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全国中学生物理竞赛——相对运动

时间:2012-05-20


2014级高一物理竞赛培训第 讲 级高一物理竞赛培训第

相对运动

任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的,相对于不同的参照系,同 一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。 通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系; 将相对观察者运动的参照 系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动,相应的速度和加 速度分别称为绝对速度和绝对加速度;物体相对运动参照系的运动称为相对运 动,相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度;而运动参照系相对静 止参照系的运动称为牵连运动, 相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加 速度。 绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是:绝对速度等于相对速度和牵 连速度的矢量和。 v绝对 = v相对 + v 牵连 这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。 当运动参照系相对静止参照系作平动时,加速度也存在同样的关系:

a 绝对 = a 相对 + a 牵连
位移合成定理:SA 对地=SA 对 B+SB 对地 如果有一辆平板火车正在行驶,速度为 v 火地 (脚标“火地”表示火车相对地 面,下同) 。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶,相对火车的 速度为 v汽火 ,那么很明显,汽车相对地面的速度为:

v汽地 = v汽火 + v火地
(注意:v 汽火 和 v 火地 不一定在一条直线上)如果汽车中有一只小狗,以相对 汽车为 v狗汽 的速度在奔跑,那么小狗相对地面的速度就是

v 狗地 = v狗汽 + v汽火 + v火地
从以上二式中可看到,上列相对运动的式子要遵守以下几条原则: ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。 合速度的后脚标和最后一

个分速度的后脚标相同。 ②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调,改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。 相对运动有着非常广泛的应用,许多问题通过它的运用可大为简化,以下举 两个例子。 例1 如图 2-2-1 所示,在同一铅垂面上向图示的两个方
vB=20m/s vA=10m/s 60? 30?

向以 vA = 10m / s、vB = 20m / s 的初速度抛出 A、B 两个质 点,问 1s 后 A、B 相距多远? 这道题可以取一个初速度为零, A、 抛出时开始 当 B

图 2-2-1

以加速度 g 向下运动的参考系。在这个参考系中,A、B 二个质点都做匀速直线 运动,而且方向互相垂直,它们之间的距离

s AB =

(v At )2 + (v B t )2

= 10 5m = 22.4 m

例 2 在空间某一点 O,向三维空间的各个方向以相同的速度 vο 射出很多个小球, 球 ts 之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少(假设 ts 之内所有 小球都未与其它物体碰撞)? 这道题初看是一个比较复杂的问题,要考虑向各个方向射出的小球的情况。 但如果我们取一个在小球射出的同时开始自 O 点自由下落的参考系,所有小球 就都始终在以 O 点为球心的球面上,球的半径是 v0 t ,那么离得最远的两个小球 之间的距离自然就是球的直径 2 v 0 t 。 同步练习 1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1=30°, 另一次安

v1 装成倾角为β2=15°。问汽车两次速度之比 v 2 为多少时,司机都是看见冰雹都
是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开?(冰雹相对地面是竖直下落的) 提示:利用速度合成定理,作速度的矢量三角形。答案为:3。 模型飞机以相对空气 v = 39km/h 的速度绕一个边长 2km 的等边三角形飞 2、

行,设风速 u = 21km/h ,方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同,试 求:飞机绕三角形一周需多少时间? 提示:三角形各边的方向为飞机合速度的方向(而非机头的指向) ; 第二段和第三段 v合 大小相同。 参见右图,显然: v2 =
v2 合

+ u2 - 2v 合 ucos120°

可解出 v 合 = 24km/h 。 答案:0.2hour(或 12min.) 。 3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片(俯视) 。两列车 沿直轨道分别以速度 v1=50km/h 和 v2=70km/h 行驶,行驶方向如箭头所示,求 风速。 提示:方法与练习一类似。答案为:3
v1 v2

4、细杆 AB 长 L ,两端分别约束在 x 、 y 轴上 运动, (1)试求杆上与 A 点相距 aL(0< a <1)的 P 点运动轨迹; (2)如果 vA 为已知,试求 P 点的 x 、 y 向分速度 vPx 和 vPy 对杆方位角θ的函数。 提示: (1)写成参数方程 ? θ。 (2)解法有讲究:以 A 端为参照, 则杆上各点只绕 A 转动。但鉴于杆 子的实际运动情形如右图,应有 v 牵 = vAcosθ,v 转 = vA cos 对 A 的转动线速度为:v 转 + vAsinθ= ...
vA sin θ

?

x = aL sin θ

? y = (1 ? a )L cos θ

后消参数

θ sin θ
2

,可知 B 端相 .


av A sin θ

P 点的线速度必为

=v相

所以 vPx = v 相 cosθ+ vAx ,vPy = vAy - v 相 sinθ

答案: (1) a)vA 。

x2 (aL) 2

+

y2 (1 ? a )2 L2

= 1 ,为椭圆; (2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 -

一般来说,选择不同的参考系物体的运动状态不同, 但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以 把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很 少学生了解, 解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。 所以其最大 例 3. 由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小, 加速度不能超过 a=0.5m/s2.根据要求,驾驶员必须在最短时间内从 A 点到 达 B 点,直线 AB 垂直于汽车的初始速度 υ ,如图 2 一 1 所示.如果 A、B 之间的距离 AB=375 m,而初速度 υ =10 m/s,那么这个最短时间为多少?其 运动轨迹是什么? 分析和解:本题是一个典型的相对运动问题,而且用常规的方法是很 难解出此题的,然而如果才坐标系转换法解此题,其难度却可以大大 降低。 坐标系转换:汽车在 A 点不动,而让 B 点以恒速 υ 向汽车运动的 相 反方向运动.在此坐标系内汽车为了尽快与 B 点相遇,必

须沿直线以恒加速度 a 向 B 点驶去.假设它们在 D 点相遇,如 图 2—2 所示.设 AB=b,我们可以列出:
1 b 2 + (υ t ) 2 = ( at 2 ) 2 2


2υ 2 2υ 2 4b 2 + ( 2 )2 + 2 a2 a a

由①式可得: t =



将数据代人②式得 t=50s。 在地球坐标系内,它的运动是两个不同方向上的匀 速直线运动和匀加速直线运动的合运动,因而它的 运动轨迹是一条抛物线.

用相对运动观点处理追及和相遇问题 例 4. 航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是 a=5.0m/s2,相对地面速度须达

到 vm=50m/s。航空母舰以一定的速度航行,该其甲板长度 L=160m。设飞机起飞 时可看作匀加速运动,且对航母的状态没有影响。为使飞机能安全起飞,则航母 的速度不得小于多少? 【解析】相对航母, : 飞机起飞时加速度 a/= a=5.0m/s2,最大位移 s/=L=160m, 所能达到的最大速度 u = 2a ′s ′ =40m/s。 为使飞机能安全起飞,航母的速度 v≥vm-u=10m/s。 例 5. 如图,A 船从赶港口 P 出发去拦截正以速度 v0 沿直线航行的船 B,P 与 B 所在航线的垂直距离为 a,A 船启航时,B 与 P 的距离为 b(b>a) ,若忽略 A 启 动的时间,并认为 A 一起航就匀速运动,为使 A 船能以最小速率拦截到 B 船, 下列说法正确的是:BC A.A 船应以 PC 方向运动 B.A 船应以 PD 方向运动 C.A 船的最小速率为 v0 D.A 船的最小速率为 v0
a b
B b P A C a D

b2 ? a 2 b

B

【解析】 要从 P 出发拦能截到 B,则 A 相 :A 对 B 的运动方向应取开始时的 PB 向。 A 相对海 而 面的速度,应等于 A 相对 B 的速度与 B 相对海面

VA 对地

VA 对 B VB 对地 A P

速度的矢量和, 如图所示, 可见只有 A 相对海面速度 vA 对地垂直 PB 时为最小。 与此同时, 物 例 6. 物体 A 在地面上足够高的空中以速度 v1 平抛, 体 B 在 A 正下方距离 h 处以速度 v2 竖直上抛,不计空气阻力,则 二者在空中运动时的最近距离为
v2

v1

h

B

A. h

v1 v2
v1
2 v12 + v 2

B. h

v2 v1
v2
2 v12 + v 2

A

C. h 答:D

D. h

h C v2 v1 B

【解析】 :由于二者加速度相同,则二者相对匀
2 速。 A 为参考系, B 相对 A 匀速运动的速度为 v12 + v 2 , 以 则 方向如图, 二

者间的最近距离即为图中 AC。 例 7. 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同绕向的匀速圆周运动,地球半径为 , 卫星离地面的高度等于 度为 ,则: (1) 、 两卫星运行周期之比 少? (2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一 点正上方,则 至少经过多少个周期与 相距最 远? 【解析】 :(1)对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式 是多 , 卫星离地面高

可得: 所以

(2)由 度大小为
?ω = ω a ? ω b =

可知:

,即 转动得更快。则 a 相对 b 的角速

2π 2π ? Ta Tb

设经过时间 两卫星相距最远,则由图可得: ( 其中 时对应的时间最短。 、2、3……)

所以

,得

【点评】:圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对(角)位移关系列 方程” 当然, 。 如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系, 运算过程更简洁, 但不如利用相对角位移关系容易理解, 而且可以和直线运动中同类问题的解法统 一起来,记忆比较方便。 练习 1 A、B 两棒长均为 L=1m,接近在同一竖直线上,A 的下端与 B 的

上端相距 s=20m,A、B 同时开始运动,A 做自由落体,B 做竖直上抛,初速度 v0 =40m/s,不计空气阻力,则到两棒相遇时间 t1 和从相遇开始到分离所需时间 t2 分别为 C


A.t1=0.5s,t2=0.5s B.t1=0.05s,t2=0.5s


C.t1=0.5s,t2=0.05s D.t1=0.05s,t2=0.05s 由于二者加速度相同,则二者相对匀速。以 A 为参考,B 相对 A 匀速。 2.内空高 h 的升降机正以加速度 a(<g)匀加速上升中,顶部突然一颗螺 钉松脱,至落到底板上需要时间 A. 不对
3.如图,物体甲从高 H 处以速度 v1 平抛,同时乙从乙距甲水平方向 s 处由地 2h a+ g B.

A
C.

2h g ?a

2h a

D.以上答案都

面以初速度 v2 竖直上抛,不计空气阻力,则两物体在空中相遇的 条件是
ABD



v1

H

v2


A.从抛出到相遇的时间为

H v2 s H = , v2 > v1 v2

B .若要在物体乙上升中遇甲,必须

gH
C.若要在物体乙下降中遇甲,必须
D.若相遇点离地高度为

gH s H = , v2 > v1 v2 2

H ,则 v2 = gH 2 s H 或 。 v1 v2

由于二者加速度相同,则二者相对匀速,相遇时间为

※4.两个以 20.0m/s 的速度垂直下落,一妇女以 5.0m/s 的速度向前奔跑, 她感到雨点从什么方向落下,速度的大小为多少? 根据生活经验, 人不动时,感到雨点 垂直下落, 人运动时无论向 哪个方向奔跑,雨点 都会向她 迎面扑来,并且 运动速度越快,雨点扑来的速 度也越大。所以观察雨点的速度和人的运动速 度有关。 根据英文字母表示: 地面:Earth;妇女 Woman; 雨点 Rain; 规定速度符号:

υ RE 为雨点相对地面; υ WE 为人相对地面; υ EW 为地面相对人; υ RW 为雨点相对人。
雨点相对人的速度 υ RW= υ EW+ υ RE , υ EW = - υ WE 雨点相对人的速度大小为:

雨点相对人的速度方向为:

要使雨点不让人的鞋子受潮, 雨伞的半径应大于: h tan14°=0.375m。 d= ※拓展:有一条船要过河,河位于东西方向,水以u的速度从西向东流 动。如果船相对水的速度为υ’向北方行驶,从岸上的人看船向正偏东θ1 运 动,如何才能使以最短的时间到达对岸?

5.某人以 4 ㎞/h的速度向东行进时, 感觉风从正北吹来。 如果将速度增加一 倍,则感觉风从东北方向吹来,求相对于地面的风速和风向。 解:根据英文字母规定速度的意义:

υ PE 为人相对地面; υ WE 为风相对地面; υ WP 为风相对人。
根据矢量关系:

υ WE= υ WP + υ PE ……(1) υ WE= υ ’WP + υ ’PE ……(2)
其中 υ ’PE=2 υ PE 考虑风的速度 υ WE 在东西方向的投影, 由(1)可得:υWEcosθ=υPE 由(2)可得:υWEcosθ+υWPcos45°=2υPE 由此可得: 风的速度大小为:

6. 李明同学放学回家, 正碰上刮风下雨, 他以 18km/h 的速度由西向东快跑, 此时他发现了奇怪的现象,雨滴成竖直下落状态,请你确定,这时刮的是____ 风,风速是___m/s 思路点拨 地面上刮风时, 风的速度方向与地面平行, 即沿水平方向, 此时若下雨, 则雨滴一方面由于受重力作用而沿竖直方向下落. 另一方面又由于风对它的作用 使它沿水平方向也发生运动,可以想象,当雨滴在水平方向的运动速度小于风的 速度时,在水平方向上风相对于雨滴总是有向前的速度,由此风还会把雨滴向前 带动使之具有更大的水平方向的速度,只有当两者在水平方向的速度相等时,两 者在水平方向上方无相互作用,雨滴在水平方向上的速度才不会再变化,所以, 若把风中的雨滴下落的运动从水平和竖直两个方向来看, 则雨滴将一方面以某一 速度沿竖直方向下落, 另一方面则具有一个和风速相同的水平方向的速度随风一 道运动. 人在雨中奔跑的速度是沿水平方向的,他若感到此时雨滴是沿竖直方向下 落,表明此时人与雨滴之间在水平方向上没有相对运动,即人和雨滴在水平方向 上的速度是相同的,又由上分析知此时雨滴在水平方向上的速度与风速相同,可 见此时人奔跑的速度与风的速度相同.故知此时刮的是西风,风速是 18km/h, 即 5m/s. 答案:西,5 7. A、B 两辆车以相同速度 v0 同方向作匀速直线运动,A 车在前,B车在

后.在两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方,同时以相对自身为 2 v0 的初速 度水平射出,如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力,则(C A.甲先被击中 B.乙先被击中 C.两人同时被击中 D.皮球可以击中乙而不能击中甲 思路点拨 甲球抛出时对他的速度为:v 甲=2v0-v0=v0,方向向后; 乙球抛出后对他的速度为:v 乙=2 v0+ v0=3 v0,方向向前,设两车相 距 s 远,则甲球自抛出至击中乙所需的时间为: t1 =
s s = v甲 + v0 2v0



乙球自抛出至击中甲所需的时间为: t 2 = 可见 t2=t1,说明两人同时被击中. 引申拓展

s s s = = v乙 ? v0 3v0 ? v0 2v0

本题可用相对运动的知识来求解.由于 A、B 两车运动速度相同,即 A、B 之间没有相对运动,故甲、乙两人间也没有相对运动.则甲以相对于自身速度为
2v0 的球射向乙,这个球相对于乙的速度也就是 2v0,设甲、乙间的距离为 s,则

甲抛出的球至击中乙需用时间为
t1 = s 2v0

同理,乙以相对于自身速度为 2v0 的球射向甲,此球相对于甲的速度也就是
2v0,则乙抛出的球至击中甲所需的时间为: t 2 = s 2v0


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