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2016-2017年最新审定北师大版数学必修五:第1章§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和(精品课件)

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最新审定北师大版数学必修五精品课件 等差数列的前n项和 1.知识目标:掌握等差数列前n项和公式及其获取思路; 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题. 2.能力目标:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会 从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认 识问题,解决问题的思路和方法;通过公式推导的过程教 学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,提高学生的 思维

水平. 3.情感目标:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美 .体会模仿与创新的重要性.使学生获得发现的成就感,优 化思维品质,提高数学的推理能力. 高斯上小学时,有一次数学老师给同学们出了一道题: 计算从1到100的自然数之和.那个老师认为,这些孩子算这 道题目需要很长时间,所以他一写完题目,就坐到一边看书 去了.谁知,他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师, 我做完了.”老师大吃一惊,原来是班上年纪最小的高斯.老 师走到他身边,只见他在笔记本上写着5050,老师看了,不 由得暗自称赞.为了鼓励他,老师买了一本数学书送给他. 思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出它 的值呢? 计算:1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 100 +99+98+ …+2 +1 100 ? (1 ? 100) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 5050. 2 等差数列的前n项和公式 … … … … 有200根相同的圆木料,要把它们堆成正三角形垛,并 使剩余的圆木料尽可能少,那么将剩余多少根圆木料? 根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成 等差数列: 1,2,3,? 设共摆放了n层,能构成正三角形垛的圆木料数为Sn,则 这是一个等差数列的求和问题,如何计算该等差数列 的和呢?而高斯计算的就是当n=100时的和.可见日常生活 中经常会遇到这样的求和问题,你能从高斯解决这个问题 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n, 的过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗? 抽象概括 设Sn是等差数列{an}的前n项和,即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an . 根据等差数列{an}的通项公式,上式可以写成 Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? [a1 ? (n ? 1)d ], 再把项的次序反过来,Sn又可以写成 ① Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? [an ? (n ? 1)d ], ② 把①, ②等号两边分别相加,得 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an ) (共n个) ? n(a1 ? an ). 于是,首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和 n(a1 ? an ) Sn ? . 2 ③ 这个公式表明:等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半,参见下图. a5 a4 a3 a2 a1 a1 a1 a1 a1 a1 d d d d a1 a1 d d d d a1 a2 d d d d a1 a3 d d d d a1 a4 d d d d a1 a5 将an=a1+(n-1)d代入③式,得 n( n ? 1) Sn ? na1 ? d. 2 特别地,当 a1 ? 1, d ? 1时,n个连续正整数的和 ④ n( n ? 1) Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? . 2 n(n ?

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