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数学理卷·2015届浙江省台州中学高三上学期第一次统练(2014.09)


台州中学 2014 学年第一学期第一次统练试卷 高三 数学 (理科)

【试卷综析】 试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出 了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则, 重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数学教学有很好的导向作用,让高三 第一线的师生从满天飞舞的资料与题海

中解脱出来,做到求真务实,抓纲务本. 整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最 基本且重要的数学知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正, 也对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中 学数学教学用好教材有一定的助推作用. 试题再一次提醒我们教学要回归教材,教学要让学生经历一个从提出问题到解决问题再 到应用所学知识解决问题的完整的过程,不能只注重知识的应用而忽视知识发生发展的过程. 这提示我们在以后的教学中要注重基本知识的学习,淡化技巧的演练,回归到数学学习的原 点,让学生在数学学习过程中要感受到数学学习带给他们追求理性精神的快乐. 命题人:洪武定 审题人:陈玲英

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 【题文】1.设集合 M ? ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? , N ? x x 2 ? x ,则 M 2 2?

?

?

N?
1 2

1 1 1 (B) (? ,1] (C) [?1, ) 2 2 2 【知识点】一元二次不等式解法,集合运算. A1 E3
(A) [0, ) 【答案解析】A 解析:

(D) (? , 0]

? 1 1? M ? ? ? , ? , N ? ?0,1? , ? M ? 2 2?
N.

? 1? N ? ? 0, ? , ? 选 A ? 2?

【思路点拨】先化简集合 M、N,然后再求 M 【题文】2.已知复数 z 满足

(A) 2i (B) ?2i (C) i 【知识点】复数的意义及运算,复数相等. L4 【答案解析】B

z?2 ? i (其中 i 是虚数单位) ,则 z 为 z?2

[学科]

(D) ?i

解析:已知等式为 2 ? bi ? ? a ? i ??1? 2i ? ? ? a ? 2? ? ? 2a ? 1? i

?a ? 2 ? 2 解得: b ? ?9 ,所以选 B. ?? ??b ? 2a ? 1
【思路点拨】由已知等式得 2 ? bi ? ? a ? i ??1? 2i ? ? ? a ? 2? ? ? 2a ? 1? i 再根据复数相等的条件求 b 的值.

【题文】3.在△ ABC 中, “ A ? B ”是“ sin 2 A ? sin 2 B ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案解析】C 解析: (1)若 A<B 则 a<b,由正弦定理得:2RsinA<2RsinB,所以 sinA<sinB
2 2

因为 A, B ? ? 0.? ? ,所以 sinA,sinB 都是正数,所以 sin A ? sin B ;(2) 因为 A, B ? ? 0.? ? , 所以若 sin A ? sin B 则 sinA<sinB,由正弦定理得:
2 2

a b ? ,即 a<b 从而得出 A<B. 2R 2R

综上得“ A ? B ”是“ sin 2 A ? sin 2 B ”的充分必要条件,所以选 C. 【思路点拨】利用正弦定理进行边角互化. 【题文】4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确 的是 .. (A)若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n (B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 (D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 G3 G4 G5

? ??
(C)若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /?

? / /?

[]

【知识点】空间直线和平面位置关系的判断 【答案解析】B

解析:A.直线 m, n 成角大小不确定;B.把 m, n 分别看成平面 ? , ? 的法向

量所在直线,则易得 B 成立.所以选 B. 【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断. 【题文】5.将函数 y ? sin(4 x ?

?

6

) 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移

?
4



单位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是 (A) x ?

?
12

(B) x ?

?
6

(C) x ?

?
3

(D) x ? ?

?
12

【知识点】三角函数的图像变换. C3 C4 【答案解析】A 解析:经过变换后的新函数为 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ,而对称轴是函数取得 3?

最值的 x 值,经检验选项 A 成立,所以选 A. 【思路点拨】先依题意得到变换后的新函数,再根据对称轴的意义确定选项. 【题文】 6. 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制, 采用数字 0 ~ 9 和字母 A ~ F 共 16 个计数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表: 十六进制 十进制 十六进制 十进制 0 0 8 8 1 1 9 9 2 2 A 10 3 3 B 11 4 4 C 12 ) 5 5 D 13 6 6 E 14 7 7 F 15

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? (

(A) 6 E (B) 72 【知识点】进位制的换算.L3 【答案解析】A

(C) 5 F

(D) B 0

解析:因为 A? B?16? ? 10 ?11?10? ? 110?10? ,而 110= 6 ? 16 ? 14 ,

所以 A ? B ? 6 E ,所以选 A. 【思路点拨】利用进位制的换算方法求得结论. 【题文】7.设 z ? 2 x ? 5 y ,其中实数 x, y 满足 6 ? x ? y ? 8 且 ?2 ? x ? y ? 0 ,则 z 的最 大值是 (A) 21 (B) 24 (C) 28 (D) 31 【知识点】简单的线性规划. E5 【答案解析】D 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:

由由 z=2x+5y, 得y??

2 z 2 2 z x? , 平移直线 y ? ? x , 当直线经过点 A 时, 直线 y ? ? x ? 5 5 5 5 5

的截距最大,此时 z 最大.由 ? 故选 D.

? x ? y ? ?2 ? x ? 3 得? ,即 A ? 3,5 ? 此时 zmax ? 2 ? 3 ? 5 ? 5 ? 31 ?x ? y ? 8 ?y ? 5

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 【题文】8.函数 f ( x) ?

5 ?? sin ? 2 ?2

? x ? ? log 2 x 的零点个数为 ?
(D) 4

(A)1 (B) 2 (C) 3 【知识点】三角函数;对数函数.B7,C4

? x ? ? log 2 x 的个数 ? 5 5 5 ?? ? 相等,因为 y ? sin? x ? 的周期为 4 ,最大值为 ,当 x ? 5 时有最大值 ,这时 2 2 2 ?2 ? 5 g l 52 ? , 而o 所在一共存在 3 个交点, 即 3 个根, 所以函数 f ? x ? y ? log2 x 的值为 log2 5 , 2
【答案解析】C 解析:解:由条件可知函数的零点个数与方程

5 ?? sin ? 2 ?2

有 3 个零点. 【思路点拨】本题是不同名函数的交点个数问题,我们可以做出草图,再根据函数的之间的 关系可求出交点个数,即函数的零点个数. 【 题 文 】 9 . 已 知 向 量 a, b, c 满 足 a ? 4, b ? 2 2,

a

与 b 的夹角为

?

4



(c ? a ) ? (c ? b) ? ?1 ,则 c ? a 的最大值为
(A) 2 ?

1 2

(B)

2 ?1 2

(C)

2 ?1 2

(D) 2 ? 1

【知识点】向量的数量积;向量的几何意义.F3 【答案解析】D 解析:解:设 OA ? a, OB ? b, OC ? c ,以 OA 所在的直线为 x 轴,O 为坐标 原点建立平面直角坐标系

a ? 4, b ? 2 2, a与b 的夹角为

A? 4,0? , B ? 2,2? , 设C ? x, y ?

? ,则 4 ? c ? a ? ? ? c ? b ? ? ?1? x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 9 ? 0 即

? x ? 3?

2

? ? y ? 1? ? 1 表示以 ? 3,1? 为圆心,1 为半径的圆, c ? a 表示点 A,C 的距离,即
2

圆上的点与 A ? 4, 0 ? 的距离,因为圆心到 B 的距离为 2 ,所以 c ? a 的最大值为 2 ? 1 , 所以 D 正确. 【思路点拨】根据向量的数量积的两种形式的转化,我们看到方程所表达的几何意义,利用 几何意义求出最大值. 【题文】10.如图所示,已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近 线于 A 、 B 两点,且直线 l 的倾斜角是渐近线

OA 倾斜角的 2 倍,若 AF ? 2 FB ,则该双曲
线的离心率为 (A) (C)

[]

3 2 4 30 5

(B) (D)

2 3 3 5 2
b x ,因为直线 L 的倾斜角是渐近 a

【知识点】向量;斜率;双曲线的离心率.F1,H1,H6. 【答案解析】B 解析:解:双曲线的渐近线方程为 y ? ?

2b 2ab 2ab 线 OA 倾斜角的 2 倍, kOA ? a 2 ? 2 ,直线 L 的方程为 y ? 2 ? x ? c ? ,与 2 a ? b2 b a ?b 1? 2 a b 2abc 2abc y ? ? x 联立,可得 y ? ? 2 或y ? 2 AF ? 2 FB , 2 a 3a ? b a ? b2 c 2 3 ? 2abc ? 2abc 2 ? 2 2 ? ? 2 2 ? a ? 3b ? c ? 2b ? e ? ? a 3 ? 3a ? b ? a ? b
【思路点拨】根据已知条件列出关系式直接求解,离心圆锥曲线的几何性质是关键.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 【 题 文 】 11 . 函 数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在 (0, 2) 内 单 调 递 减 , 则 实 数 a 的 范 围 为
3 2

▲ . 【知识点】导数.B12

a ? 2 解析: 【答案解析】 解: 因为函数的导数为 f ? ? x ? ? 2x2 ? 2ax, f ? ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? a ,
所以 a ? 2 . 【思路点拨】导数与函数的单调性之间的关系,根据函数的导数,我们直接确定 a 的取值范 围. 【题文】12.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲 线 y ? f ( x) 的切线,则 a 的取值范围为 【知识点】导数的几何意义.B12 ▲ .

1 2 解析: 解: 因为直线的斜率为 k ? ?1 , 曲线的切线斜率为 f ? ? x ? ? x ? 3a 3 1 的值域,导数的值域为 f ? ? x ? ? ?3a ,所以根据题意可知 ?3a ? ?1? a ? . 3 a? 【答案解析】
【思路点拨】根据导数的几何意义可知曲线切线的斜率取值范围,再求出直线的斜率,由题 意可求出正确结论. 【题文】13.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x ? ), f (2014) ? 2, 则 f (?1) = ▲ . 【知识点】函数的周期性;函数的奇偶性.B4 【答案解析】-2 解析:解:由条件

3 2

3? ? f ? ? x ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? 3? ? f ? x ? ? f ? 2014 ? ? f ?1 ? 671? 3? ? f ?1? ? 2 ,又因为 2? ? 函数为奇函数,所以 f ? ?1? ? ? f ?1? =-2
【思路点拨】由条件可知函数的周期为 3,再根据奇函数的性质可知结果. 【题文】 14 .已知某锥体的三视图(单位: cm)如图所示,则该锥体的体积为 ▲

cm 3 .
【知识点】三视图;锥体的体积公式.G2,G7

【答案解析】2 解析:解:由三视图知:几何体为棱锥,如图

其中 SA ? 平面ABCD, SA=2,四边形 ABCD 为直角梯形,AD=1,BC=2,AB=2,所以四棱锥的 体积 V ?

1 1? 2 ? ? 2? 2 ? 2 3 2

【思路点拨】根据三视图作出原图,利用体积公式求出体积. 【题文】15.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10,则圆 C 的面积是 ▲ . 【知识点】平行线间的距离公式;弦心距.H2,H4 【答案解析】27? 解析: 解:两条直线为平行线,平行线之间的距离为 d ?

?1 ? 5 2

?2 2 ,

所以弦心距为 2 ,圆的半径为 27 ,所以圆的面积为 27? . 【思路点拨】由平行线间的距离公式求出弦心距,进而求出圆的半径与面积. 【题文】16.数列 ?an ? 是公比为 ? 的等比数列,?bn ? 是首项为 12 的等差数列.现已知 a9 >b9 且 a10>b10,则以下结论中一定成立 的是 .... ▲ . (请填写所有正确选项的序号)

2 3

① a9 ? a10 ? 0 ; ② b10 ? 0 ; ③ b9 ? b10 ; ④ a9 ? a10 . 【知识点】数列的通项公式;数列的概念.D1,D2,D3 【答案解析】①③解析:解:因为数列 ?an ? 是公比为 ?

2 的等比数列,所以 3

? 2? a9 ? a10 ? a9 2 ? ? ? ? ? 0 ①成立;而④ a9 ? a10 ,只有当 a9 为正数才成立,不一定成立;又因 ? 3? 为 ?bn ? 是首项为 12 的等差数列 a9 ? b9 , a10 ? b10 ,所以 ?bn ? 是递减数列,③成立,当公差
很小时②不成立,所以答案为①③ 【思路点拨】根据数列的概念进行分析. 【题文】 17. 若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy , 且不等式 ( x ? 2 y )a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0
2

恒成立,则实数 a 的取值范围是 【知识点】不等式.E1





【答案解析】 (??, ?3] ? [ , ??) 解析:解:不等式可化为:

5 2 2 ? 4xy ? 4? a ? 2a ? 2xy ? 34 ? 0 ,即:

? 4a2 ? 2? xy ? 4a 2 ? 2a ? 34, xy ?

4a 2 ? 2a ? 34 2a 2 ? a ? 17 ? ,不等式恒成立,只需求 4a 2 ? 2 2a 2 ? 1

xy 的最小值,由已知可得 4 xy ? 4 ? x ? 2 y ? 2 2 xy ,?

?

2 xy ? 2
2

??

2 xy ? 1 ? 0 ? 2 xy ? 2 ? 0,? xy ? 2, 所以只需

?

?

2 xy

?

2

? 2 xy ? 2 ? 0 ,即

2a ? a ? 17 5 ? 2, 可得2a 2 ? a ? 15 ? 0 ? a ? ?3或a ? . 2 2a ? 1 2
【思路点拨】不等式恒成立的问题,我们根据题意可先求出 xy 的最小值,与 a 有关系的式 子小于最小值. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】 18 . (本题满分 9 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且

2 3a sin B ? 5c , cos B ?

11 14



(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D , AD ? 【知识点】正弦定理;斜弦定理;三角形的面积公式.C5,C8

19 2

,求 ?ABC 的面积.

2? 15 3 (2) 3 4 11 5 3 解析:解:(I)由 cos B ? ,得 sin B ? 又 2 3a sin B ? 5c, 代入得 3a ? 7c 由 14 14 2? a c ? ,得 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B 得 tan A ? ? 3 , A ? 3 sin A sin C
【答案解析】(1) A ? (II) AB ? BD ? 2 AB ? BD ? cos B ?
2 2

19 2 ? 7 ? 7 11 19 c ? 3则 a ? 7 , , c ? ? c ? ? 2c ? c ? ? 4 6 14 4 ?6 ?

2

S?

1 1 5 3 15 3 ac sin B ? ? 3 ? 7 ? ? 2 2 14 4
误!未找到引用源。.数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且 Tn

【思路点拨】 根据正弦定理列出关系式求出角 A, 再根据余弦定理求出边长及三角形的面积. 【题文】 19. (本小题满分 10 分) 已知等差数列 ?a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a2 ? 8, S 4 ? 40 错 (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? ?

? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? .

?a n n为奇数 , 求数列 ?c n ? 的前 2n ? 1 项和 P2 n ?1 . ?bn n为偶数

【知识点】等差数列的概念,等比数列的概念;数列的前 n 项和公式.D2,D3,D4.
2n?1 【答案解析】(I) bn ? 3 ? 2n?1 ,(II) P ? 4n2 ? 8n ? 2 2 n?1 ? 2

解析:解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,? an ? 4n . ,得 ? ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,

?当n ? 1时,b1 ? 3 ,当n ? 2时,S n ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn ?1 , (n ? 2) 数
列 ?bn ?为等比数列,? bn ? 3 ? 2n ?1 . (Ⅱ)

n为奇数 ? 4n cn ? ? . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
P2 n ?1 ? (a1 ? a3 ? ? a2 n ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? b2 n ) ?
[4 ? 4(2n ? 1) ? (n ? 1)] 6(1 ? 4n ) ? 2 1? 4

? 22 n ?1 ? 4n 2 ? 8n ? 2
【思路点拨】根据已知条件求出数列的通项公式,利用分组求和法求数列的和. 【题文】20. (本题满分 10 分)如图,底面 ABC 为正三角形, EA ? 面 ABC , DC ? 面 ABC , EA ? AB ? 2 DC ? 2a ,设 F 为 EB 的中点. (1)求证: DF // 平面 ABC ; (2)求直线 AD 与平面 AEB 所成角的正弦值.
[Z#X#X#K]

【知识点】直线与平面平行的判定;直线与平面所成角的概念.G4,G11

15 解析:证明:过 F 作 FH / / EA 交 AB 于 H,连结 HC,因为 5 EA ? 平面ABC,DC ? 平面ABC, 所以 EA//DC,又 FH//EA, ? FH//DC ,而 F 是 EB 1 的中点,? FH ? AE ? DC ,所以四边形 CDFH 是平行四边形,所以 DF//HC,又 2 HC ? 平面ABC,DF ? 平面ABC, 所以 DF//平面ABC . (2) ABC 为正三角形,H 为 AB 中点, ? CH ? AB EA ? 面ABC,CH ? 面ABC,CH ? EA,EA ? AB=A EA、AB ? 面EAB, ?CH ? 面EAB, DF//CH ? DF ? 面EAB ? AF 为 DA 在面 EAB 上 的射影,所以 ? DAF 为直线 AD 与平面 AEB 所成角,在 RT AFD 中 15 ,所以直线 AD 与平面 AEB 所成角的正 AF= 2a, AD ? 5a, DF ? 3a,sin ?FAD ? 5 15 弦值为 5
【答案解析】(1)略(2) 【思路点拨】利用平行四边形证明线线平行,再利用定义证明直线与平面平行,根据直线与 平面所成角的概念找出直线与平面所成的角,介入三角形进行计算. 【题文】 21. (本小题满分 10 分) 如图, 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2

的左、右焦点为 F1、F2 ,其上顶点为 A .已知 ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(?4,0) 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M , N 两点,记 MQ ? ? ? QN . 若在线段 MN 上取一点 R, 使得 MR ? ?? ? RN ,试判断当直线 l 运动时,点 R 是否在某一定直 线上运动?若在请求出该定直线,若不在请说明理由. 【知识点】椭圆的概念;向量 H5,F1 【答案解析】(1)

x2 y2 (1)?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形, ? ? 1 (2) x ? ?1 解析:解: 4 3

x2 y2 则 c ? 1, a ? 2 ,故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 4 3
(2)直线 MN 的斜率必存在,设其直线方程为 y ? k ? x ? 4? ,并设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 联立方程 ? 4 消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0 ,则 3 ? y ? k ? x ? 4? ? ?32k 2 64k 2 ? 12 ? ? 144 ?1 ? 4k 2 ? ? 0, x1 ? x2 ? , x ? x ? ,由 MQ ? ? ? QN 得 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 x ?4 ,设点 R 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则由 MR ? ?? ? RN 得 ?4 ? x1 ? ? ? x2 ? 4 ? , 故? =- 1 x2 ? 4 x ?4 x1 ? 1 ? x2 2 x x ? 4 ? x1 ? x2 ? x1 ? ? x2 x2 ? 4 ? ? 1 2 ,又 x0 ? x1 ? ?? ? x2 ? x0 ? ,解得 x0 ? x ?4 1? ? ? x1 ? x2 ? ? 8 1? 1 x2 ? 4
2 x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? ?24 ?32k 2 24 x ? x ? 8 ? ?8 ? , ,从而 ? 1 2? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 2 x x ? 4 ? x1 ? x2 ? x0 ? 1 2 ? ?1 ,故点 R 在定直线 x ? ?1 上. ? x1 ? x2 ? ? 8

【思路点拨】根据已知条件求出椭圆方程的参数,列出方程,设出直线方程,联立方程表示 出 R 点的坐标,利用根与系数的关系求出适合条件的直线方程. 【题文】22. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) ,点 A( s, f ( s )), B(t , f (t )) . (Ⅰ )若 a ? 0, b ? 3 ,函数 f ( x) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的 取值范围; (Ⅱ ) 当 a ? 0 时,
f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ )若 0 ? a ? b ,函数 f ( x) 在 x ? s 和 x ? t 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 , O 是坐标原 点,证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. 【知识点】导数及其运算;函数的极值;向量与不等式.B11,B12,E8

【答案解析】(I) (?1, 0) (II) (??,

5 ? 2 ln 2] (III)略 2

解析:解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x 2 , f '( x) ? 3x 2 ? 6 x , 令 f '( x) ? 0 得 x ? 0, 2 ,根据导数的符号可以得出函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值, 在 x ? 2 处取得极小值.函数 f ( x) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值, 则只要 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 即可,即只要 ?1 ? t ? 0 即可. 所以 t 的取值范围是 (?1, 0) . (Ⅱ)当 a ? 0 时,
f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立, 2 x ? ?

???? 3 分

?1 ? 即 x 2 ? bx ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立, ?2 ? ln x 1 ?1 ? 也即 b ? x ? ? 在对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立. x x ?2 ? 1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ln x 1 ? 2 ? 令 g ( x) ? x ? . ? ,则 g '( x) ? 1 ? x x x2 x x2 1 2 x2 ? 1 记 m( x) ? x 2 ? ln x ,则 m '( x) ? 2 x ? ? , x x

???? 4 分

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点 x ? 故也是最小值点,所以 m( x) ? m(

2 , 2

2 1 2 ) ? ? ln ?0, 2 2 2 1 从而 g '( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [ , ??) 单调递增. 2
5 ?1? 5 函数 g ( x) min ? g ? ? ? ? 2 ln 2 .故只要 b ? ? 2 ln 2 即可. 2 ?2? 2 5 所以 b 的取值范围是 (??, ? 2 ln 2] 2

???? 6 分

(III)假设 OA ? OB ,即 OA ? OB ? 0 ,即 s, f ? s ? ? t , f ?t ? ? st ? f ? s ? ? f ?t ? ? 0 故
2 2 ? s ? a?? s ? b??t ? a ??t ? b? ? ?1即 ? ? st ? ? s ? t ? a ? a ? ?? ? st ? ? s ? t ? b ? b ? ? ? ?1 由于

?

??

?

s,t 是方程 f ? ? x ? ? 0 的两个根,故 s ? t ?

ab ? a ? b ? ? 9, ? a ? b ?
2

2

2 ab ? a ? b ? , st ? , 0 ? a ? b .代入上式得 3 3 9 2 ? ? a ? b ? ? 4ab ? ? 4ab ? 2 36 ? 12 ,即 ab

a ? b ? 2 3与a ? b ? 2 3 矛盾,所以直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.
【思路点拨】(1)根据有极大值、极小值的情况求出 t 的取值范围;(2)利用导数求解不等 式的恒成立;(3)根据垂直时向量之间的关系列出关系式,直接求出值说明情况.

台州中学 2014 学年第一学期第一次统练 高三数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(19) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

????2 分

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 , 当n ? 2时,S n ?1 ? 2bn ?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn ?1 , (n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,? bn ? 3 ? 2n ?1 . (Ⅱ) cn ? ? ????4 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数

P2 n ?1 ? (a1 ? a3 ?
?

? a2 n ?1 ) ? (b2 ? b4 ?

? b2 n )

?????6 分

[4 ? 4(2n ? 1) ? (n ? 1)] 6(1 ? 4n ) ? 2 1? 4

?????8 分 ?????10 分

? 22 n ?1 ? 4n 2 ? 8n ? 2

(21) (本小题满分 10 分)

解: (1) ?F1 AF2 是边长为 2 的正三角形,则 c ? 1, a ? 2 ,????????1 分 故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????????3 分

(22) (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x 2 , f '( x) ? 3x 2 ? 6 x , 令 f '( x) ? 0 得 x ? 0, 2 ,根据导数的符号可以得出函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值, 在 x ? 2 处取得极小值.函数 f ( x) 在 (t , t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值, 则只要 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 即可,即只要 ?1 ? t ? 0 即可. 所以 t 的取值范围是 (?1, 0) . (Ⅱ)当 a ? 0 时,
f ( x) ?1 ? ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立, x ?2 ?

???? 3 分

?1 ? 即 x 2 ? bx ? ln x ? 1 ? 0 对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立, ?2 ?

也即 b ? x ?

ln x 1 ?1 ? ? 在对任意的 x ? ? , ?? ? 恒成立. x x ?2 ?

1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ln x 1 ? 2 ? . ? ,则 g '( x) ? 1 ? x x x2 x x2 1 2 x2 ? 1 记 m( x) ? x 2 ? ln x ,则 m '( x) ? 2 x ? ? , x x
令 g ( x) ? x ? 则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点 x ? 故也是最小值点,所以 m( x) ? m(
2 , 2

???? 4 分

2 1 2 ) ? ? ln ?0, 2 2 2 1 从而 g '( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [ , ??) 单调递增. 2
5 ?1? 5 函数 g ( x) min ? g ? ? ? ? 2 ln 2 .故只要 b ? ? 2 ln 2 即可. 2 2 2 ? ? 5 所以 b 的取值范围是 (??, ? 2 ln 2] 2

???? 6 分