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2013-2014学年江苏省宿迁市高一上学期第二次月考数学试题


宿迁市 2013-2014 学年度第一学期第二次月考

高一数学试题
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. ) 1.设集合 A ? ?1, 2, 4? , B ? ?2, 6? ,则 A 2.计算: 4
? 1 2

/>
B?
. .



? (lg 5 ? lg 20) 的值为

3.函数 y ? lg x ? 1 ? x 的定义域为 4.已知 ? ? (? ,

3? ) , tan ? ? 2 ,则 cos ? =________. 2


5.已知函数 f ( x) 满足 f (ln x) ? x ,则 f (1) ?

?1 ? 2 x( x<0) 6.设 ( x) ? ? x ,则使 f ( x) ? 3 成立的 x 值为 2 ? 1( x ? 0) ?
7..若角 ? 的终边与 2400 角的终边相同,则 8.已知幂函数 f ( x) ? x 的图像过点 (2,
?

.
象限. .

?
2

的终边在第

2 ) ,则 f (4) ? 2

9.设 a ? log 5 8, b ? log 2 5, c ? 0.30.8 ,将 a, b, c 这三个数按从小到大的顺序排列 (用“ ? ”连接) . 10.若函数 f ( x) ? kx ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是
2

.

11.函数 y ? 2 x ? log 0 5 ( x ? 1) 在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为_________. 12.已知函数 = . ( ) ,若 的定义域和值域均是 ,则实数

?3x ? 3, x ? 1 1 ? 13.已知函数 f ( x) ? ?log x, 0 ? x ? 1 ,则满足不等式 f (m) ? f ( ) 的实数 m 的取值范围 1 9 ? ? 3
为 . 是定义在 R 上的奇函数 , 当 时, , 若

14. 设 a 为实常数 ,

对一切 ..

成立,则 的取值范围为________.

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.15~16 每小题 14 分,17~18 每小题 15 分,19~20 每小题 16 分,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知集合 M ? {0,1} , A ? {( x, y ) | x ? M , y ? M } , B ? {( x, y ) | y ? ? x ? 1} . (1)请用列举法表示集合 A ; (2)求 A

B ,并写出集合 A B 的所有子集.

16. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 的图像; (2)根据函数 f ( x) 的图像回答下列问题: ① 求函数 f ( x) 的单调区间; ② 求函数 f ( x) 的值域; ③ 求关于 x 的方程 f ( x) ? 2 在区间 [0, 2] 上解的个数. (回答上述 个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤 ) ....3 . .....................

17. (本题满分 15 分)

3 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) cos( ?? ? ? ) 2 . 已知 f (? ) ? ? cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 (1)化简 f (? ) ; 3 1 (2)若 ? 为第三象限角,且 cos(? ? ? ) ? ,求 f (? ) 的值; 2 5 31 (3)若 ? ? ? ? ,求 f (? ) 的值. 3

18. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? m ?

2 5 ?1
x

(1)用定义证明 f ( x) 在 R 上单调递增; (2)若 f ( x) 是 R 上的奇函数,求 m 的值; (3)若 f ( x) 的值域为 D,且 D ? [?3,1] ,求 m 的取值范围

19. (本题满分 16 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流 速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车 流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次 函数. (1)当 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当车流密度 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/ 每小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)

20. (本题满分 16 分)

对于函数 f ( x) , 若存在实数对 ( a, b ), 使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的每 一个 x 都成立,则称函数 f ( x) 是“( a, b )型函数”. (1) 判断函数 f1 ( x) ? x 是否为 “( a, b )型函数” ,并说明理由; (2) 若函数 f 2 ( x) ? 4 x 是“( a, b )型函数”,求出满足条件的一组实数对 (a, b) ; (3)已知函数 g ( x) 是 “( a, b )型函数” ,对应的实数对 (a, b) 为(1,4).当 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x
2

?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) ,若当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 4 ,试求 m 的取值范围.

命题教师:青华中学 王万军 审稿教师:青华中学 仲 波

宿迁市 2013-2014 学年度第一学期第二次月考考试题

高一(年级)数学参考答案
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. ) 1. {1, 2, 4, 6} 2.

1 4

3. (0,1] 10. ? ??, 0?

5 4. - 5 11.4

5. e

6.-1 或 2
13. [ , log 3 5]

7. 二或四 14. a ? ?

8.

1 2

9. c ? a ? b

12. 2

1 9

8 7

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.15~16 每小题 14 分,1,7~18 每小题 15 分,19~20 每小题 16 分,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (1) A ? {(0, 0), (0,1), (1, 0), (1,1)} , ………………………………………………5 分

(2)集合 A 中元素 (0, 0), (1,1) ? B 且 (0,1), (1, 0) ? B , 所以 A 集合 A

B ? {(1, 0), (0,1)}

………………………………………………10 分 ……14 分

B 的所有子集为: ? , {(1, 0)} , {(0,1)} , {(1, 0), (0,1)}

16. (1)作图要规范:每条线上必须标明至少两个点的坐标,不在坐标轴上的点要用虚线标 明对应的坐标值(教科书第 28 页例题的要求) (有一条直线没有标明点的坐标扣 , .1 .分 . 两条都没标扣 分 ) …5 分 .2 . . (2)① 函数 f ( x) 的单调递增区间为 [1, ??) ;……7 分 函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,1] ;……9 分 ② 函数 f ( x) 的值域为 [0, ??) …………11 分

③ 方 程 f ( x ) ? 2 在 区 间 [0, 2] 上 解 的 个 数 为 1 个 …………14 分

sinαcosα?-sinα? 17.解: (1)f(α)= =-cosα. sinα· sinα 3 1 1 α- π?=-sinα= ,∴sinα=- . (2)∵cos? ? 2 ? 5 5 2 6 又∵α 为第三象限角,∴cosα=- 1-sin2α=- , 5 2 6 ∴f(α)= . 5 31 5 (3)∵- π=-6×2π+ π, 3 3 31 ? 5 ? ? 31 ? ? ∴f? ?- 3 π?=-cos?- 3 π?=-cos?-6×2π+3π? 5 π 1 =-cos π=-cos =- . 3 3 2 18(1)解: 设 x1 ? x 2 且 x1 , x 2 ? R 则 ??????1 分

2 2 2(5 x1 ? 5 x2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? m ? x1 ? ( m ? x2 ) ? x1 5 ?1 5 ?1 5 ? 1 5 x2 ? 1

?

??

?

??????3 分

? x1 ? x 2 ? 5 x1 ? 1 ? 0,5 x2 ? 1 ? 0,5 x1 ? 5 x2 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0

即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ???6 分

?5 分

? f ( x) 在 R 上单调递增
(2)? f ( x) 是 R 上的奇函数 即 2m ? (

? f ( x) ? f (? x) ? m ?

2 2 ? m ? ?x ? 08分 5 ?1 5 ?1
x

2 2 ? 5x ? ) ? 0 ? 2m ? 2 ? 0 5x ? 1 5x ? 1

?m ?1
(用 f (0) ? 0 得 m ? 1 必须检验,不检验扣 2 分) (3) 由 5 x ? 0 ? 0 ?

???? 10 分

2 2 ? 2? m?2? m? x ?m 5 ?1 5 ?1
x

D ? (m ? 2, m)

??????12 分

? D ? ?? 3,1?
?m ? 2 ? ?3 ?? ? ?1 ? m ? 1 ? m ?1

? m 的取值范围是 ?? 1,1?
19.解: (1)由题意:当 ;当

???15 分

再由已知得

故函数

的表达式为

(2)依题意并由(1)可得 当 当 当且仅当 所以,当 综上,当 时, 时, ,即 时,等号成立。 . 为增函数,故当 时,其最大值为 60×20=1200;

在区间[20,200]上取得最大值 在区间[0,200]上取得最大值

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 解: (1) f1 ( x) ? x 不是 “( a, b )型函数” , 因为不存在实数对 (a, b) 使得 (a ? x) ? (a ? x) ? b , 即 a 2 ? x 2 ? b 对定义域中的每一个 x 都成立; (2) 由 4a ? x ? 4a ? x ? b ,得 16a ? b ,所以存在实数对, 如 a ? 1, b ? 16 ,使得 f1 (a ? x) ? f1 (a ? x) ? b 对任意的 x ? R 都成立;

(3) 由 题 意 得 , g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 , 所 以 当 x ? [1, 2] 时 , g ( x) ?

4 ,其中 g (2 ? x)

2 ? x ? [0,1] , 而 x ? [0,1] 时 , g ( x) ? x 2 ? m(1 ? x) ? 1 ? x 2 ? mx ? m ? 1 , 其 对 称 轴 方 程 为

x?

m . 2
① 当

m ? 1 , 即 m ? 2 时 , g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [ g (1), g (0)] , 即 [2, m ? 1] ,则 g ( x) 2 4 4 ?m ? 1 ? 4 在 [0, 2] 上 的值 域为 [2, m ? 1] [ ,从而 , 2] ? [ , m ? 1] , 由题意 得 ? ? 4 m ?1 m ?1 ?1
? ? m ?1

2 ? m ? 3;
② 当

m2 1 m m , m ? 1] , ? ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? 4 2 2 2
m2 4 , m ? 1] [ , 4 m ?1 4 m2 m ?1? 4 ] , 则由题意 ,

则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ?

4 ? ?4 2 ? ? 得 ? m ?1? m 4 ? m ? 1 ?4 ? ?

? m2 m ? 1 ? ?1 ? ? 4 ③ 且? ,解得 1 ? m ? 2 ; 4 ? ?1 ? m ?1 ?


m2 m 1 m 当 0 ? ? , 即 0 ? m ? 1 时 , g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (1)] , 即 [m ? 1 ? , 2] , 则 4 2 2 2
m2 , 2] [2, 4 4 ] , 即 [m ? 1 ? 2 m2 , 4 4 m2 m ?1? 4 ] ,则

g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ?

m m ?1? 4

? m2 ? m ?1? 4 ? 1 ? , 4 ? ? 4 ? m2 ? m ?1? ? 4

解得 0 ? m ? 1 .

综上所述,所求 m 的取值范围是 0 ? m ? 3 .


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