? ? 4 ? ? ? 2 ?4? ? 9 ? 9 ? ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 ?9 ?

所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)证明:∵ bn ?1 ? (?1)

2 [aa ?1 ? 3{n ? 1} ? 21] ? (?1) n ?1 ( an ? 2n ? 14) 3 2 2 ? ? (?1), (an ? 3n ? 21) ? ? bn . 3 3
n ?1

又 ? ? ?18,?b1 ? ?(? ? 18) ? 0. 由上式知 bn ? 0,?

bn?1 2 ? ? (n ? N n ), bn 3
2 为公比的等比数列. 3

( 故当 ? ? ?18,时, 数列{bn}是以 ? ? +18) 为首项, ?

( (Ⅲ)当 ? ? ?18时, 由(Ⅱ)得 bn ? ?(? ? 18)? ? ) 3 2 S n ? ? (? ? 18)? ? (? ) n ], [1 5 3

2 3

n ?1

, 于是

当 ? ? ?18 时, bn ? 0 ,从而 Sn ? 0. 上式仍成立. 要使对任意正整数 n , 都有 Sn ? ?12. 即 ? (? ? 18)? ? (? )n ] ? 12 ? ? [1

3 5

2 3

20 ? 18. 2 n 1 ? (? ) 3

令 f ( n) ? 1 ? ( ? ) , 则
n

2 3

当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n) ?

5 5 : 当 n 为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9

5 ? f (n)的最大值为f (1) ? . 3 3 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6. 5

综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12;

? 的取值范围为 (??, ?6).
18.(陕西 20)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2 2an , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. 3 an ? 1

(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(Ⅱ)数列 {

n } 的前 n 项和 Sn . an 2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an ?1 2an 2 2 an

解: (Ⅰ)? an ?1 ?

?

2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 an

? 数列 {

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ?? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 由① ? ②得
设 Tn ?

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n?1 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 2 2
2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n . ? 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 2 2 2 2 an


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