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高中数学必修2期末复习立体几何知识点讲义(经典)


高中数学 必修 2 立体几何 知识点 1.1 柱、锥、台、球的结构特征,定义,性质 棱柱: 棱锥: 棱台: 圆柱: 圆锥: 圆台 : 球: 俯视图:从上往下 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图:正视图:从前往后 2 斜二测画法的步骤: 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积,侧面积公式 侧视图:从左往右

扇形的面积公式

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S扇形

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2

(二)空间几何体的体积公式 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的,无大小,无厚薄。 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长 (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 特别指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a ? ? 来表示
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2.2.直线、平面平行的判定及其性质 一、判定两线平行的方法 1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法 1、 据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个 3、 两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、 定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、 定义:成 90 ? 角 2、 直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、 定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为 90 ? 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九 线面角的求法 1.定义法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射 影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。 2. 利用公式sinθ =h/ι 其中θ 是斜线与平面所成的角, h是 垂线段的长,ι 是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又 是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

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向量法

十一、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是: 2、直线与平面所成的角的取值范围是: 3、斜线与平面所成的角的取值范围是: 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是: 十二、三角形的 4 心 内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 重心:中线的交点 垂心:高的交点 公式( , )


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