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2014年全国高中数学联赛(四川)赛区预赛(pdf版)


2 0

1

4

年第



年全 国 高 中 数 学 联 赛 四 川 赛 区 预 赛
中 图 分 类号

文 献标 识 码



文章 编 号




/>
选 择题 每 小 题



分 共






设 则



复数







巳知



为 正实 数 记



过椭 圆 的 左焦 点
与 该椭 圆 交 于


作 倾斜 角 为 两点 若 n


°

的 直线








则该





椭 圆 的 离 心率 为






巳 知公






的等 比 中 项 记



旦 是





则 下 列 判 断 正确 的 是
, ,





对 任 細 正 整数


均有




的 大 小 关 系 不能 确 定

已知




个半 径 为


的 球 则 该球 内 接 正 三


则 公差

的 取值 范 围 是



棱 锥 的 体 积 的 最 大值 为

从而 满 足 条件 的 有 序 数对 个数 为



注意到







如图

内 切 圆为



上的

过点







于点

















¥兩



当 动点



由正

的 边长为

在 知






与 内切 圆 的 交点时 得到最



李延林


提供



2 6

中 等 数 学 已知
已知




为 给定 正 整 数 数 列


满足



均为实数 函数


其中
有 两个 极 值 点




是数

⑷ 的前 项秕
°

广



满足









° °





方程
太)




的 实 根有





个 分 共



过椭 圆





的 所 有 可 能值

的 右焦 点



作 两 条垂





填 空 题 每小 题
七 … ⑴






设在 数为
中 共有 五 个

的 方 格 表 的 剌 行第 ; 列 所


直醜






的 中 点 分别 为



㈨ 广 则表
用具体
‘、

⑴ 证 明 直线


必 过 定 点 并求 此 定点




的 填 表 方法 总 数 为

若弦





的 斜 率均 存 在 求 厶


最大 值

数字作 答




已 知 二面 角


大小为
的 距离 为


°


该二 面 角


参 考 答 案
由 题意 知





到平 面

到平 面 芦 的距离
周 长 的 最小值 为 的实










为 实数 对 任 意 满 足







均有




如图


的 最 大 值为











巳 知向量

《、

是 平 面 内 两 个 互相 垂 直 的

单位 向 量 且




的 最 大值 为



对 任意 正 整 数

的 全 部正 整 数





是满 足 则满足





的 倍 数 的 最 小 的 正整 数

之和为



解 答 题 每小 题
已知


分 共




椭 圆 的第 由栖






义 知 定乂




为常数 函数

于是





求 函数

幻 的 单 调递 减 区 间









⑵若






的 极值

巳 知对



切的

恒有



求实 数

的 取值 范 围

于是





从而



2 0

1

4

年第



则丄












若 ⑷ 若 ⑴
均 成立





此 时 方程 有 两 个根






此 时 方程 有




个根









对 任 意正 整 数

综上 方程应有 三 个实 根






因此



符 合条件 的 填 法 总 数 为

注 意到

作 尸 关 于平 面
的 距离 即 为 厶



的 对称点




周 长 的最 小值

°

于 是 不等 式 成立














— 丨









°






时 上 式 等 号 可 以取 到
















于 是 不 等 式成 立











综上



彡尸 彡兄

综上 所 求 最 大 值 为 可 以 取到









设正 三 棱 锥 的 高 与

条 侧棱 的 夹 角 为




侧棱 长











故 底 面 正 三 角 形 的 边长 为
从而 所 求 体积 为


两边 的 太 求导得



对 上 式 分别 令
















时 上式 等 号 成 立
’ ’



注意 到

















在 区间












由 已

单调 递 减 在 区 间






上单 调 递增 在 区 间
, ,

知得 立丄 淀 于
为直径 的


上单 调 递减 且


是 点


在以

圆 上 且 此 圆 过原 点

中 等 数 学

从而





的 最 大值 为

故当



时 恒有




注意 到





注意 到




二次 函 数

的 对称 轴 为













在 区间







上 单调 递 减

因 此 所求 为




⑴的

大值 为


题意 知 函 数

三、




幻 的定 义域




























⑴的

注 意到

最大值 为





因为 当


所以 时














在 区间

恒 成立


上 单调 递 增

于 是 单 调递 减 区 间 为




的 最 大值 为








综上 所求
由 题意知



的 取值 范 围 是






于 是 单调 递 减 区 间 为




注 意到









知 驻点 为


显然







也 符合




从而 数 列 沁


的 通 项 公式 为












故 、 极




故 ⑷ 的 极 小值 为









大值 为


§









于是




年第



从而 当 ⑷ 时




则直 线

°

过定点
±



為左







时 易得






也过 点





当弦


或弦


的 斜 率不 存 在 时 易


广



知 直线




轴 也 过点






综上 直线


必 过定 点 五



因为







所以








⑴知

于是





故 从 而 所求


的 所有 可 能 值 为

由 题 意知





当弦



的 斜 率 均 存在 时 设


的斜

不妨设


则求 导 得

率为

则 设。

的 斜率 为



代 入椭




又当 当
















故当

有 最大值 为
的 面 积最 大值 为

从而



于是
因为








似 坐标 中 的

提供



所 以 将点


换 广 东 省 乳 源 高级 中 学读 者 王 业 坤 指 出 年第







即得点
±




数学 奥 林 匹 克 高 中 训 练 题
题 是 道 错 题 题设 中 的 四 面



填空 第

体 是不 存在 的
湖 南 省 吉 首 市 民 族 中 学 读者 阙 浩 涛 指




年第

期 《 数 学奥林 匹 克 高 中 训 练 题 题中 在




填空 第


上 改为











此时



齋点


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