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2015-2016学年安徽省蚌埠市高二(下)期末数学试卷(文科)解析版


2015-2016 学年安徽省蚌埠市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 55 分) 1. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P, 若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是( )

A. (cosθ,sinθ) B. (﹣cosθ,sinθ) C

. (sinθ,cosθ) D. (﹣sinθ,cosθ) 2. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)设集合 A={x|y=ln(2x﹣1)},B={x|﹣1<x<3},则 A∩B= ( ) A. (﹣1,3) B. (1,3) C. (﹣1, ) D. ( ,3)
x

3. (5 分) (2014?成都模拟)已知命题 p:? x∈R,2 =5,则¬p 为( x x A.? x?R,2 =5 B.? x∈R,2 ≠5 C.? x0∈R,2 =5 D.? x0∈R,2 ≠5 ”是“x=2kπ+



4. (5 分) (2015?信阳模拟)“tanx=

) (k∈Z)”成立的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)已知复数 z 满足 =1+i,则在复平面内,复数 z 对应的

点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)下列说法正确的是( ) A.线性回归模型 y=bx+a+e 是一次函数 B.在线性回归模型 y=bx+a+e 中,因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适

D.用 R =1﹣

2

来刻画回归方程,R 越小,拟合的效果越好

2

7. (5 分) (2012?福建)设 f(x)=

,g(x)=

,则 f(g(π) )

的值为( ) A.1 B.0 C.﹣1 D.π 2 0.9 8. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)三个数 a=0.9 ,b=ln0.9,c=2 之间的大小关系是(



A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 9. (5 分) (2016?安徽一模)已知双曲线 C:
2



=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线

y =20x 的焦点重合,且其渐近线方程为 y=± x,则双曲线 C 的方程为(



A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

10. (2016 春?蚌埠期末)椭圆 A.10 或﹣ B.4 或﹣

+

=1 的离心率 e= ,则 a 的值为( D.10 或﹣ <φ≤ )



C.4 或﹣

11. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)函数 y=cos(x+φ) (﹣ 单位后,与函数 y=sin(x+ A. B. C. )的图象重合,则 φ=( D.
x﹣2

)的图象向右平移



12. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)已知函数 f(x)=a ,g(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1) , 若 f(4)?g(﹣4)<0,则在同一坐标系内 f(x)与 g(x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) (2014?福建模拟)小明在做一道数学题目时发现:若复数 z1=cosα1+isinα1, z2=cosα2+isinα2, z3=cosα3+isinα3 (其中 α1, α2, α3∈R) , 则 z1?z2=cos (α1+α2) +isin (α1+α2) , z2?z3=cos(α2+α3)+isin(α2+α3) ,根据上面的结论,可以提出猜想:z1?z2?z3= . 14. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上奇函数,且 f(x)的图 象关于直线 x=1 对称,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,则 f(2015)+f(2016)= . 15. (5 分) (2016?石嘴山校级四模)已知 0<θ<π, sinθ+cosθ= . + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,椭圆上的点 . ,那么

16. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)椭圆

P 满足|PF1|﹣|PF2|=2,则△PF1F2 的面积为

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分) (2016 春?蚌埠期末)已知命题 P:若幂函数 f(x)=x 过点(2,8) .实数 t 满 t﹣1 足 f(2﹣t)>f(t﹣1) ,命题 Q:实数 t 满足 2 >1,P 与 Q 有且仅有一个为真,求实数 t 的取值范围. 18. (12 分) (2016?天津二模) 已知函数 f (x) =sin x+2 x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间[﹣ , ]上的最大值和最小值.
2 a

sinxcosx+sin (x+

) sin (x﹣

) ,

19. (12 分) (2016 春?蚌埠期末)某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光 盘习惯”的调查中,随机发放了 120 份问卷.对收回的 100 份有效问卷进行统计,得到如下 2×2 列联表: 做不到光盘 能做到光盘 合计 45 10 55 男 30 15 45 女 25 100 合计 75 (1)若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关,那么根据临界 值最精确的 P 的值应为多少?请说明理由; (2)现按女生是否做到光盘进行分层,从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷,若从这 6 份问 卷中随机抽取 2 份,求两份问卷结果都是能做到光盘的概率. 附:独立性检验统计量 K = 独立性检验临界表: 2 0.15 P(K ≥k0) 0.25 1.323 2.072 K0
2

,其中 n=a+b+c+d.

0.10 2.706

0.05 3.840

0.025 5.024

20. (12 分) (2016 春?蚌埠期末) (1)用分析法证明: ﹣2 > ﹣ ; (2)用反证法证明: , , 不能为同一等差数列中的三项. 2 21. (12 分) (2016 春?蚌埠期末)已知点 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的 动点,直线 PF 交抛物线于 A、B 两点,若点 P 的纵坐标是 m(m≠0) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (1)若 m=2,求△DAB 的面积; (2)设 =λ , =μ ,求证 λ+μ 为定值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号。[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分) (2015?吉林三模)如图,在△ABC 中,∠B=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E,AE 交⊙O 于点 F. (1)证明:E 是 BC 的中点; (2)证明:AD?AC=AE?AF.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. (2016 春?蚌埠期末)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的极坐标方

程是 ρ=4sinθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系, (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 被圆 C 截得的弦长. [选修 4-5:不等式证明选讲] 24. (2016?福州模拟)已知 a、b 都是实数,a≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|. (1)若 f(x)>2,求实数 x 的取值范围; (2)若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对满足条件的所有 a、b 都成立,求实数 x 的取值范围.

2015-2016 学年安徽省蚌埠市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 55 分) 1. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P, 若∠AOP=θ,则点 P 的坐标是( )

A. (cosθ,sinθ) B. (﹣cosθ,sinθ) C. (sinθ,cosθ) D. (﹣sinθ,cosθ) 【分析】由题意可知,点 P 的横坐标为 cosθ,纵坐标为 sinθ,故点 P 的坐标可得. 【解答】解:由题意可知,点 P 的横坐标为 cosθ,纵坐标为 sinθ,故点 P 的坐标为(cosθ, sinθ ) , 故选 A. 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义,属于容易题. 2. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)设集合 A={x|y=ln(2x﹣1)},B={x|﹣1<x<3},则 A∩B= ( ) A. (﹣1,3) B. (1,3) C. (﹣1, ) D. ( ,3)

【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中 y=ln(2x﹣1) ,得到 2x﹣1>0, 解得:x> ,即 A=( ,+∞) , ∵B=(﹣1,3) , ∴A∩B=( ,3) , 故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分) (2014?成都模拟)已知命题 p:? x∈R,2 =5,则¬p 为( x x A.? x?R,2 =5 B.? x∈R,2 ≠5 C.? x0∈R,2 =5 D.? x0∈R,2 ≠5
x



【分析】根据全称命题的否定是特称命题,即可得到结论. 【解答】解:∵命题是全称命题, ∴根据全称命题的否定是特称命题得:¬p 为? x0∈R,2 ≠5,

故选:D. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题, 全称命题的否定是特称命题,比较基础.

4. (5 分) (2015?信阳模拟)“tanx=

”是“x=2kπ+

) (k∈Z)”成立的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】通过举反例判断出若 tanx= 出若“x=2kπ+ 结论. 【解答】解:若 tanx= 若“x=2kπ+ 所以“tanx= ”成立,如 ,推不出“x=2kπ+ , ) (k∈Z)”成立, ”成立推不出“x=2kπ+ ) (k∈Z)”成立,反之判断

) (k∈Z)”成立,能推出“x=2kπ+

) (k∈Z)”利用充要条件的定义得到

) (k∈Z)”成立,所以 ”是“x=2kπ+ ) (k∈Z)”成立的必要不充分条件,

故选 B. 【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断.充分条件与必要条件是中 学数学最重要的数学概念之一,要理解好其中的概念.

5. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)已知复数 z 满足

=1+i,则在复平面内,复数 z 对应的

点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】根据复数的运算法则,得到 z 对应的复数,写出点的坐标,看出所在的位置 【解答】解: =1+i,

∴z﹣2=

=

=﹣i,

∴z=2﹣i, ∴z 的对应点为(2,﹣1) , 故选:D 【点评】 考查复数的运算和几何意义, 解题的关键是写出对应的点的坐标, 有点的坐标以后, 点的位置就显而易见. 6. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)下列说法正确的是( ) A.线性回归模型 y=bx+a+e 是一次函数 B.在线性回归模型 y=bx+a+e 中,因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适

D.用 R =1﹣

2

来刻画回归方程,R 越小,拟合的效果越好

2

【分析】由条件利用残差、相关指数 R 的意义、线性回归模型的意义即可作出判断. 【解答】解:线性回归是利用数理统计中的回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依 赖的定量关系的一种统计分析方法之一, 分析按照自变量和因变量之间的关系类型, 可分为 线性回归分析和非线性回归分析.A 不正确, 根据线性回归方程做出的 y 的值是一个预报值,不是由 x 唯一确定,故 B 不正确; 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明这样的模型比较合适. 带状区域的宽度越窄, 说明模型的拟合精度越高,故 C 正确; 用相关指数 R 可以刻画回归的效果,R 的值越大说明模型的拟合效果越好,故 D 不正确. 故选:C. 【点评】 本题考查回归分析, 本题解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映 的拟合效果的好坏,本题是一个中档题.
2 2

2

7. (5 分) (2012?福建)设 f(x)=

,g(x)=

,则 f(g(π) )

的值为( ) A.1 B.0 C.﹣1 D.π 【分析】根据 π 是无理数可求出 g(π)的值,然后根据分段函数 f(x)的解析式可求出 f (g(π) )的值. 【解答】解:∵π 是无理数 ∴g(π)=0 则 f(g(π) )=f(0)=0 故选 B. 【点评】本题主要考查了分段函数的求值,解题的关键判定 π 是否为有理数,属于基础题. 8. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)三个数 a=0.9 ,b=ln0.9,c=2 之间的大小关系是( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 【分析】由题意,可确定出三个数的取值范围,找出中间量,从而得出三数的大小,找出正 确选项 【解答】解:由题,因为 ln0.9<0<0.9 <1<2 ∴b<a<c 故选 C 【点评】本题考查不等式比较大小,中间量法是比较不同类型代数式大小的常用方法,确定 出恰当的中间量是关键
2 0.9 2 0.9

9. (5 分) (2016?安徽一模)已知双曲线 C:
2



=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线

y =20x 的焦点重合,且其渐近线方程为 y=± x,则双曲线 C 的方程为(



A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

【分析】求出抛物线的焦点坐标,根据双曲线的焦点坐标和抛物线的焦点关系,得到 c=5, 根据双曲线的渐近线方程得到 = ,联立方程组求出 a,b 即可. 【解答】解:抛物线的焦点坐标为(5,0) , 双曲线焦点在 x 轴上,且 c=5, ∵又渐近线方程为 y=± x,可得 = , 即 b= a, 则b =
2 2

a =c ﹣a =25﹣a ,
2

2

2

2

2

则 a =9,b =16, 则双曲线 C 的方程为 ﹣ =1,

故选 A 【点评】 本题主要考查双曲线方程的求解, 根据双曲线的焦点坐标和渐近线方程建立方程组 关系求出 a,b 的值是解决本题的关键.

10. (2016 春?蚌埠期末)椭圆 A.10 或﹣ B.4 或﹣

+

=1 的离心率 e= ,则 a 的值为( D.10 或﹣



C.4 或﹣

【分析】对椭圆的焦点分类讨论,利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式即可得出. 【解答】解:椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 =1(a>b>0) ,其中

c=

,则椭圆的离心率 e= =

=



同理可得:当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为

=1(a>b>0) ,其中

c=

,则椭圆的离心率 e=



因此可得:当椭圆的焦点在 x 轴上时,e= = 当椭圆的焦点在 y 轴上时,e= = ,解得 a=

,解得 a=4. .

故选:B. 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质, 考查了分类讨论方法、 推理能力与计算能力, 属于中档题.

11. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)函数 y=cos(x+φ) (﹣ 单位后,与函数 y=sin(x+ A. B. C. )的图象重合,则 φ=( D.

<φ≤ )

)的图象向右平移



【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得 y=cos(x﹣ y=sin(x+ )的图象重合,故有(x+ )﹣(x+φ﹣ <φ≤ )=2kπ+

+φ)的图象与函数 ,由此求得 φ 的值. 个单位后,可得

【解答】解:把函数 y=cos(x+φ) (﹣ y=cos(x﹣ +φ)的图象;

)的图象向右平移

根据所得图象与函数 y=sin(x+ 即 φ=﹣2kπ+ 当 k=0 时,φ= , ,

)的图象重合,则 (x+

)﹣(x+φ﹣

)=2kπ+



故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式的应用,属于基础 题. 12. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)已知函数 f(x)=a ,g(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1) , 若 f(4)?g(﹣4)<0,则在同一坐标系内 f(x)与 g(x)的大致图象是( )
x﹣2

A.

B.

C.

D.

【分析】观察两个函数的解析式,f(x)=a 是指数型的,g(x)=loga|x|是对数型的且是 一个偶函数,由 f(4)?g(﹣4)<0,可得出 g(﹣4)<0,由这些特征对选项进行正确判 断即可. 2 【解答】解:据题意由 f(4)g(﹣4)=a ×loga4<0,得 0<a<1, x 因此指数函数 y=a (0<a<1)是减函数, x﹣2 x 函数 f(x)=a 的图象是把 y=a 的图象向右平移 2 个单位得到的, 而 y=loga|x|(0<a<1)是偶函数, 当 x>0 时,y=loga|x|=logax 是减函数, 则 y=f(x) ,y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是②. 故选:B. 【点评】本题考查识图,判断图的能力,考查根据函数的图象确定函数的性质及通过函数的 解析式推测函数的图象, 综合性较强, 解决此类题关键是找准最明显的特征作为切入点如本 题选择了从 f(4)?g(﹣4)<0,因为 f(4)一定为正,这可以由函数是指数型的函数轻 易得出,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) (2014?福建模拟)小明在做一道数学题目时发现:若复数 z1=cosα1+isinα1, z2=cosα2+isinα2, z3=cosα3+isinα3 (其中 α1, α2, α3∈R) , 则 z1?z2=cos (α1+α2) +isin (α1+α2) , z2?z3=cos (α2+α3) +isin (α2+α3) , 根据上面的结论, 可以提出猜想: z1?z2?z3= cos (α1+α2+α3) +isin(α1+α2+α3) . 【分析】根据已知中复数 z1=cosα1+isinα1,z2=cosα2+isinα2,满足 z1?z2=cos(α1+α2)+isin (α1+α2) , 将 z1?z2=cos (α1+α2) +isin (α1+α2) 看成一个整体, 可推理出 z1?z2?z3=cos (α1+α2+α3) +isin(α1+α2+α3) . 【解答】解:∵当复数 z1=cosα1+isinα1,z2=cosα2+isinα2 时, z1?z2=cos(α1+α2)+isin(α1+α2) , ∴z1?z2?z3=(z1?z2)?z3=[cos(α1+α2)+isin(α1+α2)]?(cosα3+isinα3)=cos(α1+α2+α3) +isin(α1+α2+α3) , 故答案为:cos(α1+α2+α3)+isin(α1+α2+α3) 【点评】归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 14. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上奇函数,且 f(x)的图 象关于直线 x=1 对称,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,则 f(2015)+f(2016)= 1 . 【分析】由函数的对称性可得 f(x)=f(2﹣x) ,再由奇偶性可得 f(x)=﹣f(x﹣2) ,由此 可推得函数的周期,根据周期性可把 f(2016) ,f(2015)转化为已知区间上求解 【解答】解:因为 f(x)图象关于 x=1 对称,所以 f(x)=f(2﹣x) , 又 f(x)为奇函数,所以 f(2﹣x)=﹣f(x﹣2) ,即 f(x)=﹣f(x﹣2) , 则 f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣[﹣f(x)]=f(x) , 故 4 为函数 f(x)的一个周期, 从而 f(2015)+f(2016)=f(﹣1)+f(0) , 而 f(0)=0,f(﹣1) , 故 f(﹣1)+f(0)=1, 即 f(2015)+f(2016)=1, 故答案为:1.

x﹣2

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关 键.

15. (5 分) (2016?石嘴山校级四模) 已知 0<θ<π, .

, 那么 sinθ+cosθ= ﹣

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,两角和的正切公式求得 sinθ 和 cosθ 的值, 可得 sinθ+cosθ 的值. 【解答】解:∵0<θ<π,
2 2

=

,∴tanθ=﹣ =



再根据 sinθ>0,cosθ<0,sin θ+cos θ=1,可得 sinθ= ,cosθ=﹣ , ∴sinθ+cosθ=﹣ , 故答案为: .

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正切公式的应用,属于基础题.

16. (5 分) (2016 春?蚌埠期末)椭圆

+

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,椭圆上的点

P 满足|PF1|﹣|PF2|=2,则△PF1F2 的面积为 . 【分析】|PF1|﹣|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=4,联立解得|PF1|,|PF2,在△PF1F2 中,由余 弦定理可得: cos∠F1PF2, 进而得到 sin∠F1PF2= 的面积= |PF1|?|PF2|sin∠F1PF2 即可得出. 【解答】解:∵|PF1|﹣|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=4, 联立解得|PF1|=3,|PF2|=1, 在△PF1F2 中,由余弦定理可得:cos∠F1PF2= ∴∠F1PF2 为锐角, ∴sin∠F1PF2= = . × = . = , = . 利用△PF1F2

∴△PF1F2 的面积= |PF1|?|PF2|sin∠F1PF2=

故答案为: . 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分)

17. (12 分) (2016 春?蚌埠期末)已知命题 P:若幂函数 f(x)=x 过点(2,8) .实数 t 满 t﹣1 足 f(2﹣t)>f(t﹣1) ,命题 Q:实数 t 满足 2 >1,P 与 Q 有且仅有一个为真,求实数 t 的取值范围. 【分析】根据幂函数的方程求出 a 的值,结合函数的单调性求出 t 的取值范围,根据复合命 题真假关系建立不等式关系即可. a a 3 【解答】解:若幂函数 f(x)=x 过点(2,8) .则 f(2)=2 =8,则 a=3,则 f(x)=x ,为 增函数, 由 f(2﹣t)>f(t﹣1) ,得 2﹣t>t﹣1,得 t< ,即 P:t< , 由 2 >1 得 t﹣1>0,则 t>1,即 Q:t>1, ∵P 与 Q 有且仅有一个为真, ∴若 P 真 Q 假,则 得 t≤1,
t﹣1

a

若 P 假 Q 真,则

,则 t≥ ,

综上实数 a 的取值范围是 t≤1 或 t≥ . 【点评】 本题主要考查复合命题的真假关系, 根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决 本题的关键.
2

18. (12 分) (2016?天津二模) 已知函数 f (x) =sin x+2 x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间[﹣ ,

sinxcosx+sin (x+

) sin (x﹣

) ,

]上的最大值和最小值.

【分析】 (1)由诱导公式变形,利用倍角公式降幂再用两角差的正弦化积,则周期可求; (2)由 x 的范围求得相位的范围,进一步求出 sin(2x 【解答】解: (1)f(x)=sin x+2 =
2

)的范围得答案. )sin(x﹣ )

sinxcosx+sin(x+ =

= ∴ ; , ],∴2x∈[

=

=



(2)∵x∈[﹣

],



[﹣ ,

],sin(2x

)∈[﹣1,1].

∴f(x)在区间[﹣

]上的最大值和最小值分别为 和﹣ .

【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质, 是中档题. 19. (12 分) (2016 春?蚌埠期末)某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光 盘习惯”的调查中,随机发放了 120 份问卷.对收回的 100 份有效问卷进行统计,得到如下 2×2 列联表: 做不到光盘 能做到光盘 合计 45 10 55 男 30 15 45 女 25 100 合计 75 (1)若在犯错误的概率不超过 P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关,那么根据临界 值最精确的 P 的值应为多少?请说明理由; (2)现按女生是否做到光盘进行分层,从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷,若从这 6 份问 卷中随机抽取 2 份,求两份问卷结果都是能做到光盘的概率. 附:独立性检验统计量 K = 独立性检验临界表: 2 0.15 P(K ≥k0) 0.25 1.323 2.072 K0 【分析】 (1)求出 K =
2 2

,其中 n=a+b+c+d.

0.10 2.706

0.05 3.840

0.025 5.024 ≈3.03,由 2.706<3.03<3.841,得到

能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘行动”与性别有关,即精确值应为 0.10; (2) 按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷, 则抽取到做不到光盘的人 数为 4 人,能做到光盘的人数为 2 人,利用古典概型的概率公式,可得结论. 【解答】解: (1)K =
2

≈3.03,

因为 2.706<3.03<3.840, 所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关, 即精确的值应为 0.10. (2)按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 6 份问卷, 则抽取到做不到光盘的人数为:30× =4 人,能做到光盘的人数为:15× =2 人,

∴两份问卷结果都是能做到光盘的概率为

=



【点评】本题考查古典概型的概率公式,考查独立性检验,考查学生分析解决问题的能力, 知识综合. 20. (12 分) (2016 春?蚌埠期末) (1)用分析法证明: ﹣2 > ﹣ ; (2)用反证法证明: , , 不能为同一等差数列中的三项. 【分析】 (1)利用分析法,寻找使不等式成立的充分条件. (2)假设 , , 为同一等差数列的三项,进而根据等差数列的定义,分析出矛盾, 进而得到原结论成立. 【解答】证明(1)要证明 ﹣2 > ﹣ ; 只要证 + > +2 , 2 2 只要证( + ) >( +2 ) , 只要证 13+2 >13+2 , 只要证 > 即证 42>40. 而 42>40 显然成立,故原不等式成立 (2)证明:假设 , , 为同一等差数列的三项, 则存在整数 m,n 满足 = +md ① = +nd ② ①×n﹣②×m 得: n﹣ m= (n﹣m) 2 2 2 两边平方得:3n +5m ﹣2 mn=2(n﹣m) 左边为无理数,右边为有理数,且有理数≠无理数 所以,假设不正确. 故 , , 不能为同一等差数列中的三项 【点评】本题主要考查用分析法证明不等式,以及反证法,熟练掌握反证法的适用范围及证 明步骤是解答的关键, 把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件, 直到使不等式成 立的充分条件显然已经具备为止. 21. (12 分) (2016 春?蚌埠期末)已知点 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 P 是准线 l 上的 动点,直线 PF 交抛物线于 A、B 两点,若点 P 的纵坐标是 m(m≠0) ,点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (1)若 m=2,求△DAB 的面积; (2)设 =λ , =μ ,求证 λ+μ 为定值.
2

【分析】 (1)由题知点 P,F 的坐标分别为(﹣1,m) , (1,0) ,求出斜率用点斜式写出直 线方程.设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,用弦长公式求出线段 AB 的长, 再由点到直线的距离公式求点 D 到直线 AB 的距离,用三角形面积公式求出面积;

(2)







,变化为坐标表示式,从中求出参数 λ,μ 用两点 A,B 的坐标表

示的表达式,即可证明出两者之和为定值. 【解答】 (1)解:由题知点 P,F 的坐标分别为(﹣1,2) , (1,0) , 于是直线 PF 的斜率为 1, 所以直线 PF 的方程为 y=﹣(x﹣1) , 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 2 由直线与抛物线联立得 x ﹣6x+1=0, 所以 x1+x2=6,x1x2=1. 于是|AB|=x1+x2+2=8. 点 D 到直线 x+y﹣1=0 的距离 d= 所以 S= =4 ;
2 2 2 2

=



(2)证明:由直线 y=﹣ (x﹣1) ,与抛物线联立得 m x ﹣(2m +16)x+m =0,

所以 x1+x2=

,x1x2=1.

因为









所以(1﹣x1,﹣y1)=λ(x2﹣1,y2) , (﹣1﹣x1,m﹣y1)=μ(x2+1,y2﹣m) , 于是 λ= ,μ= (x2≠±1) .

所以 λ+μ=

+

=

=0.

【点评】本题考查直线方程、抛物线焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向 量的意义,涉及知识较多,综合性较强. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号。[选修 4-1:几何证明选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分) (2015?吉林三模)如图,在△ABC 中,∠B=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D,过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E,AE 交⊙O 于点 F. (1)证明:E 是 BC 的中点; (2)证明:AD?AC=AE?AF.

【分析】 (1) 欲证明 E 是 BC 的中点, 即证 EB=EC, 即要证 ED=EC, 这个可通过证明∠CDE= ∠C 得到; 2 2 (2)因由相似三角形可得:AB =AE?AF,AB =AD?AC,故欲证 AD?AC=AE?AF,只要由 AB=AB 得到即可. 【解答】证明: (Ⅰ)证明:连接 BD, 因为 AB 为⊙O 的直径, 所以 BD⊥AC,又∠B=90°, 所以 CB 切⊙O 于点 B,且 ED 切于⊙O 于点 E, 因此 EB=ED,∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C, 所以∠CDE=∠C, 得 ED=EC,因此 EB=EC,即 E 是 BC 的中点 (Ⅱ)证明:连接 BF,显然 BF 是 Rt△ABE 斜边上的高, 可得△ABE∽△AAFB, 于是有
2

,即 AB =AE?AF,

2

同理可得 AB =AD?AC,所以 AD?AC=AE?AF 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定,与圆有关的比例线段.属于基础题. [选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. (2016 春?蚌埠期末)已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,圆 C 的极坐标方

程是 ρ=4sinθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系, (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 被圆 C 截得的弦长. 2 2 2 【分析】 (Ⅰ)先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y , 进行代换化简即可. (Ⅱ)求出圆的直角坐标方程,利用直线和圆相交的弦长公式进行计算即可.

【解答】解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为

,消去参数 t 得直线的普通方程为 y=

x,

∵ρcosθ=x,ρsinθ=y, ∴ρsinθ= ρcosθ,

即 tanθ=

,则 θ=

, ;
2 2

即直线 l 的极坐标方程为 θ=
2

(Ⅱ)由 ρ=4sinθ 得 ρ =4ρsinθ,即 x +y ﹣4y=0, 2 2 则 x +(y﹣2) =4, 圆心(0,2)到直线 x﹣y=0 的距离 d= =2 ,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2

【点评】本题考查曲线参数方程,极坐标和直角坐标的互化,根据相应的转化公式进行转化 是解决本题的关键. [选修 4-5:不等式证明选讲] 24. (2016?福州模拟)已知 a、b 都是实数,a≠0,f(x)=|x﹣1|+|x﹣2|. (1)若 f(x)>2,求实数 x 的取值范围; (2)若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f(x)对满足条件的所有 a、b 都成立,求实数 x 的取值范围. 【分析】 (1)利用绝对值的意义,|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的 距离之和,而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2 的点的坐标,从而得出结论. (2)转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤ ,利用函数恒成立以及绝对值的几何

意义,求出 x 的范围即可. 【解答】解: (1)由 f(x)>2,即|x﹣1|+|x﹣2|>2. 而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, 而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2 的点的坐标为 和 , 故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2 的解集为﹛x|x≤ 或 x≥ ﹜, (2)由题知,|x﹣1|+|x﹣2|≤ 的最小值. ∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|,当且仅当 (a+b) (a﹣b)≥0 时取等号, ∴ 的最小值等于 2,∴x 的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2 的解. 恒成立,故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于

由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和, 又由于数轴上的 、 对应点到 1 和 2 对应点的距离之和等于 2,故不等式的解集为[ , ], 故答案为[ , ].

【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义,绝对值不等式的解法,判断数轴上满足|x ﹣1|+|x﹣2|=2 的点的坐标为 和 ,是解题的关键.考查转化思想的应用.


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