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数列通项公式的求法


数列通项公式的求法

类型一:类等差数列, 即an?1 ? an ? f (n) (条件 : f (1) ? f (2) ? ? ? f (n)的和是可求的 )
求数列?a n ? 的通项公式。

例1:数列?a n ? 中,a1 ? 2,a n ?1 ? a n ? 2n(n ? 1,2,3?),

分析:

由已知易得

a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 2 ? 2, a4 ? a3 ? 2 ? 3,?, an ? an?1 ? 2(n ?1 )
上面各式相加得 an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1)] ? n(n ?1),

an?1 ? an ? 2n

方法归纳:累加

故an ? n2 ? n ? 2(n ? 1,2,3,?)

可求和

类型二:类等比数列
an?1 若 ? f (n),且f (1) ? f (2) ??? f (n ? 1)的积是可求的, an

列?an ? 的通项公式为

an?1 n ?an ?中,a1 ? 1且满足 ? 例 2: 已知数列 ,则数 an n?2

累乘法求得 a n 该题型方法归纳:

an?1 an n a2 a3 a4 1 2 3 4 n- 1 分析 : ? 得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? an n ? 2 a1 a2 a3 an?1 3 4 5 6 n ?1

an 1? 2 2 ? ? ? a1 ? 1? an ? a1 n(n ? 1) n(n ? 1)

累乘

列?an ? 的通项公式。

an?1 n ?an ?中,a1 ? 1且满足 ? 例 2: 已知数列 ,求数 an n?2

其他解法探究:
an?1 n ? ? (n ? 2)an?1 ? nan an n?2

? (n ? 1)(n ? 2)an?1 ? n(n ? 1)an

?n(n ? 1)an ?是常数数列 则可构造
2 故有n(n ? 1)a n ? 1 ? 2 ? a1 ? 2, ? a1 ? 1? a n ? n(n ? 1)

练习1.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an-nan2=0, 求{an}的通项公式 解: ∵(n+1)an+12 +an+1an-nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 - nan]=0

∵ an+1+ an>0

∴ (n+1) an+1 = nan

a n ?1 n ? ∴ (n≥1) an n?1 a2 a n a n?1 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ? ? ... ? ? ? 1 ? a1 ? ∴ an= ? ? ... ? n n ?1 n ? 2 3 2 a1 a n?1 a n?2 1 ? n

构造法

3 ?1 an ? 则数列{an}的通项公式是______________. 2

* 例3.若数列{an}满足a1 ? 1, an?1 ? 3a ? 1(n ? N ). nn

1 1 解:an?1 ? 3an ? 1可化为an?1 ? ? 3(an ? ) 2 2 3 1 ∴数列{an ? }是首项为 2 ,公比为3 的等比数列 2 n n 3 ?1 1 3 n ?1 3 从而an ? ? an ? ? ? 3 ? 2 2 2 2

构造法 (1)an+1=Aan+B (A,B≠0且A≠1)型

an?1 ? Aan ? B ? an?1 ? C ? A(an ? C )
则数列{an+C}是公比为A的等比数列.

练习2: 若数列{an}满足 a1 ? 2, an ? 4an?1 ? 2 (n ? 2),
n

an ? 4 ? 2 则数列{an}的通项公式是______________.
n n

解:an ? 4an?1 ? 2 可化为(an ? 2 ) ? 4(an?1 ? 2
n n

n?1

)

∴数列{an+2n}是首项为4,公比为4的等比数列

? an ? 2 ? 4 ,
n n

从而an ? 4 ? 2
n

n

构造法 (2)an=Aan-1+qn (A≠0或1)型

an ? Aan?1 ? q
n

n

? an ? C ? q ? A(an?1 ? C ? q

n?1

)

则数列{an+C· qn}是公比为A的等比数列.

练习2: 若数列{an}满足 a1 ? 2, an ? 4an?1 ? 2 (n ? 2),
n

an ? 4 ? 2 则数列{an}的通项公式是______________. an an ?1 n 解法二: an ? 4an?1 ? 2 ? n ? 4 ? n ? 1 2 2 an an ?1 即 n ? 2 ? n ?1 ? 1 2 2 an 令bn ? n , 则 b ? 2b ? 1 ? b ? 1 ? 2(b ? 1) n n?1 n n?1 2
n n

∴数列{bn ? 1}是首项为2 ,公比为2 的等比数列

? bn ? 1 ? 2

n

从而an ? 4 ? 2
n

n

构造法 (2)an=Aan-1+qn (A≠0或1)型

an ? Aan?1 ? q an A an ?1 ? n ? ? n ?1 ? 1 q q q
n

an A 令bn ? n , 则bn ? bn?1 ? 1 q q

3:

数列?an ? 满足: a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 3 求 ?an ? 通项公式.
an an ?1 ? n ? n ?1 ? 1 3 3

n?1

,

解:

an ? 3an?1 ? 3

n

a1 ? an ? ? ? n ? 是以 为首项,以1为公差的等差数列 3 ?3 ? an a1 ? n ? ? (n - 1 ) ? 1 ? n ? a n ? n3 n 3 3

n 练习4. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,m∈N*), 则an=_______
解: n=m=1时,a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2 m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1,即an+1-an=1 ∴{an}是等差数列,an=1+(n-1)=n
n 2 练习5. 若b1=2,且bmbn=bm+n,则bn=_____________

解:n=m=1时,b2=b1· b1=4 , 即b1=2,b2=4,
m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn· b1=2bn, 故{bn}是首项为b1=2 ,公比为q=2的等比数列,
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
· 2007·

bn=2· 2n-1=2n
王新敞
奎屯 新疆

练习6 根据下列条件,确定数列的通项公式。

a1 ? 1, an ?1 ? 3an ? 2 ? (1)

1 a1 ? 1, an ? ? an ?1 ? 1(n ? 2) ? (2) 2 1 a1 ? 60, an ? an ?1 ? 60(n ? 2) ? (3) 5

a1 ? (4)

? 1,3an?1 ? an ? 7 ? 0

分析
an?1 ?1 ? 3(an ?1), an ?1 ? (a1 ?1) ? 3 , an ? 2 ? 3 ?1 ? (1)
2 1 2 2 2 1 n ?1 2 1 1 n ?1 an ? ? ? (an ?1 ? ), an ? ? (a1 ? ) ? (? ) , an ? ? (? ) ? (2) 3 2 3 3 3 2 3 3 2
n?1 n?1

1 1 n ?1 1 n ?1 an ? 75 ? (an ?1 ? 75), an ? 75 ? (a1 ? 75)( ) , an ? 75 ? 15( ) ? (3) 5 5 5

1 7 7 1 7 7 3 1 n ?1 an ?1 ? ? an ? , an ?1 ? ? ? (an ? ), an ? ? (? )( ? ) ? (4) 3 3 4 3 4 4 4 3

{an } 中,求满足下列条件的通项 练习7、在数列 公式
? (1) a1
? ?

? 1, an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 1 (2) a1 ? ,2an ?1 ? an ? n 2 (3) a1 ? 1, an ? an?1 ? n ? 1(n ? 2)

? (4) a2
? (5) a1

? 6, (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an ? 1)

? 2, an ?1 ? 4an ? 3n ? 1

分析
2 2 1 2 n ?1 an ?1 ? (n ? 1) ? ? 4(an ? n ? ), an ? (2 ? 3n ? 2) ? (1 ) 3 3 3 1 3 an?1 ? (n ? 1) ? 2 ? (an ? n ? 2), an ? n ? 2 ? n ? (2 ) 2 2 n 3 n ?1 3 n 3 1 n ( a ? ? ) ? ? ( a ? ? ), a ? ? ? ( ? 1 ) ? (3) n n ?1 n 2 4 2 4 2 4 4
an?1 an 1 1 2 n ( n ? 1) a ? n ( n ? 1)( a ? 1), ? ? ( ? ), a ? 4 n ? 5n ? (4 ) n ?1 n n n(n ? 1) (n ? 1)n n ? 1 n

an ?1 ? (n ? 1) an ? n a1 ? 1 1 n ?1 ? ? ? ? ? , a ? 4 ?n ? (5 ) n n ?1 n 4 4 4 4

{an } 中,求满足下列条件的 练习8、在数列 通项公式 5 1 1 n ?1 ? (1)a1 ? , an ?1 ? an ? ( ) 6 3 2
? (2)a1 ? 2, an ? 2an ?1 ? 2
n ?1

(n ? 2)

? (3)a1 ? 3, nan ?1 ? (n ? 2)an ? n
n ?1 * a ? 1 , a ? 3 ? 2 a ( n ? N ) ? (4) 0 n n ?1

an ?1 2 an 2 n n ?1 ? ? 1,2 an ?1 ? 3 ? (2 an ? 3) 1 n ?1 3 1 n 3 ? (1)( ) ( ) 2 2 2 n ?1 2n 1 n 1n n 2 an ? 3 ? (2a1 ? 3) ? ( ) ? ?2( ) , an ? 3( ) ? 2( ) 3 3 2 3

分析:

?
? ?

an an ?1 an a1 (2)n ? n ?1 ? 2, n ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,? an ? (2n ? 1) ? 2n 2 2 2 2 an ?1 an 1 ? ? ,?an ? 2n 2 ? n (3) (n ? 2)(n ? 1) (n ? 1)n (n ? 2)(n ? 1)
an an ?1 an 1 an ?1 1 3 ? n ? 1 ? 2 n ?1 ,3( n ? ) ? ?2( n ?1 ? ) (4) 3 3 3 5 3 5

1 n n ?1 n n n an ? [3 ? (?1) ? 2 ] ? (?1) ? 2 5

{an} 中,求满足下列条件的 练习9,在数列 通项公式。 5 5 2 a1 ? 1, a2 ? , an ? 2 ? an ?1 ? an ? (1) 3 3 3

a1 ? 1, a2 ? 2,3an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? (2)

分析 :
2 n?1 2 n an?2 ? an?1 ? (an?1 ? an ) ? an?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? ( ) ? ( ) ① 3 3 3
2 2 2 2 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? 1 ② 3 3 3 3
2n 联立①、②消去 an ?1得an ? 3 ? n ?1 3

(1) 2

(2)
2 1 1 1 n ?1 an ? 2 ? an ?1 ? an , an ? 2 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (? ) ① 3 3 3 3 1 1 1 1 7 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an , an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? 3 3 3 3 3 ②

? 联立的解方程组得:

7 3 1 n an ? ? ( ? ) 4 4 3


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