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2014年上海财经大学自主招生(数学)模拟测试题


2014 年财大自主招生模拟卷

2014 年财大自主招生模拟 数学
(本试卷共 25 道试题,满分 200 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题(本大题满分 84 分,共 14 小题,每小题 6 分)

?1 ,1 ? n ? 100 ? ?n a n ? _______________. ? ? a ? 1、若数列 n 的

通项公式为 a n ? ,则 lim n ?? ? 1 n ? , n ? 101 ? ? 2n ? 3
? 2、若函数 f ( x) ? arcsin x ( ?1 ? x ? 1) ,则 f ?1 ( ) ? _______________. 6

? ? ? x?4 ? ? ? ? 0? ,集合 B= ? y y ? log1 x, x ??2,???? ,则 A ? B ? _______________. 3、若集合 A= ? x ? ? ? x?2 ? 2 ? ?
4、过点 ( 3,1) 作曲线 x2 ? 4x ? y 2 ? 4 y ? 2 ? 0 的切线,则所作切线的方程为_______________. 5、在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , c ? 3, a ? 2 , a ? 2b sin A ,则 ?ABC 的面积为_________. 6、方程 4lg x ? 2lg x ? 2 ? 0 的解是_______________. 7、设等差数列 ?a n ?的首项为 a 1 ,公差为 d 前 n 项和为 S n ,若 S 10 ? S 20 ,则 S 30 的值为________. 8、复数 z 0 满足 z 0 ? 5 i ? 1 ? z 0 ? i (i 为虚数单位),则 z 0 = _______________. 9、抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面, x 记所得的数字分别为 x,y,则 y 为整数的概率是_______________. 10、若关于 x, y 的二元一次方程组 ? 是_______________. 11、在平面直角坐标系中,命题“若直线 l 过抛物线 y2 ?2px (p ?0) 的焦点,且与抛物线相交于

?m ?1

1 ? ? x ? ? m ? 1? ?? ? ? ? ? 至多有一组解,则实数 m 的取值范围 m ? ? y ? ? 2m ?

A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点,则 y 1 ? y 2 ? ?p 2 ”为真命题,如果直线 l 不是经过抛物线 y 2 ? 2 px (p ? 0)
的焦点而是经过 x 轴上另外一个定点 P( x 0 ,0) ( x 0 ? 0 ) ,并且保证直线与抛物线有两个公共 点,那么 y 1 y 2 是否还是定值吗?请作出肯定或否定的回答,并且写出 y 1 y 2 的表达式______.

1

2014 年财大自主招生模拟卷
2 2 12 、若关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? kx ? 0 在 (0,2) 上有两个不同的实数解 , 则实数 k 的取值范围

_______________. 13、函数 f(x)=x 2 + ( x ? 2 ) 2 ? ( x 2 ? 17 ) 2 的最小值为____________. 14 、 已 知 角 ? 的 顶 点 在 原 点 , 始 边 与 x 轴 的 正 半 轴 重 合 , 终 边 经 过 点 P ( ?3, 3) . 若 函 数

? ? 2π ? f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ,求函数 y ? 3 f ( ? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取 ? 3 ? 2
值范围_____

二、选择题(本大题满分 36 分,分 6 小题,每小题 6 分) 15 、 设 P, Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? a ? b a ? P, b ? Q , 若 P ? {0, 2, 5} ,

?

?

Q ? {1, 2, 6} ,则 P ? Q 中元素的个数为(
A.9 B.8 C.7

) D.6

l2 : x ? 2 y ? 2 平行的概率为 P 16、 将一颗骰子掷两次分别得到点数 a、b , 设两条直线 l1: ax ? by ? 2 , 1,
相交的概率为 P2 ,则复数 P 1?P 2i 所对应的点 P 与直线 l2 : x ? 2 y ? 2 的位置关系是( A. P 在直线 l2 的右下方 C. P 在直线 l2 的右上方 B. P 在直线 l2 的左下方 D. P 在直线 l2 的左上方 )

17、在极坐标系中,圆 C : ? 2 ? k 2 ? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0, 关于直线 l :? ? ( ) B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. k ? 0

?
4

(? ? R) 对称的充要条件是

A. k ? 1

18、设非空集合 S ? x m ? x ? l 满足:当 x ? S时,有x 2 ? S ,给出如下三个命题: ①若 m ? 1, 则S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确的命题的个数为( A.0 个 19、若 a, b ? R ,那么 B.1 个 ) C.2 个 ) . D.3 个

?

?

1 1 1 2 , 则 ? l ? 1; ③若 l ? , 则 ? ?m?0. 2 4 2 2

1 1 ? 成立的一个充分非必要条件是( a b
2

2014 年财大自主招生模拟卷 A. a ? b B. ab?a ? b ? ? 0 C. a ? b ? 0 D. a ? b

20、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 y ? f ? x ? 的图像上有且 仅有 n n ? N

?

*

? 个整点,则称函数 y ? f ? x ? 为 n 阶整点函数.有下列函数:
3 ② g ? x? ? x ;

① f ? x ? ? sin 2 x ;

?1? ③ h ? x? ? ? ? ; ?3?
D. 4

x

④ ? ? x ? ? ln x ,

其中是一阶整点函数的个数为( A. 1 B. 2

) C. 3

三、解答题(本大题共 80 分) B 1) C 21、 (14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 ΔABC 的三个顶点坐标分别为 A (1.0) , (0, , (1+cosα, 1+sinα) ,常数 α ? (0.2 ? ],求 ΔABC 面积的最大值及此时 α 的值。

22、 (满分 14 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 把公差为 2 的等差数列 {a n } 的各项依次插入等比数列 {bn } 中,将 {bn } 按原顺序分成 1 项、2 项、4 项、……、 2 n ?1 项的各组,得到数列 {cn } : b1 , a1 , b2 , b3 , a 2 , b4 , b5 , b6 , b7 , a3 ,……,记数列 {cn } 的前 n 项和为 S n .若 c1 ? 1 , c 2 ? 2 , S 3 ? (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {cn } 的前 100 项和 S100 ; (3)设 Tn ? 2009 ? bn ? an ,阅读框图写出输出项,说明理由.

13 . 4
开始
1?i

Ti<15

输出 Ti



i ?1 ? i i ? 100



3


结束

2014 年财大自主招生模拟卷 23、 (16 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90 0 , AA1 ? AB ? AC ? 1 . (1)设 M 是棱 BB1 的中点,求 C 到平面 MAC1 的距离; (2)若 M 是棱 BB1 上的任意一点(包括端点) ,求二面角 M ? AC1 ? A1 的大小的取值范围. A1 C1
M

B1

A C

B

24、 (18 分)已知数列 {a n } , {bn } 满足 bn ? a n ?1 ? a n ,其中 n ? 1, 2,3, ? . (1)若 a1 ? 1, bn ? n ,求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 bn ?1bn ?1 ? bn (n ? 2) ,且 b1 ? 1, b2 ? 2 . ①记 c n ? a 6 n ?1 ( n ? 1) ,求证:数列 {c n } 为等差数列; ②若数列 {

an } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求 a1 应满足的条件. n

4

2014 年财大自主招生模拟卷 25、 (18 分)我们知道,直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的 位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题. (1)设 F1、F2 是椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 L : 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离分别 25 9

为 d1、d2,试求 d1·d2 的值,并判断直线 L 与椭圆 M 的位置关系; (2)设 F1、F2 是椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 L : mx ? ny ? p ? 0 a 2 b2

(m、n 不同时为 0)的距离分别为 d1、d2,且直线 L 与椭圆 M 相切,试求 d1·d2 的值; (3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明。

5


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