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3.2.1几类不同增长的函数模型


3.2.1 几类不同增长的函数模型
说教材: (地位作用、教学目标、重难点) 1. 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修(A 版)》中第三章“函数的应用”§3.2.1《几类 不同增长的函数模型》的第 1 课时.学生在本册书的第二章已经学习了指数函数、对数函数以及幂函数等基本 初等函数的概念、图象和性质,本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用,

同时也为下一节继续 研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础. 2. (1)通过对具体的实际问题的探究,认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线 上升、指数爆炸和对数增长. (2)通过利用函数图象和表格来研究函数的增长性,体会数形结合思想. (3)通过对生产生活中具体实例的研究,体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函 数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. (4)在实际问题转化为数学问题的过程中,培养学生的函数建模能力. (5)通过利用电子表格等信息技术手段,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,增强使用技术 手段研究数学问题和实际问题的能力. (6)通过小组合作的学习方式,培养团结、合作的意识和表达交流的能力. 3.本节课重点是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸和对数增 长;这节课的教学难点为:对不同增长的函数模型的认识和如何选取适当的函数模型以研究具体的增长模式。 说教法学法: 为了实现既定的教学目标, 我对教法的设计原则是以学生为主体, 引导学生在情境中思考, 在实践中体验。 我采用的教法是“问题导引、合作探究”的方式,旨在发挥教师在新课程理念下的主导地位,使学生在教师问 题串的有效引导下, “想学、能学、会学、学会” 。本节课涉及到的一次函数、二次函数学生在初中已学过,对 其图象和性质学生非常熟悉; 指数函数、 对数函数和幂函数这三类基本初等函数的模型学生在本册书的第二章 也学过,已基本掌握了它们的概念、图象和性质.并且在前面的学习中,学生也熟悉了研究函数性质的一般方 法并对数形结合思想有了初步的了解。但是,学生前面的学习主要是针对某一类函数进行研究,很少将其综合 在一起,学生没有或者很少有对这几类函数不同变化趋势的理解.所以学生对指数函数、对数函数、幂函数等 的增长速度的认识还很少,让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难.另外,在第二章中,主要是从函 数的基本模型认识函数,而函数在生活、生产中的实际应用相对较少.学生在研究具体问题时,如何选择恰当 的模型函数分析和解决实际问题是另一个困难. 我又充分调研学情, 这节课的授课对象是天津市市级示范性高 中(市重点)高一年级的学生,学生的基础知识掌握得较好,理解能力较强,且高一年级开设了信息技术课, 学生独立操作计算机的能力较强,对 EXCEL 应用操作已熟悉,学校也具备独立的师生交互式机房,所以我确定 了“动手实践、小组合作”的学习方式,旨在人人参与、互补优长、共同提高、一个也不少。这种教法和学法 的设计正是基于建构主义理论和多元智能理论基础之上的。 说教学过程: (教学思路和教学环节安排;教与学的双边活动安排;重难点的处理; 采用哪些教学辅助手段等)

(一)复习旧知,体会不同函数模型增长方式
师生活动:教师提问,学生思考、回答.教师根据学生回答的情况加以补充,几类函数图象运用几何画板 显示,观察不同函数模型的不同变化趋势,尤其是体会指数函数的“爆炸式”递增方式. 【设计意图】通过复习不同的函数模型,熟悉不同函数类型对应着不同的增长方式,为后面处理实际问题 做好铺垫.

(二)深入研究,应用函数模型确定合适的方案
问题 1: (课本例一) 假设你有一笔资金进行投资,现有三种方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元;
1

方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 师生活动: 教师引导学生写出三个方案所对应的日回报函数模型: 三个方案的日回报函数:其中 x 表示天数, y 表示日回报.? 方案一: y ? 40 ,( x ? N * ) 方案二: y ? 10x ,( x ? N * ) 方案三: y ? 0.4 ? 2 x?1 ,( x ? N * ) 图象如下:

分两个部分同时进行下面的探究和讨论: 其中第 1、2、3 小组研究方向一: (利用几何画板工具辅助完成) 通过研究三个方案的日回报,体会它们的增长情况,为选择投资方案提供依据. 第 4、5、6 小组研究方向二: (利用 EXCEL 函数计算统计功能完成) 通过研究累计回报,体会它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.

方案一 x (天) 日回报 (元) 1 40 2 40 3 40 4 40 5 40 6 40 7 40 8 40 9 40 10 40 ?? ?? 30 40 50 40
【设计意图】

累计回报 (元) 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 ?? 1200 2000

方案二 日回报 (元) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ?? 300 500

累计回报 (元) 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 ?? 4650 12750

方案三 日回报 (元) 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 ??
2.15 ? 108 2.25 ? 1014

累计回报 (元) 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 ??
4.29 ? 108 4.50 ? 108

2

1.通过两个大组分别研究,提高课堂效率,培养学生研究和交流的能力与素养; 2.对于方向一,由于三个函数模型较为简单,故采用先确定函数模型,再进一步讨论处理的方法.由于已经确 定了函数,采取了更为习惯的先做出图象研究,然后列表,研究增量关系,并通过绘制散点图得到更为形象的 图形关系.这一点的处理与课本上的方式略有不同; 3.通过比较三种方案的不同,让学生探究和发现不同增长型函数的增长差异; 4.对于方向二,学生较难直接写出三种方案所对应函数模型,故在操作上利用 EXCEL 方便的计算统计功能,计 算出累计回报量,体会不同增长型函数的增长差异. 问题 2(课本例二) 某公司为了实现 1000 万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到 10 万元时, 按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超 过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25 % .现有三个奖励模型: y ? 0.25x , y ? log7 x ? 1 , y ? 1.002x ,其中 哪个模型能符合公司要求? 师生活动: 教师引导学生发现上述问题中对模型的几个制约. 教师为每个小组准备好了三个函数的图象, 每个小组根据给出的图象探究、 讨论, 找出合适的模型并做出解释. 教师提供以下几个问题作为参考: (1)三个模型中哪两个不符合问题的要求,为什么? (2)哪个方案符合问题要求,如何判断的? (3)如何判断 y ? log7 x ? 1 满足奖金不超过利润的 25 % ? (4)满足问题要求的模型有没有不足之处,是否可以找到更为合适的模型?

【设计意图】 (1)这个问题是通过限定一些条件的情况下,判断给定的线性函数、对数型函数和指数函数是否满足要求的 问题. (2)通过这个问题,使学生进一步体会不同增长型函数的增长特征. (3)学会将实际问题的限制转化为数学问题的限制,从而解决实际问题. (4)通过对具体函数图象的解释,将数学问题回归为实际问题. 两道例题在解决过程中均充分体现了 “数学建模” 思想方法, 为了引领学生体验这种思想方法的解题过程, 我设计了“阶梯状”深入的问题情境,目的是帮助学生读懂题目、理顺条件、从实际问题中抽象出数学函数模 型,最终主动寻求答案。 “数学建模”的过程也是培养学生的阅读、理解能力,体会数学在实际问题中的应用 价值。 在例 2 的解题过程中, 教材中对判断模型二 “ y ? log7 x ? 1 ” 是否满足约束条件 “ log7 x ? 1 ? 0.25x ” , 是采用了“构造函数的思想方法” ,我认为就高一年级学生而言这种处理方法在理解上会有困难,但它又是一 种很重要的思想方法,所以我通过板书详细分析了这一过程,旨在帮助学生对“构造函数的思想方法” 留下 一个美好又深刻的第一印象。
3

(三)归纳反思,总结几类不同增长的函数模型
师生活动: 教师提出问题,请总结以下我们学习过的函数不同的增长方式特点: 线性函数;二次函数;对数函数;指数函数 教师提出问题,请同学总结; 【设计意图】 教师引导学生归纳总结这节课的重点: 几类不同增长的函数模型的区别与联系, 让学生进一步体会线性增 长、指数型的“爆炸式”增长以及对数型的“平缓式”增长.

(四)课堂反馈,检测学生教学目标达成情况
1.四个变量 y1 , y 2 , y3 , y 4 随变量 x 变化的数据如下表:

x
y1
y2

0 5 5 5

5 130 94.478 30

10 505 1785.2 55

15 1130 33733 80

20 2005
6.37 ? 105

25 3130
1.2 ? 107

30 4505
2.28 ? 108

y3

105

130

155

关于 呈指数型函数变化的变量是

; y1 , y3 关于 x 呈怎样的模型变化?

2.请你自主设计一个问题来考证全班同学的学习效果? 【设计意图】 第 1 题主要的目的是检测学生对几类函数模型的理解.在处理上,先让学生通过数据的分析体会并作答, 然后利用散点图进一步的验证. 第 2 题该同学的提问与实际生活相联系,巧妙幽默地发问,同学们也报之以机智地回答,学生的学习活动顿时 成为一个轻松快乐的过程。另外在回顾、梳理和总结本节课学习的知识和掌握的技能之后,我安排研究性学习 小组在课下以?关注民生 分析增长?为题撰写一篇研究性学习报告, 从而把数学的学术形态转化为为生活服务 的教育形态。

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