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台州中学2016年第一学期期中数学试题


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台州中学 2016 年第一学期期中试题
数学(理科)
一、选择题:第小题 5 分,共 60 分。 1.复数 z1=3+i,z2=1-i,则复数 A.2 B.-2i
z1 的虚部为 z2

( D.2i


r />C.-2

2. 设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?2,3,4? , B ? ?2,5? ,则 B ? (CU A) =( A. ?5? 3、函数 y ? B. ?1, 2, 5? C. ?1, 2, 3, 4, 5?

) D. ?

3 ? ? Sin( x ? ) ? cos( ? x) 的最大值为 2 2 6
B.

(

)
开始

A.

13 4

13 4

C.

13 2

D. 13 S=1

4、椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为( ) A.

x2 y2 ? ?1 16 12
2

B.

x2 y2 ? ?1 12 8

C.

x2 y2 ? ?1 8 4

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

i=3

5、已知曲线 y ?

1 x ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( ) 2 4
B. 2 C. 1 D.

A. 3

1 2


S≧100?

6、已知某程序框图如图所示,则输出的 i 的值为( A.7 B.8 C.9 D.10


输出 i

否 S=S·i

7、某教师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课, 上午 5 节、下午 4 节,并且教师不能连上 3 节课 (第 5 和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的 课的所有排法有( A.474 种 ) B.77 种 C.462 种 D.79 种 结束 i=i+2

8、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的 等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( A. 12? C. 3? B. 4 3? D. 12 3? 第 -1- 页 )

www.ewt360.com 升学助考一网通 l , m , n 9.设 表示不同的直线, ?,?,? 表示不同的平面,给出下列四个命题:

①若 m ∥ l ,且 m ? ? . 则 l ? ? ;

②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ;

③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n ,则 l ∥m∥n; ④若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , ? ? ? ? n, 且 n∥ ? ,则 l ∥m. 其中正确命题的个数是(
A.1 B.2

)
C.3 D.4 )

? ? ? ? 10.已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为(
A. 2 3 B.12 C.6 D. 3 2

11.已知对数函数 f ( x) ? log a x 是增函数,则函数 f (| x | ?1) 的图象大致是(



A

B

C

D

12.已知抛物线方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d 2 ? d 2 的最小值 ( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 1 13. ( x 3 ? ) 4 展开式中常数项为 x
14.已知函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,若
2

?

1

?1

f ( x)dx ? 2 f (a) ,则 a ? ___________ .

?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ? y?a 15.若变量 x、y 满足 ?

,若 2 x ? y 的最大值为 ?1,则 a ?

16. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 , 项数是偶数, 所有奇数项之和为 15 , 所有偶数项之和为 35 , 则这个数列的项数为______________ ;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.

第 -2- 页

www.ewt360.com 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 x ? [ ?

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3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R) 2 2

, ] 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值; 12 12

? 5?

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 , 若向量 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值。

??

?

18. (本小题满分 12 分) 某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿 者。 (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望。 (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率

19. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 2 2 ∠ACB=90°,M是 AA1 的中点,N是 BC1 的中点 (Ⅰ)求证:MN∥平面 A1 B1C1 ; (Ⅱ)求点 C1 到平面 BMC 的距离; (Ⅲ)求二面角 B ? C1M ? A1 的平面角的余弦值大小。

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ,垂足 4 9 ???? ? ???? ? 为 Q,点 M 在 PQ 上,且 PM ? 2MQ ,点 M 的轨迹为 C.

(Ⅰ)求曲线 C 的方程;

第 -3- 页

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(Ⅱ)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 N 是过点 (0, ?

4 ) 且平行于 17

,问是否存在这样的直线 l, 使 x 轴的直线上一动点,满足 ON ? OA ? OB (O 为原点) 得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由

????

??? ? ??? ?

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a 2 x ? m(a ? 0) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区 间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f ( x) ? 1 在 x∈[-2,2]上恒成立,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? ? x ? 3cos? (? 为参数) ? y ? sin ? ? ? .
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,
? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ?3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集.
2

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试题解析
一、选择题:第小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C C A C A C B C B D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位 置上.) 13 14 15 16 1 ?1 或 ?4 ?1 3

20

三、解答题 17. f ( x) ? ∵? ∴?

? 3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 。 sin 2 x ? ? ? 6 2 2 2 2 2

?
12

?x?

5? ? ? 2? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 3 6 3

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 ? 1 ? 2 6 2 6 3 ,最大值是 0 。 2
6

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ?

?
6

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 ,

?
6

? 2C ?

?
6

?

11? ? ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? 。 3 6 6 2

∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ? 1, b ? 2 。

?
3

,即 a ? b ? ab ? 3
2 2



18. 解: (I)ξ 得可能取值为 0,1,2;由题意 P(ξ =0)=
1 2 C4 C2 1 ? 3 C6 5

3 2 1 C4 C4 C2 3 1 , P( ξ =1)= ? ? , P(ξ 3 3 C6 5 C6 5

=2)=

…………3 分 ∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ 0 1 2

第 -5- 页

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1 5

3 5

1 5

Eξ =0×

1 3 1 +1× +2 × =1 5 5 5

…………6 分

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C
2 男生甲被选中的种数为 C5 ? 10 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的
1 种数为 C4 ?4
1 C4 4 2 ? ? 2 C5 10 5

∴P(C)=

…………11 分

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为 19. (1)如图所示,取 B1C1 中点 D,连结 ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1 又 DN=

2 5

……12 分

1 1 BB1 ? AA1 ? A1 M 2 2
AD1 ? 平面 A1B1C1

∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN ? 平面 A1B1C1

∴MN∥平面 A1 B1C1 --------------------------4 分 (2)因三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90°∴BC⊥平面 A1MC1 在平面 ACC1 A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,故 C1H 为 C1 点到平面 BMC 的距离。在等腰三 角形 CMC1 中,C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6 ∴ C1 H ? CC1 ? AC ? 4 3 .--------------------------8 分
CM 3

(3)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F, 则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H=

4 3 BC 3 ? ,∴tan∠BEC= 3 CE 2

∴ cos∠BEC=

2 7. 7

第 -6- 页

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二 面 角 B ? C1 M ? A 的 平 面 角 与 ∠ BEC 互 补 , 所 以 二 面 角 B ? C1 M ? A 的 余 弦 值 为

?

2 7 --------------------12 分 7

法 2: (1)同上。如图所示建系, (2)可得, B(2,0,0), A(0,2,0), C1 (0,0,2 2) , M (0, 2, 2), ,设 n ? ( x, y, z) 是平面 BMC 的 法向量,C1 点到平面 BMC 的距离 h。

?

????? ? ? C1M ? n 4 3 ????? 可求得一个法向量为 n ? (0,1, ? 2) , C1M ? (0,2, ? 2) , h ? ? ? 3 n
(3)可知 CB ? (2,0,0) 是平面 C1 A1M

??? ?

的法向量,设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是

??

平面 BMC1 的法向量,求得一个法向量 m ? (2,1, 2)

??

??? ? ?? CB ? m 2 7 设 ? 是 为 二 面 角 B ? C1M ? A ,又因为二面角 ? ?? ? 1 的 平 面 角 , 则 cos ? ? ??? 7 CB ? m

B ? C1M ? A1 的平面角是钝角,所以 cos ? ? ?
20.

2 7 。 7

因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 假设存在矩形 OANB,则 OA ? OB ? 0 第 -7- 页

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即 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) ?

12 16 k ? 2k ? ? 4 ? 0,即k 2 ? 4, k ? ?2 , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

…………10 分

设 N(x0,y0) ,由 ON ? OA ? OB ,得

y 0 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ?

4 16k 2 ?4 4 , ?4? ? ? ,即 N 点在直线 y ? ? 2 2 17 17 1 ? 4k 1 ? 4k

所以存在四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 2 21.解: (Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x- 又 a>0,∴当 x<-a 或 x> 当-a<x<
a 时,f′(x)<0. 3 a ,+∞),单调递减区间为 3 a 时 f′(x)>0; 3 a )(x+a), 3

∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-a) ,( (-a,
a ).(4 分) 3

(Ⅱ)由题设可知,方程 f′(x)=3x2+2ax-a2=0 在[-1,1]上没有实根
? f ?(?1) ? 0 ∴? ? f ?(1) ? 0 ,解得 a>3. ?a ? 0 ?

(8 分)
a ∈[1,2],-a≤-3 3

(Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知

又 x∈[-2,2] ∴f(x)max=max{f(-2),f(2)} 而 f(2)-f(-2)=16-4a2<0 f(x)max=f(-2)= -8+4a+2a2+m (10 分) 又∵f(x)≤1 在[-2,2]上恒成立 ∴f(x)max≤1 即-8+4a+2a2+m≤1 即 m≤9-4a-2a2,在 a∈[3,6]上恒成立 ∵9-4a-2a2 的最小值为-87 ∴m≤-87. (13 分) 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

P(4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, 第 -8- 页

?

www.ewt360.com (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

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| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos(? ?
由此得,当

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 ,

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解: (1)

x ? 2, ??3, ? f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
所以 ?3 ? f ( x) ? 3. ………5 分

当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. (II)由(I)可知,

当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为空集;
2

{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为
2



x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? x ? 6} . 综 上 , 不 等 式
…………10 分

f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6}.

第 -9- 页


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