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2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷


2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷
考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、 选择题(本大题共 8 小题, 每小

题 4 分, 满分 32 分, 每小题有且仅有一个正确的答案)
1、已知 x ? R, y ? R ? ,集合 A ? {x ? x ? 1,? x,? x ? 1}, B ? {? y,?
2

y , y ? 1} ,若 A=B,则 2

x 2 ? y 2 的值是(
A. 5 2、命题 P: ? ? B. 4

) C. 25 D. 10

?
6

, 命题 q: sin ? ?

1 ,则 p 是 q 的( 2

) D. 既不充分又不必要条件

A. 充分且必要条件

B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 A B

AB 3、 如图, 四边形 ABCD 中, ? AD ? CD ? 1 ,

A?

BD ? 2 , BD ? CD .将四边形 ABCD 沿
对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 D C B. ?BA?C ? 90
?

B C

D

A?BD ? 平面 BCD ,则下列结论正确的是
( ) A. A?C ? BD
? C. CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30

D. 四面体 A? ? BCD 的体积为

4、多面体 ABCD ? A B1C1D1 的直观图,正视图,俯视图,侧视图如下所示. 1

1 3

C1 D1 A1 B1
a 2

a
a

D A B

a

C a
正视图 图 ) B.

2 a 2 2 俯视图

a
侧视图

直观图 则此多面体的体积是( A.

11 3 a 12

1 3 a 2

C.

3 3 a 4

D.

5 3 a 6

1

5、 f ? x ? ? 设

1? x , 又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2,?, 则 f2012 ? x ? ? ( 1? x 1? x x ?1 1 A. B. C. x D. ? 1? x x ?1 x
2 2



6、 设点 A(1,0) ,B(2,1) , 如果直线 ax ? by ? 1与线段 AB 有一个公共点, 那么 a ? b 有 (



A. 最小值为

1 5

B. 最小值为

5 5

C. 最大值为

1 5

D. 最大值为

5 5


7、已知函数 f ( x) ? ? A. 1

x ? 0, ? x ? 1, 则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是( ?log 2 x , x ? 0,
B. 2
2 2

C. 3

D. 4 )

8、 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分.)
9 、 已 知 点 P(2, t ) 在 不 等 式 组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表 示 的 平 面 区 域 内 , 则 点 P(2, t ) 到 直 线 ?x ? y ? 3 ? 0
D F E . A B C

3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值为____________.
10、如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中, E 为 BC 的中点,若 F 为

??? ??? ? ? 正方形内 (含边界) 任意一点, AE ? AF 的最大值为 则

11、已知长方体的三条面对角线的长分别为 5,4,x,则 x 的取值范围 为 .

12、在平面直角坐标系中,定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间 的“折线距离”. 则圆 x ? y ? 1上一点与直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上一点的“折线距离”的
2 2

最小值是____________________. 13、对任意 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 数列 {an } 的前 15 项的和为 ?

f ( x) ? [ f ( x)]2 ?


1 ,设 an ? [ f (n)]2 ? f (n) , 2

31 ,则 f (15) ? 16

14、 f ( x ) 是定义在R上的奇函数, 设 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ; 又当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 则 ? x f ( x) ? ? ? =

1 x, 2

? ?

1? 2?



2

2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________

三、 解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出 必要的解答过程)
15、 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

1 c ? b. 2

3

16、设函数 f(x)定义在 R 上,对于任意实数 m、n,恒有 fm ( ?? · n fm ( ,且当 x>0 ) () fn ) 时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当 x<0 时,f(x)>1; (2)设集合 A,|( ·(, ? )xf )f) ( f )( ? x y y 1
2 2

?

?

B y x 2 a ,若 A B?? ?)a?, ∩ ( f ? 1R x , ) ,求 a 的取值范围。 ?|( y ?? ?

4

17、定义:对于任意 n ? N ,满足条件
*

an ? an ? 2 ? an ?1 且 an ? M ( M 是与 n 无关的常数)的 2

无穷数列 ?an ? 称为 T 数列. (1)若 an ? ?n ? 9n ( n ? N ),证明:数列 ?an ? 是 T 数列;
2
*

?3? (2)设数列 ?bn ? 的通项为 bn ? 50n ? ? ? ,且数列 ?bn ? 是 T 数列,求常数 M 的取值范围; ?2?
(3)设数列 cn ?

n

p ? 1 ( n ? N* , p ? 1 ),问数列 ?cn ? 是否是 T 数列?请说明理由. n

5

2012 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

A

C

B

D

C

A

D

C

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)

9. 4

10.

3 2

11. 3 ? x ?

41

12.

5 2

13.

3 4

14.

?x | x ? 4k ?1, k ? Z?

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出 必要的解答过程) 15、解: (1)由 a cos C ?

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2
又? 0 ? A ? ? ? A ? (2)由正弦定理得: b ?

?

3

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ?sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 3 ? 1 ?? ? ? 1? 2? ? 2 sin B ? 2 cos B ? ? 1 ? 2 sin? B ? 6 ? ? ? ? ? ?
?A?

?

?? ?1 ? ? ? ? 5? ? ? ? 2? ? , ? B ? ? 0, ? , ? B ? ? ? , ? ? sin ? B ? ? ? ? ,1? 3 6? ?2 ? 6 ?6 6 ? ? ? 3 ?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? .
2 2 2 (2)另解:周长 l ? a ? b ? c ? 1 ? b ? c 由(1)及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A

?b2 ? c2 ? bc ? 1

6

? (b ? c) 2 ? 1 ? 3bc ? 1 ? 3(

b?c 2 ) 2

b?c ? 2 又 b ? c ? a ? 1? l ? a ? b ? c ? 2
即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ? 2,3? . 16、解: (1)令 m=1,n=0,得 f(1)= f(1) ·f(0) 又当 x>0 时,0< f(x)<1,所以 f(0)=1 设 x<0,则-x>0 令 m=x,n=-x,则 f(0)= f(x) ·f(-x) 所以 f(x) ·f(-x)=1 又 0< f(-x)<1,所以 f (x ? )

1 ?1 f (? ) x

(2)设 x、 ? ,且 x ?x ,则 x ? 1? R 0 1 2 2 x 1 x 2 所以 0 fx x? x x? x · ? x 21f) ( ? 2 1 1 f)( x ? x x ( ?) ,从而 ( f ?)( ) 1 2 212 f ? 又由已知条件及(1)的结论知 f(x)>0 恒成立 所以

f (x ) f (x2 ) 2 ? f (x ?x ),所以 0 ? ?1 2 1 f (x ) f (x1) 1

所以 f(x2)< f(x1) ,故 f(x)在 R 上是单调递减的。 由 f ( x · ( y ) ? f (1) 得: f( ? ) f() x y ? 1 ) f
2 2
2 2

因为 f(x)在 R 上单调递减,所以 x ?y ?1 ,即 A 表示圆 x ?y ?1 的内部
2 2 2 2

由 f(ax-y+2)=1= f(0)得:ax-y+2=0 所以 B 表示直线 ax-y+2=0

∩ 所以 A B?? ,所以直线与圆相切或相离,即

2 1? a2

?1

? ? 解得: ? 3 a 3

7

17、(1) 由 an ? ?n2 ? 9n ,得

an ? an?2 ? 2an?1 ? ?n 2 ? 9n ? (n ? 2) 2 ? 9(n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 18(n ? 1) ? ?2
所以数列 ?an ? 满足
2

an ? an ? 2 ? an ?1 . 2

9 ? 81 ? 又 an ? ? ? n ? ? ? ,当 n=4 或 5 时, an 取得最大值 20,即 an ≤20. 2? 4 ?
综上,数列 ?an ? 是 T 数列. (2)因为 bn?1 ? bn ? 50(n ? 1) ? ? ?
n

?3? ?2?

n ?1

1?3? ? 3? ? 50n ? ? ? ? 50 ? ? ? , 2? 2? ? 2?

n

n

1?3? 所以当 50 ? ? ? ? 0 即 n ? 11 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列 ?bn ? 单调递增 2? 2?
当 n ? 12 时, bn?1 ? bn ? 0 ,此时数列 ?bn ? 单调递减;故数列 ?bn ? 的最大项是 b12 , 所以, M 的取值范围是 M ? 600 ? ? ? (3)①当 1 ? p ? 2 时, 当 n ? 1 时 c1 ? p ? 1, c2 ? 1 ? 由 c1 ? c3 ? 2c2 ? 即当 1 ? p ? 若 n ? 2 ,则

?3? ?2?

12

p p , c3 ? 1 ? , 2 3

6 5p ? 2 ? 0得 p ? , 5 3

c ? cn?2 6 ? c n ?1 条件. 时符合 n 5 2

p p ? 1 ,此时 cn ? 1 ? n n

于是 cn ? cn ? 2 ? 2cn ?1 ? (1 ?

p p p ?2 p ) ? (1 ? ) ? 2(1 ? )? ?0 n n?2 n ? 1 n(n ? 1)(n ? 2)

又对于 n ? N 有 cn ?
*

6 p ? 1 ? 1 ,所以当 1 ? p ? 时数列 ?cn ? 是 T 数列; 5 n

②当 2 ? p ? 3 时, 取 n ? 1 则: c1 ? p ? 1, c2 ? 由 c1 ? c3 ? 2c 2 ? 2 ? ③当 p ? 3 时,
8

p p ? 1, c3 ? 1 ? , 2 3

p ? 0 ,所以 2 ? p ? 3 时数列 ?cn ? 不是 T 数列. 3

取 n ? 1 则 c1 ? p ? 1, c2 ? 由 c1 ? c3 ? 2c2 ?

p p ? 1, c3 ? ? 1, 2 3

5p ? 0 ,所以 p ? 3 时数列 ?cn ? 不是 T 数列. 6 6 6 综上:当 1 ? p ? 时数列 ?cn ? 是 T 数列;当 p ? 时数列 ?cn ? 不是 T 数列. 5 5

9


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