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2014年全国高中数学联赛预赛试题

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2014 年全国高中数学联赛预赛试题 一、填空题: (每小题 6 分,共 60 分) 1 、 直 线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0, l2 : x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0, 若 l1 ? l2 , 则 a ? ______ . 2、函数 _________ . f ( x)? 3 s2 i n ? x 3 ? ? sxi n ? x cos ?x ( 的 [ 值 , 域 ]) 2 12 2 为 3 、 在 三 棱 锥 _________ . D ? ABC 中 , A B ? A? C 2 , AB ? BC, BC ? CD, DA ? AB, ?CDA ? 60? , 则三棱锥 D? A B C 的 体积为 y2 4、已知 F1 , F2 是双曲线 C : x ? ? 1 的左右焦点, P 为双 24 2 曲线 C 上一点, 且 P 在第一象限, 若 | PF1 | ? 4 , 则 ?PF1F2 的 | PF2 | 3 内切圆半径是 _________ . 5、 已知集合 A ? {x | x 2 若a ? 0, ? 2 x ? 8 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2ax ? 4 ? 0} . 且 A ? B 中恰有 1 个整数,则 a 的取值范围是 _________ . 6、若分数 p ( p, q 为正整数)化为 p ? 0.198? , 则当 q 取最小 q q 值时, p ? q ? ________ . 7、 随机投掷 3 颗骰子, 则其中 2 颗骰子出现的点数之 和为 7 的概率为 _________ . 8 、已知点 A(1, ?1), B(4,0), C(2, 2) .平面区域 D 是由所有满足 ??? ? ??? ? ??? ? 若区域 AP ? ? AB ? ? AC(1 ? ? ? a,1 ? ? ? b) 的点 P( x, y) 组成的区域. D 的面积为 8,则 a ? b 的最小值为 _________ . 63 除的余数为 _________ . (符 2 3 ? 82014 ? ?8 ? ?8 ? ?8 ? 9、 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?被 ?9 ? ? 9 ? ? 9 ? ? 9 ? 号 ? x? 表示不超过 x 的最大整数. 10、若 a, b, c 为关于 x 的方程 x 则 m 的最小值为 _________ . 二、解答题: (共 100 分) 11 、 ( 20 分 ) 已 知 {a } 为 递 增 的 等 比 数 列 , 且 n 3 ? x2 ? x ? m ? 0 的三个实数根, a1 ? a2 ? 6, a3 ? a4 ? 24 .bn ? an (an ? 1)2 ,数列 {b } 的前 n 项和为 T .求 n n n 证:对一切正整数 n ,均有 T ?3. 2 12、 (20 分)已知 F 为椭圆 C : x 4 ? y2 ? 1 的右焦点,椭圆 C 3 上任意一点 P 到点 F 的距离与到直线 l : x ? m 的距离之比 为1. 2 (1)求直线 l 的方程. (2)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 F 的直线交椭圆 C 于 D, E 两点,直线 AD, AE 与直线 l 分别相交于 M , N 两点,以 MN 为直径的圆是否恒过定点?若是,求出定点坐标, 若不是,请说明理由. 13、 (20 分)在五边形 ABCDE 中,

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