一元二次不等式的解法教案

1.5 一元二次不等式的解法教学设计方案
教学目标 （1）掌握一元二次不等式的解法； （2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组； （3）了解简单的分式不等式的解法； （4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联 系； （5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等 式； （6）通过利用二次函

数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学 思想； （7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互 转化的，树立辨证的世界观． 教学重点：一元二次不等式的解法； 教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 教与学过程设计 第一课时 Ⅰ．设置情境 问题： ①解方程 3 x ? 2 ? 0 ②作函数 y ? 3x ? 2 ? 0 的图像 ③解不等式 3 x ? 2 ? 0 【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不 等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？ 【回答】函数图像与 x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式 3 x ? 2 ? 0 的解集为函数图 像落在 x 轴上方部分对应的横坐标。能。 通过多媒体或其他载体给出下列表格。 扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元 一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

a?0

a?0

一次函数

y ? ax ? b(a ? 0) 的图像

一元一次方程 ax ? b ? 0 的解集 一元一次不等式 ax ? b ? 0 的解集

? b? ?x x ? ? ? a? ? ? b? ?x x ? ? ? a? ?

? b? ?x x ? ? ? a? ? ? b? ?x x ? ? ? a? ?

一元一次不等式 ax ? b ? 0 的解集

? b? ?x x ? ? ? a? ?

? b? ?x x ? ? ? a? ?

在这里我们发现一元一次方程， 一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。 利用 这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！ ）我们可以快速准确地求出一元一次不等式 的解集， 类似地， 我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到 其求解方法呢？ Ⅱ．探索与研究 我们现在就结合不等式 x ? x ? 6 ? 0 的求解来试一试。 （师生共同活动用“特殊点法”
2

而非课本上的“列表描点”的方法作出 y ? x 2 ? x ? 6 的图像，然后请一位程度中下的同学 写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。 ） 【答】方程 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 x x ? ?2或x ? 3
2

?

?

不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 x x ? ?2或x ? 3
2

?

?

【置疑】哪位同学还能写出 x ? x ? 6 ? 0 的解法？（请一程度差的同学回答）
2

【答】不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 x ? 2 ? x ? 3
2

?

?

我们通过二次函数 y ? x 2 ? x ? 6 的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解 的那个第（5）小题 x ? x ? 6 ? 0 的解集，还求出了 x ? x ? 6 ? 0 的解集，可见利用二次
2 2

函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。 下面我们再对一般的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 与 ax ? bx ? c ? 0 来进行讨论。
2 2

为简便起见，暂只考虑 a ? 0 的情形。请同学们思考下列问题： 如果相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其
2

对应的二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图像与 x 轴的位置关系如何？（提问程度较好的
2

学生） 【答】二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像开口向上且分别与 x 轴交于两点，一点及无交
2

点。 现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。 （通过多媒 体或其他载体给出以下表格）

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像

ax2 ? bx ? c ? 0 的根

x1, 2 ?

?b? ? 2a

x1 ? x2 ? ?

b 2a

?

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 的解集
【答】 ax ? bx ? c ? 0 的解集依次是 x x ? x1或x ? x2 ; ? x x ? R但x ? ?
2

?

??
?

b? ?; R. 2a ?

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集依次是 ?x x1 ? x ? x2 ? ; ?; ?.
它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。 应尽快将表中的结果记住。 其关键就是 抓住相应二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像。 课本第 19 页上的例 1．例 2．例 3．它们均是求解二次项系数 a ? 0 的一元二次不等式， 却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预 留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。 （教师巡视，重点关注程度稍差的同学。 ） Ⅲ．演练反馈 1．解下列不等式： （1） 3x ? 7 x ? 2 ? 0
2

（2） ? 6 x ? x ? 2 ? 0
2

（3） 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2 2

（4） x ? 3x ? 5 ? 0
2

2．若代数式 6 x ? x ? 2 的值恒取非负实数，则实数 x 的取值范围是 3．解不等式 （1） 9 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

。

（2） x ? (a ?
2

1 ) ? 1 ? 0(a ? 0, a ? R) a

参考答案： 1． （1） ? x

? 1 ? ? 1 2? （2） ? x x ? 或x ? ? ? ； （3） ? ； （4）R ? x ? 2? ； 2 3? ? 3 ? ?

2． ? x x ?

? ?

1 2? 或x ? ? ? 2 3? 1? 3? ? 1 ? ? x ? a ? ，当 a ? ?1 时， ? ? a ? 1? ?。 a?

3． （1） ? x x ? ? ?

? ?

（2）当 a ? 1 或 ? 1 ? a ? 0 时， ? x

当 0 ? a ? 1 或 a ? ?1 时， ? x a ? x ?

? ?

Ⅳ．总结提炼 这节课我们学习了二次项系数 a ? 0 的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次 函数的图像与 x 轴的交点，再对照课本第 39 页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的 解集。 （五） 、课时作业 （P20．练习等 3、4 两题） （六） 、板书设计 1．5 一元二次不等式解法（一） 1．一元二次方程，一元一次不等式及一元一 次函数间关系 （有关结论以表格的形式通过多媒休瑾 其 他载体给出） 2． “三个二次”间的关系 （有关结论以表格的形式通过多媒体或其他 载体给出） 3．讲解例题 例1 例2 例3 4．课堂练习（学生演板）

第二课时 Ⅰ．设置情境 （通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元 二次不等式的主要操作过程。 ） 上节课我们只讨论了二次项系数 a ? 0 的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会 问，那么二次项系数 a ? 0 的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问 呢？ Ⅱ．探索研究 （学生议论纷纷． 有的说仍然利用二次函数的图像， 有的说将二次项的系数变为正数后 再求解，??．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解． ） 生甲：只要将课本第 39 页上表中的二次函数图像次依关于 x 轴翻转变成开口向下的抛 物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数 a ? 0 的一元二次不等式的解集． 生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1 将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学 的方法求解就可以了． 师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则 需再记住一张类似于第 39 页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的 结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第 19

页例 4． （待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍． ） [知识运用与解题研究] 由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为 a ? 0 的一元 二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求 解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式． （调两位程度中等的学生 演板） （1） 14 ? 4 x ? x
2

（2） ? x ? 2 x ? 8 ? 0
2

（分别为课本 P21 习题 1．5 中 1 大题（2） 、 （4）两小题．教师讲评两位同学的解答， 注意纠正表述方面存在的问题． ） 训练二 可化为一元一次不等式组来求解的不等式． 目前我们熟悉了利用 “三个二次” 间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元 二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如

( x ? a)(x ? b) ? 0 （或 ? 0 ）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号
法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本 P20 上关 于不等式 ( x ? 4)(x ? 1) ? 0 求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组 解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题． ） 【答】 因为满足不等式组 ?

?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 或? 的 x 都能使原不等式 ( x ? 4)(x ? 1) ? 0 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0

成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集． 这个回答说明了原不等式的解集 A 与两个一次不等式组解集的并集 B 是互为子集的关 系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式． （调三位程度各异的学生演板．教师 巡视，重点关注程度较差的学生） ． （1） ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 （2） x( x ? 2) ? 0 ［P20 练习中第 1 大题］

［P20 练习中第 1 大题］ ［P20 练习中第 2 大题］

（3） ( x ? a)(x ? b) ? 0(a ? b)

（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解 P21 例 5） ． 例 5 解不等式

x?3 ?0 x?7

因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像 求解 ( x ? a)(x ? b) ? 0 （或 ? 0 ）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。 具体解答过程如下。 解： （略） 现在请同学们完成课本 P21 练习中第 3、4 两大题。 （等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。 ）

[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。 （通过多媒体或其他载体给出下列各题） 1．不等式

x ?1 ? 0 与 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 的解集相同此说法对吗？为什么[补充] x?2
［课本 P22 第 8 大题（2）小题］ ［补充］ ［课本 P43 第 4 大题（1）小题］ ［课本 P43 第 5 大题（1）小题］

2．解下列不等式：

2 x ? 15 ?0 5x ? 2 3x ? 2 ? 1材 （2） 2x
（1） （3） ( x ?1)(x 2 ? 3x ? 2) ? 0 （4）

x ?1 ?0 ( x ? 2)(x ? 3)

（5）

? x2 ? 2 1 ?? x?2 2

［补充］

（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程） 参考答案： 1．不对。同 x ? ?2 时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。 2． （1） ? x ?

? ?

5 15? ?x? ? 2 2?
3x ? 2 x?2 ? 0 ，即 ?0 2x 2x

（2）原不等式可化为：

解集为 x x ? 0或x ? 2 。 （3）原不等式可化为 ( x ? 1) 2 ( x ? 2) ? 0 ? ? 解集为 x x ? 2但x ? 1

?

?

?( x ? 1) 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

?

?
?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 或? ?( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ?( x ? 2)(x ? 3) ? 0

（4）原不等式可化为 ?

解集为 x 1 ? x ? 2或x ? 3

?

?
?2 x 2 ? x ? 6 ? 0 x2 ? 2 1 2x2 ? x ? 6 或 ? ?0? ?0?? x?2 2 2( x ? 2) x ? 2 ? 0 ?

（5）原不等式可化为：

?2 x 2 ? x ? 6 ? 0 (分母 ? 0!) ? ?x ? 2 ? 0
解集为 x x ? 2

?

?

Ⅲ．总结提炼 这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的 积或商而右式为 0 的不等式。 值得注意的是， 这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有 效的，同学们应掌握好这一方法。 （六）板书设计 1．5 一元二次不等式 [ 训练一 ] 求解二次项系数 a ? 0 的一元二次 不等式 课堂练习（调板） （1）14 ? 4 x ? x （2） ? x ? 2 x ? 8 ? 0
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[ 训练二 ]可化为一元一次不等式组来求解的 不等式 特征：左式为若干一次因式的积或商，右式 为0

[训练三]用 “符号法则” 解不等式的变式训练 （有关题目通过多媒体或其他载体给出） 题1 题2 （1） （2） （3） （4） （5）