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教育部课题2.2.1双曲线及其标准方程

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教育部重点课题新教育子课题

《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》

温州市瓯海区三溪中学 张明

2.2.1 双曲线及其标准方程

2012年12月

我们知道历史上是古希腊人最早研究圆锥曲线,公元前262到 公元前192阿波罗尼写出《圆锥曲线》进行系统的研究。
在当时的社会,生活生产实践中有双曲线的存在吗?古希腊人 是如何发现双曲线的? 对于圆锥曲线的最早发现,众说纷纭。有人说,古希腊数学家 在求解“立方倍积”问题时,发现了圆锥曲线:设x、y为a和2a的 比例中项,即。a:x=x:y=y:2a,则x2=ay,y2=2ax,xy=2a2,从 而求得x3=2a3。又有人说,古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截 时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为,古代天文 学家在制作日晷(gui)时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的 圆盘,中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上,杆影的移 动可以计时。而在不同纬度的地方,杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。 然而,日晷的发明在古代就已失传。日晷按照日影测定时刻的仪 器。 但从近代开始,生活中出现了有双曲线的物体即建筑物。它们 是人类研究了双曲线的性质后根据双曲线的性质建造的。不知道双 曲线的性质,建筑物是造不出来的。

在古希腊虽然知道双曲线,但古希腊人不知道知识 就是力量,知识就是生产力。在古希腊知识是有钱人的消 遣,是人本身具有的探索大自然奥秘的好奇心才追求知识。 到了近代,培根((1561-1626),英国文艺复兴时期最 重要的散作家、哲学家。)才提出来知识就是力量。

生活中的双曲线

双曲线型自然通风冷却塔

生活中的双曲线

玉枕的形状

正在建设中金沙江上的 溪落渡水电站:双曲拱坝

可口可乐的下半部

探索研究
椭圆的定义?
Y

平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点轨迹叫做椭圆。

M ? x, y ?

F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

思考:如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”,那么点的轨迹是怎样的曲线? 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 的点的轨迹 ”是什么?

看图分析动点M满足的条件: ①如图(A),

|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B),

|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得:

等于2a或-2a 需要死记硬 背吗? 答:根据 图像知道 哪长哪短。

| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)

上面 两条曲线合起来叫做 双曲线,每一条叫做双曲线 的一支。

一、 双曲线定义(类比椭圆)
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. y

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

M

② |F1F2|=2c ——焦距.
说明: 思考: 0<2a<2c ;

F

1

o

F

2

x

(1)若2a=2c,则轨迹是什么?(1)两条射线

(2)若2a>2c,则轨迹是什么?(2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

古希腊人只在几何角度对圆锥曲线做出研究,到17世纪,笛 卡尔横空出世,给数学带来新方法那就是用代数角度研究几何。

二、 双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F

1

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

(x ? c) ? y ? (x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

(x ? c) ? y ? (x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

? (x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2 a ?
2

(x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a 2 ? ? a ( x ? c ) 2 ? y 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a2 ? b2
x2 a2

?

y2 b
2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

思考:若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M

F2 x
F
O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

讨论:
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正,则 在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

对于椭圆、双曲线到底是a大 b大还是才c大?是啊a2 =b2 +c2 还是c2 =a2 +b2 ?需要死记硬背吗? 答:只要一画出椭圆、双曲线的图像从图像上看一目了然。对 于双曲线图像上是看不出来a大还是b大,所以就没有a大还是b大。

讨论:
当 m、n取何值时,方程 mx2 ? ny 2 ? 1表示椭圆, 双曲线,圆 。
解:由各种方程的标准方程知, 当 m ? 0, n ? 0, m 当m

? n 时方程表示的曲线是椭圆

? n ? 0 时方程表示的曲线是圆

当 m ? n ? 0 时方程表示的曲线是双曲线

三、例题选讲 例1 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程
解:∵ F1F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练:已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6,求动点P 的轨迹方程
解: ∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

例2 已知方程

x2 y2 ? ?1 9? k k ?3

表示双曲线,

求 k 的取值范围。
y x 分析:由双曲线的标准方程知该双曲线焦点可能在 x y 轴,故而只要让 x 2、y 2 的系数异号即可。 轴也可能在

x 2、y 2

A、B 例3、已知 A、B 两地相距 800 m ,在 A 地听到 炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 340 m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹.
分析:依题意有,爆炸地点距 A、B 两地的距离差值为 一个定值,故而可知,爆炸点在以 A、B 为焦点的双曲线 上,又在 A地听到的晚,所以爆炸点离 A 较远,应是靠 近 B 的一支。

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.

思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差,可以确定爆炸点在某条曲线上,但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全,我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置,怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两 处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的 方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点 的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

随堂练习
已知方程
x 2? m
2

?

y2 m ?1

? 1 表示焦点在y轴的

m<-2 双曲线,则实数m的取值范围是______________
变式: 上述方程表示双曲线,则m的取值范围是 m<-2或m>-1 __________________ 求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3,焦点在x轴上; 2 y2 x 16 9 ②焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5) y2 x2 20 16

?

?1 ?1

?

我们知道除了根据双曲线的定义这种运动方式产生的轨迹是双 曲线,那还有没有其他的运动方式产生的轨迹是双曲线。这些实验 会受到当时社会生产力即科技水平的限制吗?即不管在古代、近代、 现代、当代都可以实验。

例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨 迹方程。
解:设点M 的坐标为( x, y ),因为点A的坐标是(?5, 0), 所以,直线AM 的斜率k AM y ? ( x ? ?5) x?5

同理,直线BM 的斜率k BM

y ? ( x ? 5). x ?5

y y 4 由已知有 ? ? ? ( x ? ?5) x ?5 x ?5 9
x2 y2 化简,得点M 的轨迹方程为 ? ? 1( x ? ?5) 25 100 9

“杂点” 可不要 忘了哟

只有在近代 即笛卡尔时 代才可以实 验。如果把 -4/9改为4/9 呢?

《2.2.2双曲线的简单几何性质》P52例5点M(x,y)到定点F(5,0) 的距离和它到定直线l:x=16/5的距离的比是常数5/4,求点M的轨迹。
P54 习题2.2B组3。 这是圆锥曲线的第二定义,在开普勒(1571—1630)的发现 焦点和离心率下才成为可能。 与《2.1.2椭圆的简单几何性质》P41例6类比

P54习题2.2A组5与P42 习题2.1A组7类比。 1、设动圆M恒过定点A(-3,0),且与定圆C:(x-3 )2 + y2 =4 外切,求动圆圆心M的轨迹方程

应用:
1)已知x轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆 动点,求AQ中点M轨迹方程。

?2 x ? 1?2 ? 4 y 2 ? 1 答案:
4
2 2

x 2 ? y ? 1上的 4

2

2)已知定圆C1:

x ? y ? 4x ? , 0

古代可以实验,但用近 代语言表达。从此题看 出为什么那形式称标准 方程。古代还好判断, 近代很难判断。

x2 ? y 2 ? 4 x ? 60 ? 0 圆C2: ,动圆M和定圆C1外切和圆C2内切,
求动圆圆心M的轨迹方程。

|MC2|=8 -R
2 2

x y ? ?1 答案: 25 21

??

分析:|MC1|=2+R

|MC1|+|MC2|=10

古代可以实 验且古代的 几何法也比 较好判断。


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