nbhkdz.com冰点文库

第七讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(4)


第七讲:2013 年高考导数与积分命题热点研讨(4)
主讲人:孟老师

我们知道,在近几年的高考中,导数一直是高考考察的重点.可以说,从导数归入到高中数 学那一年开始,导数就在高考中占据着不可动摇的地位.导数的命题一般是一道或者两道填 空或选择题,一道大题.大题在高考中的难度比较大,第一问比较简单,第二问比较难.一般 来说, 用我们老师的俗语就是说,

如果导数出为压轴题, 那么导数的第二问可以视为放弃题. 会做则做一点,若是不会做,可以放弃.当然导数的第二问若是基础好的同学,还是能得到 分数的.对于导数的小题, 高考出题主要是求变化率.在以前高考的时候, 导数的小题比较简 单,就是求一个切线了等等,但是近两年的高考导数的命题逐渐的古怪了起来,小题一般考 察导数的意义, 也就是对导数定义本身的理解.这一点, 是同学们值得注意的.根据以往的命 题特点,我大胆的预测:2013 年高考在导数这一块,命题还是会稳中求变的.大题考察综合 能力,小题考查导数的几何意义.下面我们就具体的讲一下.

孟老师小预测 1:导数双基

近两年对于导数求切线出的比较多.导数求切线实际上是考察导数的几何意义,也就是导数 的背景, 这一点是值得我们大家注意的.我们下面就这个问题具体的讲一讲.通过一个例题来 练习一下.同学们在一轮复习的时候肯定已经复习的很好了,这里只是巩固一下.

预测例题 1(2011 年新课标高考) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . x ?1 x

(I)求 a,b 的值; (II)如果当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x
1

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 ? f '(1) ? ? 2 , ? ?b ? 1, ? ?a 1 解得 a ? 1 , b ? 1. ?2 ?b ? ? 2 , ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2 ln x ? ). x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x2 x

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 .而 h(1) ? 0 ,故 x2

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 ' (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1) 2 +1)+2x>0,故 h (x)>0,而 (x 1? k 1 1 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾. 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,
'

可得

1 h(x)<0,与题设矛盾. 1? x2

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

ln x 1 ? . x ?1 x ln x ln x 1 ln x 故要证: f ( x) ? 只需证 ? ? x ?1 x ? 1 x x ?1
(2)由(1)知 f ( x) ? 为去分母,故分 x>1 与 0<x<1 两种情况讨论: 当 x>1 时,需证 x( x ? 1)ln x ? x ? 1 ? x( x ? 1)ln x
2

2

即 ln x ?

x2 ?1 x

即需证 ln x ? x ?

1 . x

(1)

设 g ( x) ? ln x ? x ?

1 1 ,则 g '( x) ? ? 1 x x

由 x>1 得 g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) ? ln x ? x ? 所以 当 x>1 时 g(x)<0

1 在(1,+ ? )上为减函数.又因 g(1)=0 x

即(1)式成立.

同理 0<x<1 时,需证 ln x ? x ?

1 x

(2)

而由 0<x<1 得 g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) ? ln x ? x ? 所以 当 0<x<1 时 g(x)<0

1 在(0,1)上为增函数.又因 g(1)=0 x

即(2)式成立.

综上所证,知要证不等式成立. 点评:抓住基本思路,去分母化简问题,不可死算.

孟老师小预测 2:对导数求极值、单调区间的考察

对于导数求极值、求单调区间,这一点实际上不用我说,每个老师和每个学生都是知道的. 导数求最值和单调区间是对导数的最基本的考察,是每一个考生都必须掌握的内容.我们要 注意的是,并不是导数为零的点都能取到极值,而是导数的变号零点处可以取得极值.

预测例题 2(2008 年四川高考) (本小题满分 14 分) 已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x 的一个极值点.
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 f ' ? x ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
3

a a ? 2 x ? 10 所以 f ' ? 3? ? ? 6 ? 10 ? 0 因此 a ? 16 1? x 4

f ? x ? ? 16 ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x, x ? ? ?1, ?? ? f
2

'

? x? ?

2 ? x 2 ? 4 x ? 3? 1? x

当 x ? ? ?1,1? ? ? 3, ?? ? 时, f

'

? x ? ? 0 当 x ? ?1,3? 时, f ' ? x ? ? 0

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ? 3, ?? ? f ? x ? 的单调减区间是 ?1, 3 ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1, 3 ? 内单调减少,在 ? 3, ?? ? 上单调增 加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16 ln 2 ? 9 , 极小值为 f ? 3? ? 32 ln 2 ? 21 因为 f ?16 ? ? 16 ? 10 ? 16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1? f e ?2 ? 1 ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f ? 3?
2

?

?

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ? 3, ?? ? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一个交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ? 32 ln 2 ? 21,16 ln 2 ? 9 ? .

孟老师小预测 3 导数作为次压轴题或压轴题来考察

近两年的高考对导数的要求是越来越高.导数作为次压轴题目前来说是每个省份都这样做的. 有个别省份甚至把导数作为压轴题来出,这就考察了导数的综合能力.导数和不等式、数列 甚至二项式的联系是尤为紧密的.我们要注意这些,在平时的联系中,要多做一些好的有代 表性的倒数题目,避免大面积作导数题目打击学生的积极性,有避免不做导数题目,那样对 学生也不好.

预测例题 3(2011 年天津高考) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax , x ? 0. ( f ( x) 的图像连续不断)
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

4

(Ⅱ)当 a ?

1 3 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2

(Ⅲ)若存在均属于区间 ?1, 3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1 ,使 f (? ) ? f (? ) ,证明

ln 3 ? ln 2 ln 2 . ?a? 5 3
本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知 识,考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分. (I)解: f '( x) ?

1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? , x ? (0, ??) , x 2
2a . 2a

令 f '( x) ? 0, 解得x=

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
(0,

2a ) 2a
0

2a 2a

(

2a , ??) 2a

f '( x) f ( x)

+

-

极大值

所以, f ( x) 的单调递增区间是 (0,

2a 2a ), f ( x) 的单调递减区间是 ( , ??). 2a 2a

(II)证明:当 a ? 时, f ( x) ? ln x ?

1 8

1 2 x. 8

由(I)知 f ( x) 在(0,2)内单调递增, 在 (2, ??) 内单调递减. 令 g ( x) ? f ( x) ? f ( ). 由于 f ( x) 在(0,2)内单调递增,

3 2

3 41 ? 9e2 3 ? 0. 故 f (2) ? f ( ), 即g(2)>0.取 x ' ? e ? 2, 则g ( x ') ? 2 32 2
所以存在 x0 ? (2, x '), 使g ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (2, ??), 使f ( x0 ) ? f ( ). (说明: x ' 的取法不唯一,只要满足 x ' ? 2, 且g ( x ') ? 0 即可)
5

3 2

(III)证明:由 f (? ) ? f (? ) 及(I)的结论知 ? ? 从而 f ( x)在[? , ? ] 上的最小值为 f (a). 又由 ? ? ? ? 1 , ? , ? ?[1,3], 知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3. 故?

2a ??, 2a

? f (2) ? f (? ) ? f (1), ?ln 2 ? 4a ? ?a, 即? ? f (2) ? f ( ? ) ? f (3). ?ln 2 ? 4a ? ln 3 ? 9a.

从而

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3

预测例题 4(2012 年湖南高考) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = ? e ? x ,其中 a≠0.
ax

(1)若对一切 x∈R, f ( x) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的 斜率为 K,问:是否存在 x0∈(x1,x2) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若 不存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x) ? e ? x ? 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 0 ,
ax

1 1 ln . a a 1 1 1 1 当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增, a a a a 1 1 1 1 1 1 1 故当 x ? ln 时, f ( x) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a a
ax 故 a ? 0 .而 f ?( x) ? ae ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得x ?

于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

1 1 1 ? ln ? 1 . a a a
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当

1 ? 1 即 a ? 1 时,①式成立. a
6

综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e ax2 ? e ax1 ? ? 1. x2 ? x1 x2 ? x1 eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

ax 令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? ae ?

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

eax1 ?e a ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? , ? x2 ? x1 ?

e ax2 ?e a ( x1 ? x2 ) ? a ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? x2 ? x1 ?
t t

令 F (t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t

从而 e

a ( x2 ? x1 )

? a( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0, 又

e ax1 e ax2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, ? ?( x) ? a e
2 ax

? 0, ? ( x) 单调递增, 故这样的 c 是唯一的, c ? 且

1 e ax2 ? e ax1 ln . a a ( x2 ? x1 )

故当且仅当 x ? ( ln

1 a

e ax2 ? e ax1 , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k . a ( x2 ? x1 ) 1 a eax2 ? eax1 , x2 ) . a( x2 ? x1 )

综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为 ( ln

【点评】 本题考查利用导函数研究函数单调性、 最值、 不等式恒成立问题等, 考查运算能力, 考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数 法 求 出 f ( x) 取 最 小 值 f ( ln ) ?

1 a

1 a

1 1 1 ? ln . 对 一 切 x ∈ R , f(x) ? 1 恒 成 立 转 化 为 a a a

f ( x) min ? 1 ,从而得出 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函

7

数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

孟老师小预测 4 积分求面积

积分求面积是高考的一个常考题型.近两年高考对积分的考察也渐渐的多了起来.我们要会 做一些简单的定积分求面积问题.当然同学们还要清楚,积分不一定等于面积,因为积分是 有正有负的.

预测例题 5(2011·陕西)

x>0, ?lgx, 设 f(x)=?x+? 3t dt,x≤0, ? ? ?
a 0 2

若 f(f(1))=1,则 a=________.

a 解析:f(f(1))=f(lg 1)=f(0)=0+?a3t2dt=t3|0=a3=1.∴a=1.答案:1

? ?0

孟老师考题小预测综合预测(附加)

1(孟老师模拟预测) 1 若方程 ex-x-2=0 的一个解在区间(n,n+1)内,n∈N,根据表格中数据,则 n 的值为 x -1 0 1 2 3

ex

0.37

1

2.72

7.39

20.09

8

x+2 A.0 C.2

1

2

3 B.1 D.3

4

5

解析:令 f(x)=ex-x-2,结合表中数据知 f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0.所以 n 的值为 1.答案:B

2(2011·福建卷) 对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(- 1),所得出的正确结果一定不可能是 A.4 和 6 C.2 和 4 B.3 和 1 D.1 和 2

解析:由已知得 f(x)=asinx+bx+c?f(x)-c=asinx+bx,令 g(x)=asinx+bx,易得 g(x) 是奇函数,从而又 g(1)=f(1)-c,g(-1)=f(-1)-c,由奇函数性质有 g(1)+g(-1)=0, 从而有 f(1)-c+f(-1)-c=0?f(1)+f(-1)=2c,因为 c∈Z,故 f(1)+f(-1)的值应为偶数, 检验得 D 选项不可能,故选 D.答案:D

3(2010·莱芜调研) 设 x=0 是函数 f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点. (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b),并求 f(x)的单调区间; (2)设 a>0,g(x)=-(a2-a+1)ex+2,问是否存在 ξ1,ξ2∈[-2,2],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|≤1 成 立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex 由 f′(0)=0,得 b=-a∴f(x)=(x2+ax-a)ex f′(x)=[x2+(a+2)x]ex=x(x+a+2)ex 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=-a-2 由于 x=0 是 f(x)极值点,故 x1≠x2,即 a≠-2
9

当 a<-2 时,x1<x2,故 f(x)的单调增区间是(-∞,0]和[-a-2,+∞),单调减区间是(0, -a-2) 当 a>-2 时,x1>x2 , 故 f(x)的单调增区间是(-∞,-a-2]和[0,+∞),单调减区间是(-a-2,0). (2)当 a>0 时,-a-2<-2,f(x)在[-2,0]上 单调递减,在[0,2]上单调递增,因此 f(x)在[- 2,2]上的值域为[f(0),max{f(-2),f(2)}]=[-a,(4+a)e2]

?? 1? 3? 而 g(x)=-(a2-a+1)ex+2=-??a- ?2+ ?ex+2 在[-2,2]上单调递减, ?? 2? 4?
所以值域是[-(a2-a+1)e4,-(a2-a+1)] 因为在[-2,2]上,f(x)min-g(x)max=-a+(a2-a+1)=(a-1)2≥0

?a>0, ? 所以,a 只须满足? ? ?-a+? a2-a+1?
解得 0<a≤2.

≤1.

即当 a∈(0,2]时,存在 ξ1、ξ2∈[-2,2]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|≤1 成立.

4(2011 年江西高考) (本小题满分 12 分)

? ? ? ? x ? x ? ?ax ? ? ? (I)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ? ?? (II)当 ? ? a ? ? 时, f ( x) 在 [?, ?] 上的最小值为 ? ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. ? 1 2 1 2 解: (1)由 f ?( x) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ? ) ? ? 2a 2 4 2 2 2 当 x ? [ , ??)时, f ?( x)的最大值为f ?( ) ? ? 2a; 3 3 9 2 1 令 ? 2a ? 0, 得a ? ? 9 9 1 2 所以,当 a ? ? 时, f ( x)在( , ??) 上存在单调递增区间 9 3
设 f ( x) ? ?

10

(2)令 f ?( x) ? 0, 得两根x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? . 2 2

所以 f ( x)在(??, x1 ), ( x2 , ??) 上单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上单调递增 当 0 ? a ? 2时, 有x1 ? 1 ? x2 ? 4, 所以f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f ( x2 )

27 ? 6a ? 0, 即f (4) ? f (1) 2 40 16 所以 f ( x) 在[1,4]上的最小值为 f (4) ? 8a ? ?? 3 3
又 f (4) ? f (1) ? ? 得 a ? 1, x2 ? 2 ,从而 f ( x) 在[1,4]上的最大值为 f (2) ?

10 . 3

5(孟老师模拟举例) 点 M 是曲线 f(x)=x2-lnx 上任意一点,则点 M 到直线 l:y=x-4 的最短距离为( A.2 C. 2 B.2 D.2 3 2 )

解析:设点 M(x0,y0),则过 M 点的切线必平行于直线 y=x-4,即切线斜率 k=f ′(x0)=2x0 1 1 - =1,解得 x0=1 或 x0=- ,又因真数 x>0,∴x0=1,∴y0=1,即 M(1,1).此时点 M x0 2 |Ax0+By0+C| |1-1-4| 到直线的最小距离为 d= = =2 A2+B2 2 2.答案:D

6(2011 年安徽高考) 设 f ( x) ?

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax2

(Ⅰ)当 a ?

4 时,求 f (x) 的极值点; 3

(Ⅱ)若 f (x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系.求解一元二次不 等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力.

11

解:对 f (x) 求导得 f ?( x) ? e (Ⅰ)当 a ?

x

1 ? ax2 ? 2ax (1 ? ax2 ) 2



4 3 1 2 时,若 f ?( x) ? 0 ,则 4 x ? 8x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? , x2 ? 3 2 2

结合①,可知 x

1 (??, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2
_ ↘

3 2
0 极小值

3 ( ,?? ) 2
+ ↗

f ?(x)
f (x)

所以, x1 ?

3 1 是极小值点, x2 ? 是极大值点. 2 2

(Ⅱ)若 f (x) 为 R 上的单调函数,则 f ?(x) 在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知

ax2 ? 2ax ? 1 ? 0
在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0 ,由此并结合 a>0,知 0 ? a ? 1 .
2

12


第七讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(4)

第七讲:2013 年高考导数与积分命题热点研讨(4) 主讲人:孟老师 我们知道,在近几年的高考中,导数一直是高考考察的重点.可以说,从导数归入到高中数 学那一年开始...

第四讲:2013高考导数与积分命题热点研讨(1)

1/4 专题推荐 2014年高考语文新课标I卷... 2014年高考语文北京卷真... ...第四讲:2013 高考导数与积分命题热点研讨(1) 第一部分:命题热点 函数在高中...

第五讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(2)

第五讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(2)_数学_高中教育_教育专区。第五讲...孟老师大胆预测点 1 双基检测 2012 年安徽高考 ( log 2 9 ) log 3 4)=...

第六讲:2013年高考导数与积分命题热点研讨(3)

第六讲:2013 年高考导数与积分命题热点研讨(3) 本讲接第五讲,讲座时间为 1...3? 3.答案:D 如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动,直线...

第十一讲:2013年高考解析几何命题热点研讨(4)

第十一讲:2013 年高考解析几何命题热点研讨(4) 孟老师大胆预测点 7:直线与圆锥曲线的位置关系 1(孟老师模拟举例) 设点 A B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原...

第十六讲:2013年高考概率与统计命题热点研讨(4)

4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 第十六讲:2013年高考概率与统计命题热点研讨(4) 隐藏>> 第十...

第十七讲:2013年高考空间几何命题热点研讨(1)

第七讲:2013年高考导数... 第八讲:2013年高考解析...第十七讲:2013 年高考空间几何命题热点研讨(1)主讲...减法和数乘 王新敞奎屯 新疆 (4)了解空间向量的...

第一讲:2013年高考数列命题热点研讨(1)

第一讲:2013 年高考数列命题热点研讨(1)主讲人:孟...4 注意知识网络交汇处命题 2 在新课标高考中,不...我们要注意数列和导数、数列和三角函数、数列和不...

第十三讲:2013年高考概率与统计命题热点研讨(1)

第十三讲:2013 年高考概率与统计命题热点研讨(1) 主讲人:孟老师 第一部分:孟...9 B. 5 9 4 C. 9 2 D. 9 解析:由已知得当 a≥0 时,f′(x)=x2...

第三讲:2013年高考数列命题热点研讨(3)

第三讲:2013 年高考数列命题热点研讨(3)主讲人:孟...导数甚至会和二项式结合出来命题,这是值得我们 大家...2 2k ? 4 2 以下分两种情况进行讨论: (1) ...